EMM9 1
Ekonomicko-matematické
metody č. 9
Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
přednáší
doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.
EMM9 2
Akciové analýzy
1. Fundamentální analýza
 Předpokládá se existence vnitřní hodnoty CP
(např. akcie)
 Hledání podhodnocených CP (nákup)
a nadhodnocených CP (prodej)
 Globální analýza – vlivy makro-agregátů
(HDP, inflace)
 Odvětvová analýza – měří citlivost odvětví na
hospodářský cyklus, vládní regulace, sílu odborů,
míru inovací,…
EMM9 3
Akciové analýzy
2. Technická analýza
 Předpokládají se trendy v kurzech CP (bull-bear,
akumulační a distribuční fáze)
 Předmětem analýzy jsou časové řady tržních cen CP
 Rozpoznávání tvarů – formací ČŘ (vlajky, prapory,
 Použití matematických modelů, grafických a jiných
technických prostředků
3. Psychologická analýza
 Psychologické faktory pohybů kurzů
EMM9 4
Teorie portfolia (PF)
Investiční PF – soubor CP (akcií) splňující určité
podmínky držený investorem
Výnos akcie = kapitálový výnos + výnos z dividend
kapitálový výnos = prodejní cena – nákupní cena
Riziko akcie = kolísání ceny akcie v čase (volatilita)
měří se směrodatnou odchylkou
Výnos (riziko) PF = celkový výnos (celkové riziko)
vybrané kombinace CP v PF
Teorie PF – souhrn metod hledání takové kombinace
vybraných CP, která maximalizuje výnos a zároveň
minimalizuje riziko PF
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
Historický přístup
(historická metoda)
• Úkolem je sestavit „optimální portfolio“ (PF) aktiv (AK),
např. akcií.
• Portfolio
– nejdříve nakoupíme,
– potom jej držíme určitý počet (obchodních) dnů,
– nakonec jej prodáme.
• Účelem je sestavit portfolio tak, aby
– kapitálový výnos = (prodejní cena − nákupní cena) byl maximální
– riziko („volatilita“, kolísání ceny), tj. riziko ztráty, bylo minimální
EMM9 5
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Rozhodneme se, jak dlouho budeme portfolio držet.
• Nechť 𝑁 označuje počet obchodních dnů, po které
budeme portfolio držet.
• Současně vybereme aktiva (akcie), která do portfolia
budeme zařazovat.
• Nechť 𝑀 označuje počet aktiv zařazených do portfolia.
• Když aktiva v portfoliu označíme čísly 1, 2, … , 𝑀, tak
úkolem je nalézt poměry, tj. relativní zastoupení
𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 aktiv v portfoliu. Zde 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 ≥ 0 a
𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍 𝑀 = 1.
EMM9 6
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Sledujeme relativní kapitálový výnos aktiv č. 1, 2, … , 𝑀
během stanoveného období 𝑁 obchodních dnů.
• Relativní (kapitálový) výnos 𝑖-tého aktiva (𝑖 = 1, 2 … , 𝑀)
za 𝑁 obchodních dnů je
𝑋𝑖 =
𝐶𝑖,𝐷+𝑁 − 𝐶𝑖,𝐷
𝐶𝑖,𝐷
kde
𝐶𝑖,𝐷 = tržní cena 𝑖-tého aktiva obchodního dne 𝐷
𝐶𝑖,𝐷+𝑁 = tržní cena 𝑖-tého aktiva obchodního dne 𝐷 + 𝑁,
tj. za 𝑁 obchodních dnů po dni 𝐷
EMM9 7
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Relativní (kapitálový) výnos 𝑖-tého aktiva (𝑖 = 1, 2 … , 𝑀)
za 𝑁 obchodních dnů
𝑋𝑖 =
𝐶𝑖,𝐷+𝑁 − 𝐶𝑖,𝐷
𝐶𝑖,𝐷
chápeme jako náhodnou veličinu.
• Její očekávanou (střední) hodnotu označíme 𝑅𝑖 nebo 𝜇𝑖,
tj.
