Statistické zpracování dat
Distanční studijní opora
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová
Karviná 2017
Obor: Statistika.
Klíčová slova: Analýza rozptylu, jednoduchá regresní analýza, vícerozměrná regresní
analýza, analýza časových řad, ARIMA modely.
Anotace: Publikace představuje studijní oporu předmětu Statistické zpracování dat
pro navazující studium na vysoké škole ekonomického zaměření. Obsahově
pokrývá základní témata: analýza rozptylu – 1 faktor, analýza rozptylu
– 2 faktory, jednoduchá a vícerozměrná regresní analýza, analýza
časových řad.
Autor: Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSs.
Mgr. Radmila Stoklasová, Ph.D.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
3
Obsah
ÚVODEM............................................................................................................................6
RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY...........................................................................7
1 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) – JEDEN FAKTOR........................................8
1.1 Nezávislý a závislý faktor..................................................................................10
1.2 Předpoklady analýzy rozptylu s jedním faktorem .............................................11
1.3 Postup při analýze rozptylu s jedním faktorem..................................................12
1.4 Míra těsnosti závislosti ......................................................................................15
1.5 Analýza rozptylu v programu GRETL ..............................................................16
1.6 Samostatné úkoly...............................................................................................22
1.7 Řešení úkolů, výsledky......................................................................................24
2 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) – DVA A VÍCE FAKTORŮ .........................25
2.1 Analýza rozptylu se dvěma faktory ...................................................................25
2.2 Předpoklady analýzy rozptylu se dvěma faktory...............................................28
2.3 Kruskal – Wallisova analýza rozptylu ...............................................................38
2.4 Samostatné úkoly...............................................................................................40
2.5 Řešení úkolů, výsledky......................................................................................41
3 RESGRESNÍ ANALÝZA – JEDNOROZMĚRNÁ LINEÁRNÍ REGRESE............42
3.1 Regresní analýza ................................................................................................43
3.2 Jednoduchá regresní analýza..............................................................................44
3.3 Metoda nejmenších čtverců ...............................................................................44
3.4 Míra variability, koeficient determinace............................................................46
3.5 Klasický lineární model .....................................................................................47
3.6 Samostatné úkoly...............................................................................................52
3.7 Řešení úkolů, výsledky......................................................................................53
4 REGRESNÍ ANALÝZA – JEDNOROZMĚRNÁ: INTERVALY
SPOLEHLIVOSTI, TESTY HYPOTÉZ, NELINEÁRNÍ REGRESE ..............................54
4.1 Intervaly spolehlivosti........................................................................................55
4.2 Testy hypotéz.....................................................................................................56
4.3 Nelineární regresní analýza................................................................................57
4.4 Parabolická regrese ............................................................................................58
4.5 Törnquistovy funkce ..........................................................................................59
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
4
4.6 Metoda vybraných bodů ....................................................................................61
4.7 Samostatné úkoly...............................................................................................72
4.8 Řešení úkolů, výsledky......................................................................................73
5 REGRESNÍ ANALÝZA - VÍCEROZMĚRNÁ.........................................................75
5.1 Vícerozměrná regresní analýza..........................................................................76
5.2 Metoda nejmenších čtverců ...............................................................................76
5.3 Náhodný vektor a jeho charakteristiky ..............................................................78
5.4 Klasický lineární model .....................................................................................78
5.5 Míry variability a koeficient determinace..........................................................79
5.6 Intervaly spolehlivosti a testy hypotéz...............................................................80
5.7 Individuální T-testy o hodnotách regresních koeficientů...................................81
5.8 F-test hypotézy o hodnotách regresních koeficientů .........................................81
5.9 Samostatné úkoly...............................................................................................88
5.10 Řešení úkolů, výsledky......................................................................................90
6 REGRESNÍ ANALÝZA – VÍCEROZMĚRNÁ: MULTIKOLINEARITA,
HETEROSKEDASTICITA, AUTOKORELACE.............................................................92
6.1 Co je multikolinearita?.......................................................................................93
6.2 Co je heteroskedasticita?....................................................................................96
6.2.1 Jak zjišťovat heteroskedasticitu? ...................................................................97
6.2.2 Jak odstraňovat heteroskedasticitu?...............................................................99
6.3 Co je autokorelace?..........................................................................................103
6.4 Samostatné úkoly.............................................................................................104
6.5 Řešení úkolů, výsledky....................................................................................105
7 ZÁKLADY ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD .........................................................106
7.1 Typy ekonomických časových řad...................................................................107
7.2 Elementární charakteristiky časových řad .......................................................109
7.3 Modely ekonomických časových řad...............................................................110
7.4 Samostatné úkoly.............................................................................................112
7.5 Řešení úkolů, výsledky....................................................................................112
8 ANALÝZA TRENDU ČASOVÝCH ŘAD ............................................................114
8.1 Trendová složka časových řad.........................................................................115
8.2 Trendové funkce ..............................................................................................116
8.2.1 Lineární trend...............................................................................................116
8.2.2 Kvadratický trend.........................................................................................119
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
5
8.2.3 Mocninný trend............................................................................................119
8.2.4 Exponenciální trend .....................................................................................120
8.2.5 Logistický trend ...........................................................................................121
8.2.6 Gompertzův trend ........................................................................................124
8.3 Volba vhodného modelu trendu.......................................................................124
8.4 Klouzavé průměry............................................................................................125
8.5 Exponenciální vyrovnání .................................................................................126
8.6 Samostatné úkoly.............................................................................................129
8.7 Řešení úkolů, výsledky....................................................................................129
9 ANALÝZA SEZÓNNÍ SLOŽKY A NÁHODNÉ SLOŽKY..................................130
9.1 Model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem ...................................131
9.2 Model konstantní sezónnosti s lineárním trendem...........................................132
9.3 Model proporcionální sezónnosti.....................................................................132
9.4 Analýza náhodné složky ..................................................................................133
9.5 Samostatné úkoly.............................................................................................137
9.6 Řešení úkolů, výsledky....................................................................................138
10 MODELY TYPU ARIMA A PROGNÓZOVÁNÍ ČASOVÝCH ŘAD..................139
10.1 Program SPSS..................................................................................................140
10.2 Modelování časových řad pomocí ARIMA modelu........................................141
10.2.1 Autoregresivní proces (AR).....................................................................141
10.2.2 Proces klouzavých průměrů (MA)...........................................................142
10.2.3 Autoregresivní proces klouzavých průměrů (ARMA) ............................142
10.2.4 Autoregresivní a integrovaný proces klouzavých průměrů (ARIMA) ....142
10.3 Box – Jenkinsova metodologie prognózování časových řad ...........................143
10.3.1 Identifikace procesů ARIMA pomocí ACF a PACF...............................144
10.4 Samostatné úkoly.............................................................................................150
10.5 Řešení úkolů, výsledky....................................................................................151
LITERATURA ................................................................................................................154
SHRNUTÍ STUDIJNÍ OPORY.......................................................................................155
PŘEHLED DOSTUPNÝCH IKON.................................................................................156
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
6
ÚVODEM
Tento text představuje studijní oporu pro studium všech akreditovaných studijních programů
v navazujícím magisterském studiu na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské
fakultě v Karviné. Předmět Statistické zpracování dat navazuje na předmět Statistika z bakalářského
studia. V opoře je kladen důraz především na uplatnění statistických metod při
zpracování ekonomických dat v aplikovaných ekonomických disciplínách, jako jsou
zejména marketing a management.
Samotný učební text je rozčleněn do 10 tematických kapitol. Jednotlivé kapitoly jsou
přibližně stejně obsahově rozsáhlé a obtížné. Takový rozsah učiva odpovídá klasické dvouhodinové
přednášce v prezenčním studiu na vysoké škole ekonomického zaměření. V prezenčním
studiu je ovšem na rozdíl od kombinované formy studia přednáška doplněna seminářem,
kde se probraná látka aplikuje na konkrétní číselné příklady, které se řeší až k požadovanému
výsledku pomocí počítače.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
7
RYCHLÝ NÁHLED STUDIJNÍ OPORY
Vysokoškolské studium v případě předmětu Statistické zpracování dat vyžaduje enormní
úsilí studenta zaměřené na pravidelnost a vytrvalost ve studiu i samostudiu, schopnost koncentrace
na předmět, aktivní přístup spočívající v samostatném řešení příkladů. V tom všem
by tato studijní opora měla studentům kombinované formy studia pomoci nahradit kvalitní
prezenční výuku i úlohu učebnic a skript. Studijní opora je k tomu účelu vybavena určitými
nástroji, o jejichž funkcích byste měli být informováni a mohli je tudíž účelně využívat ve
svůj prospěch. Pro lepší zvládnutí látky jsou vám v elektronické verzi kurzu Statistické
zpracování dat k dispozici ještě doplňkové materiály v elektronické podobě. Dalšími podpůrnými
zdroji ke studiu mohou být klasické učebnice a skripta a další doporučená litera-
tura.
Předpokladem pro úspěšné zvládnutí tohoto předmětu Statistické zpracování dat je zvládnutí
bakalářského předmětu Statistika na SU OPF nebo odpovídajícího základního bakalářského
kurzu Pravděpodobnosti – Statistiky, a to podle typu bakalářského studia na některé
VŠ v ČR.
Obsahem kapitol 1 a 2 je analýza rozptylu - ANOVA, kapitoly 3 až 6 jsou věnovány regresní
analýze - jednoduché i vícerozměrné, zbývající kapitoly 7 až 10 se věnují analýze
ekonomických časových řad, ty jsou v ekonomických disciplínách mimořádně významné.
Získané vědomosti vám umožní snadněji pochopit a osvojit si praktické zásady analýzy
informací, jimiž jsme všichni dnes zahlceni a v nichž je nám určeno žít.
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
8
1 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Jednofaktorová metoda ANOVA, kterou prokazujeme závislost hodnot znaků Y na faktoru
X, pro něž jsou k dispozici příslušná data, spočívá v tom, že celkovou variabilitu měřenou
součtem čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme na variabilitu uvnitř jednotlivých
výběrů a na variabilitu mezi jednotlivými výběry. Cílem, k němuž směřujeme, je
buď přijmout nulovou hypotézu o vzájemné nezávislosti Y na X, nebo ji zamítnout (na zvolené
hladině významnosti). Jedná se tedy o běžný statistický postup nazývaný testování
statistických hypotéz, známý ze základního kurzu statistiky. V případě přijetí nulové hypotézy
vyvozujeme nezávislost hodnot Y na X, v opačném případě konstatujeme, že Y na X
závisí.
V této kapitole se naučíte, jak tento test statistické hypotézy konkrétně provést: jak vypočítat
hodnotu testového kritéria a příslušnou kritickou hodnotu a jak vyvodit z těchto
hodnot příslušný závěr týkající se eventuální závislosti nebo nezávislosti hodnot znaku Y
na faktoru X.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 vypočítat hodnotu testového kritéria,
 najít příslušnou kritickou hodnotu z tabulek Fisherova rozdělení,
 zkonstruovat tabulku ANOVA,
 přijmout nebo zamítnout nulovou hypotézu o nezávislosti hodnot znaku Y na
faktoru X.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
9
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Analýza rozptylu, testové kritérium, kritická hodnota, ANOVA tabulka.
Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího
počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů na hospodářský
proces charakterizovaný kvantitativním statistickým znakem. Základní myšlenka analýzy
rozptylu spočívá v rozkladu celkového rozptylu na dílčí rozptyly příslušející jednotlivým
vlivům, podle nichž jsou data roztříděna. Kromě dílčích rozptylů je jednou složkou celkového
rozptylu tzv. reziduální rozptyl, způsobený nepostiženými vlivy. Podle počtu analyzovaných
faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu
rozptylu. Všeobecně používané označení ANOVA je akronymem anglických slov „ANalysis
Of VAriance“ (doslovný překlad: analýza rozptylu).
Klasická ANOVA vychází, jak uvidíte, z předpokladu normality rozdělení hodnot daného
faktoru. Pokud je takový předpoklad neudržitelný, lze použít analýzu rozptylu jiného
typu, konkrétně Kruskal-Wallisovu verzi ANOVA. Jednofaktorovou ANOVA se zabývá
tato kapitola, vícefaktorová a Kruskal-Wallisova ANOVA je obsahem kapitoly následující.
V tomto studijním textu předpokládáme, že čtenář má k dispozici verzi Excel 2010,
eventuálně vyšší. Pro zjednodušení práce je vhodné mít aktivovaný doplňky „Analýza dat“
a „Řešitel“ ve složce „Data“ (viz Obrázek 1).
Obrázek 1: Doplněk Analýza dat
V případě, že tyto doplňky nejsou ve složce „Data“, lehce je nainstalujete tímto postupem:
„Tlačítko Soubor“  „Možnosti“  „Doplňky“  „Přejít…“ a v dialogovém okně
zaškrtnout položky „Analytické nástroje“ a „Řešitel“ (viz Obrázek 2).
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
10
Obrázek 2: Doplňky
1.1 Nezávislý a závislý faktor
Často se vyskytuje situace, kdy máme k nezávislých náhodných výběrů které obecně
nemusí pocházet z jednoho základního souboru, nebo jinak řečeno, nemusí být stejného
typu, s rozsahy, tj. počty prvků knnn ,...,, 21 . Číslo k může být libovolné podle konkrétní
situace, např. 2, 3, 4, ... Tyto rozsahy výběrů rovněž nemusí být stejné, v každém z nich
budiž znám průměr ix , a také rozptyl 2
is , i = 1,2,...,k. V praktických situacích obvykle
tyto výběry vzniknou tak, že základní soubor rozdělíme podle určitého statistického znaku
X do k skupin, např. věkových, v každé z nich pak máme in prvků, i = 1,2,...,k. Znak X pak
označujeme jako nezávislý faktor, jehož hodnoty předem stanovíme, stanovíme např. věkové
skupiny takto: do 18 let, 19 až 29 let, 30 až 59 let, 60 a více let, v tomto příkladu je k
= 4. Hovoříme proto často o faktoru kontrolovaném. Další příklady faktorů: velikost rodiny,
měsíční příjem rodiny, velikost podniku, typ ekonomické činnosti, apod. Hodnotami faktoru
X jsou obvykle kvalitativní (nečíselné) veličiny, označujeme je symbolicky
kxxx ,...,, 21 . Tyto hodnoty mohou, ale nemusejí být nutně vzájemně uspořádány.
Faktor X, jež nabývá k kvalitativních hodnot, může, ale nemusí ovlivňovat hodnoty statistického
znaku Y, o kterém předpokládáme, že má na rozdíl od X kvantitativní (tedy číselnou)
povahu.
Cílem ANOVA je právě prokázat, že hodnoty kvalitativního znaku X ovlivňují hodnoty
kvantitativního znaku Y- závislého faktoru. Hodnoty znaku Y, které přísluší hodnotě ix
faktoru X, označujeme iinii yyy ,...,, 21 . Pro analýzu rozptylu je výhodné uspořádat výchozí
údaje do přehledné tabulky, viz Tabulka 1.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
11
Tabulka 1: Schéma výchozí tabulky analýzy rozptylu pro jeden faktor
Princip metody ANOVA, kterou prokazujeme závislost Y na X, spočívá v tom, že celkovou
variabilitu měřenou součtem čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme na
variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů a na variabilitu mezi jednotlivými výběry.
1.2 Předpoklady analýzy rozptylu s jedním faktorem
Předpokládáme, že faktor X má k úrovní (hodnot ix ), s účinkem na znak Y, který lze
vyjádřit vztahem: ii αμμ += , i = 1,2,...,k,
kde iμ je průměr znaku Y v i-té skupině (příslušné k hodnotě faktoru ix ),
 je celkový průměr znaku Y,
iα je efekt hodnoty faktoru ix na znak Y.
Formulujeme nyní nulovou hypotézu H0, že všechny výběry pocházejí ze stejné základní
populace (základního souboru), jinak řečeno, že hodnoty faktoru X nemají na hodnoty
znaku Y žádný efekt (vliv).
Budeme dále předpokládat, že hodnoty iα pocházejí z normálně rozdělené populace
s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem 2
.
Formulujeme nulovou hypotézu: H0 : ( ) ( ) ( )kαEαEαE =...== 21 = 0 , proti alternativní
hypotéze, že H0 neplatí, že alespoň pro dvě položky, např. i a j, platí: H1 : ( ) ( )ji αEαE ≠ .
Symbolem ( )iαE označujeme střední hodnotu náhodné veličiny iα . Předpoklad konstantního
rozptylu pro všechny veličiny iα je podstatný, je ho možno ověřit statistickým
testem, a to buď tzv. Bartlettovým testem, s nímž se seznámíte později. Normalitu rozdělení
veličin iα lze taktéž ověřit příslušným testem, např. Chi-kvadrát testem dobré shody, známým
ze základního kurzu statistiky, viz Ramík (2003). V praxi obvykle předpokládáme
Číslo
výběru
Zjištěné hodnoty sledovaného znaku Počet prvků Průměr Rozptyl
1
1111211 nj y,...,y,...,y,y 1n 1y 2
1s
2
2222221 nj y,...,y,...,y,y 1n 2y 2
2s
    
i
iinijii y,...,y,...,y,y 21 in iy 2
is
    
k
kknkjkk y,...,y,...,y,y 21 kn ky 2
ks
Celkem n y 2
s
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
12
(na podkladě věcné znalosti problému), že zmíněné dva předpoklady jsou automaticky splněny
a při aplikaci ANOVA je již obvykle neověřujeme.
Cílem, k němuž směřujeme, je buď přijmout nulovou hypotézu H0, nebo H0 zamítnout
(na zvolené hladině významnosti). Jedná se tedy o běžný statistický postup nazývaný testování
statistických hypotéz, známý ze základního kurzu statistiky, viz Ramík (2003). V případě
přijetí nulové hypotézy vyvozujeme nezávislost hodnot faktoru Y na faktoru X, jinak
řečeno: faktor Y na faktoru X nezávisí. V opačném případě (při zamítnutí H0), konstatujeme,
že faktor Y na faktoru X závisí, neboli faktor X ovlivňuje Y.
1.3 Postup při analýze rozptylu s jedním faktorem
Celkovou variabilitu znaku Y změříme výběrovým rozptylem
 
1
2
2




n
yy
s
i j
ij
. (1.1)
V souvislosti s analýzou rozptylu se budeme zabývat pouze čitatelem výše uvedeného
zlomku, totiž součtem čtverců odchylek zjištěných hodnot ijy od celkového průměru y ,
přičemž průměr vypočítáme podle známého vztahu: sečteme všechny hodnoty a výsledek
podělíme jejich počtem, tedy ∑∑
1= 1=
1
=
k
i
n
j
ij
i
y
n
y .
Tento celkový součet čtverců budeme označovat symbolem yS , tj.
  

k
i
n
j
ijy
i
yyS
1 1
2
. (1.2)
Celkovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfy = n – 1.
Variabilitu mezi skupinami budeme měřit meziskupinovým součtem čtverců myS , , který
definujeme následovně
 

k
i
iimy yynS
1
2
,
. (1.3)
Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfm = k – 1.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
13
Variabilitu uvnitř skupin označujeme jako vnitroskupinovou, nebo také reziduální a používáme
přitom označení vyS , , přičemž definujeme vnitroskupinový (reziduální) součet
čtverců takto
  

k
i
n
j
iijv,y
i
yyS
1 1
2
. (1.4)
Vnitroskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfv = n – k.
Aritmetickými úpravami výše uvedených vzorců lze snadno dokázat základní vztah analýzy
rozptylu, totiž, že celkový součet čtverců je roven sumě meziskupinového a vnitroskupinového
součtu čtverců, symbolicky:
vymyy SSS ,, 
. (1.5)
Pro ověření nulové hypotézy H0 použijeme statistiku:
v
vy
m
my
vy
my
df
S
df
S
kn
S
k
S
F
,
,
,
,
1 


, (1.6)
která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení  kn,kF 1 . Kritické hodnoty
Fisherova rozdělení  21 df,dfF jsou tabelovány pro různé hodnoty hladiny významnosti
 a různé hodnoty parametrů (stupňů volnosti: degree of freedom) df1 a df2 . Někdy
se namísto kritických hodnot tabelují kvantily Fisherova rozdělení
 211 df,dfF k
 . Vztah
mezi kritickými hodnotami a kvantily je jednoduchý:
 21 df,dfF =
 211 df,dfF k
 .
Např. 5-ti procentní kritická hodnota je rovna 95-ti procentnímu kvantilu při stejných
hodnotách parametrů df1 a df2.
Pro výpočet kritických hodnot lze využít Excelu. Postupuje se přitom takto: v hlavním
menu postupně vybíráte: Vložit  Funkce  Statistické  FINV(;df1 ; df2).
Postup testování hypotézy H0 charakterizujeme následujícími 3 kroky:
Krok 1. Zvolte hladinu významnosti , která představuje chybu 1. druhu, tj. pravděpodobnost
zamítnuti správné hypotézy. Praktické hodnoty hladiny významnosti  jsou: 0,1
, 0,05 , 0,01 , nebo-li v procentech: 10%, 5%, 1%.
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
14
Krok 2. Vypočtěte hodnotu statistiky F podle vzorce (1.6), přičemž pro hodnoty meziskupinového
součtu čtverců myS , a pro výpočet vnitroskupinového součtu čtverců vyS ,
použijte vzorce (1.3) a (1.4). Výpočetně výhodnější, např. pro výpočet na kalkulačce, jsou
následující vzorce:
2
1 1 1 1
2 1
    









k
i
n
j
k
i
n
j
ijijy
i i
y
n
yS
, (1.7)
2
1 1 1
2
,
1
   









k
i
k
i
n
j
ijiimy
i
y
n
ynS
. (1.8)
K výpočtu vyS , lze využít základního vztahu (1.5) a právě uvedených vztahů (1.7)
a (1.8): myyvy SSS ,, 
.
Krok 3. Porovnejte hodnotu statistiky F vypočtené v Kroku 2 s kritickou hodnotou
 kn,kF 1 . Výsledek tohoto porovnání může být dvojí:
I. Platí F   kn,kF 1 .
Potom se nulová hypotéza H0 přijímá (nezamítá) a tudíž se konstatuje, že hodnoty faktoru
X nemají na hodnoty znaku Y statisticky významný vliv (na zvolené hladině významnosti).
Jinak řečeno, faktor X je neúčinný.
II. Platí F   kn,kF 1 .
Potom se nulová hypotéza H0 zamítá, přijímá se hypotézu alternativní H1, a tudíž se
konstatuje, že hodnoty faktoru X mají na hodnoty znaku Y statisticky významný vliv. Jinak
řečeno, faktor X je účinný.
Podaří-li se výše uvedeným testem prokázat, že hodnoty faktoru X mají na hodnoty
znaku Y statisticky významný vliv, mohou nás zajímat další informace o tom, které skupiny
se významně odlišují od průměru, eventuálně jak skupinové průměry seřadit, případně zařadit
do společných celků. V krajním případě by se totiž mohlo stát, že významnost rozdílnosti
k skupin způsobuje jediná skupina a ostatní skupiny se navzájem neliší. Touto problematikou
se zabývají metody tzv. simultánního testování, z nichž nejznámější je metoda
Shaffeho. Vy se touto problematikou zde nezabývat nebudete, zájemce odkazujeme na literaturu,
viz např. Anděl (2007).
Metoda analýzy rozptylu je založena na předpokladech shody rozptylů v jednotlivých k
skupinách. Pokud jsou předpoklady splněny, pak popsaná metoda ANOVA poskytuje nejlepší
výsledky – je nejúčinnější. Není-li tento předpoklad splněn, pak použití výše uvede-
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
15
ného testu může poskytnout nesprávný výsledek. V takovém případě lze použít jiné metody,
např. Kruskal-Wallisova ANOVA, která používá Chi-kvadrát test, s níž se seznámíte
v příští kapitole.
V Excelu jsou k dispozici funkce, které umožňují řešit jednofaktorové i vícefaktorové
úlohy ANOVA. Naleznete je v hlavním menu: Nástroje  Analýza dat  ANOVA: jeden
faktor.
1.4 Míra těsnosti závislosti
Variabilita podmíněných (skupinových) průměrů iy kolem celkového průměru y je
způsobena závislostí znaku Y na znaku X. Tuto variabilitu jsme vyjádřili meziskupinovým
součtem čtverců myS , . Variabilita znaku Y uvnitř jednotlivých skupin – vyjádřena vnitroskupinovým
(reziduálním) součtem čtverců vyS , , je způsobena jinými (neuvažovanými) činiteli.
Čím větší je myS , , tím větší je těsnost závislosti znaků X a Y. Protože však jsou
jednotlivé součty čtverců vzájemně vázány vztahem (1.5), lze míru těsnosti závislosti vyjádřit
jako podíl meziskupinového a celkového součtu čtverců. Zavádíme proto jako míru
těsnosti závislosti znaku Y na znaku X poměr determinace P2
takto:
y
my
S
S
P
,2
= . (1.9)
Odmocninu z poměru determinace P nazýváme poměr korelace.
Poměr determinace nabývá hodnot z intervalu [0,1]. Čím těsnější je závislost Y na X, tím
více se hodnota poměru determinace blíží k 1, tím více se také vnitroskupinový součet
čtverců blíží k celkovému součtu čtverců, přičemž meziskupinový součet čtverců se blíží k
nule. Naopak, čím více se poměr determinace blíží k 0, tím menší část z celkového součtu
čtverců tvoří meziskupinový součet čtverců (na úkor vnitroskupinového), a tím menší je
těsnost závislosti znaku Y na X. Způsob výpočtu determinačního a korelačního poměru si
procvičíte na numerických příkladech. V Excelu bohužel funkce pro výpočet poměru determinace
nebo korelace chybí, musí se proto k výpočtu použít vzorce (1.9).
Uvědomte si však, že poměr determinace P2
je náhodná veličina (jakožto podíl dvou
veličin – součtu čtverců, které jsou samy náhodnými veličinami), proto může být výsledkem
kladné číslo i v případě, že výsledkem ANOVA je fakt, že zkoumaný faktor není statistický
významný, neboli sledovaná veličina na faktoru nezávisí. V takovém případě by
logicky mělo platit, že poměr determinace P2
je nulový, tj. P2
= 0. Tento zdánlivý rozpor
vysvětlujeme statistickým přístupem: testem statistické hypotézy. Nulová hypotéza H0:
P2
= 0. Jako testové kritérium se použije statistika F ze vzorce (1.6).
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
16
Pokud platí F   kn,kF 1 , potom se nulová hypotéza H0 přijímá (a tudíž konstatujeme,
že hodnoty faktoru X nemají na hodnoty znaku Y statisticky významný vliv na zvolené
hladině významnosti) a poměr determinace (samozřejmě i poměr korelace) je roven
nule, jinak řečeno, je statisticky nevýznamný.
V opačném případě se nulová hypotéza zamítá a poměr determinace je statisticky významný.
Hodnota poměru determinace i poměru korelace je nenulová. V tom případě má
smysl hovořit o síle závislosti veličiny Y na faktoru X.
1.5 Analýza rozptylu v programu GRETL
GRETL je volně dostupný produkt se zaměřením na statistické metody, které podporují
ekonometrické analýzy. Název je akronymem pro GNU Regression, Econometristic and
Time-series Library. Systém GRETL se dá používat dvěma způsoby. Snaha tvůrců systému
od začátku směřovala k přiblížení ekonometrie široké veřejnosti a bylo vytvořeno grafické
uživatelské rozhraní (GUI – Graphical User Interface), které je pro většinu běžných uživatelů
přijatelnější. Po spuštění programu se objeví hlavní okno (Obrázek 3). V horní části je
hlavní menu a v dolní části se nachází panel nástrojů.
Obrázek 3: Hlavní okno programu GRETL
Po instalování program obsahuje velký počet datových souborů, které se dají otevřít
z hlavního menu – Soubor – Otevřít data – Vzorový soubor. Je zde možno vybírat z databáze
Ramanathan, Greene, Stock and Watson. Záložka Data poskytuje velký prostor na
přizpůsobení databáze podmínkám modelování.
Na následujícím příkladu si ukážeme, jak se zadávají data do programu GRETL. Tabulka
2 uvádí, kolik dnů po příletu trvá adaptace na časový posun (JETLAG). Na hladině
významnosti 5 % ověříme, má-li směr letu vliv na délku adaptace (zotavení).
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
17
Tabulka 2: Doba adaptace ve dnech
Směr Doba adaptace ve dnech
Západ 2 1 3 3
Východ 6 4 6 8
Stejný 1 0 1
Nulová hypotéza tvrdí, že doba adaptace nezávisí na časovém posunu. Alternativní hypotéza
tvrdí, že doba adaptace závisí na časovém posunu.
V hlavním menu vybereme nový soubor dat – počet pozorování=11. Struktura souboru
dat = průřezová. Kvantitativní proměnnou jsme pojmenovali doba a jednotlivé varianty
kvalitativního znaku (směr) musí být přirozená čísla (1-západ, 2-východ, 3-stejný).
Obrázek 4: Zadávání hodnot do GRETLU
Dále vybereme posloupnost příkazů: Model – Další lineární modely – ANOVA.
Obrázek 5: Analýza rozptylu v GRETLU – zadání
Zadání hodnot potvrdíme tlačítkem Budiž a dostáváme následující výsledek.
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
18
Obrázek 6: Analýza rozptylu v GRETLU - výstup
Protože p-hodnota = 0,0009 je menší než hladina významnosti (0,05), nulovou hypotézu
zamítáme. Můžeme tedy z 95 % tvrdit, že doba adaptace závisí na časovém posunu. Tato
skutečnost byla dokonce prokázána i na hladině významnosti 0,01.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.1
Na testovacím okruhu byla testována průměrná spotřeba tří automobilů téže třídy různých
výrobců Škoda, Renault a Fiat. Řidič absolvoval s každým automobilem 5 testovacích
jízd. Tabulka ukazuje spotřebu benzínu na 100 kilometrů v jednotlivých jízdách.
Na hladině významnosti  = 0,05 zjistěte, zda má typ automobilu vliv na spotřebu benzínu.
V kladném případě vypočtěte determinační a korelační poměr.
Řešení:
Chceme zjistit závislost znaku Y (průměrná spotřeba) na jediném znaku X (výrobce automobilu).
Provedeme proto jednofaktorovou analýzu rozptylu.
Faktor X má tři hodnoty: x1 = Škoda, x2 = Renault, x3 = Fiat, tzn. k = 3, s počty hodnot n1 =
n2 = n3 = 5 v každé z nich budeme testovat nulovou hypotézu
H0: E(1) = E(2) = E(2) = 0, tj. průměrná spotřeba je u všech vozidel stejná.
Alternativní hypotéza H1 je negací nulové hypotézy.
Nejprve vypočítáme podmíněné průměry 21, yy , y3
Automobil Spotřeba
Škoda 7,4 7,8 6,8 7,6 8,1
Renault 6,7 7,2 8,3 7,1 7,5
Fiat 6,8 6,9 7,3 7,9 7,6
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
19
3,7
5
6,79,68,6
5
36,7
5
5,72,77,6
5
54,7
5
1,88,74,7
5
5
1
3
3
5
1
2
2
5
1
1
1


















j
j
j
j
j
j
y
y
y
y
y
y
a celkový průměr znaku Y
y
y
n
ij
 
  

 7 4 7 8 7 6
15
7 4
, , ,
,

.
Dále vypočítáme pomocí vztahů (1.2), (1.3), popř. (1.7), (1.8) součty Sy a Sym.
S y yy ij
ji
         
       
     

 ( ) ( , , ) ( , , ) (8, , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ,
2
1
5
2 2 2
1
3
2 2 2
2 2
7 4 7 4 7 8 7 4 1 7 4
6 7 7 4 7 2 7 4 7 5 7 4
6 8 7 4 7 6 7 4 3 4



S n y y y y y y y yym i ij
i
        

 ( ) ( ) ( ) ( )2
1
2
2
2
3
2
1
3
5 5 5
      5 7 54 7 4 5 7 36 7 4 5 7 3 7 4 0162 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , ) , .
Součet Sym má k - 1 stupňů volnosti, v našem případě dfm = 3 – 1 = 2.
Pomocí součtů Sy a Sym dopočítáme součet Syv, neboť Sy = Syv + Sym.
Proto Syv = Sy – Sym = 3,4 – 0,16 = 3,24.
Součet Syv má n – k stupňů volnosti, proto dfv = 15 – 3 = 12.
Testové kritérium F vypočítáme podle vztahu (1.6):
296,0
12
24,3
2
16,0
1 


kn
S
k
S
F
yv
ym
.
Pro stanovení kritického oboru C najdeme v tabulkách kritických hodnot
F(k – 1, n – k) kritickou hodnotu F0,05(2, 12) = 3,89 (ověřte v Excelu pomocí funkce
FINV). Kritický obor je proto interval od 3,89 do nekonečna, tj. ),,  893(C .Zřejmě platí
0,296 < 3,89, tzn. F  C, proto nulovou hypotézu H0 přijímáme.
Znamená to, že faktor X-výrobce automobilu je neúčinný nebo-li, že průměrná spotřeba
benzínu není statisticky významně ovlivněna výrobcem automobilu. Poměr determinace
i korelace je tedy 0.
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
20
ŘEŠENÁ ÚLOHA 1.2
Rozhodněte, zda velikost výnosů petržele (faktor Y) závisí na použitém druhu hnojiva (faktor
X). Pokud závisí, pak pomocí determinačního poměru zjistěte těsnost této závislosti.
Data jsou uvedena v následující tabulce, použijte hladinu významnosti 0,05.
Hnojivo Výnosy (1kg/10 m2)
A 40 42 45 40 44 47
B 76 75 82 68
C 60 58 62 64 70
Řešení:
U tohoto příkladu si ukážeme řešení s pomocí Excelu. Nejprve však příklad vyřešíme klasickým
postupem.
K výpočtu hodnot součtů čtverců Sym a Sy, potřebujeme znát celkový průměr y a podmíněné
průměry 321 yyy ,, .
.2,58
15
58,62425,75643
,8,62;25,75
,43
6
474240
3
1
32
1
6
1
1
1











n
yn
y
yy
n
y
y
i
ii
j
j

Nyní již můžeme vypočítat součty Sym a Sy, podle vztahů (1.2), (1.3)







3
1
2222
22
22
222
.85,2654)2,588,62(5)2,5825,75(4)2,5843(6)(
.4,2878)2,5870()2,5860(
)2,5868()2,5876(
)2,5847()2,5840()(
i
iiym
ij
ijy
yynS
yyS



