31
4. Korelace
4.1 	Korelace
Korelační (Pearsonův) koeficient je míra lineárního vztahu mezi dvěma
proměnnými. Značí se obvykle corr (z anglického correlation) či ρ
(ró). Existuje i Spearmanův korelační koeficient, ale vzhledem k tomu,
že Pearsonův korelační koeficient se používá častěji, pracuji v této knize
vždy pouze s Pearsonovým korelačním koeficientem. Korelační koeficient
může nabývat hodnot od −1 do 1. Pozitivní koeficient znamená pozitivní
vztah dvou proměnných (čím více jedné, tím více druhé) a negativní koeficient
znamená negativní vztah (čím více jedné, tím méně druhé). Odhad
korelačního koeficientu se nazývá výběrový korelační koeficient, značí se
r a vypočítá se takto:
x̄ je výběrový průměr X
ȳ je výběrový průměr Y
sx
je výběrová směrodatná odchylka X
sy
je výběrová směrodatná odchylka Y
n je počet pozorování
x1
, x2
, … xn
jsou naměřené hodnoty náhodné veličiny X
y1
, y2
, … yn
jsou naměřené hodnoty náhodné veličiny Y
Vzorec pro korelaci sice vypadá složitě, ale interpretace je jednoduchá –
viz první odstavec této kapitoly.
1
––––
n – 1 ∑
n
i=1
(xi
– x̄ ) ( yi
– -y)
r = ––––––––––––––––––––
sx
sy
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
32
Pokud mezi dvěma proměnnými existuje
přesný pozitivní lineární vztah,
(všechny body leží na přímce s pozitivní
směrnicí y = ax + b, a > 0) pak
je korelace = 1. Říkáme, že mezi proměnnými
existuje dokonalá pozitivní
korelace. Tuto situaci můžeme zobrazit
pomocí bodů ve dvourozměrném
grafu – zde obrázek 4.1.
Obr. 4.1 Korelace = 1.
Příklad 4.1
Představme si, že máme tři děti. Každé z nich vypilo určitý
počet sklenic jablečného džusu. Tímto způsobem do
sebe každé dítě dostalo určité množství cukru. Mezi počtem
sklenic jablečného džusu a příjmem cukru existuje
přesný lineární vztah: čím více sklenic, tím více cukru.
Tuto situaci můžeme zobrazit graficky (obrázek 4.1). Každý
červený bod zastupuje jedno dítě. Hodnota bodů na ose x
zobrazuje počet vypitých sklenic džusu a hodnota bodů
na ose y zobrazuje množství takto přijatého cukru. To, že
body lze spojit rostoucí přímkou, odpovídá korelaci = 1.
Pokud je mezi proměnnými ne úplně
přesný, ale stále pozitivní lineární
vztah (přibližně platí, že čím vyšší je
X, tím vyšší je Y – viz obrázek 4.2),
korelační koeficient je v  intervalu
(0,1). Říkáme, že mezi proměnnými
existuje pozitivní korelace (proměnné
mezi sebou pozitivně korelují).
Obr. 4.2 Hodnota korelace je v intervalu (0,1).
Karl Pearson, podle kterého je pojmenován korelační (Pearsonův) koeficient, byl označován
jako „vášnivý ateista“. Vášnivost se očividně může projevovat různými způsoby.
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
33
Příklad 4.2
Existuje pozitivní korelace (0 < ρ < 1) mezi stářím a  počtem bílých vlasů.
Ovšem není to přesná (dokonalá) korelace s hodnotou 1. Jistě totiž existují
i staří lidé, kteří bílé vlasy nemají (například plešatí penzisté), a také mnoho
mladých lidí, kteří mají bílých vlasů mnoho. Nejedná se o přesný lineární
vztah (viz přímka na obrázku 4.1), ale o přibližný trend (viz obrázek 4.2). Na
obrázku 4.2 by opět každý bod odpovídal jednomu člověku. Hodnota bodů na
ose x by zde měřila věk a hodnota bodů na ose y by měřila počet bílých vlasů.
Pokud je mezi proměnnými přesný
negativní lineární vztah (všechny
body leží na přímce s negativní
směrnicí y = ax + b, a < 0 – viz
obrázek 4.3), korelační koeficient
je −1. Říkáme, že mezi proměnnými
existuje dokonalá negativní
korelace.
Obr. 4.3 Korelace = −1.