𝑅𝑖 = 𝜇i = E 𝑋𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
EMM9 8
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Když 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 je relativní zastoupení aktiv č. 1, 2 … , 𝑀
v portfoliu, potom relativní kapitálový výnos celého portfolia
za 𝑁 obchodních dnů je
𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 𝑋𝑖 = 𝑍1 𝑋1 + 𝑍2 𝑋2 + ⋯ + 𝑍 𝑀 𝑋 𝑀
(náhodná veličina), a její střední (očekávaná) hodnota je
𝑅PF = 𝜇 𝑋PF
= E 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 𝑅𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖E 𝑋𝑖
EMM9 9
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Chceme najít relativní zastoupení 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 aktiv
č. 1, 2 … , 𝑀 tak, aby
𝑅PF = 𝜇 𝑋PF
= E 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 𝑅𝑖 ⟶ max
• Současně riziko (volatilitu) chceme → min.
• Riziko (volatilitu) lze definovat (měřit) různými způsoby.
• Oblíbenou mírou rizika je také směrodatná odchylka
(odmocnina z rozptylu).
EMM9 10
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Připomeňme, že rozptyl náhodné veličiny 𝑋 je
Var 𝑋 = 𝜎 𝑋
2
= E 𝑋 − E 𝑋 2
• a směrodatná odchylka je
𝜎 𝑋 = Var 𝑋 = 𝜎 𝑋
2
• Kovariance dvou náhodných veličin 𝑋 a 𝑌 je
cov 𝑋, 𝑌 = 𝜎 𝑋𝑌 = E 𝑋 − E 𝑋 𝑌 − E 𝑌
EMM9 11
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Když 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 je relativní zastoupení aktiv č. 1, 2 … , 𝑀
v portfoliu, potom rozptyl relativního kapitálového výnosu
celého portfolia za 𝑁 obchodních dnů je
Var 𝑋PF = 𝜎 𝑋PF
2
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝑍𝑖 × cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 × 𝑍𝑗
• a riziko portfolia tudíž je
𝜎 𝑋PF
= Var 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗
EMM9 12
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Shrnuto, řešíme dvojkriteriální optimalizační úlohu
𝑅PF = 𝜇 𝑋PF
= E 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
𝜎 𝑋PF
= Var 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ⟶ min
za podmínek
𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍 𝑀 = 1 a 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 ≥ 0
EMM9 13
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Potíž: Neznáme očekávané relativní výnosy
𝑅𝑖 = 𝜇𝑖 = E 𝑋𝑖 jednotlivých aktiv (𝑖 = 1, 2, … , 𝑀),
ani jejich vzájemné kovariance 𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
= cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗
pro 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑀.
• Jak tato data získáme?
• → Metodou historických dat (historickou metodou).
• Potřebujeme získat
(bodové) odhady ത𝑅𝑖 = Ƹ𝜇𝑖 jejich středních hodnot a
(bodové) odhady 𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
= ො𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
jejich kovariancí.
EMM9 14
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Když portfolio chceme nakoupit dne 𝐷, držet
jej 𝑁 obchodních dnů, a pak jej prodat, tak…
• …zvolíme historické období 𝑇 obchodních dnů
předcházejících obchodnímu dni 𝐷.
• Přitom volíme 𝑇 ≫ 𝑁, tj. mnohem vyšší než 𝑁.
• Nechť 𝑐𝑖𝑡 označuje tržní cenu 𝑖-tého aktiva v obchodním
dni 𝑡 = 𝐷 − 𝑇, 𝐷 − 𝑇 + 1, 𝐷 − 𝑇 + 2, … , 𝐷
EMM9 15
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9 16
• Když 𝑐𝑖𝑡 označuje tržní cenu 𝑖-tého aktiva v obchodním
dni 𝑡, pak
𝑥𝑖𝑡 =
𝑐𝑖𝑡 − 𝑐𝑖𝑡−𝑁
𝑐𝑖𝑡−𝑁
pro 𝑡 = 𝐷 − 𝑇 + 𝑁, … , 𝐷
je realizace náhodné veličiny 𝑋𝑖 v obchodním dni /
okamžiku / čase 𝑡 = 𝐷 − 𝑇 + 𝑁, … , 𝐷.
