EMM1 1
Ekonomicko-matematické
metody 1
Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
přednáší
doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.
EMM1 2
Předmět Ekonomicko-matematické
metody
Kód studijního předmětu: INM/NPEMM
Garant: prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
Vyučující: doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.
Rozsah studijního předmětu: 2+1
Počet kreditů: 5 ECTS
Způsob zakončení: zkouška (písemná + ústní)
Forma výuky: přednáška, seminář v PC učebně
EMM1 3
Předmět Ekonomicko-matematické
metody
Podmínky absolvování předmětu:
• Aktivní účast na seminářích alespoň 70%
−3 body za každou neomluvenou neúčast pod 70%;
+3 body za každou účast nad 70%
• Seminární práce max. 30 b. (seminární práce musí být odevzdána
nejpozději 3 dny před absolvováním zkouškového testu)
• Zkouškový test max. 70 b.
• Celkem max. 100 b.
Klasifikace:
• 0 až 59 b. F
• 60 až 64 b E
• 65 až 69 b. D
• 70 až 79 b. C
• 80 až 89 b. B
• 90 až 100 b. A
EMM1 4
Předmět Ekonomicko-matematické
metody v eLearningu
Kurs a interaktivní osnova v IS SU
https://is.slu.cz/auth/el/opf/zima2022/INMNPEMM/
Adresář „public“ na disku L:
L:\bartl\public\N_EMM
Obsahuje všechny materiály: distanční studijní oporu (texty),
excelovské soubory s příklady ze seminářů, doplňkové soubory,
studijní literaturu, SW, odkazy na jiné weby apod.
Pozor: musíte mít v pořádku přístup do
fakultní počítačové sítě !!!
EMM1 5
Trocha historie o matematickém
modelování v ekonomii
• Matematika se do ekonomie začala prosazovat ve 30. letech
minulého století
• Ke skutečnému boomu došlo až s nástupem počítačů
• Rhind-Ahmesův papyrus ze 17. stol. př. n. l. obsahuje některé
hospodářské úlohy, které lze při troše tolerance považovat za
matematické aplikace v ekonomii
• V novověké historii se lze setkat s matematickým modelováním již
v klasických pracích o politické ekonomii, např. v díle Political
arithmetics od anglického filosofa W. Pettyho (1623 – 1687)
• Švýcarský ekonom León Walras (1834 – 1910) jako první
používal matematický aparát jako nedílnou součást svých
ekonomických úvah o marginální teorii užitku a v teorii
ekonomické rovnováhy
• Vilfredo Pareto (1848 – 1923) - žák L. Walrase - dovedl
používání matematiky v ekonomii k dnešním standardům
Rhind-Ahmesův papyrus 1
EMM1 6
Rhind-Ahmesův papyrus 2
• Asi 1600 let před naším letopočtem byl na dvoře faraóna
Amenemhata III. jako královský písař a matematik
zaměstnán Ahmes. V roce 1853 objevil Angličan Rhind
v blízkosti chrámu Ramsese II. v Thébách jeden
Ahmesův papyrus. Papyrus má tvar pásku širokého 33
cm a dlouhého více než 5 m. Obsahuje mimo jiné i
následující úlohu:
• Sto měr zrní je třeba rozdělit pěti dělníkům tak, aby
druhý dělník dostal o tolik měr více než první, o kolik
třetí dostal více než druhý, čtvrtý než třetí a pátý než
čtvrtý. První dva dělníci mají dohromady dostat
sedmkrát méně měr zrní než ostatní tři dohromady.
Kolik měr zrní dostal každý dělník?
EMM1 7
EMM1 8
Matematické metody v ekonomii
zahrnují tyto oblasti:
• Matematické programování a jeho aplikace
v ekonomických disciplínách
• Lineární programování
• Vícekriteriální optimalizace
• Cílové programování
• Modely analýzy obalu dat
• Modely optimalizace portfolia
• Optimalizační úlohy na grafech
• Řízení projektů: Časová analýza: CPM, PERT
• Software k řešení optimalizačních úloh na PC
• Operační výzkum (operační analýza)
• Operační management
EMM1 9
Příklad tvorby matematického modelu:
Maximalizace zisku podnikatele při omezených výrobních
zdrojích a omezeném odbytu
Název disciplíny: Operační management
Teoretické schéma:
Suroviny
Polotovary
Výrobní zaříz.