Hodnota testového kritéria je 26,71
12
85,26544,2878
2
85,2654
1 




kn
S
k
S
F
yv
ym
.
Kritická hodnota je F0,05(2, 12) = 3,89 a je mnohem menší než hodnota testového kritéria
F. Proto nulovou hypotézu zamítáme a konstatujeme, faktor hnojiva významně ovlivňuje
hodnoty výnosů petržele.
Hodnotu determinačního poměru P2
zjistíme dosazením hodnot Sym a Sy do vztahu (1.9).
.92,0
4,2878
85,26542
P
Hodnoty determinačního poměru blízké 1 svědčí o vysoké závislosti faktoru Y na faktoru
X. Hodnota 0,92 proto znamená, že závislost výnosů petržele na použitém druhu hnojiva je
vysoká.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
21
Řešení pomocí Excelu:
Nejprve je zapotřebí připravit v Excelu data. Jednotlivé hodnoty yij pro faktoru Y pro hodnotu
xi faktoru X uspořádáme do řádků, podobně jako v tabulce v zadání. V prvním sloupci
umístíme kvůli lepší orientaci název hodnoty faktoru (popisky) xi, v tomto případě název
hnojiva: A, B, C. Data ve worksheetu Excelu vypadají tedy například takto:
Data je možné uspořádat také do sloupců, přitom do prvního řádku umístíme názvy
hodnot faktoru X (popisky). To je výhodné zejména u velkého množství dat, tj. pro velkou
hodnotu počtu dat n.
Dále otevřeme v hlavním menu postupně položky:
Data  Analýza dat...  ANOVA: jeden faktor
Pokud se tam položka Analýza dat nevyskytuje je ji zapotřebí doinstalovat (viz začátek
této kapitoly).
Zvolíte-li pak první položku ANOVA: jeden faktor, otevře se zadávací okno, kde
postupně zadáte:
Vstupní oblast: $A$1:$G$3
Sdružit: zakliknete tlačítko Řádky (je možné uspořádat data do sloupců, pak ovšem
zakliknete tlačítko Sloupce
Popisky v prvním sloupci – zakliknete
Alfa: 0,05 (hladina významnosti je předvolena, lze ji však změnit)
Výstupní oblast: $A$5 (levý horní roh výstupní oblasti)
Potvrdíte OK
A B C D E F G H
1 A 40 42 45 40 44 47
2 B 76 75 82 68
3 C 60 58 62 64 70
4
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
22
V první tabulce s názvem Faktor jsou uvedeny základní statistické údaje o datech:
Počet, Součet, Průměr a Rozptyl.
Ve druhé tabulce nazvané ANOVA jsou uvedeny výpočty metodou ANOVA, jednotlivé
položky mají následující význam:
Mezi výběry = meziskupinový
Všechny výběry = vnitroskupinový
Celkem = celkový
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
Rozdíl = stupeň volnosti (DF – Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium = 71,25
Hodnota P = Signifikance (p-hodnota) = 0,000000219 < 0,05 = 
F krit = kritická hodnota rozdělení F = 3,89
Hodnoty získané řešením v Excelu jsou stejné jako při použití „ručního“ výpočtu, proto i
závěry jsou stejné. V Excelu máme navíc vypočtenu p-hodnotu testu (tzv. signifikanci),
která, pokud je menší než zvolená hladina významnosti , znamená, že nulovou hypotézu
zamítáme. V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme (přijímáme).
SHRNUTÍ KAPITOLY
Formálně vzato je ANOVA, ať jednofaktorová nebo vícefaktorová, testem statistické
hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním kurzu statistiky. Cílem ANOVA je prokázat,
že hodnoty kvalitativního znaku X ovlivňují hodnoty kvantitativního znaku Y- závislého
faktoru. Princip metody ANOVA, kterou prokazujeme závislost Y na X, spočívá v tom,
že celkovou variabilitu měřenou součtem čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme
na variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů a na variabilitu mezi jednotlivými výběry.
1.6 Samostatné úkoly
1.1 Pan Novák může jet do zaměstnání čtyřmi různými trasami. Čtyřikrát projel jednotlivé
trasy a zaznamenal si dobu, po kterou jel do zaměstnání. Na hladině významnosti  = 0,01
zjistěte, zda záleží na tom, kterou trasou pojede.
Cesta 1 Cesta 2 Cesta 3 Cesta 4
22 27 26 28
26 29 33 30
25 26 25 32
30 28 30 26
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
23
1.2 Učitel fyziky zkoumal, jaký vliv má druh zkušebního testu na jeho úspěšnost. Vytvořil
tři typy stejně obtížných testů a náhodně je rozdal mezi studenty ve třídě. Tabulka uvádí
bodové zisky studentů v jednotlivých testech. Na hladině významnosti  = 0,05 zjistěte,
zda má typ testu vliv na úspěšnost studentů.
Typ testu
T1 T2 T3
75 72 64
90 78 78
70 94 70
90 78 90
85 50
1.3 Ve vepříně zjišťovali, jestli váhové přírůstky vepřů závisí na použitém druhu krmiva,
či nikoli. Na hladině významnosti  = 0,05 rozhodněte, zda jsou váhové přírůstky pro různá
krmiva různé, eventuálně zjistěte, který druh krmiva dává nejmenší váhové přírůstky.
Krmivo
A B C
21,5 19,9 23,7
22,8 24,3 22,5
26,3 20,1 20,6
24,2 20,9 21,4
25,6 21,1
28,1
1.4 Výroba součástek může v podniku probíhat na jednom ze čtyř rozdílných strojů. I když
každý stroj provádí stejné operace, má každý svá specifika. Na hladině významnosti  =
0,01 testujte hypotézu o tom, že počet vyrobených součástek není ovlivněn volbou stroje.
Stroj
A B C D
93 108 123 133
98 153 143 163
80 123 150 168
88 158 165 145
60 143 140 130
1.5 Školský úřad Karviná chtěl srovnat úroveň znalostí maturantů gymnázií okresu Karviná.
Za tímto účelem byl vytvořen test zahrnující otázky ze všech oblastí učiva a zadán
náhodně vybraným studentů jednotlivých škol. Bodové výsledky studentů jsou uvedeny
v následující tabulce.
Analýza rozptylu (ANOVA) – JEDEN FAKTOR
24
Gymnázium
Karviná
Gymnázium
Český Těšín
Gymnázium
Bohumín
Gymnázium
Orlová
Gymnázium
Havířov
79 62 74 73 86
86 54 81 67 52
49 88 64 59 61
72 76
a. Na hladině významnosti  = 0,05 zjistěte, je-li průměrná úroveň maturantů jednotlivých
škol stejná.
b. Jak ovlivní výsledek průzkumu změna hladiny významnosti na 0,01?
1.7 Řešení úkolů, výsledky
1.1 F = 1,0 F krit = 5,95 p-hodnota = 0,43 – H0 přijímáme (doba nezávisí na trase).
1.2 F = 1,43 F krit = 3,98 p-hodnota = 0,28 – H0 přijímáme (typ testu nemá vliv na úspěch).
1.3 F = 4,7 F krit = 3,89 p-hodnota = 0,03 – H0 zamítáme (krmivo má vliv, nejvíce A).
1.4 F =15,02 F krit = 5,29 p-hodnota = 0,000 – H0 zamítáme (typ stroje má vliv).
1.5 a) F = 0,12 F krit = 3,26 p-hodnota = 0,97 – H0 přijímáme (škola nemá vliv).
b) F = 0,12 F krit = 5,41 p-hodnota = 0,97 – H0 přijímáme (škola nemá vliv).
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
25
2 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) – DVA A VÍCE FAKTORŮ
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Jednofaktorová metoda ANOVA, kterou prokazujeme závislost znaků (faktorů) Y na X,
pro něž jsou k dispozici příslušná data, spočívá v tom, že celkovou variabilitu měřenou
součtem čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme na variabilitu uvnitř jednotlivých
výběrů a na variabilitu mezi jednotlivými výběry. Cílem, k němuž směřujeme nyní,
je situace, kdy budeme uvažovat, že se kromě třídění do skupin vyskytují další faktory,
říkáme jim bloky, podle nichž výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž třídíme.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
pomocí Excelu vypočítat analýzu rozptylu se dvěma faktory,
pomocí GRETLU vypočítat analýzu rozptylu se dvěma faktory,
použít Kruskal-Wallisovu verzi analýzy rozptylu.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Analýza rozptylu se dvěma faktory, Kruskal-Wallisova ANOVA.
2.1 Analýza rozptylu se dvěma faktory
ANOVA vychází z předpokladu normality rozdělení hodnot uvažovaných faktorů. Pokud
U analýzy rozptylu s jedním faktorem jste uvažovali výsledky tříděné podle jistého
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
26
kvalitativního znaku X do několika (konkrétně do k) skupin o rozsazích knnn ,...,, 21 . Proto
v tomto případě hovoříme také o ANOVA při jednoduchém třídění, neboli třídění podle
jednoho faktoru. V této kapitole budeme uvažovat situaci, kdy se kromě třídění do skupin,
vyskytují další faktory, říkáme jim bloky, podle nichž výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž
třídíme. Přehledná situace vzniká, když kromě prvního faktoru uvažujeme ještě faktor
druhý, říkáme pak, že je třídíme do bloků a v takovém případě se jedná o dvoufaktorovou
ANOVA. Formálně vzato je ANOVA, ať jednofaktorová, dvoufaktorová nebo vícefaktorová,
parametrickým testem statistické hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním
kurzu statistiky. Tato tzv. klasická je takový předpoklad neudržitelný, lze použít jiného
typu ANOVA, tedy neparametrického testu statistické hypotézy (tento pojem si připomeňte
ze základního kurzu statistiky). Konkrétně se v této kapitole seznámíte s Kruskal-Wallisovou
verzi ANOVA, která využívá Chi-kvadrát test statistické hypotézy.
U analýzy rozptylu s jedním faktorem jsme uvažovali výsledky tříděné podle jistého
kvalitativního znaku X do několika (konkrétně do k) skupin o rozsazích knnn ,...,, 21 .
V tomto odstavci budeme uvažovat situaci, kdy se kromě třídění do skupin, vyskytuje další
faktor, podle něhož výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž třídíme, říkáme, že je třídíme do
bloků. Začneme výklad příkladem známým již z předchozí kapitoly.
Příklad 1. Testovacími jízdami na zkušebním okruhu se zjišťuje průměrná spotřeba paliva
automobilu Octavia při použití benzínu od různých výrobců (např. Aral, Shell, Benzina,
Slovnaft). Všechny testy provede jeden řidič, když s každým druhem benzínu uskuteční
několik testovacích jízd, a to tak, že pro každou značku benzínu uskuteční jiný počet
jízd. Zjištěné výsledky testů, tj. změřené průměrné spotřeby na 100 km, podrobíme jednofaktorové
analýze rozptylu, která nám umožní zjistit, zda značka (tj. výrobce) použitého
benzínu má vliv na průměrnou spotřebu automobilu.
Příklad 2. Nyní budeme uvažovat podobnou situaci, kdy výsledky testů byly získány
různými řidiči (např. A, B, C, D, E, F), a to tak, že každý řidič uskutečnil jednu testovací
jízdu s každou značkou benzínu. Výsledky testů proto budeme členit nejen podle značky
benzínu - do skupin (1. faktor), ale také podle testovacích řidičů - do bloků (2. faktor).
Podle předpokladů je nyní počet výsledků ve všech skupinách stejný a je roven počtu řidičů
(každý řidič jel s jednou značkou benzínu jedenkrát). Zjištěné výsledky podrobíme dvoufaktorové
analýze rozptylu, která umožní jednak zjistit, zda značka (tj. výrobce) použitého
benzínu má vliv na průměrnou spotřebu automobilu, jednak zjistit, zda různí řidiči mají
vliv na tuto spotřebu.
Příklad 3. Nyní budeme uvažovat stejnou situaci jako v příkladu 2, přitom výsledky
testů byly získány různými řidiči (např. A, B, C, D, E, F), a to tak, že každý řidič uskutečnil
tři testovací jízdy s každou značkou benzínu. Zjištěné výsledky podrobíme dvoufaktorové
analýze rozptylu s opakováním, která umožní jednak zjistit, zda značka (tj. výrobce) použitého
benzínu má vliv na průměrnou spotřebu automobilu, jednak zjistit, zda různí řidiči
mají vliv na tuto spotřebu.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
27
Na konci této kapitoly budou všechny tři příklady podrobně analyzovány na konkrétních
číselných datech. Nyní budeme postupovat ve výkladu s obecnými daty, nejprve pro případ
popsaný v příkladu 2. Taková data, podobně jako u jednofaktorové analýzy rozptylu, uspořádáme
do přehledné Tabulky 3.
Tabulka 3: Schéma výchozí tabulky analýzy rozptylu pro dva faktory
V Tabulce 3 značíme symbolem •iy průměr v i-té skupině, symbolem jy• označujeme
průměr hodnot v j-tém bloku, symbolem y značíme celkový průměr.
Celkový součet čtverců (celkovou variabilitu) označujeme stejně, jako v (1.2), tedy:
 S y yy ij
j
r
i
k
 


2
11
. (2.1)
Variabilitu mezi skupinami budeme měřit meziskupinovým součtem čtverců myS , , který
definujeme následovně:
 S r y yy m i
i
k
,  


2
1 . (2.2)
Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfm = k – 1.
Variabilitu mezi bloky budeme měřit meziblokovým součtem čtverců byS , , který definujeme
následovně:
 S k y yy b j
j
r
,  


2
1
. (2.3)
Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfb = r –1.
Hodnoty sledovaného znaku
Číslo bloku
Číslo
skupiny
1 2 ... j ... r Průměr
skupiny
1 y11 y12 ... y1j ... y1r 1y
2 y21 y22 ... y2j ... y2r y2
       
i yi1 yi2 ... yij ... yir yi
       
k yk1 yk2 ... ykj ... ykr yk
Průměr
bloku
y1 y2
... y j
... y r
y
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
28
Variabilitu uvnitř skupin označujeme jako vnitroskupinovou, nebo také reziduální a používáme
přitom označení vyS , , přičemž definujeme vnitroskupinový (reziduální) součet
čtverců takto
 S y y y yy v ij i j
j
r
i
k
,     


2
11
. (2.4)
Vnitroskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfv = (k – 1)(r – 1).
Aritmetickými úpravami výše uvedených vzorců lze dokázat totiž, že celkový součet
čtverců je roven sumě meziskupinového, vnitroskupinového a blokového součtu čtverců,
symbolicky
v,ym,yy SSS 
+
Sy b,
. (2.5)
Tento vztah se nazývá základní vztah dvoufaktorové analýzy rozptylu.
2.2 Předpoklady analýzy rozptylu se dvěma faktory
Předpokládáme, že faktor X1 má k úrovní, faktor X2 má r úrovní s efektem na znak Y,
který lze vyjádřit vztahem
   ij i j   , i = 1,2,...,k, j = 1,2,...,r, (2.6)
kde ij je průměr znaku Y v i-té skupině a j-tém bloku,  je celkový průměr znaku Y,
i je efekt hodnoty faktoru X1 na znak Y, j je efekt hodnoty faktoru X2 na znak Y.
V modelu (2.6) nejprve předpokládáme, že efekty obou faktorů na znak Y jsou aditivní
a vzájemně nezávislé, tj. bez vzájemných interakcí. Tento předpoklad nám umožní oddělit
od sebe hypotézy o efektech jednotlivých faktorů.
Formulujeme nejprve nulovou hypotézu, že všechny skupiny pocházejí ze stejné základní
populace (základního souboru), jinak řečeno, že hodnoty faktoru X1 nemají na hodnoty
znaku Y žádný efekt (vliv). Budeme tedy v nulové hypotéze předpokládat, že i pocházejí
z normálně rozdělené populace s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem
2
.
Formulujeme nulovou hypotézu H0 :      kEEE   ...21 = 0 , proti alternativní
hypotéze, že H0 neplatí, že alespoň pro dvě hodnoty, např. i a j, platí: H1 :    ji EE   .
Cílem, k němuž směřujeme, je přijmout nulovou hypotézu H0, eventuálně H0 zamítnout
(na zvolené hladině významnosti). Pro ověření nulové hypotézy H0 použijeme statistiku:
)1)(1(
1
,
,
1


rk
S
k
S
F
vy
my
, (2.7)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
29
která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení )))((( 111  rkkF , . Kritické
hodnoty lze nalézt v tabulkách, nebo lze využít funkce z Excelu: FINV(;k – 1;(k – 1)(r –
1)).
Dále formulujeme nulovou hypotézu, že všechny bloky pocházejí ze stejné základní populace
(základního souboru), jinak řečeno, že hodnoty faktoru X2 nemají na hodnoty znaku
Y žádný efekt. Budeme tedy v nulové hypotéze předpokládat, že j pocházejí z normálně
rozdělené populace s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem 2
.
Formulujeme nulovou hypotézu H0´ : E E r( ) ... ( ) 1 0   , proti alternativní hypotéze,
že H0´ neplatí, že alespoň pro dvě hodnoty, např.   i i , platí H1´ : E Ei i( ) ( )   .
Pro ověření nulové hypotézy H0´ použijeme statistiku:
)1)(1(
1
,
,
2


rk
S
r
S
F
vy
by
, (2.8)
která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení F r k r( ,( )( ))  1 1 1 .
Zásadní rozdíl mezi dvoufaktorovou a jednofaktorovou analýzou rozptylu spočívá
v tom, že u jednofaktorové ANOVA neuvažujeme působení dalšího faktoru, zatímco
u dvoufaktorové ANOVA tak činíme. Tento rozdíl je vyjádřen ve výpočtu testového kritéria
(2.7) a (2.8), kde se ve jmenovateli zlomku vyskytuje člen (k – 1)(r – 1). Kdybychom
na stejnou situaci aplikovali pouze jednofaktorovou ANOVA, pak by ve výpočtu hodnoty
testového kritéria podle vztahu (1.6) byl na stejném místě člen (n – k) nebo člen (n – r),
podle toho, zda bychom brali v úvahu skupiny nebo bloky. Tento rozdíl může zapříčinit
rozdílné výsledky získané jednofaktorovou nebo dvoufaktorovou ANOVA!
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.1
Testovacími jízdami na zkušebním okruhu se zjišťuje průměrná spotřeba benzínu Natural
95 automobilu Octavia při použití benzínu od různých výrobců (Aral, Shell, Benzina, Slovnaft).
Bylo vybráno 6 řidičů A, B, C, D, E, F, z nichž každý absolvoval s každým typem
benzínu jednu zkušební jízdu. Na hladině významnosti 0,05 testujte, je-li průměrná spotřeba
paliva závislá na typu použitého benzínu a na tom, který řidič s vozem jel.
Řidiči
Značka benzínu A B C D E F
Aral 7,5 6,9 7,9 7,3 6,9 7,8
Shell 7,6 7,2 7,5 8,0 7,3 8,2
Benzina 7,2 8,1 7,8 7,6 7,8 6,9
Slovnaft 7,0 7,3 7,2 7,5 8,2 7,7
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
30
Řešení:
Máte za úkol prozkoumat závislost průměrné spotřeby (znak Y) na typu použitého benzínu
(znak X1) a na řidiči (znak X2), který s vozem jel. Znak X1 má k = 4 skupiny, znak X2 má
r = 6 bloků.
Pro faktor X1 formulujeme nulovou hypotézu:
H0: E(1)=E(2)=E(3)=E(4), (2.9)
proti H1: neplatí (2.9), tj. průměrná spotřeba závisí na použitém druhu benzínu.
Pro faktor X2 formulujeme nulovou hypotézu
H0

: E(1)=E(2)=…=E(6), (2.10)
proti alternativní hypotéze H1

: neplatí (2.10), tj. průměrná spotřeba benzínu závisí na řidiči,
který s vozem jel.
Pro ověření těchto hypotéz, tj. pro výpočet testových kritérií, musíme znát hodnotu součtů
Sy,m, Sy,v a Sy. Nejdříve vypočítáme podmíněné průměry yi. , i = 1, 2, 3, 4, y j. , j = 1, 2, …,
6 a také celkový průměr y .
38,7
6
8,79,65,7
.1 



y ,
další průměry y y y2 3 4. . ., , vypočítáme analogicky, viz Tabulka 4.
33,7
4
72,76,75,7
1. 

y ,
další průměry 6.2. ,, yy  vypočítáme analogicky. Celkový průměr je
50,7
24
7,79,65,7




y .
Hodnoty všech průměrů jsou uvedeny v tabulce. Nyní lze přistoupit k výpočtu jednotlivých
součtů:
     21,05,748,75,738,76)(
22
4
1
2
.,  

i
imy yyrS .
       35,05,738,75,733,74
22
6
2
.,  

j
jby yykS .
Potřebujeme znát i hodnotu součtu Sy,v, z praktického hlediska je však výhodnější vypočítat
hodnotu součtu Sy. Součet Sy,v pak snadno dopočítáme, neboť Sy = Sy,m+Sy,v+Sy,b.
       
      .79,35,77,75,72,85,76,7
5,78,75,79,65,75,7
222
222
4
1
6
1
2
,

  


i j
jiy yyS
Potom vypočítáme Sy,v = Sy – Sy,m – Sy,b = 3,79 – 0,21 – 0,36 = 3,22.
Pro ověření hypotézy H0 určíme testové kritérium F1
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
31
  
32,0
53
22,3
3
21,0
11
1
,
,
1 




rk
S
k
S
F
vy
my
.
V tabulce kritických hodnot F-rozdělení nebo pomocí Excelu najdeme F0,05(3,15) =
FINV(0,05; 3,15) = 3,29.
Protože 0,32 < 3,29, přijímáme H0, což znamená, že použitá značka benzínu nemá na průměrnou
spotřebu vliv.
Pro ověření hypotézy 
0H určíme testové kritérium F2
  
33,0
53
22,3
5
36,0
11
1
,
,
2 




rk
S
r
S
F
vy
by
.
V tabulce kritických hodnot F-rozdělení nebo pomocí Excelu najdeme F0,05(5,15) =
FINV(0,05; 5,15) = 2,9.
Protože 0,33 < 2,9, přijímáme i hypotézu 
0H , tzn., že ani volba řidiče nemá na průměrnou
spotřebu statisticky významný vliv.
Na rozdíl od jednofaktorové ANOVA jsme zde v obou situacích uvažovali současné působení
dvou faktorů!
Tabulka 4: Podmíněné průměry
Řidiči
Zn. benzínu A B C D E F Průměry
Aral 7,5 6,9 7,9 7,3 6,9 7,8 7,38
Shell 7,6 7,2 7,5 8,0 7,3 8,2 7,63
Benzina 7,2 8,1 7,8 7,6 7,8 6,9 7,57
Slovnaft 7,0 7,3 7,2 7,5 8,2 7,7 7,48
Průměry 7,33 7,38 7,6 7,6 7,55 7,65 7,50
Nakonec si ještě ukážeme řešení pomocí Excelu. Využijeme přitom funkci menu:
Nástroje  Analýza dat...  ANOVA: dva faktory bez opakování
Nejprve je zapotřebí připravit v Excelu data. Jednotlivé hodnoty yij pro faktoru Y pro
hodnoty faktorů X1 = benzín a X2 = řidič uspořádáme do řádků a sloupců, podobně jako
v tabulce v zadání. Data ve worksheetu Excelu vypadají tedy například takto:
Dále otevřeme v hlavním menu postupně položky:
Data  Analýza dat...  ANOVA :dva faktory bez opakování
A B C D E F G I
1 benzin/řidič A B C D E F
2 Aral 7,5 6,9 7,9 7,3 6,9 7,8
3 Shell 7,6 7,2 7,5 8 7,3 8,2
4 Benzina 7,2 8,1 7,8 7,6 7,8 6,9
5 Slovnaft 7 7,3 7,2 7,5 8,2 7,7
6
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
32
Po volbě třetí položky ANOVA: dva faktory bez opakování, se otevře zadávací okno:
Vstupní oblast: $A$1:$G$5
Popisky – zakliknete
Alfa: 0,05 (hladina významnosti je předvolena, lze ji však změnit). Potvrdíte OK.
V první tabulce jsou uvedeny základní statistické údaje o datech: Faktor, Počet, Součet,
Průměr a Rozptyl.
Ve druhé tabulce nazvané ANOVA jsou uvedeny výpočty metodou ANOVA: dva faktory
bez opakování, jednotlivé položky mají následující význam:
Řádky = meziskupinový
Sloupce = vnitroskupinový
Chyba = meziblokový
Celkem = celkový
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
Rozdíl = stupeň volnosti (DF – Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium
Hodnota P = Signifikance (p-hodnota)
F krit = kritická hodnota rozdělení F
Hodnoty získané řešením v Excelu jsou stejné jako při použití „ručního“ výpočtu, proto
i závěry jsou stejné. V Excelu máme navíc vypočtenu p-hodnotu testu (tzv. signifikanci),
která, pokud je menší než zvolená hladina významnosti , znamená, že nulovou hypotézu
zamítáme. V opačném případě nulovou hypotézu přijímáme.
V předchozích úvahách jsme měli situaci právě jednoho výskytu všech kombinací hodnot
skupin a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič absolvoval jedinou
jízdu s každým typem benzínu. Dále budeme uvažovat situaci vícenásobného opakování
Anova: dva faktory bez opakování
Faktor Počet Součet Průměr Rozptyl
Aral 6 44,3 7,383333 0,185667
Shell 6 45,8 7,633333 0,154667
Benzina 6 45,4 7,566667 0,194667
Slovnaft 6 44,9 7,483333 0,181667
A 4 29,3 7,325 0,075833
B 4 29,5 7,375 0,2625
C 4 30,4 7,6 0,1
D 4 30,4 7,6 0,086667
E 4 30,2 7,55 0,323333
F 4 30,6 7,65 0,296667
ANOVA
Zdroj variability SS Rozdíl MS F Hodnota P F krit
Řádky 0,21 3 0,07 0,325581 0,806868 3,287383
Sloupce 0,358333 5 0,071667 0,333333 0,884913 2,901295
Chyba 3,225 15 0,215
Celkem 3,793333 23
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
33
všech kombinací hodnot skupin a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič
absolvuje několik jízd (například 3 jízdy – viz následující příklad 2.2) s každým typem
benzínu, přitom samozřejmě mohou být dosažené hodnoty průměrné spotřeby různé. Zda
se tyto výsledky odlišují výrazně či nikoliv, se opět zjišťuje statistickým testem. Podrobnou
analýzu situace, která je analogická analýze případu bez opakování, již zde uvádět nebudeme.
Omezíme se pouze na řešení příkladu s využitím Excelu, konkrétně položky
ANOVA: dva faktory s opakováním.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.2
Podobně jako v příkladu 2.1 se zjišťuje průměrná spotřeba benzínu Natural 95 automobilu
Octavia při použití benzínu od různých výrobců (Aral, Shell, Benzina, Slovnaft). Bylo vybráno
6 řidičů A, B, C, D, E, F, z nichž každý absolvoval s každým typem benzínu tři zkušební
jízdy. Na hladině významnosti 0,05 testujte, je-li průměrná spotřeba paliva závislá na
typu použitého benzínu a na řidiči. Údaje jsou uvedeny v následující Tabulce 5.
Tabulka 5: Analýza rozptylu se dvěma faktory s opakováním
Řešení:
Data ve worksheetu Excelu vypadají přesně tak jako v Tabulce 5, jsou umístěny např. v poli
A1 až E19. Dále otevřeme v hlavním menu postupně položky:
Data  Analýza dat...  ANOVA: dva faktory s opakováním
Po volbě druhé položky ANOVA: dva faktory s opakováním, se otevře zadávací okno, kde
postupně zadáte:
Vstupní oblast: $A$1:$E$19
Řádků na výběr: 3 (tj. počet opakování)
Alfa: 0,05 (hladina významnosti je předvolena, lze ji však změnit)
benzin/řidičAral Shell Benzina Slovnaft
A 7,5 7,6 7,2 7
7,7 7,4 7,6 7,4
8 7,3 8,1 7,7
B 6,9 7,2 8,1 7,3
6,7 7,4 8,5 7,6
6,6 7,6 8,8 7,8
C 7,9 7,5 7,8 7,2
8 7,8 7,7 7,1
8,3 8,1 7,6 7
D 7,3 8 7,6 7,5
7,2 8 7,8 7,7
7,1 7,9 8 7,8
E 6,9 7,3 7,8 8,2
6,8 7,2 8 8,1
6,7 7 8,1 8
F 7,8 8,2 6,9 7,7
7,7 8,4 7,5 7,7
7,5 8,5 7,9 7,7
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
34
Výstupní oblast: např. $L$1 (levý horní roh výstupní oblasti)
Potvrdíte OK.
Obdržíte následující výstup, kterého “levý horní roh” začíná v buňce L1 nadpisem
ANOVA: dva faktory s opakováním. V první tabulce jsou uvedeny základní statistické
údaje o datech: Faktor, Počet, Součet, Průměr a Rozptyl.
Ve druhé tabulce nazvané ANOVA jsou uvedeny výpočty metodou ANOVA: dva faktory
s opakováním.
Anova: dva faktory s opakováním
Faktor Aral Shell Benzina Slovnaft Celkem
A
Počet 3 3 3 3 12
Součet 23,2 22,3 22,9 22,1 90,5
Průměr 7,73 7,43 7,63 7,37 7,54
Rozptyl 0,06 0,02 0,20 0,12 0,10
B
Počet 3 3 3 3 12
Součet 20,2 22,2 25,4 22,7 90,5
Průměr 6,73 7,40 8,47 7,57 7,54
Rozptyl 0,02 0,04 0,12 0,06 0,46
C
Počet 3 3 3 3 12
Součet 24,2 23,4 23,1 21,3 92
Průměr 8,07 7,80 7,70 7,10 7,67
Rozptyl 0,04 0,09 0,01 0,01 0,16
D
Počet 3 3 3 3 12
Součet 21,6 23,9 23,4 23 91,9
Průměr 7,200 7,967 7,800 7,667 7,658
Rozptyl 0,010 0,003 0,040 0,023 0,103
E
Počet 3 3 3 3 12
Součet 20,4 21,5 23,9 24,3 90,1
Průměr 6,80 7,17 7,97 8,10 7,51
Rozptyl 0,01 0,02 0,02 0,01 0,33
F
Počet 3 3 3 3 12
Součet 23 25,1 22,3 23,1 93,5
Průměr 7,67 8,37 7,43 7,70 7,79
Rozptyl 0,02 0,02 0,25 0,00 0,19
Celkem
Počet 18 18 18 18
Součet 132,6 138,4 141 136,5
Průměr 7,37 7,69 7,83 7,58
Rozptyl 0,28 0,20 0,19 0,13
ANOVA
Zdroj variability SS Rozdíl MS F Hodnota P F krit
Výběr 0,69 5 0,14 2,64 0,03 2,41
Sloupce 2,08 3 0,69 13,23 0,00 2,80
Interakce 10,23 15 0,68 12,99 0,00 1,88
Dohromady 2,52 48 0,05
Celkem 15,53 71
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
35
Jednotlivé položky mají následující význam:
Výběr = meziskupinový
Sloupce = vnitroskupinový
Interakce = meziblokový
Celkem = celkový
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
Rozdíl = stupeň volnosti (DF – Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium
Hodnota P = Signifikance (p-hodnota)
F krit = kritická hodnota rozdělení F
Hodnoty získané řešením v Excelu jsou analogické jako v příkladu 2.1, tedy v případě
ANOVA bez opakování. Navíc je tu p-hodnota uvedená v řádku Interakce, která se týká
testu vzájemné závislosti faktorů. Nulová hypotéza předpokládá, že faktoru jsou vzájemně
nezávislé. Pokud je tato hodnota menší než zvolená hladina významnosti , znamená to, že
nulovou hypotézu zamítáme. V opačném případě nulovou hypotézu přijímáme.
V této kapitole jsme uvažovali situaci, kdy se kromě třídění do skupin vyskytují další
faktory, říkáme jim bloky, podle nichž výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž třídíme. Přehledná
situace vzniká, když kromě prvního faktoru uvažujeme ještě faktor druhý, říkáme
pak, že je třídíme do bloků a v takovém případě se jedná o dvoufaktorovou ANOVA. Formálně
vzato je ANOVA, ať jednofaktorová, dvoufaktorová nebo vícefaktorová, parametrickým
testem statistické hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním kurzu statistiky.
Nejprve jsme měli situaci právě jednoho výskytu všech kombinací hodnot skupin a bloku
obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič absolvoval jedinou jízdu s každým typem
benzínu. Poté jsme uvažovali situaci vícenásobného opakování všech kombinací hodnot
skupin a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič absolvuje několik jízd
s každým typem benzínu, přitom samozřejmě mohou být dosažené hodnoty průměrné spotřeby
různé. Zda se tyto výsledky odlišují výrazně či nikoliv, se opět zjistilo statistickým
testem. K řešení příkladů jsme použili Excel, konkrétně položku Analýza dat. V další řešené
úloze si ukážeme řešení dvoufaktorové analýzy rozptylu v programu GRETL.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.3
Ve třech městech okresu Karviná jsme v jednotlivých dnech sledovali průměrnou spotřebu
pitné vody (v m3
) na jednoho obyvatele. Zjistěte, zda je průměrná spotřeba vody závislá
na dni v týdnu, a je-li spotřeba v různých městech různá. Uvažujte hladinu významnosti
0,05. Zjištěné údaje jsou uvedeny v Tabulce 6.
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
36
Tabulka 6: Spotřeba pitné vody (m3)
Řešení:
Formulace první dvojice hypotéz:
H0: spotřeba pitné vody nezávisí na dnu v týdnu,
H1: spotřeba pitné vody závisí na dnu v týdnu.
Formulace druhé dvojice hypotéz:
H0: spotřeba pitné vody nezávisí na městě,
H1: spotřeba pitné vody závisí na městě.
Obrázek 7 zachycuje zadávání hodnot do programu GRETL. V prvním sloupci je kvantitativní
proměnná spotřeba vody, druhý sloupec zobrazuje město (1,2,3) a třetí sloupec je proměnná
den (1,2,3,4,5,6,7). Kvalitativní proměnné musí být přirozená čísla.
Obrázek 7: Zadávání hodnot do programu GRETL
Karviná Petřvald Bohumín
Po 0,6 0,7 0,5
Út 0,7 0,6 0,6
St 0,9 0,8 0,7
Čt 0,6 0,6 0,5
Pá 1 1,3 0,8
So 1,2 1,6 1,3
Ne 1 1,2 1,3
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
37
Testování první dvojice hypotéz.
Obrázek 8: Testování první dvojice hypotéz
Obrázek 9: Výsledek testování první dvojice hypotéz
Výsledek: p-hodnota = 4,42.10-5
a tato hodnota je menší než hladina významnosti 0,05,
proto nulovou hypotézu o nezávislosti spotřeby pitné vody na dnu v týdnu zamítáme. Můžeme
tedy tvrdit, že spotřeba pitné vody z 95 % závisí na dnu v týdnu.
Testování druhé dvojice hypotéz.
Obrázek 10: Testování druhé dvojice hypotéz
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
38
Obrázek 11: Výsledek testování druhé dvojice hypotéz
Výsledek: p-hodnota = 0,123 a tato hodnota není menší než hladina významnosti 0,05,
proto nulovou hypotézu o nezávislosti spotřeby pitné vody na městě nelze zamítnout. Z 95
% nebylo prokázáno, že by spotřeba pitné vody závisela na městě.
2.3 Kruskal – Wallisova analýza rozptylu
Analýza rozptylu předpokládá ve své parametrické podobě normalitu rozdělení a homoskedasticitu
(identické rozptyly). Pokud tyto podmínky nejsou splněny, je třeba použít
neparametrický Kruskal-Wallisův test, který je obdobou jednofaktorového třídění v analýze
rozptylu. Na rozdíl od parametrického testu nepředpokládá normalitu rozdělení, jeho
nevýhodou je pak menší citlivost. Kruskal-Wallisův test je vícevýběrovým testem mediánů.
Nechť tyto náhodné výběry pochází ze spojitých rozdělení stejného typu a stejných rozptylů
(homoskedasticita):
(X11 , X12, …, X1n1); (X21 , X22, …, X2n2); …; (Xk1 , Xk2, …, Xknk);
kde ni je rozsah jednotlivých výběrů.
Testujeme nulovou hypotézu: H0: kxxx ~=...=~=~
21 , proti alternativní hypotéze: H1:
neplatí H0.
Všechny veličiny Xij tvoří dohromady sdružený náhodný výběr o rozsahu ∑
1=
=
k
i
inN .
Z tohoto výběru vytvoříme uspořádaný výběr (rostoucí posloupnost) a určí se pořadí Rij
každé veličiny Xij. Tato pořadí uspořádáme do tabulky a určíme tzv. součty pořadí pro jednotlivé
výběry Ti, kde ∑
1=
=
nj
j
iji RT .
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
39
Testová statistika je: )1+.(3.
)1+.(
12
= ∑
1=
2
N
n
T
NN
Q
k
i i
i
.
Hodnotu Q porovnáváme s kritickou hodnotou ( )12
kχα .
ŘEŠENÁ ÚLOHA 2.4
V následující tabulce jsou uvedeny ceny bytů v závislosti na počtu pokojů. Pomocí Kruskal-Wallisovy
analýzy rozptylu zjistěte, zda je cena bytu závislá na počtu pokojů v bytě.
Uvažujte hladinu významnosti 0,05.
Počet pokojů Cena bytu v tis.Kč
1 200 210 220
2 320 310 330 340
3 500 520 540 510
4 600 620 610
Řešení:
V další tabulce se zapíše pořadí Rij každé veličiny Xij a dále určíme tzv. součty pořadí pro
jednotlivé výběry Ti.
Tabulka pro výpočet testového kritéria
Ti Ti
2 Ti
2 / ni
6 36 12
22 484 121
38 1444 361
39 1521 507
SUMA 1001
Dosadíme do testové statistiky 2,12=)1+14.(31001.
)1+14.(14
12
=Q .
Kritická hodnota ( ) 81,7=)3;05,0(=32
05,0 CHIINVχ .
Protože hodnota testové statistiky Q = 12,2 leží v kritickém oboru, tak nulovou hypotézu
o nezávislosti znaků zamítáme. Můžeme tedy z 95 % tvrdit, že cena bytu závisí na počtu
pokojů v bytě.
Počet pokojů Rij Ti ni
1 1 6 3 6 3
2 5 22 6 7 22 4
3 8 38 11 9 38 4
4 12 39 13 39 3
Analýza rozptylu (ANOVA) – dva a více faktorů
40
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této kapitole jsme uvažovali situaci, kdy se kromě třídění do skupin, vyskytovaly další
faktory, říkáme jim bloky. Když kromě prvního faktoru uvažujeme ještě faktor druhý, říkáme
pak, že je třídíme do bloků a v takovém případě se jedná o dvoufaktorovou ANOVA.
Formálně vzato je ANOVA, ať jednofaktorová, dvoufaktorová nebo vícefaktorová, parametrickým
testem statistické hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním kurzu statistiky.
V této kapitole jste se také seznámili s Kruskal-Wallisovou verzi ANOVA, která využívá
Chi-kvadrát test statistické hypotézy.
2.4 Samostatné úkoly
Řešte v Excelu.
2.1 Ve čtyřech městech okresu Karviná jsme v jednotlivých dnech sledovali průměrnou
spotřebu pitné vody (v m3
) na jednoho obyvatele. Zjistěte, zda je průměrná spotřeba vody
závislá na dni v týdnu, a je-li spotřeba v různých městech různá. Uvažujte hladinu významnosti
0,01. Zjištěné údaje jsou uvedeny v tabulce.
Karviná Orlová Bohumín Český Těšín
Po 0,64 0,75 0,54 0,76
Út 0,78 0,63 0,61 0,83
St 0,93 0,82 0,7 0,91
Čt 0,66 0,62 0,56 0,62
Pá 0,99 1,3 0,79 0,99
So 1,22 1,65 1,3 0,98
Ne 1,05 1,3 1,24 1,1
2.2 Výroba součástek může v podniku probíhat na jednom ze čtyř rozdílných strojů. I když
každý stroj provádí stejné operace, má svá specifika. U každého stroje pracuje jeden dělník.
Na hladině významnosti  = 0,01 testujte hypotézu o tom, že počet vyrobených součástek
není ovlivněn volbou stroje ani dělníkem, který na něm pracuje.
Stroj
Dělník A B C D
1 93 108 123 133
2 98 153 143 163
3 80 123 150 168
4 88 158 165 145
5 60 143 140 130
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
41
2.5 Řešení úkolů, výsledky
2.1 DNY: F = 12,95 F krit = 4,01 p-hodnota = 0,000 – H0 zamítáme (průměrná
spotřeba pitné vody závisí na dnu v týdnu)
MĚSTO: F = 2,07 F krit = 5,1 p-hodnota = 0,14 – H0 přijímáme (nebyla prokázána
závislost průměrné spotřeby pitné vody na městě).
2.2 DĚLNÍK: F = 2,45 F krit = 5,41 p-hodnota = 0,1 – H0 přijímáme (nebyla
prokázána závislost počtu součástek na dělníkovi, který na stroji pracuje).
STROJ: F = 20,47 F krit = 5,95 p-hodnota = 0,000 – H0 zamítáme (počet
vyrobených součástek závisí na stroji).
Resgresní analýza – jednorozměrná lineární regrese
42
3 RESGRESNÍ ANALÝZA – JEDNOROZMĚRNÁ LINEÁRNÍ RE-
GRESE
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Analýzu rozptylu z první kapitoly je možné chápat jako analýzu závislosti kvantitativního
znaku (proměnné) na kvalitativním znaku - faktoru (proměnné). Naproti tomu závislostí
kvantitativního znaku na kvantitativním znaku (nebo více kvantitativních znacích) se
zabývá regresní analýza. V případě závislosti dvou znaků mluvíme o jednorozměrné regresi
(případně jednoduché regresi), u znaku závislém na více kvantitativních veličinách
hovoříme o vícerozměrné regresi (vícenásobné regresi). V této kapitole budeme vyšetřovat
nejprve nejjednodušší lineární závislost dvou znaků, v další kapitole se budeme zabývat
i nelineárními závislostmi dvou znaků důležitých z hlediska ekonomických aplikací.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
 vypočítat regresní koeficienty,
 vysvětlit metodu nejmenších čtverců,
 vypočítat koeficient determinace a koeficient korelace,
 vyjmenovat podmínky klasického lineárního regresního modelu.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Regresní přímka, metoda nejmenších čtverců, koeficient determinace, koeficient kore-
lace.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
43
3.1 Regresní analýza
V regresní analýze studujeme vztah mezi jedinou proměnnou (hodnotami statistického
znaku) nazývanou závisle proměnnou (někdy vysvětlovanou proměnnou), označujeme ji Y,
a obecně několika proměnnými (hodnotami statistických znaků), které nazýváme nezávisle
proměnné (někdy vysvětlující proměnné), a označujeme je symboly X1, X2,.... Pokud se zabýváme
jedinou nezávisle proměnnou X, hovoříme o jednoduché regresi, pokud je nezávisle
proměnných více než jedna, mluvíme o vícrozněrnéné (vícenásobné) regresi (někdy
též mnohonásobné regresi). V této a následující kapitole se věnujeme jednoduché regresi.
Závisí-li veličina Y na veličině X, pak to matematicky vyjadřujeme zápisem
Y = f(X). (3.1)
V našem případě jsou Y a X statistické znaky (náhodné veličiny), pak hovoříme o statistické
závislosti, funkční vztah (3.1) přejde v regresní vztah (regresní model)
y = f(x) +  , (3.2)
kde y, resp. x, představují hodnoty znaku Y, resp. X,  je náhodná složka, funkci f nazýváme
regresní funkce.
Jestliže je regresní funkce f lineární, což značí, že má tvar regresní přímky
xxf 10)(   , (3.3)
potom hovoříme o jednoduché lineární regresi, nemá-li regresní funkce lineární tvar,
hovoříme o jednoduché nelineární regresi. Ve vzorci (3.3) jsou 10  , parametry regresní
funkce neboli regresní koeficienty.
Mezi nejpoužívanější nelineární regresní funkce patří:
regresní parabola: 2
10)( xxf   , (3.4)
regresní hyperbola:
x
xf
1
)( 10   , (3.5)
regresní logaritmická funkce: xxf log)( 10   . (3.6)
regresní mocninná funkce: 1
0)( 
 xxf  , (3.7)
regresní exponenciální funkce: x
xf 10)(  . (3.8)
Výše uvedené nelineární regresní funkce lze převést na lineární vhodnou transformaci, jak
uvidíme v následující kapitole.
Kromě výše uvedených příkladů nelineárních regresních funkcí existuje celá řada dalších
významných nelineárních funkcí, např. Törnquistovy funkce, které nelze na lineární
funkci jednoduše převést. Budeme se jimi zabývat v následující kapitole.
Resgresní analýza – jednorozměrná lineární regrese
44
3.2 Jednoduchá regresní analýza
Představte si výběr párových hodnot (y1, x1), (y2, x2), (y3, x3),..., (yn, xn), získaných (např.
změřených) na statistických jednotkách základního souboru. Zde jsou yi hodnotami závisle
proměnné Y a xi jsou hodnotami nezávisle proměnné X. Zmíněné párové hodnoty můžeme
získat zejména dvojím způsobem:
(A) Hodnoty nezávisle proměnné xi jsme předem pevně zvolili a k nim jsme „změřili“
příslušné hodnoty yi. V této situaci jsou hodnoty znaku X pevné (nenáhodné), zatímco
hodnoty znaku Y považujeme za náhodné veličiny.
(B) Párové hodnoty (yi, xi) „změříme“ na n náhodně zvolených jednotkách základního
souboru. V této situaci jak hodnoty znaku X, tak hodnoty znaku Y považujeme za
náhodné veličiny.
Výše uvedený datový soubor párových hodnot můžeme geometricky znázornit v rovině
bodovým grafem, kde na vodorovnou osu „x“ nanášíme hodnoty nezávisle proměnné a na
svislou osu „y“ příslušné hodnoty závisle proměnné. Výsledkem je geometrické znázornění
n bodů v rovině, z jejichž vzájemné polohy můžeme soudit na regresní závislost znaku Y
na X. Úkolem jednoduché lineární regrese je „proložit“ danými body přímku (tj. nalézt
lineární regresní funkci), která nejlépe charakterizuje polohu daných n bodů. Z předchozího
odstavce víme, že tato regresní funkce má tvar xxf 10)(   , kde 10, jsou zatím neznámé
hodnoty parametrů regresní přímky. Regresní model (3.2) má nyní tvar
yi = ix10   + i , i = 1, 2,..., n. (3.9)
Odhady 10 b,b těchto neznámých parametrů – regresní koeficienty získáme metodou nejmenších
čtverců. Této metodě, která patří mezi nejdůležitější metody používané ve statistice,
bude věnován následující odstavec.
3.3 Metoda nejmenších čtverců
Uvažujte data ve formě párových hodnot – bodů: (y1, x1), (y2, x2), (y3, x3),..., (yn, xn).
Úkolem jednoduché regrese je najít regresní funkci, která „nejlépe charakterizuje polohu“
daných n bodů. Nejprve budeme uvažovat obecný tvar regresní funkce ),;( 10 xf se
dvěma parametry 10, (nemusí to být nutně regresní přímka). Speciálními případy této
regresní funkce je lineární funkce (3.3) a také nelineární funkce (3.4) – (3.8). Postup metody
nejmenších čtverců bude vždy stejný, tj. nezávislý na konkrétním tvaru regresní
funkce. Odhady 10,bb neznámých parametrů 10, získáme tak, že nalezneme hodnoty
10,bb , pro něž nabývá své minimální hodnoty reziduální součet čtverců odchylek hodnot
závisle proměnné yi od teoretické hodnoty ),;( 10 bbxfY ii  , tj.
SR =     