• Pak bodový odhad ത𝑅𝑖 = Ƹ𝜇𝑖 střední hodnoty 𝜇𝑖 = E 𝑋𝑖
náhodné veličiny 𝑋𝑖 získáme jako aritmetický / výběrový
průměr (sample mean) těchto realizací:
ത𝑅𝑖 =
1
𝑇 − 𝑁 + 1
෍
𝑡=𝐷−𝑇+𝑁
𝐷
𝑥𝑖𝑡
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9 17
• Pak bodový odhad ത𝑅𝑖 = Ƹ𝜇𝑖 střední hodnoty 𝜇𝑖 = E 𝑋𝑖
náhodné veličiny 𝑋𝑖 získáme jako aritmetický / výběrový
průměr (sample mean) těchto realizací:
ത𝑅𝑖 =
1
𝑇 − 𝑁 + 1
෍
𝑡=𝐷−𝑇+𝑁
𝐷
𝑥𝑖𝑡
• A bodový odhad 𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
= ො𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
kovariance 𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
náhodných veličin 𝑋𝑖 a 𝑋𝑗 získáme jako výběrovou
kovarianci (sample covariance) těchto realizací:
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
=
1
𝑇 − 𝑁
෍
𝑡=𝐷−𝑇+𝑁
𝐷
𝑥𝑖𝑡 − ത𝑅𝑖 𝑥𝑗𝑡 − ത𝑅𝑗
= cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Tudíž, když 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 jsou relativní zastoupení aktiv
v portfoliu, potom odhad střední (očekávané) hodnoty
𝑅PF = 𝜇 𝑋PF
= E 𝑋PF = σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 𝑅𝑖 náhodné veličiny 𝑋PF
(relativní kapitálový výnos celého portfolia za 𝑁 obchodních
dnů) je
ത𝑅PF = Ƹ𝜇 𝑋PF
= ෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖
ത𝑅𝑖
EMM9 18
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• …a, když 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 jsou relativní zastoupení aktiv
v portfoliu, potom odhad rozptylu Var 𝑋PF = 𝜎 𝑋PF
2
náhodné veličiny 𝑋PF (relativní kapitálový výnos
celého portfolia za 𝑁 obchodních dnů) je
𝑠 𝑋PF
2
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝑍𝑖 × 𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
× 𝑍𝑗
• a odhad rizika portfolia je
𝑠 𝑋PF
= 𝑠 𝑋PF
2
EMM9 19
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
• Shrnutí: Řešíme přibližnou úlohu
dvojkriteriálního programování
ത𝑅PF = Ƹ𝜇 𝑋PF
= ෍
𝑖=1
𝑀
ത𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
𝑠 𝑋PF
= ො𝜎 𝑋PF
= 𝑠 𝑋PF
2
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ⟶ min
za podmínek
𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍 𝑀 = 1 a 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 ≥ 0
EMM9 20
KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
Poznámka: Když
𝑺 =
𝑠 𝑋1 𝑋1
𝑠 𝑋1 𝑋2
… 𝑠 𝑋1 𝑋 𝑀
𝑠 𝑋2 𝑋1
𝑠 𝑋2 𝑋2
… 𝑠 𝑋2 𝑋 𝑀
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑠 𝑋 𝑀 𝑋1
𝑠 𝑋 𝑀 𝑋2
… 𝑠 𝑋 𝑀 𝑋 𝑀
resp. 𝒁 =
𝑍1
𝑍2
⋮
𝑍 𝑀
je matice výběrových kovariancí resp. vektor relativních
zastoupení aktiv v portfoliu, pak
𝑠 𝑋PF
2
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 = ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝑍𝑖 𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑗 = 𝒁T 𝑺𝒁
tj. součin matic.
EMM9 21
EMM9 22
Příklad 1.
Data: Ceny 3 akcií na PBCP
………………………..