Příklad 4.3
Uvažujme situaci, kdy na stole je
100 jablek. Do místnosti přijde
několik hladových Eskymáků a začnou
jablka jíst. Každý eskymák sní
tři jablka. Obrázek 4.3 ukazuje vztah
mezi počtem příchozích eskymáků
a  počtem jablek, které zbydou
po večeři na stole. Hodnota bodů
na ose x ukazuje počet eskymáků
a hodnota bodů na ose y ukazuje
počet zbývajících jablek. Každý červený
bod odpovídá odlišnému počtu
eskymáků a tím pádem různým
počtům zbývajících jablek.
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
34
Pokud je mezi proměnnými ne úplně
přesný, ale stále negativní lineární
vztah (přibližně platí, že čím vyšší je
X, tím nižší je Y – viz obrázek 4.4),
korelační koeficient je v  intervalu
(−1,0). Říkáme, že proměnné mezi sebou
negativně korelují.
Obr. 4.4 Hodnota korelace je v intervalu (−1,0).
Příklad 4.4
Ve věku od 20 do 100 let existuje negativní korelace
mezi stářím a počtem zubů (čím více let,
tím méně zubů). Ovšem není to přesná (dokonalá)
korelace. Jistě totiž existují někteří staří lidé,
kteří mají mnoho zubů (například penzisté mající
vzornou dentální hygienu), a také jistě existují
mladí lidé, kteří mají zubů málo (například někteří
hokejisté). I zde korelační koeficient neukazuje
přesnou závislost, ale pouze přibližný trend.
Pokud mezi proměnnými
není žádný výrazný vztah
(viz obrázek 4.5), korelační
koeficient je blízko
nuly. Říkáme, že proměnné
spolu nekorelují.
Obr. 4.5 Hodnota korelace je přibližně rovna nule.
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
35
Příklad 4.5
Korelace mezi inteligencí (IQ) a spotřebou
kávy (počet šálků denně) je blízká nule. To
odpovídá bodům v  obrázku 4.5. Neexistuje
zde žádný vztah: IQ nemá vliv na spotřebu
kávy a spotřeba kávy nemá vliv na IQ.
Před odletem jsem si v novinách
přečetl, že pravděpodobnost,
že se letadlo zřítí, je
jedna ku jednomu miliónu. To
mi připadalo jako příliš velká
pravděpodobnost na to, abych
letěl. Pak jsem se dal zase
do čtení a přečetl jsem si, že
pravděpodobnost, že v letadle
bude klaun a letadlo se zřítí, je
jedna ku jedné miliardě. Hned
po přečtení jsem si šel koupit
klaunský kostým i letenku.
Korelace nabývá hodnot na intervalu <−1,1>. Korelace téměř nikdy není
přesně rovna nule. Není přesně stanoveno, od jaké velikosti je korelace
významně pozitivní či významně negativní. Pokud máme méně než 20 pozorování,
tak korelace poukazuje na významný vztah přibližně od absolutní
hodnoty vyšší než 0,5 – tzn. při |r| > 0,5. Se zvyšujícím se počtem
pozorování se hraniční hodnota (hodnota, při jejímž dosažení můžeme říct,
že se jedná o významný vztah) snižuje. Např. při 100 pozorováních bude
korelace pravděpodobně významná již při |r| > 0,3. Pokud je pozorování
málo, tak je hodnota velmi nepřesná, a proto na potvrzení významnosti
potřebujeme silný důkaz (velký korelační koeficient). Naopak při velkém
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
36
množství pozorování odpovídá vypočtený koeficient skutečnému stavu
více (s více daty je přesnější) a lze mu tedy dávat vyšší důležitost i při
nižších hodnotách. Pro posouzení, zda je hodnota korelace významná, lze
využít i spe­ciál­ní statistický test.
4.2 	Korelace není kauzalita (vliv)
Hodnota korelace vypovídá pouze o pozorovaném vztahu. Neříká vůbec
nic o kauzalitě (o vlivu).
Příklad 4.6
Existuje pozitivní korelace mezi lidským zdravím a  štěstím. Z  tohoto údaje
ovšem není možné určit směr kauzality vlivu. Zdraví přináší štěstí, anebo
štěstí přináší zdraví? Skutečnost, že existuje pozitivní korelace mezi štěstím
a zdravím, se dá formulovat dvěma způsoby: 1) zdravější lidé jsou šťastnější,
2) šťastnější lidé jsou zdravější. I když z prvního tvrzení mnoho lidí vyvozuje
kauzalitu „zdraví způsobuje štěstí“ a z druhého tvrzení mnoho lidí vyvozuje
kauzalitu „štěstí způsobuje zdraví“, tak obě tato tvrzení jsou ekvivalentní.