n
i
ii
n
i
ii bbxfyYy
1
2
10
1
2
),,( . (3.10)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
45
Jak je známo z matematické analýzy, své minimum funkce SR (zde je to funkce proměnných
10 b,b ) vždy nabývá pro ty hodnoty 10 b,b , pro něž se anulují její parciální derivace:
0
0



b
SR
, 0
1



b
SR
. (3.11)
Vztahy (3.11) představují soustavu 2 rovnic o 2 neznámých 10,bb , která se nazývá soustava
normálních rovnic. Jejím řešením získáme hledané odhady regresních parametrů zvolené
regresní funkce.
Vyřešíme nyní soustavu (3.11) pro speciální případ, který nás zejména zajímá, totiž pro
lineární regresní funkci xxf 1010 ),;(   . Dosadíme-li tuto funkci do vztahu (3.10),
vypočteme příslušné parciální derivace, které položíme rovny 0, získáme konkrétní soustavu
normálních rovnic
 

n
i
i
n
i
i xbnby
1
10
1
, (3.12)
 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii xbxbyx
1
2
1
1
0
1
.
Z těchto rovnic již snadno (v konkrétním případě pro dané hodnoty yi , xi známou „dosazovací
metodou“) vypočteme hledané odhady 10,bb takto:
, . (3.13)
Z analytické geometrie si připomeňte, že regresní koeficient b0 představuje průsečík regresní
přímky s osou „y“, tedy hodnotu Y0 pro x = 0, tento regresní koeficient se někdy
nazývá úrovňová konstanta. Regresní koeficient b1 vyjadřuje směrnici přímky, tedy sklon
přímky k ose „x“, tj. změnu funkční hodnoty Y při změně nezávisle proměnné x o jednotku.
Pro jiné než lineární tvary regresní funkce je postup metody nejmenších čtverců obdobný.
Výsledkem je rovněž soustava 2 normálních rovnic, tyto rovnice však již nemusí
být lineární a proto soustavu již obvykle nelze snadno vyřešit. K řešení pak používáme
iterační numerické metody, které zde nejsou předmětem našeho zájmu. V řešených úlohách
jsou uvedeny způsoby nalezení odhadů regresních koeficientů metodou linearizace exponenciální
a mocninné regresní funkce pomocí logaritmické transformace.
Na tomto místě bychom chtěli zvýraznit jeden důležitý fakt, který budeme v následujícím
výkladu neustále využívat. Data pro regresní analýzu jsou výsledkem náhodného výběru,
ať již jsme použili při jejich získání postup (A), nebo (B). Proto také výsledek jednoduché
lineární regresní analýzy – odhady neznámých parametrů 10  , , tj. regresní koeficienty
10 b,b , budou náhodné veličiny. Při každém dalším náhodném výběru dat bude výsledek,
tj. odhad 10 b,b , obecně jiný! Má proto význam hovořit dále o statistických charakteristikách
těchto odhadnutých parametrů, jako např. střední hodnota, rozptyl, apod.
2
1
2
1
1
xnx
yxnyx
b n
i
i
n
i
ii






 xbyb 10 
Resgresní analýza – jednorozměrná lineární regrese
46
3.4 Míra variability, koeficient determinace
Metoda nejmenších čtverců nás nyní přivedla k postupu, který jsme již použili v předchozí
kapitole při analýze rozptylu. V ANOVA se jednalo o rozklad celkové variability
znaku Y, vyjádřené jako celkový součet čtverců, na meziskupinový a vnitroskupinový (reziduální)
součet čtverců. V analýze rozptylu jsme pracovali se znakem X, který měl kvalitativní
povahu, a proto nebylo možné vyjádřit závislost regresním modelem. V regresní
analýze má znak X – nezávisle proměnná – kvantitativní povahu, a proto je regresní model
závislosti Y na X možný. Použijeme analogii s ANOVA v tom, že znak X zde bude nabývat
hodnot x1, x2,...,xn a i-tá skupina bude nyní charakterizována teoretickou hodnotou
),;( 10 bbxfY ii  , namísto skupinového průměru iy v ANOVA. Potom celkovou variabilitu
vysvětlované proměnné charakterizuje celkový součet čtverců:
 

n
i
iy yyS
1
2
. (3.14)
Část celkové variability vysvětlenou regresním modelem charakterizuje teoretický součet
čtverců:
 

n
i
iT yYS
1
2
, (3.15)
nevysvětlenou část celkové variability představuje reziduální součet čtverců (3.10):
SR =  

n
i
ii Yy
1
2
, (3.16)
kde ei = yi – Yi nazýváme reziduum.
Lze dokázat, že mezi jednotlivými součty čtverců platí základní vztah:
Sy = ST + SR . (3.17)
Obdobně jako v analýze rozptylu jsme zavedli k vyjádření těsnosti vztahu Y a X poměr
determinace, nyní zavedeme analogický pojem charakterizující přiléhavost dat k regresnímu
modelu. Tímto pojmem je koeficient determinace, který definujeme vztahem
y
R
S
S
R 12
. (3.18)
Ze vztahu (3.17) vyplývá, že koeficient determinace nabývá hodnoty z intervalu [0,1]
a určuje tu část celkové variability pozorovaných hodnot Sy, kterou lze vysvětlit daným
regresním modelem. Jinak řečeno, po vynásobení koeficientu determinace hodnotou 100
obdržíme, kolik procent celkové variability je vysvětlitelných regresním modelem. Koeficient
determinace je proto důležitou charakteristikou vhodnosti zvoleného regresního mo-
delu.
Vztah (3.18) vzniká podílem náhodných veličin, a proto jakožto náhodná veličina je
odhadem koeficientu determinace R2
. Pro malé rozsahy výběru n je odhad (3.18) vychýlený,
viz Ramík (2003), tj. nadhodnocuje přiléhavost k regresnímu modelu. Proto se používá nevychýlený
odhad koeficientu determinace 2
adjR (z angl. adjusted), který nazýváme korigovaný
(upravený) koeficient determinace:
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
47
  2
1
11 22



n
n
RRadj . (3.19)
Pro velké hodnoty n je však zlomek ve vzorci (3.19) blízký k jedné a korigovaný koeficient
se blíží k „nekorigovanému“.
3.5 Klasický lineární model
Klasickým jednoduchým lineárním regresním modelem se nazývá regresní model (3.9):
yi = ixββ 10 + + i , i = 1,2,...,n,
splňující následující podmínky:
(1) Hodnoty vysvětlující proměnné xi se volí předem, viz (A) odstavec 3.2, nejsou to
tedy náhodné veličiny.
(2) Náhodné složky i v modelu (3.9) mají normální rozdělení pravděpodobnosti se
střední hodnotou 0 a (neznámým) rozptylem 2
. Konstantnost rozptylu nazýváme
homoskedasticita.
(3) Náhodné složky nejsou korelované, tj.Cov(i , j) = 0 pro každé i  j , i,j = 1,2,...,n.
Podmínky (1) až (3) požadujeme tehdy, chceme-li zajistit splnění některých dalších
vlastností: např. zjistit intervaly spolehlivosti koeficientů regresní funkce, interval spolehlivosti
hodnoty regresní funkce, eventuálně chceme-li provádět testy hypotéz o některých
prvcích regresního modelu. Těmito tématy se budeme zabývat v následujících odstavcích.
Pokud totiž tyto podmínky splněny nejsou, nelze zajistit „spolehlivé předpovědi“.
V praxi jsou podmínky klasického modelu často splněny, nejsme-li si však jejich platností
jisti, můžeme provést testy hypotéz jak o normalitě rozdělení náhodné složky
(např. test dobré shody, viz např. Ramík (2003)), tak i testy o nekorelovanosti náhodných
složek (např. t-test). Další testy uvedeme později v souvislosti s časovými řadami. Na Obrázku
12 je znázorněna situace, kdy podmínky klasického lineárního modelu jsou splněny,
na Obrázku 13 je zachycena situace, kdy není splněna ani podmínka normality náhodných
složek (na obrázku jsou všechny i prakticky stejné), ani podmínka nekorelovanosti (hodnoty
yi se nacházejí vedle sebe po jedné straně grafu regresní funkce).
Resgresní analýza – jednorozměrná lineární regrese
48
Obrázek 12: Podmínky klasického modelu jsou splněny
Obrázek 13: Podmínky klasického modelu nejsou splněny
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.1
Společnost na výrobu bytového textilu zkoumala, jak souvisí zisk z prodeje s výdaji na reklamu.
Tabulka 7 uvádí údaje obdržené v deseti náhodně vybraných firmách.
a. Načrtněte bodový graf a určete typ regresní funkce popisující danou závislost.
b. Stanovte koeficienty regresní funkce z a.
c. Vypočítejte koeficient determinace a zhodnoťte těsnost závislosti vyjádřenou regresním
modelem z bodu b.
Tabulka 7: Zisk z prodeje a výdaje na reklamu
Pozorování Výdaje na reklamu (tis. Kč) Zisk z prodeje (10 tis. Kč)
1 6 5
2 8 8
3 9 9
4 9 12
5 12 21
6 15 25
7 16 32
8 20 36
9 22 51
10 23 59
10
15
0 5 10 15 20
yt
t
Data a regresní křivka
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
yt
t
Data a regresní křivka
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
49
Řešení („ruční“ výpočet):
a. Z grafu vidíte, že jde o přímou závislost, kterou je možné popsat regresní přímkou
Y = 0 + 1x.
b. Máte za úkol stanovit hodnoty koeficientů b0, b1, neboli na základě dat odhadnout
hodnoty parametrů 1, 2. Využijeme výsledků metody nejmenších čtverců, nebudete
však dosazovat přímo do soustavy rovnic (3.12), ale použijete vztahy pro b0, b1,
tj. (3.13), které je možné z dané soustavy vyjádřit, a to v numericky výhodném a
snadno zapamatovatelném tvaru:
97,2
34
9,100
14230
8,25141,462
2221 






xx
yxxy
b
75,151497,28,2510  xbyb .
Výpočty potřebných hodnot pomocí kalkulačky jsou uvedeny v Tabulce 8.
Tabulka 8: Výpočty
i xi yi xi
2
xiyi Yi
2
)( yYi  ( )y yi  2
1 6 5 36 0 2,04 565,21 432,64
2 8 8 64 64 7,98 318,22 316,84
3 9 9 81 81 10,95 221,15 282,24
4 9 12 81 108 10,95 221,15 190,44
5 12 21 144 252 19,86 35,62 23,04
6 15 25 225 375 28,77 8,61 0,64
7 16 32 256 512 31,74 34,84 38,44
8 20 36 400 720 43,62 315,88 104,04
9 22 51 484 1122 49,56 562,08 635,04
10 23 59 529 1357 52,53 711,60 1102,24
Součet 140 258 2300 4621 258 2994,3 3125,6
Průměr 14 25,8 230 462,1
Obrázek 14: Graf regresní přímky
Lineární regrese
y = 2,9676x - 15,747
R2
= 0,958
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25
Zisk z prodeje (10 tis.
Kč)
Lineární (Zisk z prodeje
(10 tis. Kč))
Resgresní analýza – jednorozměrná lineární regrese
50
Hledaná regresní přímka má tvar: xY 9727515 ,,  .
c. K tomu, abychom vypočítali determinační koeficient, musíme znát hodnotu součtu
ST a součtu Sy. Tyto součty vypočítáme podle vztahů (3.14), (3.15). Pro výpočet teoretického
součtu musíme pro každé xi, i = 1,…,10, znát teoretickou hodnotu Yi.
042697278159727515 11 ,,,,,  xY .
Tato hodnota udává, jaký by měl být zisk při výdajích x = 6. Protože však jde o stochastickou
závislost mezi společenskými veličinami, může se tato hodnota lišit od skutečně zjištěné
hodnoty y = 5. Všechny teoretické hodnoty Yi i hodnoty součtů Sy a ST jsou uvedeny
v Tabulce 8. Koeficient determinace vypočítáme dosazením součtů Sy, ST do vztahu (3.18).
.958,0
6,3125
3,29942

y
T
S
S
R
Tato hodnota znamená, že pomocí regresní přímky xY 9727815 ,,  je vysvětleno 95,8%
chování proměnné Y.
Řešení (výpočet v Excelu):
V Excelu využijeme graf funkce s funkcí Přidat spojnici trendu. Po volbě položky Vložit
graf  XY bodový..., se otevře zadávací okno, kde zadáte:
Oblast dat: $A$1:$B$11
Sloupce:  (zakliknout)
Potvrdíte OK
Obdržíte bodový graf, viz Obrázek 14 (ještě bez regresní přímky). Poklepem pravým tlačítkem
myši na některý z bodů grafu obdržíte nabídku menu, kde zvolíte: Přidat spojnici
trendu
Typ trendu regrese: zvolíte Lineární
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakliknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace R2
).
Potvrdíte OK.
Obdržíte výsledek téměř takový, jaký je na Obrázku 14. K původním bodům se zobrazí
regresní přímka, dále rovnice regresní přímky a hodnotu koeficientu determinace R2
.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 3.2
Společnost Air - Ostrava, zajišťující lety na trase Ostrava - Praha, sleduje při plánování letů
také na hmotnost užitečného zatížení letadla, jehož významnou část tvoří pasažéři a jejich
zavazadla. Zjistilo se, že hmotnost zavazadel cestujících souvisí s dobou, na kterou odcestovali.
Výsledky průzkumu zachycuje Tabulka 9.
a. Najděte rovnici regresní přímky popisující danou závislost.
b. S jakou hmotností zavazadel lze počítat, bude-li na palubě 15 cestujících vracejících se
za 2 dny, 7 cestujících vracejících se za 5 dnů, 5 cestujících vracejících se za 6 dnů
a 1 cestující vracející se za 14 dní.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
51
Tabulka 9: Výsledky průzkumu
Pozorování Dny Hmotnost
1 13 46
2 12 43
3 9 29
4 16 52
5 10 31
6 5 18
7 2 11
8 3 12
9 8 25
10 2 10
11 14 48
12 19 60
13 3 15
14 5 20
15 2 12
Řešení:
Prezentujeme zde pouze „ruční“ výpočet řešení (s kalkulačkou), řešení pomocí Excelu s
využitím funkce Přidat spojnici trendu v bodovém grafu ponecháváme na čtenáři.
a. K výpočtu regresních koeficientů b0, b1 použijeme opět vztahů (3.13):
99,2
2,873,96
8,282,84,324
2221 






xx
yxyx
b , 27,42,899,28,2810  xbyb
Regresní přímka má tedy tvar xY 992274 ,,  .
Tabulka 10: Výpočty
i
xi yi xiyi xi
2
1 13 46 598 169
2 12 43 516 144
3 9 29 261 81
4 16 52 832 256
5 10 31 310 100
6 5 18 90 25
7 2 11 22 4
8 3 12 36 9
9 8 25 200 64
10 2 10 20 4
11 14 48 672 196
12 19 60 1140 361
13 3 15 45 9
14 5 20 100 25
15 2 12 24 4
Součet 123 432 4866 1451
Průměr 8,2 28,8 324,4 96,73
Resgresní analýza – jednorozměrná lineární regrese
52
b. Vypočítáme hodnotu Y pro x = 2: 25,10299,227,4)2( Y ,
x = 5: 22,19599,227,4)5( Y ,
x = 6: 21,22699,227,4)6( Y ,
x =14: 13,461499,227,4)14( Y .
Potom hmotnost zavazadel m, se kterou lze počítat, snadno zjistíte, uvážíte-li počty příslušných
cestujících:
47,44513,4605,11154,13475,153)14(1)6(5)5(7)2(15  YYYYm kg.
SHRNUTÍ KAPITOLY
Tato kapitola se zabývala jednoduchou regresní analýzou, byl zde formulován model
jednoduché lineární regresní analýzy. Dále zde byla vysvětlena metoda nejmenších čtverců
k nalezení „nejlepších“ hodnot regresních koeficientů v regresním modelu. Míra přiléhavosti
dat k regresní křivce byla stanovena pomocí koeficientu determinace a jeho odmocniny
– koeficientu korelace. Nakonec jste se seznámili s tzv. klasickým jednoduchým regresním
modelem, který stanovuje 3 základní podmínky, kterým by měl vyhovovat regresní
model vzhledem k existujícím datům.
3.6 Samostatné úkoly
3.1 Personální ředitel firmy shromáždil údaje o věku (X) a době pracovní neschopnosti (Y)
dvaceti náhodně vybraných stálých zaměstnanců. Zjištěné údaje jsou zaznamenány v ta-
bulce.
X Y X Y
20 4 58 20
35 14 46 13
35 15 43 16
34 10 33 10
32 10 29 10
28 9 36 11
25 12 48 14
46 15 55 15
38 15 36 14
50 16 19 6
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
53
Načrtněte bodový graf a najděte rovnici regresní funkce vyjadřující danou závislost. Zhodnoťte
výstižnost (přiléhavost) regresní funkce vzhledem k datům.
3.2 Bylo sledováno, jak souvisí množství vadných výrobků (v % z vyrobených výrobků)
s výkonem soustružníka (v % z předepsané normy). Bylo vybráno deset pracovníků, naměřené
údaje jsou uvedeny v tabulce.
Výkon 56 68 72 85 92 102 107 111 123 142
Vadné výrobky 5,2 3,9 3,5 2,4 2,04 2 2,2 2,24 2,4 2,51
Stanovte regresní model a určete přiléhavost regresní přímky k datům.
3.3 Tabulka zachycuje stáří (v letech) osmi vybraných strojů v potravinářském závodě a
týdenní náklady (v Kč) na provoz těchto strojů.
Stáří stroje 1 2 3 4 5 6 7 8
Náklady 44 52 61 80 94 108 111 116
a. Odhadněte parametry lineární regresní funkce, která by měla vystihovat průběh závislosti
nákladů na stáří.
b. Určete koeficient determinace R2
a interpretujte jej.
c. Jaké týdenní náklady můžeme očekávat u stroje starého 4 roky?
3.7 Řešení úkolů, výsledky
3.1
3.2 53056502850 2
,;,,  RxY .
3.3 a) xY 36111432 ,, 
b) 9702
,R tzn. modelem je vysvětleno 97% celkové variability.
c)   KčY 58774361114324 ,.,,  .
y = 0,2964x + 1,3941
R² = 0,7287
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
54
4 REGRESNÍ ANALÝZA – JEDNOROZMĚRNÁ: INTERVALY
SPOLEHLIVOSTI, TESTY HYPOTÉZ, NELINEÁRNÍ REGRESE
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Tato kapitola vám rozšíří znalosti v jednorozměrné regresní analýze. Za předpokladů
jednorozměrného klasického regresního modelu se budete zabývat stanovením intervalů
spolehlivosti a dále testy hypotéz regresních koeficientů a testem nulovosti koeficientu determinace.
Další odstavce se zabývají jednorozměrnou nelineární regresí. Nejprve budou
vyšetřovány regresní funkce, které lze s pomocí vhodné transformace převést na funkce
lineární dále parabolická regresní funkce a nakonec nelineární regresní funkce tzv.
Tornquiustova typu. Pro výpočet parametrů těchto funkcí, jež mají uplatnění především
v marketingu, poznáte novu metodu tzv. metodu vybraných bodů.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
stanovit intervaly spolehlivosti pro regresní koeficienty,
testovat statistickou významnost regresních koeficientů,
testovat koeficient determinace,
transformovat funkci na funkci lineární.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Intervaly spolehlivosti regresních koeficientů, testování regresních koeficientů, test koeficientu
determinace.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
55
4.1 Intervaly spolehlivosti
Jsou-li splněny předpoklady klasického lineárního modelu (3.9), tj. modelu
yi = ix10   + i , i = 1,2,...,n,
potom pro rozdělení odhadů regresních koeficientů 10 bb , jakožto náhodných veličin platí
toto: Regresní koeficient bj má normální rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou
j a rozptylem 2
hj , kde j = 0 nebo 1, čísla hj jsou definována následujícími vztahy:
  


 22
2
0
ii
i
xxn
x
h , (4.1)
  
 221
ii xxn
n
h . (4.2)
V klasickém lineárním modelu předpokládáme, že náhodné složky mají konstantní rozptyl
2
, jeho hodnotu však neznáme. Neznámý rozptyl 2
můžeme nahradit jeho bodovým
odhadem
2
2


n
S
s R
R , (4.3)
který nazýváme reziduální rozptyl. Jak je vidět, v reziduálním rozptylu vystupuje v čitateli
reziduální součet čtverců (3.16) dělený číslem n – 2, což je počet stupňů volnosti, tj.
rozsah dat n mínus počet regresních parametrů v modelu: 2. Odmocninu reziduálního rozptylu
sR nazýváme směrodatná chyba.
Oboustranný interval spolehlivosti pro regresní koeficient bj, při zadaném koeficientu
spolehlivosti (1 - ), je následující interval:
[bj – t1-/2(n-2) jR hs , bj + t1-/2(n-2) jR hs ], j = 0 nebo 1. (4.4)
Připomínáme, že zde t1-/2(n – 2) je příslušný kvantil Studentova t-rozdělení, podrobnosti,
viz Ramík (2003), hj jsou dány vztahy (4.1), (4.2).
Bodový odhad regresních koeficientů bj neříká nic o eventuální variabilitě tohoto koeficientu.
Tuto informaci doplňuje směrodatná chyba (4.3) a zejména interval spolehlivosti
(4.4), který informuje, v jakém rozmezí se regresní koeficient může pohybovat v rámci
zadané spolehlivosti.
Odhadnutý lineární regresní model (3.1), který má tvar
y = b0 + b1x + e , (4.5)
resp. regresní funkce
Y = b0 + b1x , (4.6)
má praktický význam zejména při odhadu chování modelu v případě, že nezávisle proměnná
nabývá nějakou v datech se nevyskytující hodnotu, označme ji např. x0. Model (4.5),
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
56
resp. regresní funkce (4.6), pak slouží k předpovědi (predikci, prognóze, extrapolaci) hodnoty
závisle proměnné. Bodový odhad předpovědi získáme dosazením x0 do (4.5), resp.
(4.6), neboť predikovaná hodnota chyby (rezidua) e je 0, tedy
Y0 = b0 + b1x0 . (4.7)
Informaci o tom, v jakém rozmezí se predikovaná hodnota závisle proměnné y může pohybovat,
poskytne oboustranný interval spolehlivosti:
[Y0 – t1-/2(n-2) HsR , Y0 + t1-/2(n-2) HsR ], (4.8)
kde
 
  










 

22
2
0
1
1
1
ii
i
xxn
xnx
n
H . Ostatní symboly v (4.8) mají stejný význam, jako
v intervalu (4.4).
4.2 Testy hypotéz
Metodou nejmenších čtverců lze zjistit, zda regresní koeficienty bj jsou nenulová čísla,
musíme mít však stále na paměti, že se jedná o realizace náhodných veličin, a tudíž má
smysl testovat, zda naše původní parametry j jsou přesto nulové. Za předpokladů klasického
lineárního modelu je možno testovat nulovou hypotézu:
H0: j = 0, j = 0 nebo 1 (4.9)
proti oboustranné alternativní hypotéze
H1: j  0, j = 0 nebo 1. (4.10)
Při tomto testu použijeme testové kritérium
j
R
j
h
n
S
b
T
2
 , (4.11)
které má při platnosti H0 t-rozdělení s n – 2 stupni volnosti, SR je reziduální součet čtverců,
hj je dáno vztahy (4.1), (4.2), přičemž j = 0 nebo 1.
Na hladině významnosti  (viz Ramík (2003)) je kritický obor vymezen nerovností
T > )2(2/1  nt  ,
kde )2(2/1  nt  je příslušný kvantil Studentova t-rozdělení, který lze nalézt v tabulkách,
nebo v Excelu pomocí funkce TINV.
Přijmete-li např. na dané hladině významnosti  nulovou hypotézu H0: 1 = 0, pak to
znamená, že y nezávisí na x, jinak řečeno, pro libovolnou hodnotu nezávisle proměnné
x nabývá závisle proměnná y neustále stejné hodnoty 0 .
Vypočítaná hodnota koeficientu determinace je prakticky vždy kladná. Musíme však
mít stále na paměti, že u hodnot vstupujících do výpočtu koeficientu determinace se jedná
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
57
o realizace náhodných veličin, a tudíž má smysl testovat, zda teoretický koeficient determinace
R2
není přesto nulový. Za předpokladů klasického lineárního modelu je možno testovat
nulovou hypotézu:
H0: R2
= 0,
proti oboustranné alternativní hypotéze
H1: R2
 0.
Při tomto testu použijeme testové kritérium
2
2
1
)2(
R
nR
T


 , (4.11*)
které má při platnosti H0 t-rozdělení s n – 2 stupni volnosti, R2
je vypočítaný koeficient
determinace.
Na hladině významnosti  (viz Ramík (2003)) je kritický obor vymezen nerovností
T > )2(1  nt  ,
kde )2(1  nt  je příslušný kvantil Studentova t-rozdělení, který lze nalézt v tabulkách,
nebo v Excelu pomocí funkce TINV.
4.3 Nelineární regresní analýza
V tomto odstavci si povšimneme jednoduchého regresního modelu s nelineární regresní
funkcí, který se však dá pouhou substitucí na lineární model převést. Konkrétně se
jedná o dvě regresní funkce zmíněné již v kapitole 3:
regresní mocninná funkce: 1
0)( 
 xxf  , (4.12)
regresní exponenciální funkce: x
xf 10)(  . (4.13)
Regresní model s regresní funkcí (4.12) má tvar:
 