………………………………………
t = 31,32,..., 69 i = CTV, CEZ, KOBA
Ceny akcií (denní, Kč):
datum CETV CEZ KOBA
1 1 856,00 1 059,00 4 266,00
2 1 913,00 1 072,00 4 108,00
3 1 905,00 1 094,00 4 108,00
4 1 868,00 1 182,00 4 072,00
5 1 860,00 1 186,00 3 987,00
65 1 968,00 1 360,00 4 303,00
66 2 034,00 1 334,00 4 373,00
67 2 032,00 1 308,00 4 328,00
68 2 036,00 1 254,00 4 396,00
69 2 021,00 1 228,00 4 343,00
67 -0,0193 0,0299 0,0084
68 0,0000 -0,0361 0,0464
69 -0,0208 -0,0856 0,0452
Průměry: 0,0563 0,1305 0,0122
Rozptyly: 0,0065 0,0078 0,0016
Sm.odchylky: 0,0805 0,0885 0,0401
CETV CEZ KOBA
Relativní výnosy akcií (30-denní):
datum CETV CEZ KOBA
31 0,1067 0,2077 -0,0063
32 0,0784 0,1828 0,0326
33 0,0777 0,1572 0,0419
34 0,0958 0,0668 0,0548
35 0,0806 0,0497 0,0625
)i(t-
)i(t-it
it
c
-cc
=x
30
30
EMM9 23
Příklad 1. Grafy cen akcií
Ceny akcií CTV, CEZ, KOBA:
0,00
500,00
1 000,00
1 500,00
2 000,00
2 500,00
3 000,00
3 500,00
4 000,00
4 500,00
5 000,00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69
Ceny akcií
CETV CEZ KOBA
24
Příklad 1. Kovariance
Kovariance mezi 2 akciemi vyjadřuje:
„Závislosti mezi jednotlivými akciemi“
 Pozitivní hodnota (růst vers. růst, pokles vers. pokles)
 Negativní hodnota (růst vers. pokles, pokjles vers. růst)
 Matice výběrových kovariancí: S = {sij}
 Funkce v Excelu: =COVARIANCE.S(A;B), např. =COVARIANCE.S(I3:I41;I3:I41)
kovariance:
CTV CEZ KOBA
CTV 0,00648 -0,00182 0,00033
CEZ -0,00182 0,00783 -0,00201
KOBA 0,00033 -0,00201 0,00161
rozptyly
Výběrové
EMM9 25
Příklad 1. Kovariance, korelační koeficient,
variance (rozptyl)…
Kovariance výběrová:
 matematicky: sXY
 v Excelu: =COVARIANCE.S(A;B)
A, B – oblasti stejného typu, např. A=a1:a5, B=b1:b5
Variance (rozptyl) výběrový:
 matematicky: 𝑠 𝑋
2
 V Excelu: =VAR.S(A)
výběrová směrodatná odchylka: 𝑠X
V Excelu: =SMODCH.VÝBĚR.S(A), =ODMOCNINA(VAR.S(A))
EMM9 26
Příklad 1. Kovariance, korelační koeficient,
variance (rozptyl)
Korelace:
 matematicky: ρXY
 v Excelu: =CORREL(A;B)
A, B – oblasti stejného typu, např. A=a1:a5, B=b1:b5
Vztah mezi kovariancí a korelací:
 matematicky: ρXY =
σXY
σX σY
Platí: -1 ≤ ρXY ≤ 1
EMM9 27
Příklad 1. Očekávaný (střední) výnos PF
E 𝑋PF = Σ 𝑅𝑖 𝑍𝑖
kde
𝑅𝑖 – očekávaný výnos (průměr) i-té akcie: i = 1, 2, 3
(tj. CTV, CEZ, KOBA)
𝑍𝑖 – podíl i-té akcie v PF
Konkrétně:
ത𝑅PF = 0,0563.𝑍1+0,1305. 𝑍2+0,0122. 𝑍3
Např. při stejných podílech akcií v PF: 𝑍𝑖 = 0,333 (i = 1, 2, 3)
ത𝑅PF = 0,0563.0,333+0,1305.0,333+0,0122.0,333 = 0,0663
tj. odhad očekávaného výnosu PF = 6,63%
EMM9 28
Příklad 1. Riziko PF
Riziko PF = směrodatná odchylka PF: σPF
kde
Var(PF) – rozptyl (variance) PF
Maticová symbolika (pozor, v Excelu fce: =SOUČIN.MATIC)
kde Z = (Z1, Z2,Z3) je vektor podílů akcií v PF
S – matice výběrových kovariancí
σPF = √Var(PF) =√ΣΣσ𝑖𝑗 𝑍𝑖 𝑍𝑗
s PF = √ZTS Z
EMM9 33
Příklad 2.
Počet AK: M = 4
Počet údajů čas. řad: T = 32
Počet čas. intervalů trvání PF: N = 5
Tržní ceny akcií na PBCP
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40
t
CenaKč
A
B
C
D
EMM9 34
Příklad 2.
Výpočet (relativních) výnosů AK =
pozorování – realizace náhodné veličiny:
𝑥𝑖𝑡 =
𝑐𝑖𝑡 − 𝑐𝑖 𝑡−5
𝑐𝑖 𝑡−5
pro 𝑡 = 6, 7, … , 32
a pro 𝑖 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
EMM9 35
Příklad 2.
