EMM10 1
Ekonomicko-matematické
metody č. 10
Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
přednáší
doc. RNDr. David Bartl, Ph.D.
Úloha optimalizace portfolia
Dvojkriteriální nelineární optimalizační problém
𝑅PF = 𝜇 𝑋PF
= E 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
𝜎 𝑋PF
= Var 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ⟶ min
za podmínek
෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
EMM10 2
Úloha optimalizace portfolia
Dvojkriteriální nelineární optimalizační problém
𝑅PF = 𝜇 𝑋PF
= E 𝑋PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
𝑉𝑋PF
=
Var 𝑋PF
𝑅 𝑃𝐹
=
σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗
σ𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖
⟶ min
za podmínek
෍
𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
EMM10 3
NEBO
Variační koeficient:
Úloha optimalizace portfolia
𝑋𝑖 = rel. výnos 𝑖-tého aktiva (akcie) = náhodná veličina
E 𝑋𝑖 = střední (očekávaná) hodnota výnosu 𝑖-tého aktiva
𝑅𝑖 = E 𝑋𝑖 – označení
𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖
𝑍𝑖 = relativní podíl 𝑖-tého aktiva v portfoliu (PF)
Přitom platí: σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀 – počet aktiv
𝜎 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
= cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗
Otázka: Jak odhadnout 𝑅𝑖 a 𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
?
!!!Vše se vztahuje na časový interval trvání PF!!!
EMM10 4
Markowitzův model
(zadaná úroveň výnosu a minimalizace rizika)
𝜎 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ⟶ min
z.p.
𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ≥ 𝑐
σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde 𝑐 je zadaný požadovaný (kladný) relativní výnos PF,
𝑑𝑖, ℎ𝑖 jsou nezáporné (kladné) konstanty (úrovně).
EMM10 5
Sharpeho model
(zadaná úroveň rizika a maximalizace výnosu)
𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
z.p.
𝜎 𝑋PF
= σ𝑖=1
𝑀 σ 𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 ≤ 𝑏
σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde 𝑏 je zadaná dovolená (kladná) mez rizika PF,
𝑑𝑖, ℎ𝑖 jsou nezáporné (kladné) konstanty (úrovně).
EMM10 6
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Nevýhodou klasického stochastického modelu je nutnost
počítat kovarianční matici, která může být velká, když
počet 𝑀 uvažovaných akcií (aktiv) v portfoliu narůstá.
V kovarianční matici je potřeba určit
𝑀2 −
𝑀2 − 𝑀
2
=
𝑀2 − 𝑀
2
+ 𝑀 =
𝑀2 + 𝑀
2
kovariancí aktiv.
Namísto toho uvažujeme, že relativní výnos aktiva závisí
na nějakém faktoru akciového trhu.
EMM10 7
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Jednoindexový (jednofaktorový) model:
Faktor = celý kapitálový trh,
reprezentovaný jedním indexem,
např. index PX, index RM, Dow Jones index,
indexy NASDAQ aj.
Předpokládáme, že pro relativní výnos 𝑖-tého aktiva platí
vztah
𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde
𝛼𝑖, 𝛽𝑖 ∈ ℝ – jsou vhodné konstanty,
𝐹 – vysvětlující náh. veličina (faktor / index
𝜀𝑖 – náhodná chyba (náhodný vliv)
EMM10 8
trhu)
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Předpokládáme, že pro relativní výnos 𝑖-tého aktiva platí
vztah
𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
Dále předpokládáme, že:
cov 𝐹, 𝜀𝑖 = 0 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
E 𝜀𝑖 = 0 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
cov 𝜀𝑖, 𝜀𝑗 = 0 pro 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑀, 𝑖 ≠ 𝑗
EMM10 9
(I)
(II)
(III)
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Ze vztahu
𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖
pak pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀 můžeme odvodit:
cov 𝐹, 𝑋𝑖 = cov 𝐹, 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖 =
= cov 𝐹, 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖cov 𝐹, 𝐹 + cov 𝐹, 𝜀𝑖 =