 1
0xy , (4.14)
avšak namísto něj uvažujeme model, jež vznikne logaritmováním (4.12), kde položíme
)(xfy  , tj.   xy lnlnln 10 , přitom ln označuje přirozený logaritmus o základu
e = 2,718... Jestliže nyní položíte substituce
yy ln , xx ln , (4.15)
00 ln   , 11   , (4.16)
pro transformaci (4.15) původních dat yi, xi, obdržíte „čárkovaný“ jednoduchý lineární regresní
model
  xy 10 , (4.17)
jehož parametry 10  , (regresní koeficienty) lze odhadnout metodou nejmenších čtverců
aplikovanou na lineární model (4.17), a obdržíte tak jejich odhady 10 bb  , . S použitím vztahů
(4.15) a (4.16) dostanete nazpět odhady 10 bb , původního nelineárního regresního modelu
(4.12): 0
0
b
eb 
 , 11 bb  .
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
58
Analogickým postupem lze linearizovat jednoduchý nelineární regresní model s exponenciální
regresní funkcí (4.13), která je v ekonomii známa jako Cobb-Douglasova jednofaktorová
produkční funkce:
  x
y 10 , (4.18)
který substitucemi
yy ln , xx  , (4.19)
00 ln   , 11 ln   , (4.20)
lze rovněž transformovat na „čárkovaný“ lineární model (4.17), jehož parametry 10  , odhadneme
metodou nejmenších čtverců, a obdržíme tak jejich odhady 10,bb  . S použitím
vztahů (4.20) vypočteme nazpět odhady 10,bb původního nelineárního regresního modelu
(4.18):
0
0
b
eb 
 , 1
1
b
eb 
 . (4.21)
Je však třeba upozornit, že na intervalové odhady, resp. testy hypotéz, regresních koeficientů
10 bb  , lze použít postup z počátku této kapitoly pouze tehdy, když transformovaná,
tj. „čárkovaná“ data ii xy , , splňují podmínky klasického regresního modelu z kapitoly 3.
Meze intervalových odhadů, tedy krajní body intervalů spolehlivosti pak vypočítáme s použitím
zpětných transformací (4.21).
Dalšími užitečnými nelineárními regresními funkcemi s uplatněním především v marketingu
a výzkumu trhu (logistické funkce, Gompertzovy funkce, aj.) se budete zabývat
v kapitole věnované analýze časových řad. Tam se budete zabývat i problémem výběru
vhodného typu regresní funkce. V následujících odstavcích se ještě věnujeme známé parabolické
regresní funkci a dále Törnquistovým funkcím, které nelze převést jednoduše na
lineární tvar, jak tomu bylo v tomto odstavci.
4.4 Parabolická regrese
V kapitole 3.1. jsme označili parabolickou regresní funkci (3.4) za regresní funkci, kterou
lze substitucí 2
=′ xx převést na lineární tvar. V tomto případě se však jednalo pouze
o speciální tvar paraboly (s vrcholem na ose y) se dvěma parametry. Obecný tvar paraboly
však má parametry tři a vypadá takto:
2
210)( xxxf   . (4.22)
Jednoduchý regresní model s parabolickou regresní funkcí pak má tvar
  2
210 xxy . (4.23)
Máme-li tedy k dispozici data, tj, dvojice hodnot (y1, x1), (y2, x2), (y3, x3),..., (yn, xn), pak lze
odhady 210 bbb ,, regresních parametrů 210  ,, získat metodou nejmenších čtverců, přičemž
je zapotřebí řešit soustavu 3 normálních rovnic o 3 neznámých:
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
59
   2
210 iii xbxbnby , (4.24)
    3
2
2
10 iiiii xbxbxbxy ,
    4
2
3
1
2
0
2
iiiii xbxbxbxy .
Uvědomte si, že neznámé jsou v této soustavě rovnic 210 bbb ,, , zatímco yi, xi jsou známé
hodnoty, které se dosadí do sum  v soustavě (4.24). Tuto soustavu 3 lineárních rovnic
o 3 neznámých je snadné vyřešit např. známou Gaussovou eliminační metodou.
4.5 Törnquistovy funkce
Zejména v marketingu se využívají Törnquistovy regresní funkce (též Törnquistovy
křivky), což jsou regresní funkce s více parametry, které podle použití rozdělujeme na tři
typy:
Törnquistovy křivky I. typu vyjadřují závislosti poptávky po spotřebním zboží )( xf na
výši příjmů x ekonomických subjektů (např. rodin). Tyto křivky mají tvar:
1
0
)(




x
x
xf . (4.25)
Křivky tohoto typu se používají například při plánování a prognózování ve spotřebním
průmyslu. Regresní funkce (4.25) slouží k modelování poptávky po zboží nezbytného charakteru
(mléko, pečivo, obuv, apod.).
Při modelování poptávky po zboží relativně nezbytného charakteru (elektrospotřebiče,
maso a uzeniny, apod.) se používají Törnquistovy křivky II. typu, které mají tvar:
2
10 )(
)(





x
x
xf . (4.26)
Törnquistovy křivky III. typu se používají při modelování poptávky po zboží zbytného
charakteru (auta, šperky, umělecká díla, apod.). Tyto regresní funkce se třemi parametry
mají tvar:
2
10 )(
)(





x
xx
xf . (4.27)
Odhady regresních parametrů funkcí (4.25) - (4.27) lze získat opět metodou nejmenších
čtverců, avšak s použitím PC a Excelu, neboť soustava 3 normálních rovnic o 3 neznámých
je nelineární, a proto se k řešení používají iterační numerické metody. Pro ruční výpočet
můžeme alternativně využít i metodu vybraných bodů.
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
60
Obrázek 15: Törnquistova křivka I. typu, 1=== 210 βββ
Obrázek 16: Törnquistova křivka II. typu, 1=== 210 βββ
Obrázek 17: Törnquistova křivka III. typu, 1=== 210 βββ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 2 4 6 8 10 12
f(x)
x
Tornquistova křivka I. typu
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8 10 12
f(x)
x
Tornquistova křivka II. typu
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8 10 12
f(x)
x
Tornquistova křivka III. typu
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
61
4.6 Metoda vybraných bodů
Ukážeme si zde jinou metodu výpočtu neznámých parametrů, která sice nevede z teoretického
pohledu k nejlepším odhadům, avšak její výhoda spočívá ve výpočetní nenáročnosti
umožňující „ruční“ výpočet. Tato metoda se nazývá metoda vybraných bodů a spočívá
v tom, že z daných údajů (Yi, xi) vybereme 3 charakteristické hodnoty - body, kterými
necháme Törnquistovu křivku procházet, jinými slovy, položíme empirické hodnoty rovny
hodnotám teoretickým. Jestliže charakteristické hodnoty poptávky 321 YYY ,, odpovídají
hodnotám výše příjmů 321 xxx ,, , pak ze vztahu (4.26) obdržíte soustavu 3 rovnic o 3 neznámých
210 bbb ,, :
21
110
1
)(
bx
bxb
Y


 ,
22
120
2
)(
bx
bxb
Y


 ,
23
130
3
)(
bx
bxb
Y


 , (4.28)
jejichž řešením např. postupným dosazováním získáme odhadyneznámých parametrů .,, 210 bbb
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.1
Data v tabulce představují ceny brožovaných knih a k nim příslušné počty jejich stran.
a. Určete lineární regresní model popisující závislost ceny knih na počtu stran.
b. Určete interval, ve kterém bude s pravděpodobností 95% ležet regresní koeficient b1.
c. Na hladině významnosti 5% testujte, zda je regresní koeficient b1 statisticky významný.
d. Vypočtěte koeficient determinace a na hladině významnosti 5% testujte, zda je statisticky
významný.
e. V jakém rozmezí se bude pohybovat cena knihy s 250 stranami? Uvažujte hladinu významnosti
0,01.
Měření č. 1 2 3 4 5 6 7
Počet stran 20 35 48 50 130 200 86
Cena knihy 40 50 70 106 118 179 100
Řešení:
a. Koeficienty regresní přímky Y = b0 + b1x určíte pomocí vztahů (3.13):
70,0
51,3495
73,2436
29,8157,10103
71,9429,8171,10135
2221 






xx
yxyx
b
81,3729,817,071,9410  xbyb .
Hledaná regresní přímka má tvar Y = 37,81 + 0,7x.
b. Úkolem je najít 95% oboustranný interval spolehlivosti pro koeficient b1. Obecný
tvar tohoto intervalu je následující (viz (4.4)):
[b1 – t1-/2(n – 2) 1hsR , b1 + t1-/2(n – 2) 1hsR ],
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
62
kde sR je odmocnina z reziduálního rozptylu
2
2


n
S
s R
R , h1 je definováno vztahem
(4.2).
i xi yi xi
2
xiyi Yi
( )y Yi i 2
( )y yi  2
1 20 40 400 800 51,81 139,48 2993,18
2 35 50 1225 1750 62,31 151,54 1998,98
3 48 70 2304 3360 71,41 1,99 610,58
4 50 106 2500 5300 72,81 1101,58 127,46
5 130 118 16900 15340 128,81 116,86 542,42
6 200 179 40000 35800 177,81 1,42 7104,80
7 86 100 7396 8600 98,01 3,96 27,98
Součet 569 663 70725 70950 1516,83 13405,43
Průměr 81,29 94,71 10103,57 10135,7
Nejprve se vypočítá reziduální součet čtverců SR (v tabulce výpočtů je to hodnota v předposledním
sloupci dole):
83,1516)(
7
1
2
 i
iiR YyS .
Teoretické hodnoty Yi obdržíme postupným dosazováním hodnot xi do rovnice regresní
přímky. Hodnoty Yi, jednotliví sčítanci i součet SR jsou uvedeni v tabulce. Nyní můžeme
vypočítat hodnotu reziduálního rozptylu sR
2
.
.37,303
27
83,15162


Rs
Potom
42,1737,3032
 RR ss .
Dále stanovíme hodnotu h1.
 
.00004,0
171314
7
569707257
7
2221 




  ii xxn
n
h
V tabulkách Studentova rozdělení nalezneme (1  /2) = 97,5% kvantil t-rozdělení o n  2
= 7  2 = 5 stupních volnosti, tj. .,)(, 57259750 t
Dosazením výše vypočítaných hodnot do vztahu pro interval spolehlivosti určíme jeho pravou
a levou stranu:
42,000004,042,1757,27,0 L .
98,000004,042,1757,27,0 P .
Regresní koeficient b1 bude s 95%-ní pravděpodobností ležet v intervalu [0,42; 0,98].
c. Ačkoliv je hodnota koeficientu b1= 0,7, nesmíte zapomínat na to, že pracujete s náhodným
výběrem a že teoretická hodnota parametru 1 přesto může být nulová. Bude se
proto testovat nulová hypotéza
H0: 1 = 0
proti oboustranné alternativní hypotéze
H1: 1  0.
K ověření nulové hypotézy vypočítáme hodnotu testového kritéria (4.11)
.
1
1
2
h
n
S
b
T
R

 35,6
11,0
7,0
00004,0
27
8,1516
7,0



 .
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
63
V tabulkách t-rozdělení nalezneme t0,975(5) = 2,57. Protože 6,35 > 2,57, zamítáme nulovou
hypotézu ve prospěch hypotézy alternativní, což znamená, že na zvolené hladině významnosti
je parametr 1 nenulový a tedy statisticky významný.
d. Koeficient determinace R2
vypočítáme podle vztahu
89,0
43,13405
83,1516
112

y
R
S
S
R .
Testové kritérium stanovíte podle vztahu (4.11*)
35,6
89,01
5.89,0
1
)2(
2
2






R
nR
T .
Protože 6,35 > 2,57, zamítá se nulová hypotéza ve prospěch hypotézy alternativní, což znamená,
že na zvolené hladině významnosti je koeficient determinace R2
nenulový a tedy
statisticky významný.
e. Máte stanovit 99% interval spolehlivosti pro predikovanou hodnotu Y, je-li x0 =
250.
Podle (4.8) je tvar tohoto intervalu
[Y0 – t1-/2(n–2) HsR , Y0 + t1-/2(n–2) HsR ],
kde
Y0 = b0 + b1x = 37,81 + 0,7 250 = 212,81,
t1-/2(n  2) = 4,032 ,
sR = 17,42 ,
 
 
  



























171314
1394761
1
7
1
1
569707257
5692507
1
7
1
11
1
1 2
2
22
2
0
ii
i
xxn
xnx
n
H
31,214,9
7
1
1  .
Meze hledaného intervalu jsou:
.06,10631,242,17032,481,212 L
.56,31931,242,17032,481,212 P
Cena knihy se bude s 99%-ní pravděpodobností pohybovat v intervalu [106,06;319,56].
Nakonec si ukážeme řešení pomocí Excelu. Na tomto místě to bude další možnost řešení
úlohy jednoduché (i vícenásobné) regrese s využitím menu:
Data  Analýza dat...  Regrese.
Data jsou uspořádána ve worksheetu ve 2 sloupcích:
Otevře se okno regrese, které vyplníte takto:
A B C
1 Počet stran Cena knihy
2 20 40
3 35 50
4 48 70
5 50 106
6 130 118
7 200 179
8 86 100
9
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
64
Po potvrzení OK obdržíte:
V první části výstupu jsou popisky s nepřesnými překlady do češtiny, uvádíme proto jejich
správné významy:
V této části výstupu je důležitá druhá hodnota – koeficient determinace R2
= 0,887, který
odpovídá ručně získanému výsledku z části d.
Druhá tabulka ve výstupu – ANOVA není v pravém slova smyslu metoda ANOVA, jak
jsme se jí zabývali v kapitolách 1 a 2, jde tu o analogii využívající podobnosti vztahů (1.5)
a (3.17). Analogicky jako v metodě ANOVA je zde výsledek F-testu statistické významnosti
celého regresního modelu: Významnost F = 0,001525. Tato hodnota je menší než
0,05 a proto je celý regresní model statisticky významný.
Ve třetí – poslední tabulce jsou uvedeny relevantní informace k vypočítanému regresnímu
modelu. Nejprve jsou uvedeny odhady regresních koeficientů:
Hranice = úrovňová konstanta = b0
Počet stran = sklon regresní přímky = koeficient u nezávisle proměnné „počet stran“ = b1
Ve sloupci Hodnota P jsou uvedeny p-hodnoty (signifikance) testů nulovosti příslušných
regresních koeficientů:
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,942
Hodnota spolehlivosti R 0,887
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,864
Chyba stř. hodnoty 17,416
Pozorování 7
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 11888,84 11888,84 39,19608 0,001525
Rezidua 5 1516,586 303,3172
Celkem 6 13405,43
KoeficientyChyba stř. hodnotyt stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95% Dolní 99,0% Horní 99,0%
Hranice 38,059 11,19022 3,401 0,019 9,294 66,825 -7,061 83,180
Počet stran 0,697 0,111327 6,261 0,002 0,411 0,983 0,248 1,146
Násobné R = R - koeficient korelace
Hodnota spolehlivosti R = R2
- koeficient determinace
Nastavená hodnota spolehlivosti R = R2
adj - upravený koeficient determinace
Chyba stř. hodnoty = s2
- směrodatná chyba (odhad směrodatné odchylky náhod. složky)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
65
Pro regresní koeficient b0 je tato hodnota 0,019 < 0,05 - b0 je statisticky významný tj. 0 
0.
Pro regresní koeficient b1je tato hodnota 0,002 < 0,05 – b1 je statisticky významný tj. 1 
0.
Intervaly spolehlivosti regresních koeficientů jsou uvedeny ve sloupcích:
Dolní 95%, Horní 95%, resp. Dolní 99,0%, Horní 99,0%.
Konkrétně, 95%-ní interval spolehlivosti koeficientu 1 je [0,411 ; 0,983], což je stejný
výsledek, jaký jsme obdrželi předtím ručním výpočtem.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.2
Při sledování závislosti vlastních nákladů na skladování zahrnující i ztráty způsobené zastavením
výroby z nedostatku součástek (Y) na velikosti dodávek (X) v 18 obuvnických
závodech jsme obdrželi následující údaje - viz. tabulka.
a. Nalezněte regresní funkci popisující závislost Y na X a určete její rovnici.
b. Stanovte optimální velikost dodávky.
Řešení:
a. Jak z průběhu bodového diagramu, tak i rozboru empirických údajů plyne, že závislost
mezi velikostí dodávek a náklady na skladování dobře vystihuje parabolická regresní
funkce
f(x) = 0 +1x +2x2
.
Náklady na skladování mají zpočátku klesající tendenci- malá dodávka způsobuje vysoké
náklady na převzetí připadající na jednu součástku a způsobuje výpadky ve výrobě. Tuto
tendenci později vystřídá vzestup – příliš velká dodávka zvyšuje stav zásob, prodlužuje
skladovací dobu a vyvolává nutnost úvěrového krytí – viz Obrázek 18.
Odhady hodnot parametrů parabolické regrese obdržíme řešením soustavy normálních
rovnic
 
i
i
i
i
i
i xbxbnby 2
210
 
i
i
i
i
i
ii
i
i xbxbxbxy 3
2
2
10
 
i
i
i
i
i
ii
i
i xbxbxbxy 4
2
3
1
2
0
2
.
Podnik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Dodávka 28 32 35 40 42 45 49 51 53 56 57 60 61 64 69 72 75 77
Náklady 62 59 58 53 50 46 44 42 40 41 38 35 36 36 38 40 42 46
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
66
Obrázek 18: Parabolická regrese
Dosazením hodnot ze součtového řádku tabulky do těchto rovnic dostaneme:
210 5553496618806 bbb 
210 33720845553496641618 bbb 
210 2136648583372084555342330182 bbb  .
Řešením této soustavy rovnic (např. Cramerovým pravidlem) získáme regresní koeficienty
b0 = 127,71; b1 = – 2,8479; b2 = 0,0227.
Hledaná parabola má tvar 2
022708479271127 xxY ,,,  .
b. Optimální velikost objednávky zjistíme jako minimum funkce
2
022708479271127 xxY ,,, 
tak, že položíme její první derivaci rovnu nule, tj.
Y´= – 2,8479 + 0,0454x = 0, tudíž 762,x .
Optimální velikost dodávky je 62 nebo 63 kusů.
Nakonec provedeme výpočet pomocí Excelu s využitím funkce Přidat spojnici trendu v bodovém
grafu.
Po zobrazení dat pomocí grafu XY bodový poklepete pravým tlačítkem myši,
zvolíte položku Typ trendu a rergrese: Polynomický (stupeň 2),
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakliknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a současně zakliknete
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace R2
).
Potvrdíte OK.
i xi yi xi
2
xi
3
xi
4 xiyi x yi i
2
1 28 62 784 21952 614656 1736 48608
2 32 59 1024 32768 1048576 1888 60416
3 35 58 1225 42875 1500625 2030 71050
4 40 53 1600 64000 2560000 2120 84800
5 42 50 1764 74088 3111696 2100 88200
6 45 46 2025 91125 4100625 2070 93150
7 49 44 2401 117649 5764801 2156 105644
8 51 42 2601 132651 6765201 2142 109242
9 53 40 2809 148877 7890481 2120 112360
Regresní parabola y = 0,0227x2
- 2,8479x + 127,71
R2
= 0,939
0
10
20
30
40
50
60
70
0 20 40 60 80 100
Náklady
Polynomický (Náklady)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
67
10 56 41 3136 175616 9834496 2296 128576
11 57 38 3249 185193 10556001 2166 123462
12 60 35 3600 216000 12960000 2100 126000
13 61 36 3721 226981 13845841 2196 133956
14 64 36 4096 262144 16777216 2304 147456
15 69 38 4761 328509 22667121 2622 180918
16 72 40 5184 373248 26873856 2880 207360
17 75 42 5625 421875 31640625 3150 236250
18 77 46 5929 456533 35153041 3542 272734
Součet 966 806 55534 3372084 213664858 41618 2330182
Obdržíte výsledek téměř takový, jaký je na následujícím obrázku. K původním bodům
se zobrazí regresní parabola, dále rovnice regresní paraboly a hodnotu koeficientu determinace
R2
. Výsledek je stejný, jako při ručním výpočtu, viz výše.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.3
V jisté firmě zkoumali, jak závisí vlastní náklady na jednotku produkce (Y) na objemu produkce
(X). Následující tabulka uvádí zjištěné údaje v různých obdobích.
a. Najděte regresní hyperbolický model popisující danou závislost.
b. Pomocí koeficientu determinace zhodnoťte přiléhavost regresní funkce k datům.
Řešení:
a. Dosadíte potřebné údaje do normálních rovnic, které získáte z hyperbolické regresní
funkce (3.5) tak, že k nalezení minima součtu čtverců odchylek:
 






2
1010 )
1
(),(
i
i
x
bbybbF se anulují parciální derivace, tj. 0
0



b
F
a 0
1



b
F
.
Tím obdržíte následující normální rovnice:
 
i
i
x
bbny
1
10
   210
11
iii
i
x
b
x
b
x
y
a obdržíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých
137131574 10 , bb
1812 19 7 13 8 330 1, , , .   b b
Řešením této soustavy získáte odhady regresních parametrů:
b0 = 3,32; b1 = 214,71.
Hledaná regresní hyperbola má tvar:
x
Y
71,214
32,3  .
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
68
b. Nejdříve vypočítáte teoretické hodnoty Yi postupným dosazením hodnot xi do rovnice
regresní hyperboly
74,432
5,0
71,214
32,3
71,214
32,3
1
1 
x
Y .
Všechny hodnoty Yi jsou uvedeny v tabulce, viz níže.
Dále vypočítáte součty ST, Sy
.02,203722
)08,12158,24()08,12105,310()08,12174,432()( 222
13
1
2

 

i
iT yYS
97,2060)08,12114()08,121297()08,121456()( 222
13
1
2
 

i
iy yyS .
i xi yi 1/xi 1/ xi
2 yi/xi Yi ( )Y yi  2
( )y yi  2
1 0,5 456 2,00 4,00 912,00 432,74 97131,96 112171,41
2 0,7 297 1,43 2,04 424,29 310,05 35709,66 30947,85
3 0,9 206 1,11 1,23 228,89 241,89 14595,06 7211,41
4 1,4 165 0,71 0,51 117,86 156,68 1267,36 1928,97
5 1,9 118 0,53 0,28 62,11 116,33 22,56 9,49
6 3,2 79 0,31 0,10 24,69 70,42 2566,44 1770,73
7 4,2 57 0,24 0,06 13,57 54,44 4440,89 4106,25
8 4,8 54 0,21 0,04 11,25 48,05 5333,38 4499,73
9 6,9 40 0,14 0,02 5,80 34,44 7506,49 6573,97
10 7,9 35 0,13 0,02 4,43 30,50 8204,74 7409,77
11 8,8 30 0,11 0,01 3,41 27,72 8716,09 8295,57
12 9,2 23 0,11 0,01 2,50 26,66 8915,14 9619,69
13 10,1 14 0,10 0,01 1,39 24,58 9312,25 11466,13
Součet 60,5 1574 7,13 8,33 1812,19 203722,02 206010,97
Průměr 4,65 121,08 0,55 0,64 139,40
Hodnoty jednotlivých sčítanců i součtů ST, Sy jsou uvedeny v tabulce.
Koeficient determinace R2
vypočítáte podle vztahu (3.18).
99,0
97,206011
02,2037222

y
T
S
S
R .
Hodnota koeficientu determinace 0,99 je vysoká, což znamená, že daným regresním modelem
s vysvětlující proměnnou „objem produkce“ je vysvětleno 99% variability znaku Y.
Pouze 1% chování proměnné Y je ovlivněno jinými faktory.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
69
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.4
Data v tabulce ukazují poptávku po určitém druhu zboží (v tis. ks) při různých cenách
(v Kč). Popište závislost poptávky na ceně mocninnou regresní funkcí.
Pozorování 1 2 3 4 5 6
Cena 8,5 40 92 180 200 250
Poptávka 200 140 80 45 42 18
Řešení:
Úkolem je nalézt odhady parametrů 1, 0 regresní funkce 1
0

 xY  .
Použijete linearizující transformace, a to tak, že obě strany rovnice zlogaritmujete a použijete
vhodnou substituci (viz odstavec 4.3), čímž získáte rovnici
xY  10  ,
kde 1100 ,ln,ln,ln   xxYY , což je rovnice regresní přímky.
Regresní koeficienty  b b0 1, určíme pomocí známých vztahů takto:
6,0
43,1
86,0
39,439,47,20
18,439,449,17
22
1 








xx
yxyx
b
8,6)39,46,0(18,410  xbyb .
i x y x y  x y x 2
1 8,5 200 2,14 5,30 11,34 4,58
2 40 140 3,69 4,94 18,23 13,61
3 92 80 4,52 4,38 19,81 20,45
4 180 45 5,19 3,81 19,77 26,97
5 200 42 5,30 3,74 19,80 28,07
6 250 18 5,52 2,89 15,96 30,49
Průměr 4,39 4,18 17,49 20,70
Odhady b0, b1 původního modelu snadno vypočítáte zpětnou transformací
0
011 , b
ebbb 
 .
Proto bude .85,897;6,0 01  bb
Hledaná mocninná regresní funkce má tvar .85,897 6,0
 xY
Nakonec provedeme výpočet pomocí Excelu s využitím funkce Přidat spojnici trendu
v bodovém grafu.
Po zobrazení dat pomocí grafu XY bodový poklepete pravým tlačítkem myši, zvolíte po-
ložku
Typ trendu a regrese: Mocninný,
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakliknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a současně zakliknete
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace R2
).
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
70
Obdržíte výsledek, jaký je na Obrázku 19. K původním bodům se zobrazí regresní mocninná
funkce, dále její rovnice a hodnotu koeficientu determinace R2
. Výsledek je poněkud
odlišný od výsledku, který jsme získali při ručním výpočtu, viz výše. Tato odlišnost je způsobena
tím, že Excel počítá koeficienty přímo metodou nejmenších čtverců bez použití linearizace
s logaritmickou transformací. Metoda použita Excelem je přesnější než metoda
linearizace a proto bychom ji dali při aplikaci přednost. Metoda linearizace je zase výpočetně
jednodušší, je ji možno provést ručně, v době počítačů však tato výhoda ztrácí na
významu.
Obrázek 19: Mocninná regrese
ŘEŠENÁ ÚLOHA 4.5
Tabulka uvádí stáří pletacích strojů (X) v letech a náklady na jejich údržbu (Y) v tis. Kč.
Popište závislost Y na X exponenciální regresní funkcí.
Řešení:
Úkolem je nalézt odhady regresních parametrů exponenciální regresní funkce
x
y 10  .
Pomocí logaritmické transformace převedeme tuto funkci na funkci lineární:
lny = ln0 + xln1 .
Použitím substituce
1100 ln,ln,,ln´   xxYy
obdržíte regresní přímku xy  10´  .
Mocninná regrese y = 1005,9x-0,623
R2
= 0,8347
0
50
100
150
200
250
300
0 100 200 300
Poptávka
Mocninný (Poptávka)
Měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Stáří 14 0,8 3 7,5 8,4 14,8 4,5 15,6 17,3 11,5 13,2 1,5
Náklady 47,5 8 10 17 22 76,4 12,5 76 94,5 25 30,6 12
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
71
Odhady parametrů 10   , této přímky určíme použitím známých vztahů
14,0
35,31
45,4
34,959,118
25,334,98,34
222
1 






xx
yxyx
b
.94,1)34,914,0(25,310  xbyb
Regresní koeficienty původní funkce snadno vypočítáme zpětnou transformací:
.15,1;96,6 10
10   bb
ebeb Hledaná exponenciální regresní funkce má tvar:
xx
ey 14,0
96,615,196,6  .
i x xi i  yi yi  x yi i x 2
1 14 47,5 3,86 54,04 196,00
2 0,8 8 2,08 1,66 0,64
3 3 10 2,30 6,90 9,00
4 7,5 17 2,83 21,23 56,25
5 8,4 22 3,09 25,96 70,56
6 14,8 76,4 4,34 64,23 219,04
7 4,5 12,5 2,53 11,39 20,25
8 15,6 76 4,33 67,55 243,36
9 17,3 94,5 4,55 78,72 299,29
10 11,5 25 3,22 37,03 132,25
11 13,2 30,6 3,42 45,14 174,24
12 1,5 12 2,48 3,72 2,25
Průměr 9,34 3,25 34,80 118,59
Obrázek 20: Exponenciální regrese
Nakonec provedeme výpočet pomocí Excelu s využitím funkce Přidat spojnici trendu
v bodovém grafu. Po zobrazení dat pomocí grafu XY bodový poklepete pravým tlačítkem
myši, zvolíte položku
Exponenciální regrese y = 6,9473e0,1407x
R2
= 0,9287
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20
Náklady
Exponenciální
(Náklady)
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
72
Typ trendu a regrese: Exponenciální,
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakliknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a současně zakliknete
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace R2
).
Potvrdíte OK.
Obdržíte výsledek, jaký je na Obrázku 20. K původním bodům se zobrazí regresní exponenciální
funkce, dále její rovnice a hodnotu koeficientu determinace R2
. Výsledek je prakticky
stejný jako výsledek, který jsme získali při ručním výpočtu, viz výše.
SHRNUTÍ KAPITOLY
Tato kapitola přinesla rozšíření znalostí v jednorozměrné regresní analýze. Kapitola se
zabývala stanovením intervalů spolehlivosti, testováním hypotéz regresních koeficientů a
testem nulovosti koeficientu determinace. Dále zde byla představena jednorozměrná nelineární
regrese. Byly zde vyšetřovány regresní funkce, které lze s pomocí vhodné transformace
převést na funkce lineární, dále parabolická regresní funkce a nakonec nelineární regresní
funkce tzv. Tornquiustova typu. V této kapitole jste se seznámili s tzv. metodou vybraných
bodů.
4.7 Samostatné úkoly
4.1 Tabulka zachycuje stáří (v letech) osmi vybraných strojů v potravinářském závodě a týdenní
náklady (v Kč) na provoz těchto strojů.
Stáří stroje 1 2 3 4 5 6 7 8
Náklady 44 52 61 80 94 108 111 116
a. Odhadněte parametry regresní funkce f(x)=0+1lnx, která by měla vystihovat průběh
závislosti nákladů na stáří.
b. Jaké týdenní náklady můžeme očekávat u stroje starého 4 roky?
c. Určete koeficient determinace a interpretujte jej.
4.2 V tenisovém zápase má významný vliv na vítězství hráče úspěšnost jeho prvního podání.
Data v tabulce představují počet úspěšných prvních podání (X) a počet vyhraných
bodů při úspěšném prvním podání (Y) deseti vybraných hráčů z předních míst žebříčku
ATP.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
73
X 31 42 39 41 50 38 33 49 37 46
Y 22 31 29 26 33 26 23 30 29 31
Zvolte nejprve lineární a potom parabolický typ regresní funkce popisující závislost Y na X.
a. Určete regresní parametry obou zvolených regresních funkcí.
b. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient b1 u lineární regrese.
c. Zhodnoťte výstižnost obou zvolených regresních funkcí. Která z nich lépe vystihuje
data?
4.8 Řešení úkolů, výsledky
4.1 a) xY ln,,  44382932
b)   KčY 58854443829324 ,ln,, 
c) 92,0=2
R
4.2 lineární regresní funkce kvadratická regresní funkce
a) xY 490957 ,,  2
0201929425 xxY ,,, 
b) 7302601 ,;,b
c) 7502
,R 7902
,R
Model lépe vystihuje kvadratická regresní funkce.
Regresní analýza – jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární
regrese
74
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
75
5 REGRESNÍ ANALÝZA - VÍCEROZMĚRNÁ
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole navážete na jednoduchou regresi vyšetřovanou v předchozí kapitole.
Nyní budeme předpokládat, že vysvětlovaná proměnná závisí na několika (více než jedné)
vysvětlujících proměnných. Vícenásobný lineární regresní model je zobecněním jednoduchého
lineárního regresního modelu. Lineární regresní model bude rozšířen na vícenásobný
regresní model lineární v parametrech, který předpokládá lineární vztah pouze v regresních
koeficientech, nikoliv nutně v nezávisle proměnných. Odhady regresních koeficientů se
stanoví opět metodou nejmenších čtverců, přitom lze využít maticové symboliky, která
usnadňuje práci s vektory a maticemi. Podobně jako v případě jednoduché regrese budou
formulovány předpoklady klasického regresního modelu, přičemž obdržíte analogické výsledky
pro intervaly spolehlivosti regresních koeficientů a odpovídající testy hypotéz jako
v případě jednoduché regrese. Nejprve budeme předpokládat, že vysvětlovaná proměnná
Y závisí na několika vysvětlujících proměnných X1, X2,..., Xk.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
napsat rovnici vícenásobného regresního modelu,
vypočítat odhady regresních koeficientů pomocí maticové symboliky,
vypočítat odhady regresních koeficientů v EXCELU a v GRETLU,
interpretovat hodnotu koeficientu determinace a koeficientu korelace.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Vícenásobná regresní analýza, koeficient determinace, koeficient korelace.
Regresní analýza - vícerozměrná
76
5.1 Vícerozměrná regresní analýza
Na rozdíl od předchozích dvou kapitol, kde jsme předpokládali, že vysvětlovaná proměnná
Y závisí na jediné vysvětlující proměnné X, budeme nyní předpokládat, že vysvětlujících
proměnných je několik (tj. alespoň 2), řekněme k, kde k  2, přitom k je celé číslo.
Vysvětlující statistické znaky (proměnné) označíme X1, X2,...,Xk, i-tému pozorování (i-té
realizaci) hodnot vysvětlujících znaků x x xi i ik1 2, ,..., odpovídá hodnota vysvětlovaného
znaku yi . Vícenásobný lineární regresní model je zobecněním jednoduchého lineárního
regresního modelu (4.9) a má následující tvar:
iikkiii xxxy   ...22110 , i = 1,2,...,n. (5.1)
Jak jste viděli v předchozí kapitole při aplikaci metody linearizace, bylo pro použití metody
nejmenších čtverců podstatné, že regresní funkce byla lineární v parametrech i , nikoliv
v proměnné x. Tohoto důležitého faktu využijeme nyní a formulujeme poněkud obecnější
model, než (5.1), totiž vícenásobný regresní model lineární v parametrech. Ten vypadá
takto
y f x x x f x x x f x x xi i i ik i i ik k k i i ik i         0 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ... ( , ,..., ) ,
i = 1,2,...,n. (5.2)
kde ),...,,( 21 kj xxxf , j = 1,2,...,k, jsou funkce proměnných kxxx ,...,, 21 , nezávislé na parametrech
i .
5.2 Metoda nejmenších čtverců
Odhady regresních koeficientů kbbb ,...,, 10 lze stanovit metodou nejmenších čtverců,
která spočívá v minimalizaci součtu kvadrátů (tj. druhých mocnin) odchylek skutečných
hodnot dat iy od teoretických hodnot iY = ),...,,(...),...,,( 2121110 ikiikkikii xxxfbxxxfbb  .
Podobně, jako u jednoduchého modelu, vypočteme odhady ze soustavy normálních rovnic:
0
0

b
SR


, 0
1

b
SR


, ... , 0
k
R
b
S


. (5.3)
V (5.3) se jedná o parciální derivace funkce SR podle proměnných bi. Označení
),...,,( 21 jkjjiij xxxfF  , i = 1,2,...,k, j = 1,2,...,n, (5.4)
umožní využít maticovou symboliku. Soustavu rovnic (5.2) lze maticově zapsat takto:
εFβy  , (5.5)
kde matice:
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
77













knn
k
k
FF
FF
FF




1
212
111
1
1
1
F se nazývá matice regresorů,













ny
y
y

2
1
y je vektor pozorování vysvětlované proměnné Y,
 =












k



1
0
, resp. b =












kb
b
b

1
0
, je vektor regresních koeficientů, resp. vektor jejich odhadů.
Dále
 =












n



2
1
, je vektor náhodných složek.
Při výpočtu vektoru odhadů b regresních koeficientů metodou nejmenších čtverců obdržíte
soustavu normálních lineárních rovnic, které lze maticově vyjádřit. Pozor, používáte
přitom pravidla pro sečítání a násobení matic - pravidlo „řádek krát sloupec“. Toho lze
dosáhnout tak, že regresní rovnici y = F.b , vynásobíte zleva transponovanou maticí FT
,
takže obdržíte
FT
y = FT
F.b , (5.6)
a za předpokladu, že matice FT
F je regulární, a tedy existuje k ní matice inverzní (FT
F)-1
,
lze nalézt řešení soustavy, tj. vektor odhadů regresních koeficientů modelu (5.5), a to po
vynásobení (5.6) zleva maticí (FT
F)-1
, ve tvaru:
b = (FT
F)-1
FT
y. (5.7)
Ve speciálním případě jednoduché lineární regrese je k = 1, pak matice regresorů a další
prvky z (5.6) mají tvar:













1
21
11
1
1
1
nx
x
x

F , FT
F = 







2
ii
i
xx
xn
, FT
y = 







ii
i
yx
y
,
a soustava normálních rovnic (5.6) je následující:








2
ii
i
xx
xn






1
0
b
b
=










ii
i
yx
y
, (5.8)
což je tvar ekvivalentní rovnicím (3.12) , (3.13).
Regresní analýza - vícerozměrná
78
5.3 Náhodný vektor a jeho charakteristiky
Nyní ještě rozšíříme pojmy střední hodnoty a rozptylu používané doposud pro náhodnou
veličinu (skalár), a to pro náhodný vektor:
X =












nX
X
X

2
1
, (5.9)
kde složky Xi jsou náhodné veličiny. Střední hodnota E(X) vektorové náhodné veličiny X
je vektor středních hodnot jednotlivých složek, tj.:
E(X) =