Pracovní síla
Kapitál
…
Výrobce – organizátor (manažér, plánovač aj.)
Výrobky (nositele užit. hodnot)
Omezený odbyt
Omezené zdroje
Výrobní program
Matematický model
EMM1 10
Výrobní program
Výrobkový seznam (n výrobků: 1, 2,…,n)
Objem výroby jednotlivých výrobků
množství, kusy ( x1, x2 , … , xn  0 )
předem neznámý rozsah výroby
Jednotlivé zisky a celkový zisk
𝑐𝑗 – zisk z výroby jednotky výrobku 𝑗
(𝑗 = 1, 2, … , 𝑛)
𝑐𝑗 𝑥𝑗 – zisk z výroby množství 𝑥𝑗 výrobku 𝑗
𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 – celkový zisk výrobního
programu 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛)
●
●
●
●
●
EMM1 11
Omezené zdroje
Seznam omezených zdrojů (m zdrojů: 1, 2,…,m)
Disponibilní množství zdrojů
( b1, b2, … , bm  0 )
Volný nákup zdrojů z celkové omezené částky
●
●
●
EMM1 12
Technologické (strukturní) koeficienty
aij - technologický koeficient zdroje i na výrobek j
(množství zdroje " i " potřebného k výrobě
jednotky výrobku " j " )
aij xj - množství zdroje " i " potřebného k výrobě
xj jednotek výrobku " j "
ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn - množství zdroje "i"
potřebného k výrobě výrobního programu
X = (x1 , x2,…, xn)
●
●
●
EMM1 13
Omezení odbytu
hi - horní omezení odbytu výrobku "i"
0  xj  hj - objem výroby výrobku "j" nesmí
překročit odbytové možnosti
Přípustné výrobní programy
PVP X = (x1 , x2,…, xn) splňuje:
podmínky disponibilních zdrojů:
ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn  bi i = 1,2,…, m
podmínky odbytových možností:
0  xj  hj j = 1,2,…,n
●
●
●
●
EMM1 14
Optimální výrobní program
Takový přípustný výrobní program X = (x1, x2,…, xn) který
maximalizuje celkový zisk:
c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Pro nalezení OVP musíme shromáždit :
 výrobkový seznam
 jednotkové zisky
 disponibilní množství zdrojů
 technologické koeficienty
 omezení odbytu
EMM1 15
Optimální výrobní program …
sestavení modelu
matematický model
řešení (počítač)
optimální výrobní program X* = (x*1 , x*2,…, x*n)
Data
EMM1 16
Optimalizace
výrobního programu
c1x1 + c2x2 + … + cnxn  MAX;
za omezení
ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn  bi i = 1,2,…, m
0  xj  hj j = 1,2,…,n
EMM1 17
Příklad:
• Výrobce tzv. „racio“ pokrmů plánuje výrobu dvou typů směsí.
Na jejich výrobu má na jedno plánovací období k dispozici
rýži o kapacitě 270 tun, pšenici o kapacitě 100 tun a ovesné
vločky o kapacitě 60 tun. Při výrobě dvou typů směsí je třeba
dodržovat složení daných směsí podle následující tabulky.
• Na základě všech nákladů souvisejících s výrobou a dle
předpokládané prodejní ceny obou směsí byl vykalkulován
zisk 2000 Kč za 1 tunu směsi typu I a 3000 Kč/t směsi typu II.
Jak má firma naplánovat výrobu, aby byl celkový zisk
maximální?