Navíc žádné z nich nemluví o kauzalitě (o vlivu) – obě tvrzení popisují totožnou
korelaci. Pokud bychom chtěli popsat vliv, tak bychom museli jedno
z tvrzení přeformulovat – např. na „zdraví přináší štěstí“.
Příklad 4.7
Existuje pozitivní korelace mezi chozením k  psychologovi a  výskytem psychických
nemocí. Tj. lidé, kteří chodí k psychologovi, mají psychické problémy
častěji než lidé, kteří k psychologovi nechodí. Znamená to, že chození k psychologovi
způsobuje psychická onemocnění? Je sice pravda, že existuje mnoho
špatných terapeutů a zařízení, která mohou psychickou nemoc způsobit
(například to mohou být některá uzavřená oddělení psychiatrických léčeben),
ale obecně psychologové psychické problémy zmenšují. Tedy korelace mezi
chozením k psychologovi a psychickými problémy platí téměř jistě proto, že
výskyt psychických těžkostí „způsobuje“ chození k psychologovi. Ovšem samotná
informace, že existuje pozitivní korelace mezi chozením k psychologovi
a výskytem psychických nemocí nám o kauzálním působení (o vlivu) neříká nic.
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
37
Pokud mezi dvěma proměnnými existuje korelace (korelují mezi sebou
buď pozitivně, či negativně), nastává jedna z pěti situací:
1)	Proměnná X (první proměnná) má vliv na proměnnou Y (druhá proměnná)
a ne naopak – kauzální působení X na Y
Příklad 4.8
Existuje pozitivní korelace mezi věkem a počtem vrásek. Věk přináší vrásky
a ne naopak.
2)	Proměnná Y (druhá proměnná) má vliv na proměnnou X (první proměnná)
a ne naopak – kauzální působení Y na X
Příklad 4.9
Existuje negativní korelace mezi tím, jak jsou lidé šťastní a  délkou jejich
každo­denního dojíždění do práce (Zhu, Chen a  kol., 2019). Delší dojíždění
působí lidem nižší štěstí a ne naopak.
3)	Proměnná X má vliv na proměnnou Y a zároveň proměnná Y má vliv
na proměnnou X – kauzální působení X na Y i Y na X
Příklad 4.10
Zdravější lidé jsou častěji ženatí
či vdaní (Yim, Park a kol.,
2012). Býti zdravým způsobuje,
že lidé si častěji najdou partnera
a ožení se s ním, a zároveň
bytí v  manželství přináší
lidem větší zdraví (alespoň
většinou).
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
38
4)	Proměnná X nemá vliv na proměnnou Y, proměnná Y nemá vliv na proměnnou
X a zároveň existuje třetí (skrytá) proměnná Z, která má vliv na
X i Y
Příklad 4.11
Počet bobrů na Vltavě pro poslední roky
pozitivně koreluje s  českým HDP. Počet
bobrů na Vltavě nemá významný vliv na
české HDP a  české HDP nemá významný
vliv na počet bobrů na Vltavě. Korelace
je tu proto, že obě proměnné se zvyšují
v čase (proměnná Z): s časem se zvyšuje,
jak počet bobrů, tak i české HDP (viz obrázek
4.6). Pokud by si zde někdo pletl korelaci
s kauzalitou, pak by pravděpodobně
vysazoval tisíce bobrů na Vltavě s domněním,
že česká ekonomika díky nim zažije
obrovský růst.
5)	Proměnná X nemá vliv na proměnnou Y a proměnná Y nemá vliv na
proměnnou X (žádná kauzalita) a korelace je jen náhodná
Příklad 4.12
Počet obyvatel v České republice vykazuje
v posledních pěti letech pozitivní korelaci
s počtem banánových plantáží v Ekvádoru.
Tato korelace neobsahuje žádnou kauzalitu;
jedná se o pouhou statistickou náhodu.
Tento případ může nastat především
v případech, kdy máme málo pozorování
(zde například pět ročních pozorování).
Málo pozorování totiž neukazuje daný trend přesně.