)(
)(
)(
2
1
nXE
XE
XE

. (5.10)
Rozptyl (variance) Var(X) vektorové náhodné veličiny X je matice:
Var(X) = E(X- E(X))T
(X - E(X)). (5.11)
Rozptyl náhodného vektoru (5.11) je čtvercová matice typu (nn).
5.4 Klasický lineární model
O klasickém (vícerozměrném) lineárním regresním modelu hovoříme tehdy, když matice
regresorů má nejjednodušší tvar, tj. když je matice tvořena danými hodnotami pozorování
vysvětlujících proměnných:
ijij xF  , i = 1,2,...,k, j = 1,2,...,n. (5.12)
V tom případě má matice regresorů tvar:













knn
k
k
xx
xx
xx




1
212
111
1
1
1
F . (5.13)
U klasického lineárního modelu požadujeme splnění podmínek 1. až 3. z minulé kapitoly,
přitom u těchto podmínek nebylo důležité, zda jde o jednoduchý nebo vícerozměrný
regresní model:
1. Hodnoty vysvětlujících proměnných X1, X2,...,Xk, tvořící matici regresorů F podle
(5.13) se volí předem, nejsou to tedy náhodné veličiny.
2. Reziduum  v modelu (3.5) má normální rozdělení pravděpodobnosti s nulovou
střední hodnotou a (neznámým) rozptylem 2
, tj.:
E() = 0 , (5.14)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
79
Var() = 2
I , (5.15)
kde symbol I označuje jednotkovou matici.
Vztah (5.15) zahrnuje zároveň podmínku 3. z klasického lineárního modelu, viz kapitola
3.5, neboť na diagonále matice Var() jsou rozptyly 2
jednotlivých složek
náhodného vektoru  a mimo diagonálu vystupují nulové kovariance těchto složek.
V tom případě hovoříme o homoskedasticitě. V opačném případě hovoříme o přítomnosti
heteroskedasticity.
3. Vysvětlující proměnné X1, X2,...,Xk, nejsou kolineární, tj. sloupcové vektory matice
regresorů (5.13) jsou nekorelované. V opačném případě hovoříme o přítomnosti mul-
tikolinearity.
5.5 Míry variability a koeficient determinace
Podobně jako u jednoduché regrese, zajímáme se nyní o celkovou variabilitu vysvětlované
proměnné, kterou charakterizuje celkový součet čtverců:
 

n
i
iy yyS
1
2
. (5.16)
Část celkové variability vysvětlenou regresním modelem charakterizuje teoretický součet
čtverců:
 

n
i
iT yYS
1
2
, (5.17)
kde Yi = ),...,,(...),...,,( 2121110 ikiikkikii xxxfbxxxfbb  , bi jsou odhady regresních parametrů
získané MNČ. Nevysvětlenou část celkové variability představuje reziduální součet
čtverců:
SR =  

n
i
ii Yy
1
2
, (5.18)
kde iii Yye  je reziduum, tj. odhad náhodné složky i.
Mezi jednotlivými součty čtverců platí základní vztah:
Sy = ST + SR . (5.19)
Obdobně, jako v případě jednoduché regrese, zavedeme analogický pojem, charakterizující
přiléhavost dat k regresnímu modelu, koeficient determinace, který definujeme vztahem:
y
R
y
T
S
S
S
S
R  12
. (5.20)
Koeficient determinace nabývá hodnoty z intervalu [0,1] a určuje tu část celkové variability
pozorovaných hodnot yi, kterou lze vysvětlit daným regresním modelem. Jinak řečeno, po
vynásobení koeficientu determinace stem obdržíme, kolik procent celkové variability je
vysvětlitelných regresním modelem.
Nevychýlený odhad koeficientu determinace 2
adjR , který nazýváme korigovaný (upravený)
koeficient determinace, definujeme takto:
Regresní analýza - vícerozměrná
80
  pn
n
RRadj



1
11 22
, (5.21)
kde p = k+1 označuje počet parametrů v regresním modelu (5.2).
5.6 Intervaly spolehlivosti a testy hypotéz
Tento odstavec je přirozeným rozšířením kapitoly 4 pro jednoduchý klasický lineární
model, tj. model (3.9) se dvěma parametry 10, . Nyní máme analogický model, avšak
s k+1 parametry k ,...,, 10 .
Jsou-li splněny předpoklady klasického lineárního modelu (5.5), tj. modelu:
iikkiii xxxy   ...22110 , i = 1,2,...,n, (5.22)
potom pro rozdělení odhadů regresních koeficientů b b bk0 1, ,..., , jakožto náhodných veličin,
platí toto: Regresní koeficient bj má normální rozdělení pravděpodobnosti se střední
hodnotou j a rozptylem 2
hjj , kde j = 0,1,...,k, čísla hjj jsou diagonálními prvky matice:
H = (FT
F)-1
, (5.23)
kde matice F je definována vztahem (5.13).
V klasickém lineárním modelu předpokládáme, že reziduální složky mají konstantní
rozptyl 2
, jeho hodnotu však zpravidla neznáme. Neznámý rozptyl 2
můžeme nahradit
jeho bodovým odhadem:
pn
S
s R
R

2
, (5.24)
který nazýváme v souladu s (5.22) reziduální rozptyl. V reziduálním rozptylu vystupuje
v čitateli reziduální součet čtverců (5.18) dělený číslem n – p, což je počet stupňů volnosti,
tj. rozsah dat n mínus počet regresních koeficientů v modelu: p = k + 1. Odmocninu reziduálního
rozptylu sR nazýváme směrodatná chyba.
Oboustranný interval spolehlivosti pro regresní koeficient bj, při zadaném koeficientu
spolehlivosti (1 – ), je následující interval:
[bj – t1-/2(n–p)
pn
hS jjR

, bj + t1-/2(n–p)
pn
hS jjR

], j = 0,1,...,k. (5.25)
Zde t1-/2(n – p) je příslušný kvantil Studentova t-rozdělení, hjj diagonální prvky matice
(5.23). Interval (4.23) je speciálním případem intervalu (5.25) v případě k = 1.
Bodový odhad regresních koeficientů bj, vypočtený metodou nejmenších čtverců, doplňuje
interval spolehlivosti (5.25), který informuje, v jakém rozmezí se regresní koeficient
může pohybovat v rámci zadané spolehlivosti v případě jiného náhodného výběru dat (ze
stejného základního souboru). Odhadnutý lineární regresní model (3.9), který má tvar:
exbxbxbby kk  ...22110 , (5.26)
kde e je reziduum, tj. odhad náhodné složky , resp. regresní funkce:
kk xbxbxbbY  ...22110 , (5.27)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
81
má praktický význam zejména při odhadu chování modelu pro nezávisle proměnné nevyskytující
se v datech, např. hodnoty x01, x02 ,..., x0k . Model (5.26), resp. regresní funkce
(5.27), pak slouží k predikci hodnoty závisle proměnné. Bodový odhad předpovědi získáme
dosazením x0 = (x01, x02 ,..., x0k )´ do (5.27):
kk xbxbxbbY 002201100 ... . (5.28)
Informaci o tom, v jakém rozmezí se predikovaná hodnota vysvětlované proměnné
může pohybovat, poskytuje oboustranný interval spolehlivosti:
[Y0 – t1-/2(n–p) 0
T
01 HxxRs , Y0 + t1-/2(n–p) 0
T
01 HxxRs ], (5.29)
kde H = (FT
F)-1
a matice F je definována vztahem (5.13). Ostatní symboly v (5.29) mají
stejný význam, jako v intervalu spolehlivosti (5.25).
5.7 Individuální T-testy o hodnotách regresních koeficientů
Zjistíme-li metodou nejmenších čtverců, že regresní koeficienty bj jsou nějaká nenulová
čísla, musíme mít stále na paměti, že se jedná o realizace náhodných veličin, a tudíž má
smysl testovat, zda naše původní parametry j nemohou být přesto nulové. Za předpokladů
klasického lineárního modelu je možno pro j = 0,1,...,k testovat nulovou hypotézu:
H0: j = 0, (5.30)
proti oboustranné alternativní hypotéze:
H1: j  0. (5.31)
Při tomto testu použijeme testové kritérium:
jj
R
j
h
pn
S
b
t

 , (5.32)
které má při platnosti H0 t-rozdělení s n – p stupni volnosti, SR je reziduální součet čtverců,
hjj jsou diagonální prvky matice H z (5.23), přičemž j = 0,1,...,k, p = k + 1 .
Na hladině významnosti  je kritický obor vymezen nerovností:
t > )(2/1 pnt  ,
kde )(2/1 pnt  je příslušný kvantil Studentova t-rozdělení, viz funkce v Excelu TINV.
Nemůžeme-li např. na dané hladině významnosti  zamítnout nulovou hypotézu H0: j =
0, pak to znamená, že y nezávisí na xj, jinak řečeno, pro libovolnou hodnotu vysvětlující
proměnné xj nabývá vysvětlovaná proměnná y stále stejné hodnoty.
5.8 F-test hypotézy o hodnotách regresních koeficientů
V minulém odstavci jste individuálními t-testy zjišťovali vliv jednotlivých vysvětlujících
proměnných na vysvětlovanou proměnnou. V tomto odstavci se budeme zabývat testem,
který najednou odhalí, zda vůbec existuje nějaká vysvětlující proměnná, která má na
vysvětlovanou proměnnou nějaký vliv. Testuje se nulová hypotéza:
Regresní analýza - vícerozměrná
82
H0 : 0...21  k , (5.33)
proti alternativní hypotéze, že pro alespoň jeden regresní koeficient platí 0j .
Testové kritérium:
pn
S
p
S
T
R
T



1
(5.34)
má Fisherovo rozdělení F s (p – 1) a (n – p) stupni volnosti. Na hladině významnosti  je
kritický obor vymezen nerovností:
),1(1 pnpFT   , (5.35)
kde ),1(1 pnpF  je příslušný kvantil rozdělení. Pokud hodnota testového kritéria padne
do kritického oboru, tedy pokud platí (5.35), potom H0 zamítáme, což znamená, že některá
z vysvětlujících proměnných má statisticky významný efekt na vysvětlovanou proměnnou
y. Pokud však nulovou hypotézu nelze na dané hladině významnosti zamítnout, pak vysvětlující
proměnné xi nemají statisticky významný efekt na y.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.1
Při zjišťování vlivů na pracovní neschopnost zaměstnanců 10 podniků byly získány následující
údaje:
Průměrný věk
(roky)
Podíl žen v počtu
pracovníků (%)
Pracovní neschopnost
(%)
37 55 4,4
33 32 0,7
46 59 7,6
34 36 1,8
25 18 0,1
32 47 3,4
38 22 1,6
40 36 3,5
32 29 3,3
41 38 4,7
a. Odhadněte parametry lineární regresní funkce popisující závislost pracovní neschopnosti
na průměrném věku zaměstnanců a na podílu žen mezi zaměstnanci.
b. Pomocí koeficientu determinace charakterizujte přiléhavost daného regresního modelu
k datům.
c. Jak se změní pracovní neschopnost zaměstnanců, zvýší-li se jejich průměrný věk o 2
roky při stejném podílu žen?
d. Určete 95% intervaly spolehlivosti pro regresní koeficienty b0, b1, b2.
Na hladině významnosti  = 0,01 testujte hypotézu 1´= 2 = 0.
Řešení:
a. Naším úkolem je nalézt regresní koeficienty b0, b1, b2 regresní funkce
Y = b0 + b1X1 + b2X2,
kde X1 je průměrný věk zaměstnanců,
X2 je podíl žen v počtu zaměstnanců.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
83
Regresní koeficienty b0, b1, b2 vypočítáme pomocí metody nejmenších čtverců. Využijeme
přitom nejprve maticové symboliky, kterou jsme použili v textu.
F =
































38411
29321
36401
22381
47321
18251
36341
59461
32331
55371
y =
































7,4
3,3
5,3
6,1
4,3
1,0
8,1
6,7
07
4,4
b











2
1
0
b
b
b
.
Vektor b vypočítáme pomocí vztahu (5.7). Matice FT
F a FT
y mají obecně tvar:
FT
F














2
2212
21
2
11
21
iiii
iiii
ii
xxxx
xxxx
xxn
, FT
y














ii
ii
i
yx
yx
y
2
1 .
Hodnoty potřebné k výpočtu těchto matic jsou uvedeny v následující tabulce:
Potom
FT
F =










1542413745372
1374513128358
37235810
FT
y =










7,1374
1,1207
1,31
.
K matici FT
F musíme vypočítat matici inverzní:
Pozorování X1 X2 Y X1
2
X2
2 X1X2 X1Y X2Y
1 37 55 4,4 1369 3025 2035 162,8 242,0
2 33 32 0,7 1089 1024 1056 23,1 22,4
3 46 59 7,6 2116 3481 2714 349,6 448,4
4 34 36 1,8 1156 1296 1224 61,2 64,8
5 25 18 0,1 625 324 450 2,5 1,8
6 32 47 3,4 1024 2209 1504 108,8 159,8
7 38 22 1,6 1444 484 836 60,8 35,2
8 40 36 3,5 1600 1296 1440 140,0 126,0
9 32 29 3,3 1024 841 928 105,6 95,7
10 41 38 4,7 1681 1444 1558 192,7 178,6
 358 372 31,1 13128 15424 13745 1207,1 1374,7
Regresní analýza - vícerozměrná
84
(FT
F )-1
=













001000100120
001000501310
012013103554
,,,
,,,
,,,
.
Vektor b je výsledkem součinu matic (FT
F )-1
a FT
y:
(FT
F )-1
FT
y











09,0
18,0
59,6
.
Hledaná regresní funkce má tvar: Y = 6,59 + 0,18x1 + 0,09x2.
b. K tomu, abychom vypočítali determinační koeficient, musíme znát hodnotu teoretického
součtu čtverců ST a celkového součtu čtverců Sy. Tyto součty vypočítáme podle vztahů
(5.17), (5.16). Pro výpočet teoretického součtu musíme pro každé x1i, x2i, i = 1,…, 10, znát
teoretickou hodnotu Yi, i = 1,…,10, např. Y1 vypočítáme takto:
Y1 = 6,59 + 0,18x11 + 0,09x22 = 6,59 + 0,1837 + 0,0955 = 5,02
Tato hodnota udává, jaká by měla být teoreticky pracovní neschopnost při průměrném věku
zaměstnanců téměř 37 let a podílu žen v počtu pracovníků 55%. Protože však jde o stochastickou
závislost, liší se tato hodnota od skutečně zjištěné hodnoty y = 4,4. Všechny
teoretické hodnoty Yi jsou uvedeny v následující tabulce. Jednotliví sčítanci i hodnoty
součtů Sy a ST jsou rovněž uvedeni v tabulce.
Koeficient determinace vypočítáme dosazením do vztahu (3.20):
.848,0
49,43
87,362

y
T
S
S
R
Tato hodnota znamená, že pomocí regresní funkce Y = 6,59 + 0,18x1 + 0,09x2 je vysvětleno
84,8% celkové variability proměnné Y.
X1 X2 y Y ( )y y 2
( )Y y 2
1 37 55 4,4 5,02 1,664 3,648
2 33 32 0,7 2,23 5,808 0,774
3 46 59 7,6 7,00 20,160 15,132
4 34 36 1,8 2,77 1,716 0,116
5 25 18 0,1 0,47 9,060 12,816
6 32 47 3,4 3,40 0,084 0,084
7 38 22 1,6 2,23 2,280 0,774
8 40 36 3,5 3,85 0,152 0,548
9 32 29 3,3 1,78 0,036 1,769
10 41 38 4,7 4,21 2,528 1,210
Součet 358 372 31,1 32,02 43,489 36,872
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
85
c. Velikost změny znaku Y je při změně znaku X1 o jednotku rovna b1. Má-li se tedy zvýšit
průměrný věk o 2 roky při nezměněné zaměstnanosti žen X2, zvýší se pracovní neschopnost
o 2b1, tj. o 0,36%.
d. Obecný tvar těchto intervalů je následující (viz (3.25)):
[bi – t1-/2(n–p)
pn
hS iiR

, bi + t1-/2(n–p)
pn
hS iiR

],
kde SR je reziduální součet čtverců,
t1-/2(n – p) je kvantil t-rozdělení o n – p stupních volnosti,
p je počet parametrů regresní funkce,
hii prvek matice H = 1
)( 
FF .
Hodnotu SR vypočítáme ze vztahu:
SR = Sy  ST = 43,49  36,87 = 6,62.
V tabulce t-rozdělení nalezneme (1-/2) = 97,5% kvantil t-rozdělení o n – p = 10 – 3 = 7
stupních volnosti:
365,2)7(975,0 t ,
h00 = 4,355; h11 = 0,0051; h22 = 0,001, H = {hij}, i,j = 0,1,2.
Dosazením výše vypočítaných hodnot do vztahu pro interval spolehlivosti určíme jeho
pravou a levou krajní hodnotu L a P:
Pro b0, tj. i = 0:
79,1
7
355,462,6
365,259,6 

L ,
39,11
7
355,462,6
365,259,6 

P .
95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient b0 je [1,79;11,39]. Pro b1, tj. i = 1:
016,0
7
0051,062,6
365,218,0 

L ,
344,0
7
0051,062,6
365,218,0 

P .
Pak 95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient b1 je [0,016; 0,344].
Pro b2 , tj. i = 2:
017,0
7
001,062,6
365,209,0 

L ,
163,0
7
001,062,6
365,209,0 

P .
Potom 95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient b2 je [0,017; 0,163].
e. Pro ověření hypotézy použijeme F-test. Budeme testovat nulovou hypotézu:
H0: 1´= 2 = 0
proti alternativní hypotéze
H1: alespoň jedno i je různé od nuly.
K ověření nulové hypotézy použijeme testové kritérium (3.34):
Regresní analýza - vícerozměrná
86
.49,19
7
62,6
2
87,36
1




pn
S
p
S
F
R
T
V tabulce F-rozdělení najdeme (1-)% kvantil F-rozdělení o p – 1 a n – p stupních vol-
nosti:
F1- 0,01(2,7) = 9,55.
Protože je 19,49 > 9,55, zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch alternativní hypotézy,
což znamená, že regresní parametry jsou vesměs nenulové, a tudíž existuje statisticky významná
závislost Y na X1 a nebo X2.
Řešení v Excelu.
Regresní statistika
Násobné R 0,912
Hodnota spolehlivosti R 0,831
(koeficient determinace)
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,783
Chyba stř. hodnoty 1,024
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 36,155 18,078 17,255 0,002
Rezidua 7 7,334 1,048
Celkem 9 43,489
e) Protože hodnota Významnost F je menší než hladina významnosti 0,01; nulovou hypotézu
zamítáme, tzn. že regresní parametry jsou vesměs nenulové.
Koeficienty
Chyba stř.
hodnoty t Stat Hodnota P Dolní 95%
Horní
95%
Hranice -6,595 2,136 -3,087 0,018 -11,645 -1,544
průměrný věk X1 0,178 0,073 2,441 0,045 0,006 0,351
podíl žen (%) X2 0,089 0,032 2,758 0,028 0,013 0,166
ŘEŠENÁ ÚLOHA 5.2
Následující tabulka obsahuje údaje o tržbách, velikosti výdajů na reklamu a o počtu obchodních
zástupců pro 11 firem zabývajících se nákupem a prodejem:
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
87
a. Popište závislost objemu produkce na reklamních výdajích a na počtu obchodních zástupců
dvourozměrný lineárním regresním modelem.
b. F-testem posuďte významnost tohoto regresního modelu. Uvažujte hladinu význam-
nosti
 = 0,01.
c. Na hladině významnosti  = 0,01 testujte individuální významnost regresního parametru
1.
d. Jaký objem produkce lze očekávat, vydá-li firma na reklamu 450 tis. Kč a současně
bude mít 50 obchodních zástupců? Určete bodový odhad objemu produkce.
Řešení:
Regresní statistika
Násobné R 0,916
Hodnota spolehlivosti R 0,839 koeficient determinace
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,799
Chyba stř. hodnoty 28,434
Pozorování 11
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 33822,799 16911,399 20,917 0,001
Rezidua 8 6468,110 808,514
Celkem 10 40290,909
b) Hodnota Významnost F je menší než 0,01;
model je zvolen správně,
zamítáme nulovou hypotézu o nulovosti obou koeficientů
Koeficienty
Chyba stř.
hodnoty t Stat Hodnota P
Hranice 63,830 47,652 1,340 0,217
reklamní výdaje (tis.Kč) 0,849 0,224 3,789 0,005
obchodní zástupci 1,076 1,656 0,650 0,534
Reklamní výdaje
(tis. Kč)
Obchodní zástupci Objem prodeje (mil. Kč)
180 35 260
230 38 310
260 33 280
240 40 300
280 38 340
300 32 380
340 42 410
320 49 440
360 53 400
380 55 430
260 33 310
Regresní analýza - vícerozměrná
88
a) 208118508363 xxY .,.,, 
c) Koeficient 84901 ,b je statisticky významný na hladině významnosti 0,01; protože
Hodnota P je menší než 0,01.
d) 500,33 mil.Kč
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této kapitole jste se seznámili s vícenásobným lineárním regresním modelem. Lineární
regresní model byl rozšířen na vícenásobný regresní model lineární v parametrech.
Odhady regresních koeficientů byly opět stanoveny metodou nejmenších čtverců, přitom
bylo využito maticové symboliky, která usnadňuje práci s vektory a maticemi. Podobně
jako v případě jednoduché regrese byly formulovány předpoklady klasického regresního
modelu.
5.9 Samostatné úkoly
5.1 Firma sledovala, jak jsou její tržby ovlivněny výdaji na reklamu v různých sdělovacích
prostředcích. Výsledky průzkumu jsou uvedeny v následující tabulce.
Rádio, TV (tis. Kč) Noviny, časopisy (tis. Kč) Tržby (tis. Kč)
0 16 254
22 29 765
28 30 864
33 35 1001
39 27 911
41 36 1121
49 0 856
55 12 932
60 23 1152
63 34 1403
68 54 1702
a. Určete jednoduchý lineární regresní model popisující závislost obratu na velikosti prostředků
vydaných na reklamu v novinách a časopisech.
b. Určete dvourozměrný lineární regresní model popisující závislost obratu na velikosti
prostředků vydaných na reklamu v novinách a časopisech a na velikosti prostředků vydaných
na reklamu v rozhlase a v televizi.
c. Pomocí F–testu rozhodněte, je-li vhodné k popisu závislosti používat zvolený vícenásobný
lineární model. Uvažujte hladinu významnosti  = 0,05.
d. Přispělo významně zavedení další vysvětlující proměnné k zlepšení výstižnosti mo-
delu?
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
89
e. Jaký obrat je možné očekávat, vydá-li se na reklamu v tisku 32 tis. Kč a na reklamu
v rozhlase a televizi 47 tis. Kč? Proveďte bodový odhad.
5.2 Mezinárodní organizace WHO zjistila údaje o dětské úmrtnosti (v promile) - DÚ, gramotnosti
žen (v procentech) - GŽ a HDP na hlavu (v dolarech) - HDP u 64 rozvojových
zemí:
a. Určete lineární regresní model popisující závislost dětské úmrtnosti na gramotnosti žen
a HDP v rozvojových zemích.
b. Pomocí F–testu rozhodněte, je-li vhodné k popisu závislosti používat zvolený vícenásobný
lineární model. Uvažujte hladinu významnosti  = 0,05.
c. Jsou regresní koeficienty modelu statisticky významné? Stanovte jejich intervaly spolehlivosti
pro hladinu významnosti  = 0,10.
d. Pomocí koeficientu determinace určete přiléhavost dat k modelu. Jak se změní dětská
úmrtnost při zvýšení HDP o 1000 USD při stejném stupni negramotnosti žen? Naopak:
jak se změní dětská úmrtnost při zvýšení gramotnosti žen o 1 procento při stejné úrovni
HDP?
DÚ GŽ HDP DÚ GŽ HDP
128 37 1870 142 50 8640
204 22 130 104 62 350
202 16 310 287 31 230
197 65 570 41 66 1620
96 76 2050 312 11 190
209 26 200 77 88 2090
170 45 670 142 22 900
240 29 300 262 22 230
241 11 120 215 12 140
55 55 290 246 9 330
75 87 1180 191 31 1010
129 55 900 182 19 300
24 93 1730 37 88 1730
165 31 1150 103 35 780
94 77 1160 67 85 1300
96 80 1270 143 78 930
148 30 580 83 85 690
98 69 660 223 33 200
161 43 420 240 19 450
118 47 1080 312 21 280
269 17 290 12 79 4430
189 35 270 52 83 270
126 58 560 79 43 1340
12 81 4240 61 88 670
167 29 240 168 28 410
135 65 430 28 95 4370
107 87 3020 121 41 1310
72 63 1420 115 62 1470
128 49 420 186 45 300
27 63 19830 47 85 3630
152 84 420 178 45 220
224 23 530 142 67 560
Regresní analýza - vícerozměrná
90
5.10 Řešení úkolů, výsledky
5.1 a) jednoduchý lineární regresní model
Regresní statistika
Násobné R 0,658
Hodnota spolehlivosti R 0,433
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,370
Chyba stř. hodnoty 292,354
Pozorování 11
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 587103,478 587103,478 6,869 0,028
Rezidua 9 769235,250 85470,583
Celkem 10 1356338,727
Koeficienty Chyba stř. hodnoty t Stat Hodnota P
Hranice 538,482 195,714 2,751 0,022
Noviny,časopisy (tis.Kč) 17,019 6,494 2,621 0,028
xY .,, 2175539 
b) dvourozměrný lineární regresní model
Regresní statistika
Násobné R 0,992
Hodnota spolehlivosti R 0,985
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,981
Chyba stř. hodnoty 50,634
Pozorování 11
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 1335828,082 667914,041 260,514 0,000
Rezidua 8 20510,645 2563,831
Celkem 10 1356338,727
Koeficienty
Chyba stř. hodnoty
t Stat Hodnota P
Hranice 87,214 42,969 2,030 0,077
Rádio,TV (tis.Kč) 13,905 0,814 17,089 0,000
Noviny,časopisy (tis.Kč) 12,275 1,158 10,596 0,000
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
91
2271219132187 xxY .,.,, 
c) Ano, hodnota Významnost F je menší než 0,05; proto vícenásobný lineární model je
vhodný.
d) Ano, koeficient determinace se z hodnoty 0,43 zvýšil na hodnotu 0,98.
e) 1 133,15 tis.Kč = 1 133 150 Kč
5.2 a)
Regresní statistika
Násobné R 0,841
Hodnota spolehlivosti R 0,708
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,698
Chyba stř. hodnoty 41,748
Pozorování 64
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 257362,373 128681,187 73,833 0,000
Rezidua 61 106315,627 1742,879
Celkem 63 363678,000
20060123264263 xxY .,.,, 
b) Ano, hodnota Významnost F je menší než 0,05; proto vícenásobný lineární model je
vhodný.
c) Oba regresní koeficienty jsou statisticky významné, protože Hodnota P je menší než
0,1. Intervaly spolehlivosti:    00200090281521 ,;,;,;,  bb
d) Koeficient determinace je roven 0,71; tzn., že 71% celkové variability je vysvětleno
modelem.
e) Při zvýšení HDP o 1000 USD při stejném stupni negramotnosti žen klesne dětská
úmrtnost o 5,6 promile. Při zvýšení gramotnosti žen o 1%, při stejné úrovni HDP, klesne
dětská úmrtnost o 0,22 promile.
Koeficienty
Chyba stř. hodnoty
t Stat Hodnota P Dolní 90,0%
Horní
90,0%
Hranice 263,642 11,593 22,741 0,000 244,278 283,005
GŽ -2,232 0,210 -10,629 0,000 -2,582 -1,881
HDP -0,006 0,002 -2,819 0,006 -0,009 -0,002
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
92
6 REGRESNÍ ANALÝZA – VÍCEROZMĚRNÁ: MULTIKOLINEARITA,
HETEROSKEDASTICITA, AUTOKORELACE
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole se naučíte identifikovat, analyzovat a odstraňovat problémy, které způsobuje
nesplnění hlavních předpokladů klasického vícerozměrného lineárního regresního
modelu formulované v kapitole 5.4: multikolinearita, heteroskedasticita a autokorelace.
Multikolinearitou tedy rozumíme vzájemnou statistickou závislost, tj. korelaci, mezi vysvětlujícími
proměnnými ve vícenásobném lineárním regresním modelu. Další důležitou
vlastností klasického lineárního regresního modelu je homoskedasticita. Jde o vlastnost
(5.15), která spočívá v tom, že rozptyl poruchy i v populačním lineárním regresním modelu
je konstantní. Autokorelace je korelace mezi pozorováními uspořádanými v čase, (data
jsou časové řady) nebo v prostoru (data jsou průřezová, tj. v jednom časovém okamžiku/intervalu).
Říkáme, že v regresním modelu není přítomná autokorelace, jestliže náhodné veličiny
jsou vzájemně nekorelované.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
uvést předpoklady klasického vícerozměrného lineárního modelu,
identifikovat multikolinearitu, heteroskedasticitu a autokorelaci v modelu,
aplikovat Bartletův test heteroskedasticity v Excelu.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace, Bartletův test heteroskedasticity.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
93
6.1 Co je multikolinearita?
Multikolinearitou tedy rozumíme vzájemnou statistickou závislost, tj. korelaci, mezi
vysvětlujícími proměnnými ve vícenásobném lineárním regresním modelu:
  kk xxxy ...22110 . (6.1)
Informaci o této vzájemné závislosti poskytuje matice výběrových korelačních koefi-
cientů:
R =












1
1
1
21
221
112




kk
k
k
rr
rr
rr
. (6.2)
Zřejmě je matice (6.2) symetrická, tj. jiij rr  pro všechna i,j. Pokud jsou všechny dvojice
vysvětlujících proměnných vzájemně nekorelované, potom platí, že 0 jiij rr , tj. R = I ,
čili R je jednotkovou maticí.
Uvědomte si, že na diagonále matice R musejí být všechny prvky rovny 1, neboť korelace
vektoru dat se sebou samým je vždy rovna 1! Jsou-li však alespoň některé nediagonální
prvky matice R nenulové, hovoříme o multikolinearitě. Matice R pak není jednotkovou
maticí a její determinant je menší než 1. Je-li multikolinearita vysoká, hovoříme o škodlivé
multikolinearitě, pak se determinant matice R blíží k nule. V tom případě dává metoda nejmenších
čtverců odhady regresních koeficientů s širokými intervaly spolehlivosti, takže
výsledky jsou prakticky neupotřebitelné.
Na to, kdy je multikolinearita „škodlivá“, existují různé názory, opírající se víceméně
o zkušenost. Někteří autoři považují za škodlivou multikolinearitu, když alespoň jeden nediagonální
prvek matice R je větší než 0,8.
Zjistí-li se škodlivá multikolinearita, je možno postupovat v zásadě dvojím způsobem.
Buď vysvětlující proměnnou, která je zdrojem multikolinearity, vypustíme z modelu, nebo
doplníme data, eventuálně získáme nový vzorek dat. Škodlivá multikolinearita je totiž často
důsledkem „špatného“ vzorku dat. Projevuje se obvykle vysokým koeficientem determinace
(blízkým k 1) a zároveň jsou individuální koeficienty statisticky nevýznamné (t-test),
model jako celek je naopak statisticky významný (F-test), viz kap. 5.7 a 5.8.
Celou záležitost ilustrujeme na řešené úloze.
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
94
ŘEŠENÁ ÚLOHA 6.1
V následující Tabulce 11 jsou uvedeny měsíční výdaje, měsíční příjmy a majetek (v Kč)
u 10 českých rodin. Proveďte regresní analýzu měsíčních výdajů rodin v závislosti na měsíčních
příjmech a majetku. Vysvětlete dosažené výsledky pomocí jednorozměrné regrese.
Tabulka 11: Měsíční výdaje, příjmy a majetek v Kč
Řešení:
Data z Tabulky 11 uložíme v excelovské tabulce. Známým postupem v menu: Data 
Analýza dat...  Regrese, a získáme po vyplnění příslušných políček tento výsledek:
V tomto výstupu se vyskytují zdánlivě paradoxní výsledky. Z Tabulky ANOVA vyplývá,
že regresní model
y = 2943,676 + 0,569x1 – 0,006x2 + 
je jako celek statisticky významný (F-test), zatímco individuální regresní koeficienty u proměnných
„příjmy“ resp. „majetek“ jsou statisticky nevýznamné, neboť obě odpovídající p-
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,981
Hodnota spolehlivosti R 0,962
Nastavená hodnota spolehlivosti R0,951
Chyba stř. hodnoty 832,660
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 1,23E+08 61581370 88,82062 1,06E-05
Rezidua 7 4853260 693322,9
Celkem 9 1,28E+08
KoeficientyChyba stř. hodnotyt stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 2943,676 832,579 3,536 0,010 974,940 4912,413
X1 prijmy 0,569 0,847 0,672 0,523 -1,433 2,571
X2 majetek -0,006 0,083 -0,071 0,946 -0,203 0,191
Y výdaje X1 příjmy X2 majetek
8400 9600 100000
7800 12000 120000
10800 14400 150000
11400 16800 170000
13200 19200 200000
13800 21600 225000
14400 24000 246000
16800 26400 264000
18600 28800 392000
18000 31200 322000
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
95
hodnoty (signifikance) jsou větší než 0,05 (0,523 resp. 0,946). Koeficient determinace R2
= 0,962 je vysoký – blízký k 1, což svědčí o vysoké přiléhavosti dat k modelu. Navíc je
u regresního koeficientu u proměnné x2 záporné znaménko, což je evidentně v rozporu s intuicí,
která říká: čím je větší majetek, tím je vyšší spotřeba rodiny. Tento zdánlivý rozpor
je způsoben kolinearitou regresorů, o čemž svědčí jejich korelační matice
R = 