5-tidenní výnosy [%]:
t A B C D
6 0,086 0,059 0,096 0,280
7 0,591 0,313 0,218 0,040
8 0,224 0,140 0,252 -0,022
9 0,080 0,103 0,330 -0,004
10 -0,003 0,057 0,374 0,068
11 0,313 0,140 0,283 0,000
12 -0,314 -0,036 0,154 -0,043
13 -0,352 0,061 0,138 -0,100
14 -0,191 0,017 0,188 -0,109
15 -0,246 0,029 0,055 -0,077
16 -0,302 -0,012 0,183 -0,085
17 -0,048 0,016 0,105 0,000
18 0,074 0,037 0,076 0,025
19 -0,087 0,025 -0,025 -0,010
20 0,035 0,000 -0,297 -0,015
21 0,045 -0,008 -0,277 -0,015
22 -0,051 0,000 -0,209 -0,015
23 -0,170 -0,028 -0,232 -0,079
24 -0,017 -0,016 -0,224 -0,059
25 0,089 -0,036 0,074 -0,030
26 0,261 0,009 0,267 -0,089
27 0,434 -0,024 0,231 -0,041
28 0,454 -0,012 0,223 0,027
29 0,364 -0,002 0,238 0,089
30 0,379 0,008 0,312 0,082
31 0,103 0,023 0,144 0,190
32 0,024 0,055 0,121 0,198
Průměry: 0,066 0,034 0,104 0,008
Tržní ceny cit akcií na PBCP:
Č.obch.dne= t A B C D
1 221 1010 187 175
2 208 960 197 199
3 290 1000 202 225
4 301 1070 200 230
5 302 1140 211 206
6 240 1070 205 224
7 331 1260 240 207
8 355 1140 253 220
9 325 1180 266 229
10 301 1205 290 220
11 315 1220 263 224
12 227 1215 277 198
13 230 1210 288 198
14 263 1200 316 204
15 227 1240 306 203
16 220 1205 311 205
17 216 1235 306 198
18 247 1255 310 203
19 240 1230 308 202
20 235 1240 215 200
21 230 1195 225 202
22 205 1235 242 195
23 205 1220 238 187
24 236 1210 239 190
25 256 1195 231 194
26 290 1206 285 184
27 294 1205 298 187
28 298 1205 291 192
29 322 1208 296 207
30 353 1204 303 210
31 320 1234 326 219
32 301 1271 334 224
Očekávané
rel. výnosy
(odhady)
0860
221
221240
6 ,
-
=xA
)i(t-
)i(t-it
it
c
-cc
=x
5
5
059,0
1010
10101070
6 
-
=xB
096,0
187
187205
6 
-
=xC
280,0
175
175224
6 
-
=xD
relativní
EMM9 36
Příklad 2.
Výpočet odhadu kovarianční matice =
výpočet matice 𝑺 = 𝑠𝑖𝑗 výběrových kovariancí
𝑠𝑖𝑗 =
1
26
෍
𝑡=6
32
𝑥𝑖𝑗 − ത𝑅𝑖 𝑥𝑗𝑡 − ത𝑅𝑗 pro 𝑖, 𝑗 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
kde
ത𝑅𝑖 =
1
27
෍
𝑡=6
32
𝑥𝑖𝑡 pro 𝑖 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
EMM9 37
Příklad 2.
Matice výběrových kovariancí
Odhady rizik akcií
(výběrové rozptyly)
0,0598 0,0070 0,0169 0,0080
0,0070 0,0051 0,0050 0,0013
0,0169 0,0050 0,0361 0,0032
0,0080 0,0013 0,0032 0,0086
EMM9 38
2. KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
- Expertní přístup
Historický přístup nemusí respektovat očekávání
investorů pro budoucnost!!!
𝑛e - počet expertů
𝑐𝑖 - TC 𝑖-tého AK v okamžiku vzniku PF
𝑒𝑖𝑘 - TC 𝑖-tého AK v okamžiku realizace PF
stanovená 𝑘-tým expertem
𝑑𝑖𝑘 - dividendy a další požitky z 𝑖-tého AK
během trvání PF stanovené 𝑘-tým expertem
EMM9 39
2. KLASICKÝ MODEL PF
Expertní přístup …
- relativní výnos i-tého AK v okamžiku
realizace PF stanovená k-tým expertem
- experty očekávaný relativní výnos
i-tého AK v okamžiku realizace PF
- odhad experty očekávaného
relativního výnosu PF
𝑦𝑖𝑘 =
𝑒𝑖𝑘 + 𝑑𝑖𝑘 − 𝑐𝑖
𝑐𝑖
𝑅𝑖
e
=
1
𝑛e
෍
𝑘=1
𝑛e
𝑦𝑖𝑘
𝑅PF
e
= ෍
𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖
e
𝑍𝑖
Expertní odhad rizika PF:
- expertní odhad kovariance
- expertní odhad rizika
relativního výnosu PF
Poznámka:
V případě malého počtu expertů 𝑛e je možné
použít pro výpočet rizika historického přístupu.