Špatná interpretace korelace ve formě přisuzování kauzality může vést ke
špatným implikacím a doporučením v reálném světě. To je vidět na příkladech
níže.
Obrázek 4.6 Proměnná X nemá
vliv na proměnnou Y, proměnná
Y nemá vliv na proměnnou X
a zároveň existuje třetí proměnná
Z, která má vliv na X i na Y.
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
39
příKLaD 4.13
V rámci celého světa existuje pozitivní korelace mezi pitím supersladkých
nápojů a zdravím. Způsobuje pití supersladkých nápojů lepší zdraví? Téměř
jistě nikoliv. Ovšem supersladké nápoje pijí více lidé žijící v bohatších zemích.
Právě bohatství a kvalitní zdravotní systém (ne supersladké nápoje)
jim pak přináší lepší zdraví. Bohatství v  průměru přináší vyšší konzumaci
supersladkých nápojů a  lepší zdraví. Korelace mezi supersladkými nápoji
a zdravím platí pouze díky třetí proměnné „bohatství“. Tento příklad tedy
odpovídá výše popsanému typu korelace typ 4, obrázek 4.6. Neporozumění
tomuto statistickému principu může vést k manipulaci. Například obsahem
reklamy by mohla být informace: „Lidé, kteří pijí supersladké nápoje, jsou
zdravější.“ To je sice pravda – korelace (vztah) existuje, ovšem mnoho lidí by
tuto skutečnost pochopilo jako kauzalitu (vliv) a začali by pít supersladké
nápoje pro zlepšení zdraví. Jedná se ale o manipulativní předání informace.
Lidské zdraví by se při pití supersladkých nápojů naopak mohlo zhoršit. Je
možné, že pití supersladkých nápojů zdraví zhoršuje, je možné, že ho zlepšuje
a je také možné, že na něj nemá žádný vliv. Ovšem na základě znalosti
samotné korelace (lidé, kteří pijí supersladké nápoje, jsou zdravější) nemůžeme
o kauzalitě (vlivu) říct vůbec nic. Nemůžeme tedy sdělit ani žádné praktické
doporučení.
Vědci často postupují tak, že po nalezení korelace začnou zkoumat, jaké
vlivy v daném případě působí. Např. po nalezení korelace „supersladké nápo-
je – zdraví“ je vhodné prozkoumat vlivy mezi těmito proměnnými. Statistické
metody, které dokážou určit kauzalitu (vliv), jsou představeny v kapitole 5.
Politik a statistik jedou vlakem Skotskem.
„To je zajímavé,“ říká politik, „všechny skotské
ovce jsou černé!“ „To nemůžete říci,“ odporuje
statistik, „nelze dělat takto uspěchané závěry.
Statisticky vzato jsme právě učinili pozorování,
že několik skotských zvířat vypadajících jako
ovce je z jedné strany černých.“
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com
40
Příklad 4.14
Lidé, kteří mají na ruce sádru, mají častěji
zlomenou ruku. Způsobuje sádra lámání
ruky? Ne. Naopak zlomená ruka „způsobuje“
aplikaci sádry. Nemusíme se tedy bát –
když šáhneme na sádru, nezlomí nám to
ruku.
Příklad 4.15
Lidé, kteří kašlou, mají zápal plic častěji
než lidé, kteří nekašlou. Způsobuje kašlání
zápal plic? Znamená to, že bychom se měli
snažit nikdy nekašlat a ochránit se tak před
zápalem plic?
Na uvedených příkladech je jasně vidět, že
korelace neznamená kauzalitu (vliv). Lidé,
kteří si korelaci vysvětlují jako kauzalitu,
v  životě mohou dělat špatná rozhodnutí
a  jsou lehce manipulovatelní. Statistické
metody, které dokážou určit kauzalitu
(vliv), jsou představeny v kapitole 5.
Přílišné slavení narozenin
urychluje stárnutí. Statistiky
ukazují, že lidé, kteří slavili
mnoho narozenin, jsou starší
než lidé, kteří slavili méně narozenin.
Doporučujeme tedy
vyhnout se jakýmkoliv oslavám.
Toto platí obzvláště pro
starší lidi, kteří nechtějí, aby
se jim dále zvyšoval věk.
G
rada
Publishing
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software.com
C
lick
to
B
U
Y
N
O
W
!
PD
F-XChange Edit
or
www
.
tracker-software
.com