000,1999,0
999,0000,1
,
kterou lze snadno zjistit tak, že vypočítáte 99901202112 , rr pomocí excelovské funkce
=CORREL(B4:B13;C4:C13), za předpokladu, že data pro x1 jsou uložena v oblasti
B4:B13, data pro x2 jsou uložena v oblasti C4:C13. Vysvětlující proměnné x1 a x2 jsou kolineární,
neboť koeficient korelace 99901202112 , rr je blízký k 1.
Vypustíme-li nyní jednu z vysvětlujících proměnných, např. x2 – majetek, a provedemeli
(jednoduchou) regresi x1 na y, obdržíme s analogickým využitím Excelu tento výsledek:
Vidíte, že v novém regresním modelu je regresní koeficient statisticky významný, neboť
odpovídající p-hodnota (signifikance) je menší než 0,05 (0,000...), což je ve shodě
s tabulkou ANOVA.
Podobně, vypustíme-li nyní vysvětlující proměnnou x1 – příjem, a provedeme-li (jednoduchou)
regresi x2 na y, obdržíme s analogickým využitím Excelu výsledek z následujícího
výstupu. Opět vidíte, že v novém regresním modelu je regresní koeficient statisticky významný,
neboť odpovídající p-hodnota (signifikance) je menší než 0,05 (0,000...), což je
ve shodě s tabulkou ANOVA. Navíc je znaménko u regresního koeficientu 0,050 kladné,
což je v souhlasu s intuicí, že totiž velikost spotřeby je přímo úměrná velikosti majetku.
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,981
Hodnota spolehlivosti R 0,962
Nastavená hodnota spolehlivosti R0,957
Chyba stř. hodnoty 779,160
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 1,23E+08 1,23E+08 202,8679 5,75275E-07
Rezidua 8 4856727 607090,9
Celkem 9 1,28E+08
KoeficientyChyba stř. hodnotyt stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 2934,545 769,658 3,813 0,005 1159,710 4709,381
X1 prijmy 0,509 0,036 14,243 0,000 0,427 0,592
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
96
6.2 Co je heteroskedasticita?
Další důležitou vlastností klasického lineárního regresního modelu je homoskedasticita.
Jde o vlastnost (5.15), která spočívá v tom, že rozptyl poruchy i v populačním lineárním
regresním modelu je konstantní, tj. v modelu
y x x xi i i k ik i         0 1 1 2 2 ... , i = 1,2,...,n, (5.1)
platí podmínka
Var() = 2
I , (5.15)
kde symbol I označuje jednotkovou matici.
Podmínku (5.15) je možné ekvivalentně vyjádřit také takto
E(i
2
) = 2
, i = 1,2,...,n, (6.3)
kde E je známý operátor střední hodnoty.
Pokud podmínka (5.15) není splněna, potom hovoříme o heteroskedasticitě. Příklad heteroskedasticity
v případě jednorozměrného lineárního regresního modelu je na Obrázku
21. Je zřejmé, že rozptyl hodnoty y se zvětšuje s rostoucí hodnotou x.
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,979614
Hodnota spolehlivosti R 0,959644
Nastavená hodnota spolehlivosti R0,954599
Chyba stř. hodnoty 803,6024
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 1,23E+08 1,23E+08 190,2357 7,37266E-07
Rezidua 8 5166214 645776,8
Celkem 9 1,28E+08
KoeficientyChyba stř. hodnotyt stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 2880,627 798,404 3,608 0,007 1039,503 4721,750
X2 majetek 0,050 0,004 13,793 0,000 0,042 0,058
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
97
Obrázek 21: Heteroskedasticita v regresním modelu
Heteroskedasticita může být způsobena různými příčinami. Častou příčinou heteroskedasticity
je fakt, že při postupném sběru dat se technika sběru postupně zlepšuje a chyba se
proto zmenšuje. Naopak se chyba zvětšuje s přítomnosti odlehlých hodnot. Dalším zdrojem
heteroskedasticity je nesprávná specifikace modelu, např. tím, že jsou opominuty důležité
vysvětlující proměnné regresního modelu. Přítomnost heteroskedasticity v regresním modelu
je silně nežádoucí, a to zejména z těchto důvodů:
 Přítomnost heteroskedasticity způsobuje neplatnost odhadů rozptylů regresních koeficientů
a tudíž také odhadů jejich intervalů spolehlivosti a testů hypotéz o jejich
statistické významnosti atd., viz kap. 5.6.
 Prognózy s využitím regresního modelu obsahujícího heteroskedasticitu jsou často
nespolehlivé a dokonce nerealistické.
6.2.1 Jak zjišťovat heteroskedasticitu?
Jak poznáme, že v regresním modelu, který jsme sestavili na základě nějakých dat, je
přítomna heteroskedasticita? Podobně jako v případě multikolinearity neexistují přesná
pravidla, jak detekovat přítomnost heteroskedasticitu, pouze pár heuristických zásad.
Velmi často poznáme přítomnost heteroskedasticity z věcné povahy problému. Například
je známo, že s rostoucím věkem zaměstnanců se zvětšuje rozptyl jejich platů. Ať je
typ závislosti platu na věku lineární nebo ne, bude v modelu přítomna heteroskedasticita.
Pokud však nemáme podobné předběžné empirické informace o povaze problému, předpokládáme,
že heteroskedasticita není přítomna, že tudíž je rozptyl náhodné složky modelu
konstantní. Takové tvrzení pak můžeme podrobit zkoumání např. grafické analýze nebo
statistickému testu reziduí ei. S oběma postupy se zde seznámíte.
Grafická analýza
Zobrazíme si závislost kvadrátu reziduí 2
ie na teoretické hodnotě Yi. Na Obrázku 22 jsou
zobrazeny 3 důležité případy tvaru, které mohou nastat, kde
Yi = ),...,,(...),...,,( 2121110 ikiikkikii xxxfbxxxfbb  , (6.4)
Data a regresní přímka
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20
t
yt
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
98
přitom bi jsou odhady regresních parametrů získané MNČ,
iii Yye  (6.5)
je reziduum, tj. odhad náhodné složky i.
2
ie 2
ie 2
ie
a) Yi b) Yi c) Yi
Obrázek 22: Závislost 2
ie na Yi
Na Obrázku 22 a) hodnota 2
ie v zásadě nezávisí na Yi, což naznačuje, že náhodná složka
je konstatntní a tudíž heteroskedasticita není přítomna. Na druhou stranu Obr. 22 b) a c)
hodnota 2
ie v zřejmě závisí na Yi, což naznačuje přítomnost heteroskedasticity. Konkrétní
tvar závislosti vám dobře potvrdí zobrazení bodového diagramu závislosti yi na vybrané
datové hodnoty j-té vysvětlující proměnné xji.
Testy heteroskedasticity
Detekce heteroskedasticity s pomocí statistického testu hypotézy je obvykle založena na
nulové hypotéze, že rozptyly náhodné složky 2
i jsou konstantní, přičemž se analyzují jejich
odhady, tj. rezidua 2
ie . V literatuře můžete nalézt podrobné testy heteroskedasticity
s názvy jako Parkův test, Glejserův test, Goldfeld-Quandtův test aj., viz např. Gujarati
(2003). Tyto statistické testy lze provádět pomocí specializovaných statistických programů,
např. SPSS, v Excelu specializované funkce na tyto testy bohužel chybí. My si zde proto
ukážeme tzv. Bartletův test heteroskedasticity, který představuje zjednodušený GoldfeldQuandtův
test a lze k jeho provedení využít funkce Excelu.
Bartletův test
Test vychází z rozdělení dat podle velikosti (některé) vysvětlující proměnné – označíme
ji X, do dvou částí: xi ≤ xˆ a xi > xˆ , přitom jsou data uspořádána podle X, xˆ je medián z xi
.
• Testuje se hypotéza o rovnosti rozptylů reziduí v obou částech (v Excelu: Analýza dat,
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl,…)
• Pokud se hypotéza o rovnosti rozptylu reziduí (není přítomna heteroskedasticita)
v obou částech zamítá, potom se hypotéza o přítomnosti heteroskedasticity, přijímá (a
obráceně).
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
99
Použití Bartletova testu si ukážeme na příkladu. Ještě předtím se budeme zabývat
otázkou, jak odstranit zjištěnou heteraskedasticitu, tj. jak modifikovat původní model tak,
aby heteraskedasticitu neobsahoval.
6.2.2 Jak odstraňovat heteroskedasticitu?
Nejznámější metodou k odstranění heteroskedasticity je metoda vážených nejmenších
čtverců MVNČ. V MVNČ předpokládáme určitý typ nekonstantního chování rozptylu náhodné
složky.
Předpoklad 1: Rozptyl náhodné složky je přímo úměrný kvadrátu vysvětlující proměnné
x, tj.
E(i
2
) = 22
ixσ , i = 1,2,...,n. (6.6)
Transformovaný regresní model získáme tak, že regresní rovnici
iii εxββy ++= 10 , i = 1,2,...,n, (6.7)
vydělíme hodnotou xi , čímž obdržíme
i
ii
i
ii
i
δβ
x
β
x
ε
β
x
β
x
y
++
1
=++= 101
0
, i = 1,2,...,n, (6.8)
kde pro novou náhodnou chybu i platí po dosazení z (6.6)
2
2
2
2
=)(=)( σ
x
ε
EδE
i
i
i , i = 1,2,...,n. (6.9)
Provedením transformace
i
i
i
x
y
y =´ ,
i
i
x
x
1
=´ , i = 1,2,...n. (6.10)
obdržíme z (6.8) nový regresní model
iii δxββy +´+=´ 01 , i = 1,2,...,n. (6.11)
což je nový lineární regresní model podle (6.9) však bez heteroskedasticity.
Uvažovali jsme jednoduchý regresní model, avšak rozšíření výše uvedeného postupu na
vícerozměrný regresní model je snadné. Předpoklad 1 modifikujeme tak, že rozptyl náhodné
složky je přímo úměrný kvadrátu vysvětlující proměnné xj, tj.
E(i
2
) = 22
ijxσ , i = 1,2,...,n. (6.6)
Namísto modelu (6.7) uvažujeme model
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
100
iiii εxβxββy +...+++= 22110 , i = 1,2,...,n. (6.7*)
Pro nový vícerozměrný regresní model použijeme namísto transformace (6.10) nová
transformovaná data
ij
i
i
x
y
y =´ , jk
x
x
x
x
x
ij
ik
ik
ij
ij ≠,=´,
1
=´ , i = 1,2,...,n. (6.10*)
Předpoklad 2: Rozptyl náhodné složky je přímo úměrný vysvětlující proměnné x, tj.
E(i
2
) = ixσ2
, i = 1,2,...,n. (6.12)
Transformovaný regresní model získáme tak, že regresní rovnici
iii εxββy ++= 10 , i = 1,2,...,n, (6.13)
vydělíme hodnotou ix , čímž obdržíme
ii
ii
i
i
ii
i
xβ
x
β
x
ε
xβ
x
β
x
y
++
1
=++= 101
0
, i = 1,2,...,n, (6.14)
kde pro novou náhodnou chybu i platí po dosazení z (6.12)
2
2
2
=)(=)( σ
x
ε
EE
i
i
i , i = 1,2,...,n. (6.15)
Provedením transformace
i
i
i
x
y
y =´ , ii
i
i xx
x
x =´´,
1
=´ , i = 1,2,...,n. (6.16)
obdržíme z (6.16) nový regresní model
iiii xβxβy +´´+´=´ 10 , i = 1,2,...,n, (6.17)
což je nový lineární regresní model bez úrovňové konstanty podle (6.15) však bez heteroskedasticity.
Rozšíření na vícerozměrný regresní model je možné udělat analogicky jako
v případě Předpokladu 1. Odstranění heteroskedasticity si prakticky vyzkoušíte v následující
řešené úloze.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 6.2
V následující tabulce jsou uvedeny příjmy a spotřební výdaje 30 rodin v tis. Kč/rok. Vytvořte
lineární regresní model závislosti výdajů na příjmech, graficky a statistickým testem
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
101
zjistěte přítomnost heteroskedasticity. Z původního modelu pak heteroskedasticitu odstraňte
pomocí MVNČ. Použijte přitom Excel.
Řešení:
V Excelu vytvoříme z daných údajů graf: XY bodový a pomocí pravého tlačítka iniciujeme
nabídku s volbou Přidat spojnici trendu... V podnabídce Možnosti zaklikneme 2 položky:
Zvolit rovnici regrese a Zvolit koeficient spolehlivosti (tj. koeficient determinace). Obdržíme
výsledek, z něhož vyplývá lineární regresní model: y = 9,29 + 0,64.x + .
Dále vedle sloupce yi vytvoříme pomocí vzorce regresní rovnice sloupec teoretických
hodnot Yi. Další sloupec vytvoříme jako rozdíl sloupců yi a Yi, což bude sloupec reziduí.
Poslední sloupec bude druhá mocnina reziduí. Společně pak vytvoříme XY bodový graf
mezi Yi a 2
ie . Výsledkem je následující graf na Obr. 23, který napovídá přítomnost heteroskedasticity,
neboť body v grafu netvoří pás rovnoběžný s vodorovnou osou, jako na Obr.
22 a), ale spíše kužel, jako na Obr. 22 b).
č.rodiny Výdaje Příjmy č.rodiny Výdaje Příjmy
1 66 80 16 115 180
2 65 100 17 120 225
3 70 85 18 100 170
4 80 110 19 145 240
5 79 120 20 110 185
6 84 115 21 172 220
7 98 130 22 200 230
8 95 140 23 175 245
9 90 125 24 140 260
10 75 90 25 135 190
11 74 105 26 140 205
12 110 160 27 155 200
13 113 150 28 230 270
14 125 165 29 137 230
15 108 145 30 145 290
Závislost e2
na Y
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
3500,00
50 70 90 110 130 150 170 190 210 230
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
102
Obrázek 23: Kužel závislosti 2
ie na iY
K exaktnímu prokázání heteroskedasticity použijeme Bartletův test. Podle rostoucích
hodnot X – Příjmů seřadíme hodnoty reziduí a z nich vytvoříme dva stejně velké soubory
e1 a e2:
Budeme testovat, zda rozptyly obou souborů jsou stejné pomocí F-testu z Excelu:
V menu: Data  Analýza dat  Dvouvýběrový F-test pro rozptyl zadáme umístění oblastí
sloupců e1 a e2, eventuální popisky a oblast výstupu. Obdržíme výstup:
V tomto výstupu je důležitá P-hodnota: P(F<=f) (1) = 3,89 E-07 = 0,000000389 < 0,05.
Na hladině  = 0,05 proto nulovou hypotézu Ho: „Rozptyly obou uvažovaných souborů
jsou stejné“ zamítáme. Uvažované soubory mají různý rozptyl, což znamená, že rozptyl
náhodné složky regresního modelu není konstantní, neboli že heteroskedasticita je v modelu
přítomna.
Nakonec ukážeme, jak přítomnou heteroskedasticitu odstranit. V Obr. 23 se body grafu
nacházejí v „lineárním kuželu“, proto zvolíme pro transformaci Předpoklad 2.
Příjmy e1 Příjmy e2
80 1,99 170 -8,09
85 -10,83 180 -29,68
90 3,03 185 -17,19
100 -1,74 190 -13,54
105 -8,65 200 -16,05
110 -0,69 205 25,28
115 4,45 220 47,37
120 -4,46 225 13,51
125 -0,60 230 -30,36
130 5,08 230 6,00
140 -4,78 240 2,14
145 -1,28 245 20,09
150 7,63 260 53,74
160 10,77 270 -15,63
165 5,58 290 -43,08
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Soubor 1 Soubor 2
Stř. hodnota 0,366225 -0,366225
Rozptyl 35,88461 792,7791
Pozorování 15 15
Rozdíl 14 14
F 0,045264
P(F<=f) (1) 3,89E-07
F krit (1) 0,402621
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
103
Transformace podle (6.16):
i
i
i
x
y
y =´ , ii
i
i xx
x
x =´´,
1
=´ , i = 1,2,...,30.
obdržíme nový regresní model iiii xxy +´´59,0+´75,16=´ 1 , i = 1,2,..., 30,
který je bez heteroskedasticity.
6.3 Co je autokorelace?
Autokorelace je korelace mezi pozorováními uspořádanými v čase (data jsou časové
řady) nebo v prostoru (data jsou průřezová, tj. v jednom časovém okamžiku/intervalu). Říkáme,
že v regresním modelu není přítomná autokorelace, jestliže náhodné veličiny jsou
vzájemně nekorelované, symbolicky to lze vyjádřit takto
E(i.j) = 0 , i  j, i,j = 1,2,...,n. (6.18)
Jestliže naopak existuje dvojice indexů i  j, přičemž platí E(i.j)  0, řekneme, že v regresním
modelu je přítomna autokorelace.
Autokorelace se nejčastěji vyskytuje v regresních modelech založených na datech ve
formě časových řad. Potom indexy i, (resp. j) představují časové okamžiky t. Časovým
řadám a jejich analýze se budou věnovat následující kapitoly 8 až 12, kde bude podrobněji
pojednáno také o autokorelaci.
Následující Obrázek 24 dává příklad dvou regresních modelů dat, z nichž jeden je
správně specifikován (nelineární regresní model – černá křivka), druhý je nesprávně specifikován
(lineární regresní křivka – červená přímka). Nesprávná specifikace modelu způsobuje,
že rezidua jsou vzájemně korelována, což se projevuje tak, že datové body leží vždy
ve větší oblasti podél vodorovné osy na jedné straně regresní křivky, zatímco v případě
nekorelovaných reziduí leží datové body rovnoměrně po obou stranách regresní křivky
v celé oblasti vodorovné osy (tj. nezávisle proměnné).
č.rodiny y´ x´ x´´ č.rodiny y´ x´ x´´
1 7,379 0,112 8,944 16 8,572 0,075 13,416
2 6,500 0,100 10,000 17 8,000 0,067 15,000
3 7,593 0,108 9,220 18 7,670 0,077 13,038
4 7,628 0,095 10,488 19 9,360 0,065 15,492
5 7,212 0,091 10,954 20 8,087 0,074 13,601
6 7,833 0,093 10,724 21 11,596 0,067 14,832
7 8,595 0,088 11,402 22 13,188 0,066 15,166
8 8,029 0,085 11,832 23 11,180 0,064 15,652
9 8,050 0,089 11,180 24 8,682 0,062 16,125
10 7,906 0,105 9,487 25 9,794 0,073 13,784
11 7,222 0,098 10,247 26 9,778 0,070 14,318
12 8,696 0,079 12,649 27 10,960 0,071 14,142
13 9,226 0,082 12,247 28 13,997 0,061 16,432
14 9,731 0,078 12,845 29 9,034 0,066 15,166
15 8,969 0,083 12,042 30 8,515 0,059 17,029
Regresní analýza – vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
104
Obrázek 24: Autokorelace: špatná a správná specifikace modelu
SHRNUTÍ KAPITOLY
Tato kapitola se věnovala identifikaci a analýze problémů, které způsobuje nesplnění
hlavních předpokladů klasického vícerozměrného lineárního regresního modelu. Jednalo
se o multikolinearitu, heteroskedasticitu a autokorelaci. Multikolinearitou rozumíme vzájemnou
statistickou závislost, tj. korelaci, mezi vysvětlujícími proměnnými ve vícenásobném
lineárním regresním modelu. Další důležitou vlastností klasického lineárního regresního
modelu je homoskedasticita, která spočívá v tom, že rozptyl poruchy i v populačním
lineárním regresním modelu je konstantní. Autokorelace je korelace mezi pozorováními
uspořádanými v čase, (data jsou časové řady) nebo v prostoru (data jsou průřezová, tj. v
jednom časovém okamžiku/intervalu).
6.4 Samostatné úkoly
6.1 V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty obratu, výdajů na vědu a výzkum (VaV) a
zisku za 18 průmyslových odvětví v USA v roce 1990. Vytvořte lineární regresní model
závislosti zisku na obratu a výdajích na VaV. Zjistěte, zda je v modelu přítomna multikolinearita
a heteroskedasticita. Použijte postupy, které jste se naučili v této kapitole.
Správná
specifikace
modelu
Špatná
specifikace
modelu
Obrat VaV Zisk
6375,3 62,5 185,1
11626,4 92,9 1569,5
14655,1 178,3 276,8
21869,2 258,4 2828,1
26408,3 494,7 225,9
32405,6 1083,0 3751,9
35107,7 1620,6 2884,1
40295,4 421,7 4645,7
70761,6 509,2 5036,4
80552,8 6620,1 13869,9
95294,0 3918,6 4487,8
101314,1 1595,3 10278,9
116141,3 6107,5 8787,3
122315,7 4454,1 16438,8
141649,9 3163,8 9761,4
175025,8 13210,7 19774,5
230614,5 1703,8 22626,6
293543,0 9528,2 18415,4
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
105
6.5 Řešení úkolů, výsledky
6.1 236901069054791 xxY .,.,, 
x1…obrat; x2…výdaje na VaV; koeficient 36902 ,b není statisticky
významný
Korelační koeficient = 0,9 je statisticky významný na hladině významnosti 0,01.
V modelu je přítomna multikolinearita.
Závislost zisku na obratu:
108085862 xY .,, 
Koeficient 0,08 je statisticky významný.
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Soubor 1 Soubor 2
Stř. hodnota -809,8808 809,8807591
Rozptyl 1219536 20761396,39
Pozorování 9 9
Rozdíl 8 8
F 0,058741
P(F<=f) (1) 0,000289
F krit (1) 0,290858
Nulovou hypotézu: rozptyly obou souborů jsou stejné, zamítáme, rozptyl náhodné složky
není konstantní, neboli heteroskedasticita je v modelu přítomna.
Závislost zisku na VaV:
241113817 xY .,, 
Koeficient 1,4 je statisticky významný.
Nulovou hypotézu: rozptyly obou souborů jsou stejné, nezamítáme, rozptyl náhodné složky
je konstantní, neboli heteroskedasticita není v modelu přítomna. (hladina významnosti 0,01)
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Soubor 1 Soubor 2
Stř. hodnota -1348,771 1348,770762
Rozptyl 7292620 43919891,06
Pozorování 9 9
Rozdíl 8 8
F 0,166044
P(F<=f) (1) 0,010033
F krit (1) 0,290858
Základy analýzy časových řad
106
7 ZÁKLADY ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Důležitým nástrojem ke zkoumání dynamiky ekonomických procesů je analýza časových
řad. Časovou řadou přitom rozumíme věcně a prostorově srovnatelná pozorování
uspořádaná v čase směrem od minulosti přes přítomnost k budoucnosti. Obsahem této kapitoly
je objasnit typizaci ekonomických časových řad, vysvětlit elementární charakteristiky
časových řad, uvést základní modely časových řad a popsat jejich složky. Analýza
časových řad je vedena snahou po vysvětlení minulosti a předvídání budoucnosti, v ekonomické
oblasti se jedná o vývojové trendy ukazatelů hospodářské činnosti. Analýza časových
řad jako soubor metod a postupů nabízí širokou škálu nástrojů a technik. Ke klasickým
analytickým postupům založeným na regresi z předchozích kapitol a syntetickým přístupům
založeným na technikách vyrovnání časových řad, přistupuje moderní, výpočetně náročnější
Box - Jenkinsova metodologie.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
uvést typy ekonomických časových řad,
vypočítat hodnoty očištěné časové řady,
vypočítat základní charakteristiky časových řad.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 60 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Časová řada, diference časové řady, koeficient růstu, očištěná hodnota časové řady.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
107
7.1 Typy ekonomických časových řad
Důležitým nástrojem ke zkoumání dynamiky ekonomických procesů je analýza časových
řad. Časovou řadou přitom rozumíme věcně a prostorově srovnatelná pozorování
uspořádaná v čase směrem od minulosti přes přítomnost k budoucnosti. Časové řady členíme
následujícím způsobem:
 podle charakteru časové řady na intervalové časové řady a okamžikové časové řady,
 podle periodicity, s jakou jsou sledovány, na krátkodobé časové řady (méně než roční
periodicita), střednědobé časové řady (roční periodicita) a dlouhodobé časové řady
(delší, než roční periodicita),
 podle druhu sledovaných ukazatelů (údajů) na časové řady absolutních ukazatelů a časové
řady odvozených ukazatelů.
Intervalovou časovou řadou se rozumí časová řada intervalového ukazatele ty , tj. ukazatele,
jehož velikost (hodnota) závisí na délce intervalu, za který je sledován. Pro ukazatele
tohoto typu je možné tvořit součty, z jejich povahy však vyplývá, že se vztahují ke stejně
dlouhým časovým intervalům, jinak by byly hodnoty vzájemně nesrovnatelné. Není např.
správné srovnávat výrobu za leden a únor, neboť únor je z hlediska počtu pracovních dní
kratší. Abychom zajistili srovnatelnost, přepočítáváme všechna sledovaná období na stejný
časový interval. Tato operace se nazývá očišťování časových řad od kalendářních variací.
Údaje očištěné časové řady )0(
ty dostaneme z hodnoty očišťovaného ukazatele ty takto:
t
t
tt
k
k
yy =)0(
, (7.1)
kde tk je průměrný počet dnů v příslušném dílčím období, tk je skutečný počet dnů v příslušném
dílčím období t.
Okamžikovou časovou řadou rozumíme časovou řadu ukazatelů, které se vztahují k určitému
okamžiku, např. počátku nebo konci určitého časového intervalu (období). Protože
součet za několik za sebou jdoucích okamžikových hodnot obvykle nemá reálný smysl,
shrnují se řady tohoto typu pomocí chronologického průměru.
Pro dané ekvidistantní (stejně vzdálené) časové okamžiky t1, t2,...,tn , ke kterým přísluší
hodnoty okamžikových ukazatelů y1,y2,...,yn je prostý chronologický průměr definován
jako aritmetický průměr z aritmetických průměrů vždy dvou po sobě jdoucích hodnot, tedy:
1
2
...
22
13221








n
yyyyyy
y
nn
ch
, (7.2)
Základy analýzy časových řad
108
Není-li délka mezi jednotlivými časovými okamžiky stejná, definujeme vážený chronologický
průměr, kde vahami jsou délky jednotlivých časových intervalů dk = tk+1 - tk , k =
1,2,...,n –1:
121
1
1
2
32
1
21
...
2
...
22










n
n
nn
ch
ddd
d
yy
d
yy
d
yy
y
. (7.3)
Časový rozdíl mezi časovými okamžiky, tedy délka časového intervalu v okamžikové
časové řadě, se nazývá periodicita časové řady. Je-li periodicita ekonomických časových
řad kratší než jeden rok, hovoříme o krátkodobých časových řadách. Nejčastější periodicitou
je měsíční periodicita. Je-li periodicita roční, hovoříme často o střednědobých časových
řadách, při delší periodicitě, např. pětileté, hovoříme o dlouhodobých časových řadách.
Časovou řadou absolutních hodnot se obvykle rozumí časová řada přímo zjištěných
údajů (v naturálních jednotkách) očištěná od kalendářních variací. Odvozené údaje a z nich
vytvořené časové řady získáme obvykle matematickými operacemi z absolutních údajů.
Většinu důležitých ekonomických časových řad tvoří časové řady ukazatelů vyjádřených
v peněžní formě. Vzhledem ke změnám cenové hladiny, které jsou v tržní ekonomice přirozené,
však v delší časové řadě často dostáváme posloupnost údajů, které nejsou vždy
zcela souměřitelné. Proto důležitým problémem v analýze časových řad je srovnatelnost
údajů, konkrétně cenová srovnatelnost. Při sestavování delší časové řady je možno v zásadě
postupovat dvojím způsobem: použít běžné ceny a vyjádřit z nich absolutní objem určitého
ukazatele, resp. tempa růstu, nebo vycházet ze stálých cen, tj. cen fixovaných k určitému
datu. Používání stálých cen v ekonomice vede ke zmírnění negativních tendencí v účinnosti
základních fondů vyplývajících z vlivu technického rozvoje na výrobu, dále vede ke zreálnění
výsledků hospodářského vývoje vzhledem k mezinárodnímu srovnání.
Vývoj základních ekonomických ukazatelů v České republice je možné sledovat jednak
za jednotlivé roky ve statistických ročenkách, jednak podle jednotlivých měsíců ve statistických
přehledech a bulletinech vydávaných Českým statistickým úřadem. Pro potřeby
vrcholového řízení ve firmách a podnicích slouží především údaje o vývoji základních ukazatelů
podle měsíců, neboť jde o informace s určitým vztahem k okamžité odezvě v chování
ekonomických subjektů, ať už výrobců, nebo spotřebitelů. Jsou to zejména informace
o inflaci (index spotřebitelských cen a indexy životních nákladů), dále informace o peněžních
příjmech a výdajích obyvatelstva, o celkovém prodeji v maloobchodě, průmyslové,
zemědělské a stavební výrobě a též údaje o nezaměstnanosti.
Bohatým zdrojem informaci a dat jsou webové stránky Českého statistického úřadu
(ČSÚ), www.czso.cz případně Statistického úřadu Evropské komise EUROSTAT:
http://epp.eurostat.ec.europa.eu .
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
109
7.2 Elementární charakteristiky časových řad
Mezi elementární metody analýzy časových řad patří vizuální analýza chování ukazatele
využívající grafů spolu s určováním elementárních statistických charakteristik, ke kterým
patří absolutní diference různého řádu a koeficient růstu časové řady.
Označíme-li yt hodnoty určitého ukazatele v čase t = 1,2,...,n (např. v jednotlivých měsících),
potom absolutní diferencí prvního řádu rozumíme rozdíl:
( )1
1y y yt t t   , t = 2,3,...,n. (7.4)
Obdobně lze definovat absolutní diference vyšších řádů - druhého, třetího, atd.:
  ( ) ( ) ( )2 1 1
1y y yt t t   = y y yt t t  2 1 2 , t = 3,4,...,n,
  ( ) ( ) ( )3 2 2
1y y yt t t   = y y y yt t t t    3 31 2 3 , t = 4,5,...,n, atd.
Další používanou elementární charakteristikou je koeficient růstu, který udává, o kolik
procent vzrostla hodnota časové řady v daném časovém okamžiku oproti období v předchozím
časovém okamžiku:
k
y
yt
t
t

1 , t = 2,3,...,n. (7.5)
Při hodnocení vývoje za celou analyzovanou řadu zjišťujeme souhrnné charakteristiky
– průměrný absolutní přírůstek:
 





1
1 1
1 1
2n
y
y y
n
n
tt
n
( )
, (7.6)
a průměrný koeficient růstu:
k k k k
y
yn
n n
n  
2 3
1
1
1...
. (7.7)
Jak průměrný absolutní přírůstek, tak průměrný koeficient růstu závisí pouze na první
a poslední hodnotě časové řady. Průměrný absolutní přírůstek ukazuje, o kolik by se měl
ukazatel pravidelně měnit (v absolutních jednotkách), aby se hodnota ukazatele změnila
z původní první hodnoty y1 na poslední hodnotu yn. Naproti tomu průměrný koeficient růstu
poskytuje informaci, o kolik procent by se měla hodnota ukazatele měnit, tj. jaká by měla
být rychlost růstu (poklesu), aby se hodnota ukazatele změnila z původní první hodnoty y1
na poslední hodnotu yn.
Základy analýzy časových řad
110
7.3 Modely ekonomických časových řad
Modelový přístup k analýze časových řad bude vycházet z předpokladu, že jediným faktorem
dynamiky ukazatele v časové řadě je čas. Ostatní faktory působící na hodnotu ukazatele
budeme většinou zanedbávat. Model časové řady tohoto typu můžeme zapsat ve
formě:
 tt tfy , , (7.8)
kde yt je hodnota analyzovaného ukazatele v čase t, f je určitá funkce (typ závislosti), t je
časová proměnná, t je hodnota náhodné složky. Modely časových řad založené na výše
uvedeném principu se nazývají jednorozměrné modely.
Každá časová řada může obsahovat 4 složky, které vyjadřují různé druhy pohybu analyzovaného
ukazatele:
 trendovou složku (trend) Tt,
 sezónní složku St,
 cyklickou složku Ct,
 náhodnou složku t .
Trendová, sezónní a cyklická složka tvoří společně systematickou (deterministickou)
složku, kterou značíme Yt , tj. tttt CSTY  . Zpravidla se uvažuje, že složky Yt jsou v aditivním
vztahu, takže model časové řady můžeme zapsat ve tvaru:
ttttt CSTy  . (7.9)
V tom případě mluvíme o aditivním modelu časové řady. V ekonomických časových řadách
se nejčastěji setkáváme se dvěma speciálními případy modelu (7.9). U střednědobých
modelů (s roční periodicitou) se obvykle předpokládá 0 tt CS , pak model časové řady
(7.9) má tvar:
ttt Ty  . (7.10)
U krátkodobých modelů časových řad (s čtvrtletní nebo měsíční periodicitou) se předpokládá,
že 0tC , a tedy model (7.9) má tvar:
tttt STy  , (7.11)
mluvíme pak o časové řadě se sezónní složkou.
Vedle aditivního modelu (8.9) je multiplikativní model založen na předpokladu, že vzájemný
vztah jednotlivých složek obsažených v modelu je dán vzájemným násobením:
ttttt CSTy  . (7.12)
Popis a kvantifikace jednotlivých složek modelu časové řady patří k hlavním úkolům analýzy
časových řad.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8.1
V tabulce jsou uvedeny průměrné měsíční výdaje na vzdělávání zaměstnanců ve firmě A+B
v letech 2009-2017. Pro tuto časovou řadu vypočítejte:
a. absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek,
b. koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
111
Roky 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Mzda 2980 3110 4500 5650 7460 8930 10670 12820 13250
Řešení:
a. Absolutní přírůstky vypočítáme podle vztahu (7.4):
( )1
2 2 1y y y   3110  2980 = 130, atd.
Výsledek říká, že průměrné měsíční výdaje na vzdělávání zaměstnanců ve firmě A+B stouply
v letech 2009-2010 o 130 Kč.
Všechny absolutní přírůstky jsou uvedeny v následující tabulce.
Průměrný absolutní přírůstek je podle (7.6):
.,
n
yyn
751283
8
298013250
1
1






b. Koeficienty růstu vypočítáme podle vztahu (7.5). Např.: k
y
y2
2
1
3110
2980
10436   , .
Průměrné měsíční výdaje na vzdělávání zaměstnanců ve firmě A+B vzrostly v letech 2009-
2010 o 4,36%.
Hodnoty ostatních koeficientů růstu jsou uvedeny v následující tabulce.
Průměrný koeficient růstu vypočítáme podle (7.7):
.205,1
2980
1325081
1
 n
n
y
y
k
Výsledek ukazuje, že měsíční výdaje na vzdělávání zaměstnanců ve firmě A+B rostly
ročně v průměru o 20,5%.
Roky 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Mzda 2980 3110 4500 5650 7460 8930 10670 12820 13250
y)1(
Δ  130 1390 1150 1810 1470 1740 2150 430
k . 1,04 1,45 1,26 1,32 1,20 1,19 1,20 1,03
SHRNUTÍ KAPITOLY
Obsahem této kapitoly bylo objasnit typizaci ekonomických časových řad, vysvětlit elementární
charakteristiky časových řad, uvést základní modely časových řad a popsat jejich
složky. Časová řada se dá rozložit na čtyři složky. Jedná se o složku trendovou, sezónní,
cyklickou a náhodnou. Cyklickou složku v ekonomických časových řadách zanedbáváme,
protože popisuje jevy, které se opakují za období delší než 1 rok. V případě, že se jednotlivé
složky sčítají, tak se jedná o aditivní model, v případě násobení jednotlivých složek mluvíme
o multiplikativním modelu. Analýza časových řad je vedena snahou po vysvětlení
minulosti a předvídání budoucnosti, v ekonomické oblasti se jedná o vývojové trendy ukazatelů
hospodářské činnosti.
Základy analýzy časových řad
112
7.4 Samostatné úkoly
7.1 V tabulce jsou uvedeny počty prodaných automobilů v autocentru A+A v letech 2010
až 2017. Pro tuto časovou řadu vypočítejte:
a) absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek
b) koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu.
Rok 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Počet 120 159 167 175 197 172 199 240
7.2 Uvedené údaje v tabulce zachycují zisk firmy v tis. Kč v letech 2011-2017. Pro tuto
časovou řadu vypočítejte:
a) absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek
b) koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu.
7.5 Řešení úkolů, výsledky
7.1
Rok Počet Abs.přírůstky Koeficienty růstu
2010 120 xxx xxx
2011 159 39 1,325
2012 167 8 1,050
2013 175 8 1,048
2014 197 22 1,126
2015 172 -25 0,873
2016 199 27 1,157
2017 240 41 1,206
Průměrný absolutní přírůstek je podle (7.6): .,1417
Průměrný koeficient růstu vypočítáme podle (7.7): .,1041k
Počet prodaných automobilů rostl ročně v průměru o 10,4%.
Rok 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Počet 1303,6 1381,1 1447,7 1432,8 1401,3 1390,6 1433,8
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
113
7.2
Rok Počet Abs.přírůstky Koeficienty růstu
2011 1303,6 xxx xxx
2012 1381,1 77,5 1,059
2013 1447,7 66,6 1,048
2014 1432,8 -14,9 0,990
2015 1401,3 -31,5 0,978
2016 1390,6 -10,7 0,992
2017 1433,8 43,2 1,031
Průměrný absolutní přírůstek je podle (7.6): 7,21=Δ tis. Kč.
Průměrný koeficient růstu vypočítáme podle (7.7): .016,1=k
Zisk firmy rostl ročně v průměru o 1,6 %.
Analýza trendu časových řad
114
8 ANALÝZA TRENDU ČASOVÝCH ŘAD
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole se budete zabývat trendovou složkou časové řady, která představuje nejdůležitější
komponentu analyzované časové řady. Proto popis trendu je jedním z nejdůležitějších
úkolů analýzy časových řad. Vycházíme přitom z předpokladu, že jediným faktorem
vývoje dynamiky analyzovaného ukazatele je čas. Trendová složka totiž poskytuje
rozhodující informaci pro prognózování hodnot časové řady do budoucna. K určení trendové
složky používáme dva obecné přístupy: analytický a syntetický. Analytický přístup
stanovení trendu vychází z předem známých typů trendových funkcí vyznačujících se přítomností
parametrů, které je třeba stanovit co nejlépe s ohledem na skutečné hodnoty ukazatele
časové řady. Z velkého množství používaných trendových funkcí se zaměříme na
několik z nich, které mají význam především v ekonomických aplikacích. Jsou to: lineární
trend, parabolický trend, exponenciální trend, logistický trend a Gompertzův trend. Syntetický
přístup stanovení trendu spočívá ve vyrovnání odchylek daného ukazatele v časové
řadě tak, že získané vyrovnané hodnoty vyjadřují trendový faktor obsažený pouze v časové
řadě, nikoliv faktor vložený z vnějšku. Nemusíte proto znát předem typ trendové funkce,
což je přednost syntetického přístupu oproti přístupu analytickému. Jeho nevýhodou je naopak
obtížnější využití pro prognózování hodnot časové řady. Z existujících metod syntetického
přístupu uvedeme metody klouzavého průměru a exponenciální vyrovnání.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
uvést přístupy používané k určení trendové složky,
napsat lineární, kvadratickou, exponenciální a logaritmickou trendovou funkci,
vztahy pro výpočet odhadů parametrů lineární trendové funkce,
vypočítat koeficient determinace,
vyrovnat časovou řadu klouzavými průměry,
použít pro vyrovnání časové řady exponenciální vyrovnání.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
115
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Trendová složka, lineární trendová funkce, koeficient determinace, klouzavé průměry,
koeficient korelace.
8.1 Trendová složka časových řad
Jak již bylo v průvodci studiem řečeno, v této kapitole vycházíme z předpokladu, že jediným
faktorem vývoje dynamiky analyzovaného ukazatele je čas t. Jednoduchý způsob
volby časové proměnné spočívá v jejím zavedení tak, že časová řada začíná v okamžiku 1,
ke kterému se vztahuje první člen analyzované časové řady y1. Další časové okamžiky
označujeme po řadě přirozenými čísly 2,3,...,n. Symbol n označuje poslední uvažovaný
časový okamžik a zároveň i počet uvažovaných časových okamžiků.
Jiný jednoduchý a výhodný způsob označení časové proměnné spočívá v zavedení nové
časové proměnné t´ následujícím způsobem:
  t t t( ) , (8.1)
je-li počet členů časové řady n lichý, pak
2
1+
=
n
t , jak ukazuje Tabulka 12,
nebo   t t t2( ), (8.2)
je-li počet členů n sudý, jak ukazuje Tabulka 13. Nová časová proměnná splňuje důležitý
požadavek: ∑
1=
′
n
t
t = 0 . (8.3)
Tabulka 12: Transformovaná proměnná při lichém časová n
Rok 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
t 1 2 3 4 5 6 7
t´ -3 -2 -1 0 1 2 3
Tabulka 13: Transformovaná časová proměnná při sudém n
Rok 2012 2013 2014 2015 2016 2017
t 1 2 3 4 5 6
t´ -5 -3 -1 1 3 5
Analýza trendu časových řad
116
Dále uvedené vztahy pro výpočet odhadů teoretických hodnot parametrů jsou uváděny po
zavedení transformací v Tabulkách 12 a 13.
Trendová složka představuje nejdůležitější komponentu analyzované časové řady, a
proto popis trendu je jedním z nejdůležitějších úkolů analýzy časových řad. Trendová
složka totiž poskytuje rozhodující informaci pro prognózování hodnot časové řady do budoucna.
K určení trendové složky používáme dva obecné přístupy: analytický a syntetický.
Analytický přístup stanovení trendu vychází z předem známých typů trendových funkcí
vyznačujících se přítomností parametrů, které je třeba stanovit co nejlépe s ohledem na
skutečné hodnoty ukazatele časové řady.
Syntetický přístup stanovení trendu spočívá ve vyrovnání odchylek daného ukazatele
v časové řadě (tzv. vyrovnání) tak, že získané vyrovnané hodnoty vyjadřují trendový faktor
obsažený pouze v časové řadě, nikoliv faktor vložený z vnějšku. Nemusíme proto znát předem
typ trendové funkce, což je přednost syntetického přístupu oproti přístupu analytickému.
Jeho nevýhodou je naopak obtížnější využití pro prognózování hodnot časové řady.
Z existujících metod syntetického přístupu uvedeme metody klouzavého průměru a exponenciální
vyrovnání.
8.2 Trendové funkce
Z velkého množství používaných trendových funkcí se zaměříme na několik z nich,
které mají význam především v ekonomických aplikacích. Jsou to: lineární trend, parabolický
trend, exponenciální trend, logistický trend a Gompertzův trend. Výhodou těchto trendových
funkcí je to, že je lze snadno použít pro účely prognózování. Nevýhodou je fakt, že
typ trendové funkce musíme stanovit předem na základě externích, mnohdy subjektivních
předpokladů a informací. Nejužívanější metodou odhadu neznámých parametrů trendové
funkce je metoda nejmenších čtverců (MNČ), s níž jsme se setkali již v kapitole 3. Zde tuto
metodu aplikujeme na speciální typ jednoduché regrese pro data ve formě ekonomické časové
řady, tedy případ, kdy nezávisle proměnnou je čas a závisle proměnnou tvoří sledovaný
ekonomický ukazatel. Kromě metody nejmenších čtverců pro nelineární trendové
funkce uvedeme alternativní metodu vybraných bodů (MVB).
8.2.1 Lineární trend
Nejčastěji používanou trendovou funkcí je lineární trendová funkce:
T tt   0 1 , (8.4)
kde 10,  jsou neznámé parametry a t = 1,2,...,n je časová proměnná. Odhady neznámých
parametrů, které označujeme 10 ,bb , získáme metodou nejmenších čtverců, která dává nejlepší
nestranné odhady. V souladu s postupem z kapitoly 3 je zapotřebí vyřešit 2 normální
rovnice (3.12), kde xi nahradíme t :
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
117
  tbnbyt 10 , (8.5)
   2
10 tbtbtyt . (8.6)
Použijeme-li nyní časové transformace (8.1), (8.2) a s využitím vztahu (8.3) dostaneme
jednoduché řešení normálních rovnic (8.5), (8.6):
n
y
b t0 ,
 21





t
yt
b t
. (8.7)
Parametr b0 interpretujeme jako aritmetický průměr hodnot časové řady, parametr b1
udává, jaký přírůstek hodnoty Tt odpovídá jednotkovému přírůstku proměnné t.
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8.1
V následující tabulce jsou uvedeny počty prodaných automobilů v autocentru A+A v letech
2010 až 2017. Pro tuto časovou řadu vypočítejte:
Rok 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Počet 120 159 167 175 197 172 199 240
a. Trend v prodeji automobilů popište lineární trendovou funkcí.
b. Jaký počet prodaných automobilů lze očekávat v roce 2018 s 95% pravděpodobností?
(Stanovte bodový odhad a 95%-ní interval spolehlivosti prognózy.)
c. Stanovte koeficient determinace a na jeho základě určete přiléhavost dat k trendové
funkci.
Řešení:
a. Podle vztahu (8.2) zavedeme novou časovou proměnnou t (viz následující tabulka).
Rok t´ yt t´2
tyt ′ Tˆ ( )2
Ty