= 0 + 𝛽𝑖Var 𝐹 + 0 =
= 𝛽𝑖Var 𝐹
𝛽𝑖 =
cov 𝐹, 𝑋𝑖
Var 𝐹
pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
EMM10 10
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Ze vztahu
𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖
pak pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀 můžeme odvodit:
E 𝑋𝑖 = E 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖 =
= E 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖E 𝐹 + E 𝜀𝑖 =
= 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖E 𝐹 + 0 =
= 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖E 𝐹
𝛼𝑖 = E 𝑋𝑖 − 𝛽𝑖E 𝐹 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
EMM10 11
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Máme tudíž
𝑅𝑖 = E 𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖E 𝐹 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
a očekávaný relativní výnos portfolia je
𝑅PF = ෍
𝑖=1
𝑀
𝛼𝑖 + 𝛽𝑖E 𝐹 𝑍𝑖 =
= ෍
𝑖=1
𝑀
E 𝑋𝑖 𝑍𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
EMM10 12
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Dále ze vztahu
𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖
pro 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑀 můžeme odvodit:
cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = cov 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝐹 + 𝜀𝑗 =
= + cov 𝛼𝑖, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗cov 𝛼𝑖, 𝐹 + cov 𝛼𝑖, 𝜀𝑗 +
= + 𝛽𝑖cov 𝐹, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑖 𝛽𝑗cov 𝐹, 𝐹 + 𝛽icov 𝛼𝑖, 𝜀𝑗 +
= + cov 𝜀𝑖, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗cov 𝜀𝑖, 𝐹 + cov 𝜀𝑖, 𝜀𝑗 =
EMM10 13
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = cov 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝐹 + 𝜀𝑗 =
= + cov 𝛼𝑖, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗cov 𝛼𝑖, 𝐹 + cov 𝛼𝑖, 𝜀𝑗 +
= + 𝛽𝑖cov 𝐹, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑖 𝛽𝑗cov 𝐹, 𝐹 + 𝛽icov 𝛼𝑖, 𝜀𝑗 +
= + cov 𝜀𝑖, 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗cov 𝜀𝑖, 𝐹 + cov 𝜀𝑖, 𝜀𝑗 =
= + 0 + 0 + 0 +
= + 0 + 𝛽𝑖 𝛽𝑗Var 𝐹 + 0 +
= + 0 + 0 + cov 𝜀𝑖, 𝜀𝑗 =
= 𝛽𝑖 𝛽𝑗Var 𝐹 + cov 𝜀𝑖, 𝜀𝑗 =
= ൝
𝛽𝑖
2
Var 𝐹 + Var 𝜀𝑖 𝑖 = 𝑗
𝛽𝑖 𝛽𝑗Var 𝐹 𝑖 ≠ 𝑗
EMM10 14
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Máme tudíž
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
= cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 = ൝
𝛽𝑖
2
Var 𝐹 + Var 𝜀𝑖 𝑖 = 𝑗
𝛽𝑖 𝛽𝑗Var 𝐹 𝑖 ≠ 𝑗
Tudíž čtverec rizika portfolia je
𝜎 𝑋PF
2
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 =
= Var 𝐹 ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝑍𝑖 𝑍𝑗 + ෍
𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
=
EMM10 15
pro 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑀
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Tudíž čtverec rizika portfolia je
𝜎 𝑋PF
2
= ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝜎 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗
𝑍𝑖 𝑍𝑗 =
= Var 𝐹 ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝑍𝑖 𝑍𝑗 + ෍
𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
=
= Var 𝐹 ෍
𝑖=1
𝑀
𝛽𝑖 𝑍𝑖 ෍
𝑗=1
𝑀
𝛽𝑗 𝑍𝑗 + ෍
𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
=
EMM10 16
Faktorové modely
(lineární) závislost relativního výnosu aktiva na zadaném faktoru-indexu F
Tudíž čtverec rizika portfolia je
𝜎 𝑋PF
2
= Var 𝐹 ෍
𝑖=1
𝑀
෍
𝑗=1
𝑀
𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝑍𝑖 𝑍𝑗 + ෍
𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
=
= Var 𝐹 ෍
𝑖=1
𝑀
𝛽𝑖 𝑍𝑖 ෍
𝑗=1
𝑀
𝛽𝑗 𝑍𝑗 + ෍
𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
=
= Var 𝐹 ෍
𝑖=1
𝑀
𝛽𝑖 𝑍𝑖
2
+ ෍
𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
⟶ min
EMM10 17
Markowitzův jednoindexový model
(zadaná úroveň výnosu a minimalizace rizika)
𝜎 𝑋PF
= Var 𝐹 σ𝑖=1
𝑀
𝛽𝑖 𝑍𝑖
2
+ σ𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
⟶ min
z.p.
𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ≥ 𝑐
σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde 𝑐 je zadaný požadovaný (kladný) relativní výnos PF,
𝑑𝑖, ℎ𝑖 jsou nezáporné (kladné) konstanty (úrovně).
EMM10 18
Sharpeho jednoindexový model
(zadaná úroveň rizika a maximalizace výnosu)
𝑅PF = σ𝑖=1
𝑀
𝑅𝑖 𝑍𝑖 ⟶ max
z.p.
𝜎 𝑋PF
= Var 𝐹 σ𝑖=1
𝑀
𝛽𝑖 𝑍𝑖
2
+ σ𝑖=1
𝑀
Var 𝜀𝑖 𝑍𝑖
2
≤ 𝑏
σ𝑖=1
𝑀
𝑍𝑖 = 1
𝑑𝑖 ≤ 𝑍𝑖 ≤ ℎ𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
kde 𝑏 je zadaná dovolená (kladná) mez rizika PF,
𝑑𝑖, ℎ𝑖 jsou nezáporné (kladné) konstanty (úrovně).
EMM10 19
Systematické a nesystematické riziko
portfolia a aktiv
Předpokládajíce (I)–(III) a že pro relativní výnos 𝑖-tého AK
platí vztah 𝑋𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐹 + 𝜀𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
již víme, že
𝛽𝑖 =
cov 𝐹, 𝑋𝑖
Var 𝑋𝑖
pro 𝑖 = 1, 2, … , 𝑀
a
Var 𝑋𝑖 = cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑖 = 𝛽𝑖
2
Var 𝐹 + Var 𝜀𝑖
Zde:
Var 𝐹 = systematické riziko trhu
Var 𝑋𝑖 = celkové riziko 𝑖-tého AK
𝛽𝑖 = koeficient „beta“ 𝑖-tého AK
𝛽𝑖
2
Var 𝐹 = systematické riziko 𝑖-tého AK
Var 𝜀𝑖 = nesystematické riziko 𝑖-tého AK
EMM10 20
∗
∗∗
∗∗∗
Jednoindexový model:
Postup při výpočtu optimálního portfolia
(„historická“ metoda)
(Použití Excel-Solveru pro CP na BCPP)
1. Výběr vhodných AK v počtu 𝑀
(např. CP obchodovaných na PBCP)
a vhodného indexu 𝐹 (např. 𝐹 = PX)
2. Volba časového intervalu 𝑁 trvání PF
a délky 𝑇 testovacích časových řad
(cen 𝑐𝑖𝑡 vybraných AK), přitom 𝑇 ≫ 𝑁
3. Výpočet relativních kapitálových výnosů 𝑋𝑖
vybraných AK a relativních změn indexu 𝐹
EMM10 21
Jednoindexový model:
Postup při výpočtu optimálního portfolia
(„historická“ metoda)
4. Výpočet odhadů statistických charakteristik 𝑋𝑖 a 𝐹:
𝑅𝑖 = E 𝑋𝑖 , Var 𝑋𝑖 , Var 𝐹 , cov 𝐹, 𝑋𝑖
(výběrový průměr, výběrové rozptyly a výběrová
kovariance, na základě historických dat;
popř. na základě odhadu expertů).
5. Výpočet odhadů 𝛽𝑖 a 𝛼𝑖 ze vztahů ∗∗ a ∗ :
𝛽𝑖 =
cov 𝐹, 𝑋𝑖
Var 𝐹
𝛼𝑖 = E 𝑋𝑖 − 𝛽𝑖E 𝐹
EMM10 22
Jednoindexový model:
Postup při výpočtu optimálního portfolia
(„historická“ metoda)
6. Výpočet odhadu Var 𝜀𝑖 ze vztahu ∗∗∗ :
Var 𝜀𝑖 = Var 𝑋𝑖 − 𝛽𝑖
2
Var 𝐹 =
= Var 𝑋𝑖 −
cov 𝑋𝑖, 𝐹
Var 𝐹
2
Var 𝐹 =
= Var 𝑋𝑖 −
cov2 𝑋𝑖, 𝐹
Var 𝐹
EMM10 23
Jednoindexový model:
Postup při výpočtu optimálního portfolia
(„historická“ metoda)
7. Ověření platnosti předpokladů modelu (I) až (III)
(obvykle se vynechává).
