EMM9
1
Ekonomicko-matematické metody č. 9
Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
přednáší
doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.

EMM9
2
Akciové analýzy
n1. Fundamentální analýza
nPředpokládá se existence vnitřní hodnoty CP  (např. akcie)
nHledání podhodnocených CP (nákup)                       a nadhodnocených CP (prodej)
nGlobální analýza – vlivy makro-agregátů            (HDP, inflace)
nOdvětvová analýza – měří citlivost odvětví na hospodářský cyklus, vládní regulace, sílu odborů,
míru inovací,…
n

EMM9
3
Akciové analýzy
n2. Technická analýza
nPředpokládají se trendy v kurzech CP (bull-bear, akumulační a distribuční fáze)
nPředmětem analýzy jsou časové řady tržních cen CP
nRozpoznávání tvarů – formací ČŘ (vlajky, prapory,
nPoužití matematických modelů, grafických a jiných technických prostředků
n
n3. Psychologická analýza
nPsychologické faktory pohybů kurzů

EMM9
4
Teorie portfolia (PF)
nInvestiční PF – soubor CP (akcií) splňující určité podmínky držený investorem
nVýnos akcie = kapitálový výnos + výnos z dividend
n kapitálový výnos = prodejní cena – nákupní cena
nRiziko akcie = kolísání ceny akcie v čase (volatilita)
n měří se směrodatnou odchylkou
nVýnos (riziko) PF = celkový výnos (celkové riziko) vybrané kombinace CP v PF
nTeorie PF – souhrn metod hledání takové kombinace vybraných CP, která maximalizuje výnos a zároveň
minimalizuje riziko PF

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
Historický přístup
(historická metoda)
•
•
•Úkolem je sestavit „optimální portfolio“ (PF) aktiv (AK), např. akcií.
•Portfolio
–nejdříve nakoupíme,
–potom jej držíme určitý počet (obchodních) dnů,
–nakonec jej prodáme.
•
•Účelem je sestavit portfolio tak, aby
–kapitálový výnos = (prodejní cena − nákupní cena) byl maximální
–riziko („volatilita“, kolísání ceny), tj. riziko ztráty, bylo minimální
EMM9
5

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
6

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
7

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
8

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
9

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
10

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
11

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
12

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
13

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
14

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
15

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
16

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
17

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
18

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
19

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
20

KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL
(historická metoda)
EMM9
21

EMM9
22
Příklad 1.
n Data: Ceny 3 akcií na PBCP
n
n                                                      ………………………..
n
n
n………………………………………
n
n
n
n
n       t = 31,32,..., 69  i = CTV, CEZ, KOBA
Ceny akcií (denní, Kč):
datum
CETV
CEZ
KOBA
1
1 856,00
1 059,00
4 266,00
2
1 913,00
1 072,00
4 108,00
3
1 905,00
1 094,00
4 108,00
4
1 868,00
1 182,00
4 072,00
5
1 860,00
1 186,00
3 987,00
65
1 968,00
1 360,00
4 303,00
66
2 034,00
1 334,00
4 373,00
67
2 032,00
1 308,00
4 328,00
68
2 036,00
1 254,00
4 396,00
69
2 021,00
1 228,00
4 343,00
67
-0,0193
0,0299
0,0084
68
0,0000
-0,0361
0,0464
69
-0,0208
-0,0856
0,0452
Průměry:
0,0563
0,1305
0,0122
Rozptyly:
0,0065
0,0078
0,0016
Sm.odchylky:
0,0805
0,0885
0,0401

CETV
CEZ
KOBA
Relativní výnosy akcií (30-denní):
datum
CETV
CEZ
KOBA
31
0,1067
0,2077
-0,0063
32
0,0784
0,1828
0,0326
33
0,0777
0,1572
0,0419
34
0,0958
0,0668
0,0548
35
0,0806
0,0497
0,0625

EMM9
23
Příklad 1. Grafy cen akcií
n Ceny akcií CTV, CEZ, KOBA:
n
n
n

24
Příklad 1. Kovariance
n Kovariance mezi 2 akciemi vyjadřuje:                „Závislosti mezi jednotlivými akciemi“
nPozitivní hodnota (růst vers. růst, pokles vers. pokles)
nNegativní hodnota (růst vers. pokles, pokjles vers. růst)
n
n
n
n
n
nMatice výběrových kovariancí:  S = {s ij}
nFunkce v Excelu: =COVARIANCE.S(A;B), např. =COVARIANCE.S(I3:I41;I3:I41)
n
kovariance:
CTV
CEZ
KOBA
CTV
0,00648
-0,00182
0,00033
CEZ
-0,00182
0,00783
-0,00201
KOBA
0,00033
-0,00201
0,00161
rozptyly
Výběrové

EMM9
25
Příklad 1. Kovariance, korelační koeficient,
variance (rozptyl)…

EMM9
26
Příklad 1. Kovariance, korelační koeficient,
variance (rozptyl)