( )2
yy
2010 -7 120 49 -840 133,818 190,937 3436,891
2011 -5 159 25 -795 146,620 153,264 385,141
2012 -3 167 9 -501 159,422 57,426 135,141
2013 -1 175 1 -175 172,224 7,706 13,141
2014 1 197 1 197 185,026 143,377 337,641
2015 3 172 9 516 197,828 667,086 43,891
2016 5 199 25 995 210,630 135,257 415,141
2017 7 240 49 1680 223,432 274,499 3766,891
Součet 0 1429 168 1077 1629,552 8533,875
Analýza trendu časových řad
118
Odhady b0, b1 parametrů 0, 1 trendové funkce:
,,,, 35710  ttTt 
vypočítáme podle vztahů:
625,178
8
1429
0  
n
y
b t
, .410,6
168
1077
21 





t
yt
b t
Odhadnutá trendová funkce má tvar:
Tˆ = 178,625 + 6,41t , t = 7, 5, 3, …
b. Očekávaný prodej v roce 2018 vypočítáme dosazením t´, které odpovídá roku 2018, do
rovnice trendu:
Tˆ = 178,625 + 6,4019  236,32.
Intervalovou předpověď obdržíme dosazením potřebných hodnot do vztahu (4.8). Ve speciálním
případě časové řady, kdy ti = xi, obdržíme po úpravách následující vztah pro interval
spolehlivosti predikce na i časových okamžiků dopředu:
[ )( iny  – t1-/2(n–2) )(iQs nR , )( iny  + t1-/2(n–2) )(iQs nR ],
kde y(n + i) = Tˆ = 236,32 ,
t1-/2(n  2) = 2,45 ,
sR =
pn
SR

,
)2)(1(
12)1(
)1()( 2
22
2



nn
inn
RiQn , i = 1.
Z tabulky obdržíte SR = 1629,552. Potom směrodatná chyba odhadu sR je
sR = 4816
28
5521629
,
,


.
K výpočtu Qn(i) je zapotřebí znát hodnotu koeficientu determinace R2
, tj.
8090
8758533
5521629
112
,
,
,

y
R
S
S
R .
Výpočet součtu Sy je uveden v tabulce. Potom
510
378
516
1910
28164
121648
80901 ,,
))((
)(
),()( 


iQn .
Dosazením výše vypočítaných hodnot do obecného vztahu obdržíte levou (L) a pravou (P)
mez intervalové předpovědi.
L = 236,315  2,44716,48 510, = 207,52.
P = 236,315 + 2,44716,48 510, = 265,11.
Bodový odhad prodeje v roce 2018 je 236 automobilů. S 95% pravděpodobností by se mělo
v roce 2018 prodat mezi 208 a 265 automobily.
c. Koeficient determinace byl vypočten v b: R2
= 0,809. Tato hodnota říká, že přiléhavost
dat k trendové funkci je „vysoká“.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
119
8.2.2 Kvadratický trend
Rozšířením lineárního trendu o kvadratický člen dostaneme parabolickou trendovou
funkci:
2
210 ttTt   , (8.8)
kde 210 ,,  jsou neznámé parametry a t = 1,2,...,n je časová proměnná. Odhady neznámých
parametrů, které označujeme b b b0 1 2, , , získáme metodou nejmenších čtverců řešením
soustavy 3 lineárních rovnic o 3 neznámých:
   
2
210 tbtbnbyt ,
   
3
2
2
10 )( tbtbtbyt t , (8.9)
   
4
2
3
1
2
0
2
)()()( tbtbtbyt t .
Z podmínky (8.3) dostaneme z rovnice (8.9) ihned řešení:
 21





t
yt
b
t
. (8.10)
Dosazením (8.10) do zbývajících dvou normálních rovnic obdržíme ještě řešení 20 bb , :
     
    224
224
0

 



ttn
tytty
b
tt
, (8.11)
   
    224
22
2

 



ttn
tytyn
b
tt
. (8.12)
8.2.3 Mocninný trend
Mocninná trendová funkce má tvar:
1
0

 tTt  , (8.13)
avšak namísto něj uvažujeme model, jenž vznikne logaritmováním obou stran (8.13):
tTt lnlnln 10   ,
kde ln je přirozený logaritmus o základu e = 2,718... Použijeme analogický postup jako
v případě jednoduché lineární regrese v kapitole 2.2.6. Jestliže nyní použijeme substituce
tt TT ln , tt ln , (8.14)
00 ln   , 11   , (8.15)
obdržíme „čárkovaný“ lineární trend:
tTt  10  , (8.16)
jehož parametry   0 1, (regresní koeficienty) odhadneme metodou nejmenších čtverců
a obdržíme tak jejich odhady  b b0 1, . Ze vztahů (8.15) vypočteme zpětně odhady b b0 1, :
0
0
b
eb 
 , 11 bb  .
Analýza trendu časových řad
120
8.2.4 Exponenciální trend
Exponenciální trendová funkce má tvar:
t
tT 10 , (8.17)
který substitucemi:
tt TT ln , tt  , (8.18)
00 ln   , 11 ln   , (8.19)
lze rovněž transformovat na „čárkovaný“ lineární trend, jehož parametry   0 1, odhadneme
metodou nejmenších čtverců, a obdržíme tak odhady  b b0 1, . Ze vztahů (8.19) vypočteme
odhady b b0 1, původního nelineárního regresního modelu (8.17):
0
0
b
eb 
 , 1
1
b
eb 
 .
Použití exponenciálního trendu je uvedeno v následující řešené úloze.
ŘEŠENÁ ÚLOHA
V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu vyrobených myček nádobí v letech 2009-2017.
a. Trend ve výrobě tohoto výrobku popište exponenciální trendovou funkcí.
b. Vypočítejte bodovou prognózu výroby na rok 2018, dále zjistěte koeficient determinace
a na jeho základě zhodnoťte „přiléhavost“ dat k trendové funkci.
Rok
2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Myčky nádobí (tis. ks) 8 9 17 20 38 40 70 101 180
Řešení:
Nejprve vypočítáte odhady b0, b1 parametrů exponenciální trendové funkce
t
tT 10 .
Logaritmováním této rovnice obdržíte vztah
10 lnlnln  tTt  .
Zavedením substituce
tt TT ln , tt  ,
00 ln   , 11 ln  
se původní rovnice exponenciálního trendu transformuje na rovnici lineárního trendu.
Zavedete novou časovou proměnnou t  viz (8.1) a vypočítáte koeficienty 10 bb  ,
4987,3
9
4886,31
0 

 
n
y
b t
, 3872,0
60
2315,23
21 





t
yt
b t
.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
121
Potom
07,334987,3
0
0
 
eeb b
, 47,13872,0
1
1
 
eeb b
.
Hledaná trendová funkce má tvar
tT 
ˆ ,2,3,4,47,107,33  
tt
.
K bodovému odhadu využijeme nalezenou trendovou funkci, kam dosadíme t“ = 5, což je
hodnota, která odpovídá netransformované časové hodnotě t = 2018.
Koeficient determinace vyžaduje znát hodnotu celkového součtu Sy a reziduálního součtu
SR (viz poslední dva sloupce v tabulce).
Pro výpočet reziduálního součtu čtverců je dále třeba znát odhady teoretické hodnoty tT 
ˆ ,
které obdržíme postupným dosazováním za t  do rovnice trendu, tedy např. pro t  =  4:
Tˆ =33,071,47  4
= 7,08.
Všechny hodnoty Tˆ i součtů Sy, SR najdete v tabulce. Pro koeficient determinace platí:
.969,0
0001,25458
2839,783
112

y
R
S
S
R
Hodnota 0,969 říká, že přiléhavost dat k trendové křivce je vysoká.
8.2.5 Logistický trend
Logistická trendová funkce patří k nelineárním trendům, které se vyznačují horní
asymptotou, tj. hranicí, k níž se hodnoty ukazatele přibližují pro neomezeně rostoucí hodnoty
času, a jedním inflexním bodem, v němž graf logistické funkce přechází z konvexního
do konkávního tvaru. Pro tvar podobný písmenu S se takovým křivkám říká S-křivky.
Rok t´´ y  y lny t´´2
t´´ y T (y  T )2
( )y y 2
2004 -4 8 2,0794 16 -8,3178 7,0285 0,8425 2085,7489
2005 -3 9 2,1972 9 -6,5917 10,3519 1,9904 1995,4089
2006 -2 17 2,8332 4 -5,6664 15,2466 2,8771 1344,6889
2007 -1 20 2,9957 1 -2,9957 22,4558 6,2330 1133,6689
2008 0 38 3,6376 0 0 33,0737 24,3049 245,5489
2009 1 40 3,6889 1 3,6889 48,7122 74,1821 186,8689
2010 2 70 4,2485 4 8,4970 71,7452 2,1345 266,6689
2011 3 101 4,6151 9 13,8453 105,6690 16,3831 2240,1289
2012 4 180 5,1930 16 20,7718 155,6333 654,3364 15959,2689
Součet 0 490 31,4886 60 23,2315 783,2839 25458,0001
Analýza trendu časových řad
122
V ekonomické oblasti, speciálně v marketingu, se tato funkce používá při modelování poptávky
po zboží dlouhodobé spotřeby, ale také při modelování vývoje výroby a prodeje
některých druhů výrobků.
Na rozdíl od předchozích trendových funkcí, které byly definovány jednoznačně, logistická
funkce bývá vyjadřována v několika různých variantách, uvedeme zde nejpoužívanější
tvar:
ttT
101 


 , (8.20)
kde 10, ,  jsou neznámé parametry a t = 1,2,...,n je časová proměnná, přitom se kvůli
zachování tvaru S-křivky předpokládá, že 0 < , 10,0 10   . Odhady neznámých parametrů,
označujeme je 10 ,bb , k, lze opět získat metodou nejmenších čtverců, která dává
nejlepší výsledky, i když vede na řešení soustavy nelineárních rovnic vyžadující použití
složitějších výpočetních metod - iteračních metod. Proto zde ukážeme jinou metodu výpočtu
neznámých parametrů, která sice nevede z teoretického pohledu k nejlepším odhadům,
avšak její výhoda spočívá ve výpočetní nenáročnosti umožňující „ruční“ výpočet. Tato metoda
se nazývá metoda vybraných bodů a spočívá v tom, že z daných údajů časové řady
vybereme 3 charakteristické hodnoty - body, kterými necháme logistickou trendovou
křivku procházet, jinými slovy, položíme empirické hodnoty rovny hodnotám teoretickým.
Jestliže charakteristické hodnoty 321
,, ttt TTT odpovídají časovým okamžikům 321 ,, ttt , kde
321 ttt  , pak ze vztahu (4.33) obdržíme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých  0 1, , :
11
101
ttT



 , 22
101
ttT



 , 33
101
ttT



 , (8.21)
jejichž řešením získáme odhady neznámých parametrů b b0 1, , k. Výpočty v metodě vybraných
bodů můžeme usnadnit, když charakteristické body zvolíme ekvidistantně:
 2,,0 321 ttt ,
kde  je určitý časový interval. Za tohoto předpokladu je řešení soustavy následující:
1
1
0
t
t
T
Tk
b

 ,
 
 
2
12
21
1
1
t
tt
tt
TkT
TkT
b










 , (8.22)
 
2
2
231
312321
2
ttt
tttttt
TTT
TTTTTT
k


 . (8.23)
Z výše uvedeného vztahu (8.23) lze přímo vypočíst parametr k, jeho dosazením do vztahu
(8.22) vypočítáme parametry b b0 1, . Jak se snadno zjistí, hodnota asymptoty logistické
křivky je
01 


, což představuje horní mez, k níž se limitně přibližuje hodnota trendové
funkce při velkých hodnotách času t.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
123
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8.3
V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu výrobků určitého typu (v tis. ks) v letech 2007 - 2017.
Nalezněte logistickou trendovou funkci, která charakterizuje trend dané časové řady. Prognózujte
výrobu pomocí bodového odhadu na rok 2018.
Čas 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Zjištěné hodnoty 5 6 9 16 22 25 32 34 41 44 45
Řešení:
Hledáme odhady parametrů trendové funkce ve tvaru (8.20)
Tt t



 1 0 1
.
Tyto odhady stanovíte metodou vybraných bodů. Abyste mohli k výpočtu použít vztahy
(8.21), (8.22), (8.23), zvolíte opět novou časovou proměnnou t , viz následující tabulka.
Ze všech údajů v časové řadě vyberete tři časové okamžiky, např. na počátku, uprostřed a
na konci časové osy:      t t t1 2 30 5 10, , . V těchto okamžicích (jsou vyznačeny tučně)
položíte empirické hodnoty rovny hodnotám teoretickým, tedy T T Tt t t    1 2 3
5 25 45, , .
t 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zjištěné hodnoty 5 6 9 16 22 25 32 34 41 44 45
Potom ze vztahů (8.22), (8.23) postupně vypočítáte:
50
25455
455254525522
2
2
2
2
231
312321








 )()(
ttt
tttttt
TTT
TTTTTT
k ,
9
5
550
1
1
0 






t
t
T
Tk
b , 6440
55025
25505 5
11
1
2
12
21
,
)(
)(
)(
)(























t
tt
tt
TkT
TkT
b .
Odhadovaný logistický trend má tvar
ttT 


644,091
50ˆ .
Obrázek 25: Logistický trend
0
10
20
30
40
50
2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018
Analýza trendu časových řad
124
Rok 2018 odpovídá v transformované časové ose hodnotě t´ = 13. Dosazením do rovnice
zjištěné trendové funkce obdržíte
4957,48
644,091
50ˆ
132008 

T ,
tj. prognózovaná výroba daného výrobku v roce 2018 je 49 tis. ks.
8.2.6 Gompertzův trend
Ve srovnání s předchozí logistickou trendovou funkcí je Gompertzův trend jiným typem
S-křivky:
t
tT 1
0

 , (8.24)
kde opět 10, ,  jsou neznámé parametry a t = 1,2,...,n je časová proměnná, přitom se
kvůli zachování tvaru S-křivky předpokládá, že 0 < , 10,0 10   . Odhady 10 ,bb ,
těchto k parametrů získáme opět metodou nelineární regrese (metodou nejmenších
čtverců), eventuálně metodou vybraných bodů, jako v předchozím odstavci. Asymptota
Gompertzovy křivky je rovnoběžná s osou t ve vzdálenosti k, přičemž inflexní bod křivky
není na rozdíl od logistického trendu (8.20) umístěn uprostřed mezi časovou osou a
asymptotou.
8.3 Volba vhodného modelu trendu
Závažným problémem analýzy časových řad je problém stanovení konkrétního typu
trendové funkce. Základem pro rozhodnutí o vhodném typu funkce by měla být věcněekonomická
kritéria, tedy trendová funkce by měla být volena na základě věcné analýzy
zkoumaného ekonomického jevu. Během věcného rozboru lze obvykle posoudit, zda jde o
funkci rostoucí (nebo klesající), s trendem růstu nade všechny meze, či k určité konečné
hodnotě (asymptotě).
Grafické znázornění časové řady umožní v hrubých rysech odhalit základní tendence ve
vývoji analyzovaného ukazatele. Nebezpečí volby na základě vizuálního výběru spočívá
však v jeho subjektivitě. Různí analytici mohou danou situaci posoudit různě a zvolit rozdílné
typy trendové funkce. Nebezpečí tu plyne i z toho, že tvar grafu je do značné míry
závislý na volbě použitého měřítka.
Přiléhavost dat k trendové (regresní) křivce jsme v kapitole 3 měřili koeficientem determinace
2
R , viz (3.18):
y
R
y
T
S
S
S
S
R  12
. (8.25)
Tento koeficient můžeme k porovnání vhodnosti různých modelů trendu použít i nyní.
V zásadě lze přijmout hodnocení, v němž nejvhodnější model trendu dává nejvyšší hodnotu
koeficientu determinace 2
R . Vzhledem k tomu, že hodnota yS je dána, závisí velikost 2
R
na velikosti reziduálního součtu čtverců RS  čím je jeho hodnota menší, tím je hodnota 2
R
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
125
větší (blíže k jedné). Taková metoda hodnocení trendu časové řady však upřednostňuje modely
s větším počtem parametrů. Protože se zejména u ekonomických časových řad snažíme
o nalezení jednoduchého tvaru trendu, je lepší k hodnocení vhodnosti modelu použít
reziduální rozptyl:
pn
S
s R
R

2
, (8.26)
kde
SR =  

n
i
ii Yy
1
2
je reziduální součet čtverců, n je počet datových bodů a p je počet parametrů v modelu.
Z tvaru (9.26) je zřejmé, že hodnota reziduálního rozptylu roste s rostoucím počtem parametrů,
což odpovídá výše uvedenému požadavku po co nejmenším počtu parametru v trendové
funkci. Vhodný model trendu bude tedy „kompromisem“ mezi velikostmi hodnot 2
R
a p.
Volbu vhodné trendové funkce lze podpořit také testy hypotéz. Z celé řady různých testů
uvedeme známý F-test, který slouží pro rozhodování, zda má smysl dávat přednost složitějšímu
modelu (s větším počtem parametrů) před jednodušším modelem (s menším počtem
parametrů). Testujeme nulovou hypotézu, že totiž pokud jde o přiléhavost dat ke zvoleným
trendovým funkcím, není mezi modely statisticky významný rozdíl. Tento test je
založen na statistice:
1
)1(
21
)1()2(
pn
S
pp
SS
F
R
TT



 , (8.27)
kde hodnoty 1
)1()1(
,, pSS RT přísluší ke složitějšímu modelu, hodnoty 2
)2(
, pST přísluší k jednoduššímu
modelu, tj. 21 pp  , )1()2(
TT SS  . Statistika (8.27) má přibližně Fisherovo rozdělení
F s 21 pp  a 1pn  stupni volnosti. V případě, že vypočítaná hodnota statistiky padne do
kritického oboru, lze na zvolené hladině významnosti  usuzovat, že model s větším počtem
parametrů přináší výrazné zlepšení oproti jednoduššímu modelu.
8.4 Klouzavé průměry
Podstata vyrovnání časové řady pomocí klouzavých průměrů spočívá v tom, že posloupnost
hodnot časové řady nahradíme novou řadou průměrů vypočítaných s kratších úseků
časové řady, přičemž tyto kratší úseky postupně posouváme (kloužeme) směrem od začátku
ke konci časové řady, a současně vypočítáváme dílčí průměry - klouzavé průměry. Vzniká
důležitý problém, který je nutno předem řešit: jaký má být počet členů klouzavé části průměru.
Klouzavou částí průměru budeme tedy rozumět časový interval určité délky, který
se posunuje po časové ose vždy o jednotku. Volba rozsahu klouzavé části závisí na věcném
(ekonomickém) charakteru časové řady a nelze ji obvykle stanovit na podkladě exaktních
statistických metod. V praxi jsou u ekonomických neperiodických časových řad voleny
většinou klouzavé části menší liché délky, např. 3, 5 nebo 7 časových jednotek, což souvisí
se snadnější interpretací výsledků, neboť pak můžeme hodnotu klouzavého průměru přiřadit
prostřednímu časovému okamžiku klouzavé části. U periodických časových řad se volí
délka klouzavých části totožná s délkou periody (sezóny, cyklu).
Analýza trendu časových řad
126
Uvažujme časovou řadu nyyyy ,...,, 321 . Prosté klouzavé průměry získáme tak, že úseky
časové řady o délce 12  pm , přičemž m  n, p  1, celé číslo, vyrovnáme lineárním
trendem s využitím metody nejmenších čtverců. Výsledkem je vzorec pro hodnoty vyrovnané
časové řady ve formě aritmetického průměru:
12
...
12
1 11




 

 p
yyyy
y
p
y ptptptpt
p
pt
itt , (8.28)
kde .,...,2,1 pnppt  Přitom p hodnot na začátku a p hodnot na konci časové řady
zůstává nevyrovnáno.
Kromě prostých klouzavých průměrů se někdy používají složitější vážené klouzavé
průměry, případně centrované klouzavé průměry. Ty získáme tak, že namísto lineárního
trendu v každém úseku použijeme polynomický trend vyššího řádu, tj. kvadratickou parabolu,
kubickou parabolu apod. Metodou nejmenších čtverců obdržíme poměrně složité
vzorce pro výpočet vyrovnaných hodnot. Vzhledem k poměrně řídkému použití těchto složitějších
klouzavých průměrů se jimi zde nebudeme dále zabývat. Zájemce odkazujeme na
literaturu, např. Seger (1998).
8.5 Exponenciální vyrovnání
Další metodou vyhlazování časové řady, tedy syntetického stanovení trendu, je exponenciální
vyrovnání. Při něm se nová vyrovnaná hodnota stanoví na základě exponenciálně
váženého průměru současné hodnoty a všech předchozích hodnot časové řady. Přitom
se používá systém koeficientů - vah, kdy novější hodnota má vždy větší váhu (tj. důležitost),
než hodnota starší.
Nechť ty značí pozorovanou hodnotu v časovém okamžiku t, w je váha přiřazená
současné hodnotě, 0  w  1, tyˆ je vyrovnaná hodnota v čase t. Metoda exponenciálního
vyrovnání začíná tím, že první vyrovnanou hodnotu časové řady 1ˆy (v čase 1) položíme
rovnu pozorované hodnotě 1y , tedy:
1
ˆy = 1y .
Následující vyrovnané hodnoty definujeme rekurentním vztahem:
1
ˆ)1(ˆ  ttt ywwyy , t = 2,3,...n, (8.29)
který umožňuje postupně vypočítat všechny vyrovnané hodnoty dané časové řady. Ze
vztahu (8.28) lze snadno odvodit vztah:
1
1
2
2
2
2
1 )1()1(...)1()1(ˆ ywywwywwywwwyy tt
tttt

  .
Z posledního vztahu je vidět, že vyrovnaná hodnota časové řady v čase t závisí na všech
předchozích nevyrovnaných hodnotách s tím, že do celkového součtu vstupují starší hodnoty
s menší vahou
i
it www )1(  , (8.30)
kde i = 0,1,...,t–2. Vzhledem k tomu, že platí 0  w  1, je zřejmé, že se hodnota itw 
exponenciálně zmenšuje s rostoucím i, tj. rostoucím „stářím“ dat. Váhu w nazýváme koeficient
exponenciálního zapomínání. Ze vztahu (8.30) vyplývá, že čím vyšší je koeficient
zapomínání, tím menší je hodnota )1( w , a tedy také i
w)1(  , což znamená, že váha -
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
127
význam starších dat klesá, starší data se rychleji zapomínají. Je-li např. 9,0w , tedy koeficient
zapomínání je 90, potom za jednotku času se vliv hodnoty ity  zmenší na
itit yyw   1,0)1( , což znamená, že se „zapomene“ 90 hodnoty. V praxi se používají
obvykle váhy z intervalu 0,7 až 1,0. Pro výpočet exponenciálně vyrovnaných hodnot časové
řady je ovšem výhodnější rekurentní vztah (8.29).
Kromě výše uvedené metody se v praxi využívají i složitější postupy exponenciálního
vyrovnání, které se zařazují do skupiny metod, kterým se říká adaptivní metody. Zájemce
odkazujeme např. na práce Seger (1998), Cipra (1986).
ŘEŠENÁ ÚLOHA 8.4
V následující tabulce jsou uvedeny údaje o spotřebě pitné vody v jednotlivých dnech tří po
sobě jdoucích týdnů.
a. Stanovte odpovídající interval klouzavého průměru a vyrovnejte tuto řadu prostými
klouzavými průměry.
b. Vyrovnejte časovou řadu pomocí metody exponenciálního vyrovnání, použijte koeficient
zapomínání w = 0,7.
Řešení:
a. Z charakteru dat vyplývá, že pro analyzovanou časovou řadu budou vhodné klouzavé
průměry o délce m = 7 pozorování, tj. v rámci týdne. Použijete proto prosté7-členné
klouzavé průměry, které vypočítáte podle vztahu (8.28):
896,0
7
05,122,199,066,093,078,064,0
7
721
1 




yyy
y

.
Tuto hodnotu přiřadíte prostřednímu časovému okamžiku klouzavé části, tj. ke čtvrté
hodnotě dané časové řady.
Druhý klouzavý průměr vypočítáte analogicky posunutím o jeden den a přiřadíte jej
k páté hodnotě původní časové řady:
.911,0
7
75,005,122,199,066,093,078,0
7
832
2 




yyy
y

Ostatní klouzavé průměry vypočítáte obdobně postupným klouzáním směrem ke
konci časové řady. Empirické hodnoty jakož i klouzavé průměry ukazuje Obrázek
26.
b. Exponenciální vyrovnání se provede podle (8.29):
y1 = y1 ,
Po 0,64 0,75 0,54
Út 0,78 0,63 0,61
St 0,93 0,82 0,7
Čt 0,66 0,63 0,56
Pá 0,99 1,3 0,79
So 1,22 0,65 1,3
Ne 1,05 1,3 1,24
Analýza trendu časových řad
128
 ( ) y wy w yt t t   1 1 , t = 2,3,...n, kde w = 0,7.
Obrázek 26: Klouzavé průměry a exponenciální vyrovnání
Proto:
y1 = 0,64,
y 2 = 0,7y2 + ( 1  0,7) y1 = 0,70,78 + 0,30,64 = 0,738.
Další hodnoty yt vypočítáme rekurentně, viz následující tabulka.
Je zřejmé, že koeficient zapomínání w = 0,7 ještě nevyhlazuje původní data dostatečně,
k většímu vyhlazení by byla zapotřebí menší hodnota koeficientu zapomínání.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
Po Út St Čt Pá So Ne Po Út St Čt Pá So Ne Po Út St Čt Pá So Ne
Spotřeba vody
Klouzavé průměry
Exponenciální vyrovnání
Den Spotřeba vody
(m3
/os.)
Klouzavé
průměry
Exponenciální
vyrovnání
Po 0,64 0,640
Út 0,78 0,738
St 0,93 0,872
Čt 0,66 0,896 0,724
Pá 0,99 0,911 0,910
So 1,22 0,890 1,127
Ne 1,05 0,874 1,073
Po 0,75 0,870 0,847
Út 0,63 0,914 0,695
St 0,82 0,833 0,783
Čt 0,63 0,869 0,676
Pá 1,30 0,839 1,113
So 0,65 0,836 0,789
Ne 1,30 0,819 1,147
Po 0,54 0,809 0,722
Út 0,61 0,736 0,644
St 0,70 0,829 0,683
Čt 0,56 0,820 0,597
Pá 0,79 0,867 0,732
So 1,30 1,130
Ne 1,24 1,207
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
129
SHRNUTÍ KAPITOLY
Zopakujme si získané poznatky této kapitoly: trendová složka poskytuje rozhodující informaci
pro prognózování hodnot časové řady do budoucna. K určení trendové složky používáme
dva obecné přístupy: analytický a syntetický. Analytický přístup vychází z předem
známých typů trendových funkcí vyznačujících se přítomností parametrů. V této kapitole
jsme se zabývali lineárním trendem, parabolickým trendem, exponenciálním trendem, logistickým
trendem a Gompertzovým trendem. Z metod syntetického přístupu byly uvedeny
metody klouzavého průměru a exponenciální vyrovnání.
8.6 Samostatné úkoly
8.1 V tabulce jsou údaje o počtu vyrobených kuchyňských robotů v letech 2007 až 2017.
Rok 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Kuchyňské roboty
(tis. ks)
5 4 8 16 35 32 40 56 100 120 195
a. Trend ve výrobě tohoto výrobku popište exponenciální trendovou funkcí.
b. Jaké množství vyrobených kuchyňských robotů lze očekávat v roce 2018?
c. Znaménkovým testem (bude vysvětlen v následující kapitole) ověřte na hladině významnosti
 = 0,05 náhodnost reziduí.
8.2 Časová řada představuje počet vyrobených pneumatik Barum v letech 2006 až 2017.
Rok 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Pneumatiky
(mil.ks)
0,8 1,6 1,5 2,4 5 3,88 4,47 3,88 6,89 7,69 5,83 8,25
a. Nalezněte lineární trend časové řady.
b. Jaké množství vyrobených pneumatik lze očekávat v roce 2018? Stanovte bodový i intervalový
odhad na hladině významnosti  = 0,05.
8.7 Řešení úkolů, výsledky
8.1 a) Tˆ ,,,,,, 3454715529  tt
.
b) v roce 2018, tzn. t = 8; 31644,ˆ T .
c) S = 5; testové kritérium U = 0; obor přijetí A = (-1,96; 1,96); přijímáme nulovou
hypotézu o náhodném uspořádání reziduí
8.2 a) Tˆ ,,,,.,, 7911320354  tt
b) v roce 2018, tzn. t = 13; mil.ks,ˆ 58T ; 95%-ní intervalový odhad (5,97; 11,05)
Analýza sezónní složky a náhodné složky
130
9 ANALÝZA SEZÓNNÍ SLOŽKY A NÁHODNÉ SLOŽKY
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Při analýze ekonomických časových řad se setkáváme téměř vždy s existencí sezónních
vlivů, reprezentovaných v modelu časové řady sezónní složkou. Sezónními vlivy rozumíme
soubor příčin, které se pravidelně opakují v důsledku koloběhu přírody. Pokud se u
časových řad vyskytují podobné vlivy v delším časovém horizontu, hovoříme o cyklické
složce časové řady, v kratším časovém horizontu, hovoříme o sezónní složce časové řady.
Souhrnně se sezónní a cyklické složky označují jako periodické složky časové řady. Úkolem
modelování periodické složky časové řady je nalézt její vhodné vyjádření, které by
umožnilo periodickou (nejčastěji sezónní) složku vhodně identifikovat a následně použít
k predikci chování časové řady v budoucnu. Naučíte se aplikovat metody konstantní sezónnosti
se schodovitým a lineárním trendem a metodu proporcionální sezónnosti. V závěru
se budete věnovat analýze náhodné složky.
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
popsat sezónní a náhodnou složku,
použít metodu konstantní sezónnosti se schodovitým trendem,
použít metodu konstantní sezónnosti s lineárním trendem,
testovat vlastnosti náhodné složky.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 90 minut.
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
Sezónní složka, náhodná složka, model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem,
model konstantní sezónnosti s lineárním trendem, znaménkový test, Durbin-Watsonův test.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
131
9.1 Model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem
Označení časové proměnné t = 1,2,...n, budeme používat pro označení časových intervalů
(např. roků), které se člení na dalších r dílčích časových období, které nazýváme sezóny
(např. měsíce nebo čtvrtletí) a označujeme j = 1,2,...,r (např. v případě, že sezóny jsou
měsíce je r = 12, v případě že sezóny představují kvartály, platí r = 4). Model časové řady
lze zapsat ve tvaru:
tjtjtjtj PTy  , t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r. (9.1)
U modelu konstantní sezónnosti se vychází z předpokladu, že:
jtjP  pro sezónu j v letech t = 1,2,...,n, (9.2)
kde j jsou neznámé sezónní parametry, o nichž dále předpokládáme, že splňují rovnost:


r
j
j
1
0 . (9.3)
Předpoklady (9.2) a (9.3) vycházejí z představy, že v důsledku pravidelného (ročního) koloběhu
sezónních vlivů se v j-té sezóně opakují sezónní výkyvy j , které se mezi léty neliší
- podmínka (9.2). Dále se tyto vlivy během roku (r sezón) vykompenzují, takže jejich roční
součet je nulový - podmínka (9.3).
Nejprve budeme předpokládat, že trendová složka tjT nabývá ve všech sezónách hodnotu
roku t hodnotu t , takže posloupnost těchto hodnot v letech t = 1,2,...,n představuje schodovitý
trend. Model (9.13) pak bude mít tvar:
tjjttjy   , t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r. (9.4)
Odhady jt ca , n + r parametrů tohoto modelu získáme metodou nejmenších čtverců:
t
r
j
tjt yy
r
a  1
1
,   

n
t
r
j
tj
n
t
tjj y
rn
y
n
c
1 11
11
. (9.5)
Všimněte si v prvním vzorci, že odhadem výšky schodu v roce t je průměr hodnot v roce
t. Z druhého vzorce pak vyplývá, že hodnota sezónního vlivu cj, tzv. j-tého sezónního koeficientu,
je představována průměrnou hodnotou vypočítanou z j-tých sezón ve všech letech
po odečtení celkového průměru ze všech hodnot v celé časové řadě. Například sezónní
koeficient c1 se vypočítá jako průměr ze všech lednových hodnot v časové řadě měsíčních
Analýza sezónní složky a náhodné složky
132
údajů po odečtení celkového průměru ze všech hodnot v celé časové řadě. V tomto případě
je měsíc leden uvažován jako první sezóna z 12 měsíčních sezón.
9.2 Model konstantní sezónnosti s lineárním trendem
Při popisu trendové složky v předchozím odstavci jsme používali posloupnost časové
proměnné t = 1,2,...n, o trendové funkci jsme předpokládali, že je konstantní během všech
sezón daného roku t, tj. ttjT  pro j = 1,2,...,r. Přitom hodnota αt mohla být v každém roce
jiná a tvořila výšku „schodu“ v roce t. Model časové řady bude opět aditivní, tedy
tjjttj Ty   , t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r, (9.6)
kde stejně jako v modelu (9.1) jsou j neznámé sezónní parametry, o nichž dále předpokládáme,
že splňují podmínku 

r
j
j
1
0 .
Nyní budeme předpokládat, že trendová složka tjT má lineární tvar, potom model (9.6)
bude mít tvar:
tjjtj tty   )( , t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r. (9.7)
Odhady jcba ,, z (r +2) parametrů tohoto modelu získáme metodou nejmenších čtverců,
řešení má komplikovaný tvar, který zde neuvádíme, zájemce odkazujeme na Segera (1998).
9.3 Model proporcionální sezónnosti
Nyní budeme používat t = 1,2,...,n, k označení časových intervalů (např. roků), které
se člení na dalších r dílčích časových období, které nazýváme sezóny (např. měsíce nebo
čtvrtletí) a označujeme j = 1,2,...,r (např. v případě, že sezóny jsou měsíce je r = 12, v
případě že sezóny představují kvartály, platí r = 4). Regresní model lze s použitím uvedené
symboliky zapsat ve tvaru:
tjtjtjtj PTy  , t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r. (9.8)
U modelu proporcionální sezónnosti se vychází z předpokladu, že periodická složka je proporcionální
(tj. přímo úměrná) velikosti trendové složky:
tjjtj TCP  pro sezónu j v letech t = 1,2,...,n, (9.9)
tedy po dosazení (9.9) do (9.8) obdržíte
tjtjjtj TCy  )(1 . (9.10)
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
133
Aplikací MNČ obdržíme cj odhad koeficientů Cj takto




 n
i
i
n
i
iij
j
y
yy
c
1
2
1
1 , j = 1,2,...,r. (9.11)
Dosazením do (9.10) obdržíte konečnou podobu modelu proporcionální sezónnosti
tjtjn
i
i
n
i
iij
tj T
y
yy
y 