Surovina Racio směs Kapacita
surovinSměs I Směs II
Rýže 90% 30% 270
Pšenice 50% 100
Vločky 10% 20% 60
EMM1 18
Transformace ekonomického modelu na
model matematický
2 procesy:
1.výroba směsi typu I v množství x1  0
2.výroba směsi typu II v množství x2  0
3 činitelé (zdroje): Rýže, pšenice, ovesné vločky
Racio směs
Surovina typ I typ II
Kapacita surovin
[t]
Rýže 90% 30% 270
Pšenice 50% 100
Vločky 10% 20% 60
EMM1 19
Efektivnost procesů:
• 1 tuna směsi typu I přináší zisk 2000 Kč
• 1 tuna směsi typu II přináší zisk 3000 Kč
• z = 2000x1 + 3000x2 - zisk z produkce
- x1 tun směsi typu I
- x2 tun směsi typu II
Účelová funkce
Cenové koeficienty
EMM1 20
Omezující podmínky:
0,9x1 + 0,3 x2  270 rýže
0,5 x2  100 pšenice
0,1x1 + 0,2 x2  60 vločky
Kapacitní koeficienty (pravé strany)Strukturní koeficienty
Vlastní omezení:
Podmínky nezápornosti: x1  0, x2  0
3 zdroje
EMM1 21
Matematický model LP:
2 procesy, 3 zdroje (činitele)
z = 2000x1 + 3000x2  max(imalizovat)
za podmínek
0,9x1 + 0,3 x2  270
0,5 x2  100
0,1x1 + 0,2 x2  60
x1  0, x2  0
EMM1 22
Některá přípustná a nepřípustná řešení
úlohy LP:
Proměnné Zbytek (+), nedostatek (-)
surovin
Řešení
x1 x2 Rýže Pšenice Vločky
Hodnota
účelové
funkce
x1
0 0 270 100 60 0
x2
100 100 150 50 30 500000
x3
300 0 0 100 30 600000
x4
0 300 180 -50 0 900000
x5
200 200 30 0 0 1000000
Jaké je optimální řešení úlohy, tj. takové x1 a x2, které dávají max zisk?
EMM1 23
Grafické znázornění podmínky:
0,9x1 + 0,3 x2  270, (x1  0, x2  0)
EMM1 24
Grafické znázornění podmínky:
0,5 x2  100, (x1  0, x2  0)
EMM1 25
Grafické znázornění podmínky:
0,1x1 + 0,2 x2  60, (x1  0, x2  0)
EMM1 26
Grafické znázornění výsledné množiny
všech přípustných řešení:
EMM1 27
Grafické řešení úlohy LP:
xopt
x1 = 240 x2 = 180 z = 1 020 000
EMM1 28
Modifikace modelu:
rizikovost procesů
• 1 tuna směsi typu I přináší očekávaný (průměrný) zisk
2000 Kč
• 1 tuna směsi typu II přináší očekávaný (průměrný) zisk
3000 Kč
• z = 2000x1 + 3000x2 - očekávaný (průměrný) zisk z
produkce
- x1, resp., x2 tun směsi typu I, resp. typu II
Jednotkové zisky jsou náhodné veličiny s diskrétním
nebo spojitým rozdělením pravděpodobnosti →
celkový zisk z produkce je ROVNĚŽ náhodná veličina!
EMM1 29
Příklad:
náhodný zisk (diskrétní rozdělení náh. vel.)
1 tuna směsi typu I přináší očekávaný (průměrný) zisk:
1500 Kč s pravděpodobností 0,2
2000 Kč s pravděpodobností 0,6
2500 Kč s pravděpodobností 0,2
Očekávaný (průměrný) zisk (střední hodnota):
E(jednot. zisk2) = 1500*0,2 + 2000*0,6 + 2500*0,2 = 2000 Kč
1 tuna směsi typu II přináší očekávaný (průměrný) zisk:
2000 Kč s pravděpodobností 0,2
3000 Kč s pravděpodobností 0,6
4000 Kč s pravděpodobností 0,2
Očekávaný (průměrný) zisk (střední hodnota):
E(jednot. zisk1) = 2000*0,2 + 3000*0,6 + 4000*0,2 = 3000 Kč
EMM1 30
Omezující podmínky:
0,9x1 + 0,3 x2  270 rýže
0,5 x2  100 pšenice
0,1x1 + 0,2 x2  60 vločky
Kapacitní koeficienty (pravé strany)Strukturní koeficienty
Vlastní omezení:
Strukturní, resp. kapacitní koeficienty mohou být
rovněž rizikové (tj. náhodné veličiny)
Optimalizační úlohy s náhodnými koeficienty
se řeší pomocí metod matematického programování
3 zdroje
EMM1 31
Závěry
• Ekonomický model – reálná situace (pojmy,
teorie, data…)
• Matematický model – přibližný (symbolický)
model reality
• Řešení matemat. modelu – slouží pro
podporu rozhodnutí
– DSS
• Rozhodnutí pro reálnou akci – provádí vždy
člověk!!!