EMM9
27
Příklad 1. Očekávaný (střední) výnos PF

EMM9
28
Příklad 1. Riziko PF
n Riziko PF = směrodatná odchylka PF: σPF
n
n
n
nkde
nVar(PF) – rozptyl (variance) PF
nMaticová symbolika (pozor, v Excelu fce: =SOUČIN.MATIC)
n
n
nkde Z = (Z1, Z2,Z3) je vektor podílů akcií v PF
nS – matice výběrových kovariancí
n

EMM9
29
1. KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL -  Historický přístup (historická metoda)
• M - počet AKtiv v portfoliu PF (např. akcií)
• N - počet časových jednotek trvání PF
• T - počet čas. jednotek - délka čas. řady N <<< T („N je mnohem menší než T“)
• cit - tržní cena i-tého AK v čase t = 1,2,...,T
• Zi - relativní podíl i-tého AK v PF
• å Zi = 1
• Xi - výnos i-tého AK za dobu N trvání PF
• (náhodná veličina)

EMM9
30
1. KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL - Historický přístup …
• Ri = E(Xi) - očekávaný výnos i-tého AK za dobu N
• (střední hodnota výnosu)
•
• XPF =  å Zi Xi  - výnos PF za dobu N
• (náhodná veličina)
•
• RPF = E(XPF) = å Ri Zi  - očekávaný výnos PF za dobu N
• (střední hodnota výnosu)
•
• xit - realizace náhod. veličiny Xi v čase t t = N+1, N+2,..., T   (výnos i-tého AK v %)

EMM9
31
1. KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL - Historický přístup …
•    - bodový odhad náh. vel. Xi, tj.
•    odhad očekávaného výnosu i-tého AK
•
•          - odhad očekávaného výnosu PF
•
•sij = Cov(Xi,Xj) - kovariance výnosu i-tého a j-tého AK
•
•si2 = sii = Cov(Xi,Xi) = Var(Xi) - rozptyl výnosu i-tého AK
•
•              - riziko výnosu i-tého AK
•
•                            - riziko PF
•

EMM9
32
1. KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL - Historický přístup …
•
•    - odhad kovariance sij
•
•    - odhad rizika výnosu i-tého AK
•       za dobu trvání PF, tj. N
•
•           - odhad rizika výnosu PF
•    za dobu trvání PF, tj. N

EMM9
33
Příklad 2.
• Počet AK: M = 4
• Počet údajů čas. řad: T = 32
• Počet čas. intervalů trvání PF: N = 5
•

EMM9
34
Příklad 2.

EMM9
35
Příklad 2.
Očekávané rel. výnosy
(odhady)
relativní

EMM9
36
Příklad 2.

EMM9
37
Příklad 2.
Matice výběrových kovariancí
Odhady rizik akcií (výběrové rozptyly)

EMM9
38
2. KLASICKÝ STOCHASTICKÝ MODEL - Expertní přístup

EMM9
39
2. KLASICKÝ MODEL PF
 Expertní přístup …
-relativní výnos i-tého AK v okamžiku realizace PF stanovená k-tým expertem
-
-experty očekávaný relativní výnos
i-tého AK v okamžiku realizace PF
-
-odhad experty očekávaného
relativního výnosu PF

EMM9
40
Expertní odhad rizika PF:
• - expertní odhad kovariance
•
•- expertní odhad rizika výnosu
i-tého AK za dobu trvání PF, tj. N
•
•- expertní odhad rizika výnosu PF
•
•
• Poznámka:
• V případě malého počtu expertů ne je možné
• použít pro výpočet rizika historického přístupu

Expertní odhad rizika PF:
EMM9
41

ÚLOHA OPTIMALIZACE PORTFOLIA
Markowitzův a Sharpeho model
EMM9
42

Markowitzův model
(zadaná úroveň výnosu a minimalizace rizika)
EMM9
43

Sharpeho model
(zadaná úroveň rizika a maximalizace výnosu)
EMM9
44

Markowitzův a Sharpeho model
(poznámky)
EMM9
45
nákup,

Markowitzův a Sharpeho model
(poznámky)
EMM9
46

EMM9
47
Množina přípustných portfolií
Eficientní množina
RPF
RPF(Z)
RPF(Z’)

EMM9
48
 Množina efektivních (eficientních) portfolií
Eficientní množina
0,08
0,05
Minimální riziko PF 8% při zadaném výnosu 5% - „Markowitz“
Maximální výnos PF 5% při zadaném riziku 8% - „Sharpe“

EMM9
49
Množina eficientních portfolií
c
c0
Rb
b
RPF
Indiferenční přímka investora

R = ks + c0
k - přírůstek R při jednotk. růstu s
c0 - požad. výnos bezrizik. aktiva
Rb - nabízený výnos bezrizik.    aktiva

EMM9
50
Množina eficientních portfolií …
RPF
c
c0
b
j(R,s) = c0
Indiferenční varieta investora
c0 - požad. výnos bezrizik. aktiva

EMM9
51
Příklad 3.
• j(R,s) =  log(R/es)
•
• Indiferenční varieta investora:
• j(R,s) =  c
• log(R/es) =  c
• R = ec + s
R
ec
s
●