EMM2
1
Ekonomicko-matematické metody 2
Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D.

EMM2
2
Matematický aparát EMM
• (1)  Funkce 1 proměnné
• „ y   je funkcí  x “ ..........  y = f(x)
•
• y  ...  závisle proměnná
• x ...   nezávisle proměnná
•
• Př.: HV = f(ZP)
• „Hrubá výroba“ je funkcí „základních prostředků“

EMM2
3
Matematický aparát EMM
• (2)  Funkce více proměnných:  y = f(x1 , x2 , ... , xn )
• „ y je funkcí x1 , x2 , ... , xn “
•
• (2)   Matice (vektory)
•
•
•
•
•
•
• typ   (m´n)

EMM2
4
Matematický aparát EMM

EMM2
5
Matematický aparát EMM

EMM2
6
Násobení matic
• C  =  A . B
•
•         x      =
•
•
•
•
•      (m´n).(n´k) = (m´k)
A
i-tý ř.
j-tý sl.
j-tý sl.
m
n
n
  k
  k
i-tý ř.
m
Skalární součin vektorů
A
B
C

EMM2
7
Příklad 1
Příklad 2

EMM2
8
Příklad 3
A x = b
x1 + 4.x2 + 7.x3      = 10
2.x1 + 5.x2 + 8.x3 = 11
3.x1 + 6.x2 + 9.x3 = 12

EMM2
9
Inverzní matice A-1

EMM2
10
Řešení soustavy lineárních rovnic:
• A x = b
•
•     A-1A x = A-1b
•
•     x = A-1b
 E
(násobíme zleva A-1)

EMM2
11
Příklad 4
• A.x = b

EMM2
12
Příklad 4 …
• Řešení:
=

EMM2
13
Extrém funkce (maximum)
• f(x)    ...   reálná funkce definována na množině XÍ Rn
•
•
• f(x)
•
•
•   ... maximální hodnota f na X
•
• ...  bod (vektor) nebo množina bodů (vektorů) z  X v němž (kde) je dosažena maximální hodnota
funkce f na X
výrobní program      zisk
= c1x1+c2x2+…+cnxn

EMM2
14
Extrém funkce (minimum)
• f(x)            ...   reálná funkce definována na množině XÍ Rn
•
•   ... minimální hodnota f na X
•
• ...  množina bodů z  X v níž je dosažena
• minimální hodnota funkce f na X

EMM2
15
Extrém funkce …
• f(x) = 2 - (x-1)2 ,  X  =  [0 ; 3]
•
• = 2 ,         = {1}
Příklad 5 a)
2
1
0
1
3
X
f(x)
x

EMM2
16
Extrém funkce …
• f(x) = 2 - (x-1)2 ,  x Î[0 , 1] = X
• = 1 , x Î[1 , 3]
• = 2 ,         = [1 , 3]
Příklad 5 b)
2
1
0
1
3
X
f(x)
x
= 1
= {0}

EMM2
17
Matematické programování
• Základní úloha
•
• f(x1, x2, ... ,xn) ®  MAX; (1)
•
• za podmínek
•
• g1(x1, x2, ... , xn) £  b1
• g2(x1, x2, ... , xn) £  b2
• ............................................... (2)
• gm(x1, x2, ... , xn) £  bm
• x1 ³ 0 , x2 ³ 0 , ... , xn ³ 0

EMM2
18
Matematické programování
Základní úloha
• f(x1, x2, ... ,xn)  ® MAX; (1) účelová funkce
•
•za podmínek
•
• g1(x1, x2, ... ,xn)  £  b1
• g2(x1, x2, ... ,xn)  £  b2
• ................................. (2) omezující podmínky
• gm(x1, x2, ... ,xn)  £  bm   (mohou chybět)
•
• x1 ³ 0 , x2 ³ 0 , ... , xn ³ 0      podmínky nezápornosti

EMM2
19
Příklad 6
•Nalezněte dvě kladná čísla s maximálním možným součinem, jejich součet je nejvýše 10:
•
• x1x2  ® MAX; f(x1, x2) = x1.x2
•za podmínek
• x1 + x2  £  10 g1(x1, x2) = x1 + x2
• x1 ³ 0 , x2 ³ 0
•
•Řešení na semináři pomocí Excel – Řešitel
• (Výsledek: x1* = 5 , x2* = 5 )

EMM2
20
Základní úloha …
min f(x) = - max -f(x)
x* =  arg min f(x) =  arg max (- f(x))
x
f(x)
-f(x)
0

EMM2
21
Převedení nerovností na rovnosti
• přídatné proměnné:  xn+1 , xn+2 , ... , xn+m :
•
• g1(x1, x2, ... ,xn) + xn+1  =  b1
• g2(x1, x2, ... ,xn)  + xn+2   =  b2
• …………………………………………..
• gm(x1, x2, ... ,xn)  + xn+m = bm
•
• xj ³ 0     j = n+1, ..., n+m

EMM2
22
Převedení rovnice na nerovnost
• gj(x1, x2, ... ,xn)  =  bj
• ß      Ý
• gj(x1, x2, ... ,xn) ³  bj  ,    gj(x1, x2, ... ,xn) £ bj
•

EMM2
23
Příklad 6 – převedení omezujících podmínek na rovnosti
•  x1 x2  ® MAX;
•
•za podmínek
• x1 + x2 + x3   =  10
• x1 ³ 0 , x2 ³ 0, x3 ³ 0
•
•Ověření na semináři pomocí Excel - Řešitel

EMM2
24
Podmínka nezápornosti proměnných

EMM2
25
Lokální a globální extrémy
• x0 ... lokální maximum funkce f(x) ...(lokální minimum funkce)
• $ okolí U bodu x0 : " x Î U Ì X platí   f(x) £ f(x0) (f(x) ³ f(x0) )
•
• x* ... globální maximum f(x) ... (globální minimum funkce)
• " x Î X platí   f(x) £ f(x0)                (f(x) ³ f(x0) )
•