8. Zadání hodnot 𝑐, resp. 𝑏, 𝑑𝑖, ℎ𝑖 a výpočet optimálního
složení portfolia 𝑍𝑖
opt
pomocí Markowitzova, resp.
Sharpeho, modelu s použitím modulu Solver v Excelu.
EMM10 24Priklad IND
Poznámky 1: Historická metoda
• Slouží k hodnocení portfolia za minulé (historické)
období.
• Pro sestavování portfolia do budoucnosti je vhodná tam,
kde se očekává stacionární vývoj cen.
• Očekávané hodnoty jsou vypočteny za období, v němž
jsou známy hodnoty uvažovaných časových řad:
E 𝑋𝑖 Var 𝑋𝑖 Var 𝐹 cov 𝑋𝑖, 𝐹
EMM10 25
Poznámky 2: Historická metoda
• Není potřeba znát celou kovarianční matici
𝑺 = cov 𝑋𝑖, 𝑋𝑗 — má 𝑀2 prvků — stačí znát pouze
vektor cov 𝑋𝑖, 𝐹 — má 𝑀 prvků!
• Markowitzův model:
Optimální portfolio minimalizuje očekávané (tj. střední)
riziko při zadané úrovni očekávaného výnosu.
• Sharpeho model:
Optimální portfolio maximalizuje očekávaný (tj. střední)
výnos při zadané úrovni očekávaného rizika.
EMM10 26
Poznámky 3: Expertní metoda
• Slouží k nalezení optimálního portfolia
pro budoucí období.
• Charakteristiky minulého období
E 𝑋𝑖 Var 𝑋𝑖 Var 𝐹 cov 𝑋𝑖, 𝐹
se nahradí odhady, tj. prognózovanými,
resp. expertními hodnotami, získanými
prognostickými metodami.
• Modifikovaný historický přístup:
Pouze některé z hodnot ∗ se nahradí odhady
(obvykle výnosy E 𝑋𝑖 a/nebo riziko Var 𝑋𝑖 ).
EMM10 27
∗
EMM10 28
Úloha optimalizace portfolia
Dvojkriteriální úloha Matemat. programování
RPF = Ri Zi  MAX; (1)
PF =  ij Zi Zj  MIN; (2)
za podmínek
 Zi = 1 (3)
di  Zi  hi i = 1,2,...,M (4)
EMM10 29
Fuzzy množina 1
fuzzy interval
1
0
(x)
x
Fuzzy množina - interval
Funkce příslušnosti k f. množině
EMM10 30
1. metoda fuzzyfikace: Lineární satisfakce
Krok 1. Řešte 2 úlohy LP:
P1max (P1min):
RPF = Ri Zi  MAX (MIN);
za podmínek
 Zi = 1
di  Zi  hi i = 1,2,...,M
Výsledek: Rmax , Rmin
EMM10 31
Fuzzy množina 2
lineární satisfakce
(spokojenost s „velkými“ hodnotami výnosu PF)
1
0 x RPFRmin Rmax
EMM10 32
Lineární satisfakce 2
Krok 2. Řešte 2 úlohy Kvadratického programování:
P2min (P2max):
2
PF =  ij Zi Zj  MIN (MAX);
za podmínek
 Zi = 1
di  Zi  hi , i = 1,2,...,M
Výsledek: max , min
EMM10 33
Fuzzy množina 3
lineární satisfakce
(spokojenost s „malými“ hodnotami rizika PF)
1
0 max PF min
EMM10 34
Lineární satisfakce 3
1
Rmin Rmax
z = (R) =
Krok 3. Vytvořte lineární funkci příslušnosti satisfakce výnosu:
minmax
min
RR
RR


EMM10 35
Lineární satisfakce 4
1
() =
min max
Krok 4. Vytvořte lineární funkci příslušnosti satisfakce rizika:
minmax
max




EMM10 36
Lineární satisfakce 5
min { (Ri Zi) , ( ij Zi Zj) }  MAX;
za podmínek
 Zi = 1
di  Zi  hi , i = 1,2,...,M
Krok 5. Řešte optimalizační úlohu:
EMM10 37
Lineární satisfakce 6
Krok 5*. Ekvivalentní úloha LP:
  MAX;
za podmínek
R = Ri Zi
2 =  ij Zi Zj
 Zi = 1
di  Zi  hi ,i = 1,...,M



minmax
min
RR
RR






