EMM3 1 Ekonomicko-matematické metody 3 Mgr. Jiří Mazurek, Ph.D. EMM3 2 Lokální a globální extrémy • x0 ... lokální maximum funkce f(x) ...(lokální minimum funkce) • $ okolí U bodu x0 : " x Î U Ì X platí f(x) £ f(x0) (f(x) ³ f(x0) ) • • x* ... globální maximum f(x) ... (globální minimum funkce) • "x Î X platí f(x) £ f(x*) (f(x) ³ f(x*) ) • x0 x* X f(x) U EMM3 3 Lokální a globální extrémy Batman & Robin: The Chiller roller coaster at Six Flags Great Adventure EMM3 4 Existence řešení • Věta 1 Spojitá funkce nabývá na uzavřené omezené množině X svého globálního maxima (globálního minima). • • •... spojitost funkce...souvislost grafu: • X EMM3 5 Existence řešení … • …nespojitá funkce: • • • • ... omezená množina ...vejde se do nějaké „koule“ EMM3 6 Existence řešení … • ... uzavřená množina: • včetně „hranice“ • • • otevřená množina: • bez „hranice“ uzavřený interval otevřený interval EMM3 7 Existence řešení … …co stačí, aby existoval lokální extrém • Věta 2 x0 je lokální maximum funkce f(x), • • existuje (parciální) derivace • • potom = 0 • • Je to Nutná podmínka existence (lokálního!) extrému • není podmínkou postačující !!! • Postačující podmínka existence (lokálního!) extrému: - - Existence spojitých parciálních derivací v okolí bodu x0 --- Pozitivní/negativní definitnost Hessiánu… EMM3 8 Grafické znázornění praciální derivace funkce 2 proměnných Soubor:Parcialni derivace graf vyznam.svg EMM3 9 Grafické znázornění globálního maxima funkce 2 proměnných File:MaximumParaboloid.png > EMM3 10 Grafické znázornění „obecné“ funkce 2 proměnných File:MaximumCounterexample.png lokální minimum EMM3 11 Existence řešení … • Prostor Rn : pozor!!! parciální derivace: • • Ñf(x0) = • • Gradient funkce (vektor parciálních derivací) v bodě x0=(x10,…, xn0)ÎRn • • H = = {Ñ2f(x0)} • • Hessova matice (Hessián) v bodě x0 • • v R1 (matematika 1. ročník) : H = f ´´(x0) – „matice“ (1×1) EMM3 12 Příklad 1 • • • Gradient Ñf(x) : EMM3 13 Extrémy a znaménko derivace (schéma) EMM3 14 Existence řešení … Postačující podmínka existence lokálního minima funkce v R • • Věta 3 „1“. Jestliže funkce f(x) má spojitou prvou a druhou derivaci v okolí bodu x0 ÎR1, první derivace je nulová, tj. f´(x0) = 0 a zároveň druhá derivace je kladná, tj. f´´(x0) > 0, pak x0ÎR je bodem lokálního minima funkce f(x). Poznámka: pro maximum je f´´(x0) < 0 . EMM3 15 Existence řešení … Postačující podmínka existence lokálního minima funkce v Rn • • Věta 3 „n“: (Sylvestrovo kritérium) Jestliže funkce f(x) má spojité všechny parciální derivace v okolí bodu x0=(x10,…, xn0)ÎRn, gradient Ñf(x0) = 0 a všechny hlavní subdeterminanty Hessiánu {Ñ2f(x0)} jsou kladné (tj. > 0) pak x0ÎR je bodem lokálního minima funkce f(x). Poznámka: pro maximum jsou všechny hlavní subdeterminanty Hessiánu funkce -f(x) kladné! EMM3 16 Příklad 1 pokrač. • • • Hessián H: Hlavní subdeterminant = determinant matice, která vznikne z původní matice Vypuštěním postupně n-tého, n-1-ho,…,2-ho řádků a zároveň stejných sloupců EMM3 17 Příklad 2 • • • Gradient Ñf(x) = (2x1- 4, 8x2- 8, 4x3+8) …= (0,0,0) právě když platí: x1= 2, x2 = 1, x3 = -2 Hessián H: EMM3 18 Příklad 2 pokrač. • • • det H1 = 2, det H2= 2.8 = 16, det H3 = det H = 2.8.4 = 64 Výpočet determinantu matice 3x3 – Sarrusovo pravidlo Hlavní subdeterminanty jsou kladné: postačující podmínka minima je splněna v bodě x0 = (2,1,-2) Þ f nabývá v tomto bodě lokální minimum (je to zároveň globální minimum na R3) min f(x) = 0 argmin f(x) = {(2,1,-2)} xÎ R3 xÎ R3 EMM3 19 Příklad 3 • f(x) = x3 x0 = 0 ... není bodem extrému !!! • • f ´(x) = 3x2 , f ´´(x) = 6x • f ´(0) = 0 • H = f ´´(0) = 0 Pozor! postačující podmínka pro extrém není splněna! (Hessián = 0 !!!) • f(x) = x3 EMM3 20 Příklad 4 • ® max; za podmínek 0 ≤ x1 ≤ 1 1 ≤ x2 ≤ 2 Existence optimálního řešení je zaručena spojitostí f na X. Problém je jak ho nalézt!?? (nelineární funkce) X EMM3 21 Příklad 4 pokrač. •Řešení: Funkce sin z nabývá maximální hodnotu 1 pro tj. 0 ≤ x1 ≤ 1 1 ≤ x2 ≤ 2 Maximum funkce f se nabývá ve všech bodech (x1,x2) na úsečce spojující body (0,2) a (1,1)! 0 1 1 2 x1 x2 X