EMM9 41
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
e
=
1
𝑛e
෍
𝑘=1
𝑛e
𝑦𝑖𝑘 − 𝑅𝑖
e
𝑦𝑗𝑘 − 𝑅𝑗
e
𝑠 𝑋PF
e
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝑠𝑖𝑗
e
𝑍𝑖 𝑍𝑗
ÚLOHA OPTIMALIZACE PORTFOLIA
Markowitzův a Sharpeho model
• riziko
𝑠 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ⟶ min → Markowitzův
model
• výnos
ത𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀 ത𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max → Sharpeho
model
za podmínek
𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍 𝑀 = 1 a 𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍 𝑀 ≥ 0
EMM9 42
Markowitzův model
(zadaná úroveň výnosu a minimalizace rizika)
𝑠 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ⟶ min
z.p.
ത𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀 ത𝑅𝑖 𝑍𝑖 ≥ 𝑐
σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde 𝑐 je zadaný požadovaný (kladný) relativní výnos PF,
𝑑𝑖, ℎ𝑖 jsou nezáporné (kladné) konstanty (úrovně).
EMM9 43
Sharpeho model
(zadaná úroveň rizika a maximalizace výnosu)
ത𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀 ത𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
z.p.
𝑠 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ≤ 𝑏
σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde 𝑏 je zadaná dovolená (kladná) mez rizika PF,
𝑑𝑖, ℎ𝑖 jsou nezáporné (kladné) konstanty (úrovně).
EMM9 44
Markowitzův a Sharpeho model
(poznámky)
• Pokud některé 𝑑𝑖 < 0, tzv. krátký prodej, tj. aktivum 𝑖 dne 𝐷
prodáme, abychom disponovali větším kapitálem pro
a po realizaci portfolia (dne 𝐷 + 𝑁) jej koupíme zpět, potom
jde o Tobinův model PF.
• Pokud mezi aktivy je i bezrizikové aktivum, tj. 𝜎 𝑋 𝑖0 𝑋 𝑗
= 0
pro 𝑗 = 1, 2, … , 𝑀, kde aktivum 𝑖0 je bezrizikové,
např. dluhopis nebo termínovaný vklad v bance, potom
jde o Blackův model PF.
EMM9 45
nákup,
Markowitzův a Sharpeho model
(poznámky)
Riziko portfolia jsme měřili pomocí odhadu směrodatné
odchylky
𝑠 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗
Jiné možnosti měření rizika jsou:
• odhad rozptylu
𝑠 𝑋PF
2
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗
• odhad variačního koeficientu
෠𝑉𝑋PF
=
𝑠 𝑋PF
ത𝑅PF
=
σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝑠 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗
σ𝑖=1
𝑀 ത𝑅𝑖 𝑍𝑖
EMM9 46
EMM9 47
Množina přípustných portfolií
Eficientní množina
RPF
RPF(Z)
 ZPF
PF
 *ZPF
RPF(Z’)
EMM9 48
Množina efektivních (eficientních) portfolií
Eficientní množina
Efektivní množina
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 0,05 0,1 0,15 0,2
riziko
výnosR
0,08
0,05
Minimální riziko PF 8% při zadaném
výnosu 5% - „Markowitz“
Maximální výnos PF 5% při zadaném riziku 8% - „Sharpe“
EMM9 49
Množina eficientních portfolií
c
c0
Rb
b PF
RPF Indiferenční přímka investora
R = k + c0
k - přírůstek R při jednotk. růstu 
c0 - požad. výnos bezrizik. aktiva
Rb - nabízený výnos bezrizik.
aktiva
EMM9 50
Množina eficientních portfolií …
RPF
c
c0
PFb
(R,) = c0
Indiferenční varieta investora
c0 - požad. výnos bezrizik. aktiva
EMM9 51
Příklad 3.
(R,) = log(R/e)
Indiferenční varieta investora:
(R,) = c
log(R/e) = c
R = ec + 
R
ec

●