minmax
max
minminmax RRRR  )(
maxminmax   )(
EMM10 38
2. metoda fuzzyfikace: Nelineární satisfakce
))((
)(
minexp RR-α
R


1
1
))((
)(




maxexp -1
1
Nelineární funkce příslušnosti satisfakce výnosu i rizika:
Rmin Rmax
min  max
 > 0
 > 0
EMM10 39
Nelineární satisfakce 2
  MIN;
za podmínek
 RiZi +   Rmin
  ijZiZj -   max
 Zi = 1
di  Zi  hi ,i = 1,...,M
Ekvivalentní úloha LP:
(analogicky jako u lineární satisfakce)
EMM10 40
Lineární satisfakce: Příklad
Tržní ceny akcií na PBCP
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 10 20 30 40
t
CenaKč
A
B
C
D
Počet AK: M = 4
Počet údajů čas. řad: T = 32
Počet čas. intervalů trvání PF: N = 5
EMM10 41
Příklad …
5-tidenní výnosy [%]:
t A B C D
6 0,086 0,059 0,096 0,280
7 0,591 0,313 0,218 0,040
8 0,224 0,140 0,252 -0,022
9 0,080 0,103 0,330 -0,004
10 -0,003 0,057 0,374 0,068
11 0,313 0,140 0,283 0,000
12 -0,314 -0,036 0,154 -0,043
13 -0,352 0,061 0,138 -0,100
14 -0,191 0,017 0,188 -0,109
15 -0,246 0,029 0,055 -0,077
16 -0,302 -0,012 0,183 -0,085
17 -0,048 0,016 0,105 0,000
18 0,074 0,037 0,076 0,025
19 -0,087 0,025 -0,025 -0,010
20 0,035 0,000 -0,297 -0,015
21 0,045 -0,008 -0,277 -0,015
22 -0,051 0,000 -0,209 -0,015
23 -0,170 -0,028 -0,232 -0,079
24 -0,017 -0,016 -0,224 -0,059
25 0,089 -0,036 0,074 -0,030
26 0,261 0,009 0,267 -0,089
27 0,434 -0,024 0,231 -0,041
28 0,454 -0,012 0,223 0,027
29 0,364 -0,002 0,238 0,089
30 0,379 0,008 0,312 0,082
31 0,103 0,023 0,144 0,190
32 0,024 0,055 0,121 0,198
Průměry: 0,066 0,034 0,104 0,008
Tržní ceny cit akcií na PBCP:
Č.obch.dne= t A B C D
1 221 1010 187 175
2 208 960 197 199
3 290 1000 202 225
4 301 1070 200 230
5 302 1140 211 206
6 240 1070 205 224
7 331 1260 240 207
8 355 1140 253 220
9 325 1180 266 229
10 301 1205 290 220
11 315 1220 263 224
12 227 1215 277 198
13 230 1210 288 198
14 263 1200 316 204
15 227 1240 306 203
16 220 1205 311 205
17 216 1235 306 198
18 247 1255 310 203
19 240 1230 308 202
20 235 1240 215 200
21 230 1195 225 202
22 205 1235 242 195
23 205 1220 238 187
24 236 1210 239 190
25 256 1195 231 194
26 290 1206 285 184
27 294 1205 298 187
28 298 1205 291 192
29 322 1208 296 207
30 353 1204 303 210
31 320 1234 326 219
32 301 1271 334 224
Očekávané
výnosy
0860
221
221240
6 ,
-
=xA
)i(t-
)i(t-it
it
c
-cc
=x
5
5
EMM10 42
Příklad …
Vektor výnosů a kovarianční matice
Odhady rizik
akcií
(rozptyly)
0,0598 0,0070 0,0169 0,0080
0,0070 0,0051 0,0050 0,0013
0,0169 0,0050 0,0361 0,0032
0,0080 0,0013 0,0032 0,0086
Výnosy: 0,066 0,034 0,104 0,008
Kovariance:
EMM10 43
Příklad …
Krok 1: Rmax = 0,104 Rmin = 0,007
Krok 2: max = 0,190 min = 0,062
lambda:
Zi: 0,622718 0,0010 0,5199 0,4791 0,0000
Krok 5*: Optimální řešení:
fuzzyfikace.xls
EMM10 44
Příklad: Řešení
lineární satisfakce PF
1
0 Rmin min PF= RPF Rmax max
0,62