Ekonomicko-matematické
metody 3
Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
prednasi doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.
EMM3
1
Lokální a globální extrémy
x°... lokální maximum funkce f(x) ...(lokální minimum funkce) 3 okolí u bodu x°: V x e U cz X platí f(x) <f(x°) (f(x) z fix?))
x*... globální maximum f(x)... (globální minimum funkce) V* g Xplatí f(x)<f(x*) (fa)*/(*•))
X emm3
2
Lokální a globální extrémy
emm3
3
Existence řešení
Věta 1     Spojitá funkce nabývá na uzavřené omezené
množině X svého globálního maxima (globálního minima).
Vx0 e X: lim f(x) = f (x0)
... spojitost funkce...souvislost grafu: x^x°
x
emm3
4
Existence řešení
nespojitá funkce:
omezená množina ...vejde se do nějaké „koule"
emm3
5
Existence řešení...
... uzavřena množina: včetně „hranice"
otevřený
otevřená množina: A k interval
bez „hranice" I c
emm3
6
Existence řešení...
...co stačí, aby existoval lokální extrém
Věta 2      jc°je lokální maximum funkce fix),
existuje (parciální) derivace df(x°)
dx.
potom       čffc0) =o
dx3
Je to Nutná podmínka existence (lokálního!) extrému
není podmínkou postačující!!!
Postačující podmínka existence (lokálního!) extrému: -
- Existence spojitých parciálních derivací v okolí bodu x° --
- Pozitivní/negativní definitnost Hessiánu...
emm3 7
Grafické znázornění praciální derivace
funkce 2 proměnných
x = x
y = %
emm3
8
Grafické znázornění globálního maxima
funkce 2 proměnných
Grafické znázornění „obecné" funkce 2 proměnných
emm3
10
Existence řešení...
Prostor R" : pozor!!! parciální derivace:
dxx
dx
n
Gradient funkce (vektor parciálních derivací) v bodě x
o
H =
dx.dx.
* j
= mix0)}
Hessova matice (Hessián) v bodě x
o
v R1 (matematika 1. ročník) : H = fr\x0)- „matice" (1 x i)
emm3
Příklad 1
j~ (x^ x2 9 x3 ) — X^ ~~\~ 4x2 x3 —\~ 2x
Gradient V/(x)
df(xx, x2,	x3)
	
df(xx, x2,	x3)
<9x2	
df(xx, x2,	x3)
<9x3	
4xf
8x2x3 8x2 x3 —i- 8x3
emm3
12
Extrémy a znaménko derivace
(schéma)
Existence řešení...
Postačující podmínka existence lokálního minima funkce v R
Věta 3 „1". Jestliže funkce/(x) má spojitou prvou
a druhou derivaci v okolí bodu x° g R1,
první derivace je nulová, tj. f\x°) - 0
a zároveň druhá derivace je kladná, tj. /"(*°) > 0,
pak
x°eRje bodem lokálního minilTIB funkcef(x). Poznámka: pro maximum je        < 0 .
emm3 14
Existence řešení...
Postačující podmínka existence lokálního minima funkce v R"
Věta 3 „n": (Svlvestrovo kritérium) Jestliže funkce f(x) má spojité všechny parciální derivace v okolí bodu x0^0,..., xn°) e R", gradient V/(x°) = 0
a všechny hlavní subdeterminanty Hessiánu {V2/(x0)} jsou kladné (tj. > 0)
pak
x°eRje bodem lokálního minima funkce/(x).
Poznámka: pro maxim^jsou všechny hlavní subdeterminanty Hessiánu funkce -f(x) kladné!
Příklad 1 pokrač.
/ (xx, x2, x3) — xx + 4x2x3 + 2x3     Vf (xx,x2,x3) =
4
3
Hessián 7f:
H =
		
		
	3cf    | ť^c, dx2	
		
	$X2 3xx	
		
	3x3 3xx	3x3 3x2
d2f{x)
$X2 3x3 I
4xf
3
12jCj	0	0
0		16 X2 x3
0	16 X2 x3	Sxl + 24^3
Hlavnísubdeterminant= determinant matice, která vznikne z původní matice Vypuštěním postupně /i-tého, /i-l-ho,...,2-ho řádků a zároveň stejných sloupců
emm3
16
Pnklad 2
Gradient    V/(x) = (2xr 4, %x2- 8,4x3+8).. .= (0,0,0)
/     / / prave kdyz platl: xx= 2, x2 = 1, x3 = -2
Hessian
	d2f	d2f				
		dxx 3c3		"2	oj	0
	- 2		—	0		0
		dx2dx3		0	0	4
d1f						
	3c33c2					
emm3
17
Příklad 2 pokrač.
	"2	0	0
H =	0	' 8	0
	0	0	4
det Hx = 2, det H2= 2.8 = 16, det H3 = detH = 2.8.4 = 64
Výpočet determinantu matice 3x3 - Sarrusovo pravidlo
Hlavní subdeterminanty jsou kladné: postačující podmínka minima je splněna v bodě x° = (2,1,-2)      nabývá v tomto bodě lokální minimum (je to zároveň globální minimum na R3)
min/(x) = 0 argmin/(x) = {(2,1,-2)}
XE R3 xe R3
emm3
18
Příklad 3
f(x) = x3   x° = 0 ... není bodem extrému !!!
/ r(x) = 3x2 ,f r\x) = 6x f'(0) = 0
H=f "(0) = 0 Pozor! postačující podmínka pro extrém není splněna! (Hessián = 0 !!!)
f(x) = X3
emm3
19
Příklad 4
f(xí,x2) — sin max;
za podmínek
0 < jcx < 1
1 < x2 < 2
Existence optimálního řešení je zaručena spojitostí/na X. Problém je jak ho nalézt!?? (nelineární funkce)
emm3 20
Příklad 4 pokrač. f(xl,x2) = sm
71
X^ ~h .X^
Řešení: Funkce sin z nabývá maximální hodnotu 1 pro  z —
tj-
— <C—? X| ~h ^2 —
0<Xj<1
i <x2<2
"7 2 -		
		
0 N		s L
Maximum íupkcefse nabývá ve všech bodech (xl9x2) na úsečce spojující body (0,2) a (1,1)!
emm3
21