1
2
1
, t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r. (9.12)
Přitom ∑
1=
1
=
r
j
iji y
r
y je aritmetický průměr yij přes j. V konkrétním případě můžeme uvažovat,
že trendová složka má lineární tvar, tedy například
)( ttTtj   . (9.13)
9.4 Analýza náhodné složky
Náhodnou složku t lze v modelu (9.8) vyjádřit v tvaru:
t = yt – Yt, t = 1,2,...n, (9.14)
kde Yt = Tt + Pt . Jedná se zde o vyjádření blíže nespecifikovaných náhodných vlivů. Zdrojem
této složky jsou obvykle nepodchycené drobné vzájemně nezávislé náhodné vlivy.
Chceme-li zajistit spolehlivé předpovědi na základě modelu časové řady, potom je třeba
mít zajištěny některé předpoklady o náhodné složce. Konkrétně je výhodné, když jsou splněny
předpoklady klasického lineárního regresního modelu, které jsme uvedli v kapitole
3.5. Byly to předpoklady 1. až 3., které pro přehlednost zopakujeme, avšak při současném
označení, kdy nezávisle proměnná x je nyní čas t. Jedná se tedy o tyto předpoklady:
1. Hodnoty vysvětlující proměnné t se volí předem, obvykle t = 1,2,...,n.
2. Náhodné složky t mají normální rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou
0 a (neznámým) rozptylem 2
.
Konstantnost rozptylu nazýváme homoskedasticita.
3. Náhodné složky jsou nekorelované, tj.
Cov(t , t´) = 0 pro každé t  t´, t,t´ = 1,2,...,n.
Jak již bylo řečeno v kapitole 3.5, v praxi jsou podmínky klasického modelu často splněny.
Nejsme-li si však jejich platností jisti, můžeme provést testy hypotéz jak o normalitě
rozdělení náhodné složky (např. Chi-kvadrát test dobré shody), tak i testy homoskedasticity
(Bartleyův test). Při ověřování těchto předpokladů zjišťujeme, zda jsou všechny systematické
složky z časové řady eliminovány. Jakákoliv nenáhodnost u reziduí naznačuje nevhodnost
zvoleného modelu časové řady.
Analýza sezónní složky a náhodné složky
134
Jednoduchým nástrojem, kterým lze ověřit náhodnost reziduí, je znaménkový test. Při
tomto testu vyčíslíme počet případů, kdy rozdíl sousedních reziduí 1 tt ee je kladný, jejich
počet označíme S. Přitom je:
ttt Yye  , (9.15)
kde ttt PTY  je odhad teoretické hodnoty časové řady, tT je odhad trendu (s regresními
koeficienty získanými např. metodou nejmenších čtverců), tP je odhad periodické složky,
např. (9.11), kde parametry jj  , jsou rovněž odhadnuty metodou nejmenších čtverců.
Náhodné složky t , které jsou dány (9.14), jsou tedy náhodné veličiny, zatímco rezidua et,
(9.15), jsou realizacemi - odhady těchto náhodných veličin. Je-li posloupnost reziduí et náhodně
uspořádána, potom pro střední hodnotu S platí:
2
1
)(


n
SE . Testujeme proto nulovou
hypotézu:
2
1
)(:0


n
SEH , proti alternativní hypotéze
2
1
)(:1


n
SEH . Použijeme
testové kritérium:
1
)1(
2
1
12









n
nS
U , (9.16)
které má již pro 13n přibližně normované normální rozdělení. Pro stanovení kritických
hodnot tedy použijeme kvantily normovaného normálního rozdělení 2/1 u .
Vlastnost časových řad, která často způsobuje porušení předpokladů 1. až 3. je autoregrese
náhodných složek, viz též kapitola 6.5, která znamená, že mezi náhodnými složkami
platí následující vztah:
ttt u 1 , (9.17)
kde 10   je autokorelační koeficient a tu splňuje předpoklady 1. až 3. Nulovou hypotézu:
0:0 H (což je totéž, jako tt u ) testujeme proti alternativní hypotéze 0:1 H
pomocí testového kritéria:
 





 n
t
t
n
t
tt
e
ee
D
1
2
2
2
1
. (9.18)
Funkce D, nazývaná Durbin-Watsonova statistika, bývá tabelována pro různé hladiny významnosti
 , viz např. Gujarati (2003). Test založený na této statistice nazýváme
Durbin-Watsonův test autokorelace.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
135
ŘEŠENÁ ÚLOHA 9.1
Data v tabulce představují objem přepravy po vodních tocích ČR v jednotlivých čtvrtletích
pěti po sobě jdoucích let.
a. Nalezněte pro tuto časovou řadu model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem.
b. Na hladině významnosti  = 0,05 ověřte náhodnost reziduí.
Řešení:
a. Úkolem je nalézt odhady parametrů t, j modelu
ytj t j tj     , t = 1,2,...,n, j = 1,2,...,r,
kde t je trendová složka
j je sezónní složka.
Odhady jt ca , n + r parametrů tohoto modelu vypočítáme ze vztahů (9.5):
a
r
y yt tj
j
r
t 


1
1
,   

n
t
r
j
tj
n
t
tjj y
rn
y
n
c
1 11
11
.
Všechny potřebné součty a průměry jsou uvedeny v tabulce, jejich dosazením do daných
vztahů obdržíte:
trendová složka: a1 = 126 , a2 = 131,25 , a3 = 152,5 , a4 = 165,75, a5= 188,5,
sezónní složka: c1 = 143  152,8 = 9,8 , c2 = 161152,8 = 8,2,
c3 = 163,2  152,8 = 10,4 ,c4 = 144152,8 = 8,8.
Výsledky ukazují, že působení sezónních vlivů klesl v prvním čtvrtletí objem přepravy
o 9,8 tun a ve čtvrtém čtvrtletí o 8,8 tuny. Tento pokles je vykompenzován růstem přepravy
ve zbylých dvou čtvrtletích o 8,2 a 10,4 tun, tj. ve čtvrtletích pro říční přepravu klimaticky
příznivějších. Z vývoje ročních průměrů at je zřejmé, že se průměrný roční objem přepravy
neustále zvyšoval.
b. Nejdříve vypočítáte odhady teoretických hodnot Yˆ dané časové řady tak, že odhadnete
trendovou i sezónní složku. Např.:
2116891261111 ,),(ˆ
,  caY
2,134=2,8+126=+=ˆ
212,1 caY
t/j Čtvrtletí
Roky 1 2 3 4 Součet Průměr
1 120 138 132 114 504 126,00
2 118 138 150 119 525 131,25
3 149 161 155 145 610 152,50
4 150 173 181 159 663 165,75
5 178 195 198 183 754 188,50
Součet 715 805 816 720 3056
Průměr 143 161 163,2 144 152,80
Analýza sezónní složky a náhodné složky
136
Všechny hodnoty jtY ,
ˆ jsou uvedeny v následující tabulce.
Dále vypočítáme hodnoty reziduí. Např.:
8,32,116120ˆ
1,11,11,1  Yye , 8,32,134138ˆ
2,12,12,1  Yye .
Hodnoty všech reziduí jsou uvedeny v následující tabulce:
t/j 1 2 3 4
1 3,80 3,80 –4,40 –3,20
2 –3,45 –1,45 8,35 –3,45
3 6,30 0,30 –7,90 1,30
4 –5,95 –0,95 4,85 2,05
5 –0,70 –1,70 –0,90 3,30
K testu náhodnosti reziduí použijeme znaménkový test. Je proto třeba určit počet případů
S, kdy je rozdíl sousedních reziduí et  et  1 kladný. Např.:
e1,2  e1,1 = 3,8  3,8 = 0,
e1,3  e1,2 = 4,4  3,8 = 8,2.
V následující tabulce jsou případy, kdy et  et  1 > 0, označeny „+“, ostatní „“.
t/j 1 2 3 4
1    +
2  + + 
3 +   +
4  + + 
5   + +
Z tabulky vidíme, že S = 9. Hodnotu testového kritéria vypočítáme podle (9.16):
378,0
120
)120(
2
1
912
1
)1(
2
1
12



















n
nS
U .
V tabulce normovaného normálního rozdělení nalezneme u1 /2 , tj.: u0,975 = 1,96.
t/j 1 2 3 4
1 116,20 134,2 136,4 117,2
2 121,45 139,5 141,7 122,5
3 142,70 160,7 162,9 143,7
4 155,95 174,0 176,2 157,0
5 178,70 196,7 198,9 179,7
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
137
Protože hodnota testového kritéria 0,378 leží v oboru přijetí A = (1,96;1,96), lze
na zvolené hladině významnosti přijmout nulovou hypotézu, tj. hypotézu o náhodném
uspořádání reziduí.
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této kapitole jste se zabývali časovými řadami, jejichž hodnoty se periodicky opakují,
tzv. sezónními časovými řadami. Nejprve jste si objasnili význam sezónní složky časové
řady. Poté jste se naučili aplikovat jednoduché metody konstantní sezónnosti se schodovitým
a lineárním trendem a rovněž metodu proporcionální sezónnosti. Dále zde byly uvedeny
metody testování náhodné složky (znaménkový test, Durbin-Watsonův test autokore-
lace).
9.5 Samostatné úkoly
9.1 V následující tabulce jsou uvedeny měsíční tržby jedné obchodní organizace za posledních
60 měsíců od ledna 2013 až do prosince 2017.
a. Nalezněte model konstantní sezónnosti se schodovým trendem.
b. Pro rok 2018 uvažujte s růstem 5% (tj. výška schodu). Prognózujte tržby na rok 2018.
9.2 Použijte data z řešené úlohy 9.1. Nalezněte pro tuto časovou řadu model konstantní
sezónnosti s lineárním trendem.
9.3 Je dána reziduální složka, která obsahuje tyto hodnoty:
0,652 0,767 -1,667 2,579 -0,254 0,963 0,188 -0,936 0,572 -2,863.
Proveďte: a) znaménkový test náhodnosti reziduí,
b) Durbin – Watsonův test autokorelace.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6489 5971 6272 6944 7217 7448 7259 7602 7651 8064 7952 8498
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
6930 6391 6979 7315 7798 7861 7994 7798 8022 8155 8694 8764
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
7560 7182 7077 7847 8603 8659 8827 8855 8337 8379 8834 9709
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
7833 7406 7791 8190 8869 8988 8736 9254 9240 9380 9422 9954
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
8442 7987 8673 8925 9534 9534 9331 9877 9695 9730 10192 10661
Analýza sezónní složky a náhodné složky
138
9.6 Řešení úkolů, výsledky
9.1 a) a1 = 7280,6; a2 = 7630,6; a3 = 8322,4; a4 = 8755,3; a5 = 9381,7; a6 = 9850,8
c1 = –823,3; c2 = –1286,7; c3 = –915,7; c4 = –429,9; c5 = 130,1; c6 = 223,9;
c7 = 155,3; c8 = 403,1; c9 = 314,9; c10 = 467,5; c11 = 744,7; c12 = 1243,1
b)
9.2 Yt = 6782,2 + 49,536.t + cj
c1 = –569,8; c2 = –1082,7; c3 = –761,3; c4 = –325; c5 = 185,4; c6 = 229,7;
c7 = 111,6; c8 = 309,8; c9 = 172,1; c10 = 275,2; c11 = 502,8; c12 = 951,7
leden 2018 9234,1 červenec 2018 10212,7
únor 2018 8770,7 srpen 2018 10460,5
březen 2018 9141,7 září 2018 10372,3
duben 2018 9627,5 říjen 2018 10524,9
květen 2018 10187,5 listopad 2018 10802,1
červen 2018 10281,3 prosinec 2018 11300,5
9.3 a) Počet kladný hodnot S =4; U = -0,522. Protože hodnota –0,522 leží v oboru přijetí
A = (1,96;1,96), lze na zvolené hladině významnosti přijmout nulovou hypotézu, tj. hypotézu
o náhodném uspořádání reziduí.
b) Hodnota Durbin – Watsonova koeficientu 368,2D . Protože 1k a 10n najdeme
pro 05,0 v tabulkách 32,1;879,0  UL dd . Nelze zamítnout nulovou hypotézu, což
znamená, že v modelu nebyla prokázána statisticky významná autokorelace.
leden 2018 9027,51 červenec 2018 10006,1
únor 2018 8564,11 srpen 2018 10253,9
březen 2018 8935,11 září 2018 10165,7
duben 2018 9420,91 říjen 2018 10318,3
květen 2018 9980,91 listopad 2018 10595,5
červen 2018 10074,7 prosinec 2018 11093,9
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
139
10 MODELY TYPU ARIMA A PROGNÓZOVÁNÍ ČASOVÝCH ŘAD
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Nejprve se budete zabývat časovými řadami typu ARIMA. Box-Jenkinsova metodologie,
která se modely analýzy časových řad typu ARIMA zabývá, klade důraz nikoliv na
konstrukci jedno-rovnicového nebo vícerovnicového modelu, jak je tomu např. v regresní
analýze, nýbrž na analýzu vlastních stochastických vlastností ekonomických ČŘ. Postupně
se seznámíte s vlastnostmi autoregresivních procesů AR, procesů pohyblivých průměrů
MA, integračních procesů I, jakož i procesů vzniklých jejich kombinací: ARIMA. Dále lze
tyto procesy rozšířit též na sezónní procesy. Úkolem pak je pro časovou řadu nalézt vhodný
model typu ARIMA a nalezený model použít pro účely prognózy (predikce, extrapolace)
hodnot dané časové řady. Celý postup tvorby prognózy ČŘ autoři metody ARIMA formulovali
ve 4 krocích, které nazýváme Box-Jenkinsova metodologie prognózování ČŘ. Jednotlivé
kroky jsou (1) Identifikace modelu, (2) Odhad modelu, (3) Verifikace modelu a (4)
Prognóza pomocí modelu. Jednotlivé kroky Box-Jenkinsovy metodologie budou ilustrovány
na příkladu časové řady čtvrtletního HDP České republiky s pomocí statistického programu
SPSS. K řešení ilustračních příkladů budete používat nejen Excel, nýbrž také speciální
statistický SW: SPSS (Statistical Package for Social Sciences).
CÍLE KAPITOLY
Po prostudování této kapitoly budete umět:
nalézt vhodný model typu ARIMA,
nalezený model použít pro účely predikce časové řady,
formulovat 4 kroky Box-Jenkinsovy metodologie,
použít pro výpočet ARIMA modelu časové řady program SPSS.
ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU
K prostudování této kapitoly budete potřebovat asi 120 minut.
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
140
KLÍČOVÁ SLOVA KAPITOLY
ARIMA model, Box-Jenkinsova metodologie, identifikace modelu, odhad modelu, verifikace
modelu, predikce pomocí modelu, SPSS.
10.1 Program SPSS
Ke zvládnutí látky kapitoly je podstatnou měrou využit statistický program SPSS, který
je dostupný v učebnách na SU OPF. SPSS je typem SW, který je do značné míry intuitivní
a uživatelsky přátelský. Řešení příkladů uvedených v této kapitole, jsou podrobně komentována
postupným procházením vložených menu. Přesto před studiem této kapitoly doporučujeme
seznámit se podrobněji s hlavními funkcemi a způsobem ovládání programu
SPSS. Na tomto místě zmíníme pouze jedinou informaci avšak prvořadé důležitosti: Přenos
číselných dat mezi worksheetem v Excelu a Data View v SPSS funguje naprosto bezproblémově,
a to na obě strany tak, jak jste zvyklí z MS Office: pomocí kombinace kláves
Ctrl+C (kopírovat do schránky), Ctrl+V (vložit ze schránky).
Prognózování (předvídání, předpovídání) je důležitou součástí ekonomických (ekonometrických)
analýz, dá se říci, že z určitého pohledu nejdůležitější. Jak prognózovat budoucí
hodnoty ekonomických veličin, jako jsou HDP, inflace, kurzy měn, ceny akcií, míra
nezaměstnanosti a dalších? Jednu klasikou metodu již znáte: lineární, (resp. nelineární) regresní
analýza, s níž jste se seznámili již v kapitolách 3 a 4. V této kapitole se dozvíte
o nové metodě, která se stala v posledních letech velmi populární: tzv. modely autoregresivních
a integrovaných procesů a klouzavých průměrů - ARIMA (z angl. Auto Regresive
Integrated Moving Average), která je známa také pod názvem Box-Jenkinsova metodologie
(podle autorů metody G.P.E. Boxe a G.M. Jenkinse ze 70. let 20. století).
Téma ekonomického prognózování je velmi široké a existuje k němu množství specializovaných
knih a dalších publikací. My zde chceme podat pouze stručný vhled do problematiky.
Naštěstí k problematice prognózování ekonomických ČŘ existuje nejen vhodná
literatura, její přehled lze nalézt např. u Arlta (1999), u Gujaratho (2003) aj., ale též příslušný
specializovaný SW v podobě programových balíků jakými jsou SPSS (v současnosti
je k dispozici na všech PC učebnách SU OPF), STATISTICA, SAS a další. V této kapitole
budeme využívat konkrétně program SPSS, který obsahuje modul Time Series, umožňující
modelování pomocí metody ARIMA.
Jak jsme již dříve zmínili, k analýze ČŘ existuje řada různých metod a přístupů. Kromě
již zmíněné (1) jednoduché regresní analýzy a (2) metody ARIMA, které jsou předmětem
tohoto textu, je zapotřebí ještě jmenovat (3) metody exponenciálního vyrovnání (HoltovaWintersova
metoda a jejich varianty), (4) metody simultánních rovnic a (5) vektorové autoregresivní
metody VAR, (6) metody ARCH a GARCH a další. S nimi se zájemci mohou
blíže seznámit např. v Seger (1998).
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
141
10.2 Modelování časových řad pomocí ARIMA modelu
Podle svých autorů známa jako Box-Jenkinsova metodologie, avšak technicky nazývaná
ARIMA metodologie klade důraz nikoliv na konstrukci jednorovnicového nebo vícerovnicového
modelu, jak je tomu např. v regresní analýze, nýbrž na analýzu vlastních stochastických
vlastností ekonomických ČŘ podle filosofie „ať data hovoří sama za sebe“. V regresních
modelech je závisle proměnná Y vysvětlována několika vysvětlujícími proměnnými
– regresory, zatímco v ARIMA metodách je závisle proměnná Y v čase t vysvětlována
hodnotami téže Y v minulých časových okamžicích a zároveň chybovými členy v současných
anebo minulých okamžicích. Na rozdíl od regresních modelů a modelů simultánních
rovnic, které jsou založeny na ekonomické teorii, nejsou modely ARIMA na teorii přímo
závislé. Teoretické závislosti jsou u nich vyjádřeny zprostředkovaně skrze sledované hodnoty
v minulých časových okamžicích.
10.2.1 Autoregresivní proces (AR)
Budeme předpokládat, že Yt se chová podle vztahu
(Yt – ) = 1(Yt-1 – ) + ut, (10.1)
kde  je střední hodnota Yt a ut je bílý šum, 1 je konstanta. V tom případě říkáme, že
ČŘ Yt je autoregresivní proces 1. řádu, neboli AR(1). Podle modelu (10.1) je prognóza Y–
 v čase t je přímo úměrná Y– v čase (t – 1) prostřednictvím koeficientu úměry 1
plus/mínus náhodná chyba (bílý šum). Pokud pro konstantu v modelu (10.1) platí –1 < 1
< 1, pak se dá ukázat, že proces AR(1) je stacionární. Dále si všimněte, že speciálně při 1
= 0 je z (10.1) proces AR(1) bílý šum a při 1 = 1 je z (10.1) proces AR(1) náhodná
procházka. Také pro 1  1 nebo 1 < –1 je proces AR(1) nestacionární (Arlt, 1999).
Podobně autoregresivní proces 2. řádu, neboli AR(2) má tvar
(Yt – ) = 1(Yt-1 – ) +2(Yt-2 – ) + ut. (10.2)
Analogicky autoregresivní proces p-tého řádu, neboli AR(p) má tvar
(Yt – ) = 1(Yt-1 – ) +2(Yt-2 – ) +...+p(Yt-p – ) + ut. (10.3)
Otázka stacionarity procesů AR(p) pro p > 1 je složitější problém, kterým se zde zabývat
nebudeme. Eventuální zájemce odkazujeme na literaturu, např. knihu Arlt (1999). Všimněte
si, že kromě hodnot Y v různých časových okamžicích se ve výše uvedených modelech
nevyskytují jiné regresory. V tomto smyslu říkáme, že „data hovoří sama za sebe“.
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
142
10.2.2 Proces klouzavých průměrů (MA)
Výše uvedený AR proces není jediný, kterým lze generovat hodnoty Y. Nyní budeme
předpokládat, že Yt se chová podle vztahu
(Yt –) = ut – 1ut-1, (10.4)
kde  je střední hodnota Yt a ut je bílý šum. V tom případě říkáme, že ČŘ Yt je proces
klouzavých průměrů 1. řádu, neboli MA(1). Podle modelu (10.4) je prognóza Y– v čase
t je přímo úměrná náhodné chybě v čase (t–1) prostřednictvím koeficientu úměry –1
plus/mínus náhodná chyba (bílý šum).
Podobně proces klouzavých průměrů 2. řádu, neboli MA(2) má tvar
(Yt – ) = ut – 1ut-1 – 2ut-2, (10.5)
Analogicky proces klouzavých průměrů q-tého řádu, neboli MA(q) má tvar
(Yt – ) = ut – 1ut-1 – 2ut-2 – ... – qut-q. (10.6)
Jednoduše řečeno, proces klouzavých průměrů je lineární kombinací minulých náhodných
chyb bílého šumu. Na rozdíl od AR procesů jsou procesy MA(q) pro všechna q  1
stacionární nezávisle na hodnotách koeficientů i.
10.2.3 Autoregresivní proces klouzavých průměrů (ARMA)
Časová řada, která má charakteristiky jak AR tak MA procesů, je ARMA proces. Konkrétně
ARMA proces 1. řádu, tj. ARMA(1,1) má tvar
Yt =  +1Yt-1 + ut – 1ut-1, (10.7)
kde  je konstantní člen. Analogicky můžete uvažovat procesy ARMA(p,q), které mají
p autoregresivních a q klouzavých členů. Vzhledem ke stacionaritě procesu MA(q) je podmínka
stacionarity procesu ARMA(p,q) totožná s podmínkou stacionarity procesu AR(p).
Jinak řečeno, proces ARMA(p,q) je stacionární, právě když je stacionární proces AR(p).
10.2.4 Autoregresivní a integrovaný proces klouzavých průměrů (ARIMA)
Časové procesy, které jste doposud poznali, byly vesměs za určitých podmínek stacionární.
Dobře však víte, že mnohé ekonomické časové řady jsou nestacionární. Říkáme, že
časová řada Yt, tj. stochastický proces Yt je integrovaný 1. řádu, neboli je to I(1) proces,
jestliže 1. diference této časové řady je stacionární. Jinak řečeno, ČŘ Yt je integrovaná 1.
řádu, jestliže Yt = Yt – Yt-1 je stacionární ČŘ. Analogicky lze zavést pojem integrované
časové řady d-tého řádu, jestliže d-tá diference této ČŘ je stacionární, neboli d
Yt = d-1
Yt
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
143
– d-1
Yt-1 je stacionární, přitom 1
= . Stacionární proces se této symbolice označuje jako
I(0) proces.
Proto když nejprve proces d-krát diferencujeme a poté obdržíme ARMA(p,q) proces,
nazývá se původní proces ARIMA(p,d,q). V tomto symbolickém vyjádření znamenají např.
ARIMA(p,0,q) a ARMA(p,q) stejný proces, stejně tak ARIMA(0,0,q) = MA(q),
ARIMA(p,0,0) = AR(p), ARMA(p,0) = AR(p), apod.
10.3 Box – Jenkinsova metodologie prognózování časových řad
Představte si, že máte analyzovat nějakou časovou řadu, jako třeba čtvrtletní HDP ČR.
Jak zjistíte, o který typ procesu se jedná? Jde o realizaci AR procesu, nebo snad MA procesu,
či jejich kombinaci ARMA? Může byt konkrétní časová řada realizaci více různých
typů procesu, např. jak AR(1), tak současně MA(1)? V této souvislosti hledáme model časové
řady a hned je třeba říci, že konkrétní časová řada může mít několik „správných“
modelů. Zda je model „správný“ ověříme postupem zvaným verifikace modelu, viz Krok
3 v následujícím postupu. Předtím však musíte v Kroku 1 identifikovat, o jaký typ procesu
se ve vašem případě jedná, zda je to proces AR, MA, ARI apod., a také stanovit řád příslušného
procesu, např. AR(2), kde řád p = 2, nebo ARI(2,1), kde se jedná o integrovaný
proces I(1) řádu d=1 v kombinaci autoregresivním procesem AR(2) řádu p = 2,. Abyste
mohli „správně“ prognózovat hodnoty časové řady v budoucnosti (Krok 4), musíte mít
k dispozici „správný“ model ČŘ, který následně použijete pro výpočet prognózy. Celý postup
tvorby prognózy ČŘ autoři metody ARIMA formulovali ve 4 krocích, které nazýváme
Box-Jenkinsova metodologie prognózování ČŘ. Jednotlivé kroky si teď přiblížíme i s ohledem
na použití statistického programu SPSS.
Krok1. Identifikace modelu: Stanovení typu modelu (AR, MA, I, ARMA, ARIMA,
sezónnosti apod.) a řádů, tj. čísel p, d, q v modelu ARIMA(p,d,q). V sezónních modelech
SARIMA se stanoví ještě další parametry sp, sd, sq (viz Analyze  Time Series
 ARIMA v SPSS). Využívá se přitom tvarů ACF a PACF (viz dále).
Krok 2. Odhad modelu: Odhad parametrů modelu - výpočet koeficientů modelu i a
j ( v SPSS je použita metoda maximální věrohodnosti, což je obdoba metody nejmenších
čtverců –MNČ). Diferencování modelu (d-krát) vede ke stacionarizaci ČŘ.
Krok 3. Verifikace modelu: Výpočet Rezidua – rozdílu mezi modelovými hodnotami
a příslušnými hodnotami z dat. (V SPSS jsou to hodnoty proměnné ERR). Model je
správný, pokud reziduum je bílý šum, jinak je třeba přejít na Krok 1 – k nové identifikaci
a přehodnocení modelu. Tento krok do značné míry závisí na zkušenostech analytika
– nejde o přísně exaktní postup (např. hodnocení tvarů ACF a PACF, resp. statistické významnosti
hodnot ACF a PACF na hladině spolehlivosti 95%).
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
144
Krok 4. Prognózování: Výpočet modelem prognózovaných hodnot v zadaném časovém
horizontu prognózy a intervalů spolehlivosti prognózy. (V SPSS jsou to hodnoty proměnné
FIT, 95%UCL a 95%LCL).
Aplikaci jednotlivých kroků s využitím SPSS si ukážeme na konkrétním příkladu v závěru
této kapitoly. Ještě předtím se seznámíte s dalšími nástroji a metodami, které se využívají
v prvním kroku při identifikaci modelu ČŘ.
Významným nástrojem ke stanovení typu modelu (AR, MA, I, ARMA, ARIMA) je autokorelační
funkce k, k = 1,2,..., (ACF) a korelogram, resp. výběrová autokorelační funkce
kρˆ , k = 1,2,..., a výběrový korelogram.. Korelace mezi 2 náhodnými veličinami je často
způsobena tím, že obě tyto veličiny jsou korelovány s veličinou třetí. Velká část korelace
mezi veličinami Yt a Yt-k může být zapříčiněna jejích korelací s mezilehlými veličinami Yt-
1, Yt-2,,,,,Yt-k+1. Pojem parciální autokorelace zachycuje korelaci mezi veličinami Yt a Yt-k
očištěnou o vliv veličin mezi nimi. Parciální autokorelační koeficient kk, k = 0,1,2,..., (2
indexy kk) je analogií k pojmu parciální regresní koeficient. Uvažujte k-násobnou lineární
regresi Yt s regresory Yt-1, Yt-2,,,,,Yt-k:
Yt = k1 Yt-1+ k2 Yt-2+...+kk Yt-k + et. (10.8)
Regresní koeficient kk je ve (10.8) právě parciální autokorelační koeficient. Vztahu
(10.8) se využívá k výpočtu výběrového parciálního autokorelačního koeficientu kkρˆ , viz
Arlt (1999).
Důležitou roli hraje tzv. parciální autokorelační funkce (PACF) stochastického procesu
ρkk pro k =0,1,2,… PACF má následující vlastnosti:
ρ00 = 1, –1 ≤ ρkk ≤ 1 pro k = 1,2,…
ρkk = ρ-k,-k pro k = 1,2,…, tj. PACF je symetrická kolem k = 0.
Grafickým znázorněním PACF je parciální korelogram. Vzhledem k uvedeným vlastnostem
stačí, aby parciální korelogram zobrazoval hodnoty pro posuvy k > 0.
10.3.1 Identifikace procesů ARIMA pomocí ACF a PACF
Při identifikaci typu procesu ARIMA a jeho řádů využíváme charakteristických tvarů
ACF a PACF. Různé typy procesů ARIMA mají charakteristické tvary korelogramů a parciálních
korelogramů. V SPSS využíváme nabídku: Analyze  Time Series  Autocorrelations…
Jednotlivé typy procesů mají následující charakteristiky:
a. Proces AR(p): Prvních p hodnot PACF je „velkých“, další = 0 a „rychlý“ pokles (v absolutních
hodnotách) ACF.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
145
Obrázek 27: Příklady korelogramů AR(1)
b. Proces MA(q): Prvních q hodnot ACF je „velkých“, další = 0 a „rychlý“ pokles (v absolutních
hodnotách) PACF.
Obrázek 28: Příklady korelogramů MA(1)
c. Proces I(d): „Pomalý“ pokles ACF, prvních d hodnot PACF je „velkých“, další = 0.
Obrázek 29: Příklady korelogramů I(1): „Náhodná procházka“
Lag Number
16151413121110987654321
ACF 1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
AR1
Lower Confidence Limit
Upper Confidence Limit
Coefficient
Lag Number
16151413121110987654321
PartialACF
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
MA1
Lower Confidence Limit
Upper Confidence Limit
Coefficient
Lag Number
16151413121110987654321
ACF
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
I1
Lower Confidence Limit
Upper Confidence Limit
Coefficient
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
146
d. Proces ARMA(p,q): Prvních q hodnot ACF je „velkých“, další = 0 a prvních p hodnot
PACF je „velkých“, další = 0.
Obrázek 30: Příklady korelogramů ARMA(1)
ŘEŠENÁ ÚLOHA 10.1
Uvažujte časovou řadu „Čtvrtletní HDP České republiky“ v mil. Kč
(https://www.cnb.cz/cnb/STAT.ARADY_PKG.PARAMETRY_SESTAVY?p_sestuid=28788&p_strid=ACCAAA&p_lang=CS).
Hodnoty časové řady jsou
uvedeny v následující Tabulce 14 a zobrazeny v grafu na Obrázku 31.
Tabulka 14: HDP ČR v mil. Kč v letech 2005 – 2017
1Q/2005 749693 1Q/2009 933028 1Q/2013 947380
2Q/2005 816772 2Q/2009 982413 2Q/2013 1020805
3Q/2005 824172 3Q/2009 986655 3Q/2013 1038854
4Q/2005 874294 4Q/2009 1028313 4Q/2013 1091089
1Q/2006 801890 1Q/2010 917763 1Q/2014 990626
2Q/2006 869391 2Q/2010 1002363 2Q/2014 1076850
3Q/2006 895247 3Q/2010 1003950 3Q/2014 1107159
4Q/2006 946270 4Q/2010 1038388 4Q/2014 1139154
1Q/2007 885011 1Q/2011 935801 1Q/2015 1058526
2Q/2007 949886 2Q/2011 1015093 2Q/2015 1155270
3Q/2007 977949 3Q/2011 1020757 3Q/2015 1175617
4Q/2007 1027271 4Q/2011 1062104 4Q/2015 1206370
1Q/2008 929700 1Q/2012 957466 1Q/2016 1109181
2Q/2008 1015944 2Q/2012 1021068 2Q/2016 1213741
3Q/2008 1040456 3Q/2012 1021043 3Q/2016 1209586
4Q/2008 1038017 4Q/2012 1060335 4Q/2016 1240732
1Q/2017 1159741
2Q/2017 1267084
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
147
Obrázek 31: HDP ČR v mil. Kč v letech 2005 – 2017
Najděte vhodný ARIMA model této časové řady a pomocí něj prognózujte čtvrtletní hodnoty
HDP až do konce roku 2019.
Řešení:
K řešení využijeme Box-Jenkinsovu metodologii prognózování ČŘ formulovanou ve
4 krocích popsaných v subkapitole 10.3. Použijeme k tomu statistický program SPSS.
V menu:
Data  Define Data Years, Quaters vytvoříme hodnoty časové osy (počínaje rok –
čtvrtletí): Year: 2005, Quarter: 1.
Krok 1: Identifikace modelu procesu ARIMA.
Z prostého pohledu na spojnicový graf na Obrázku 31 lze usoudit, že se jedná o nestacionární
časovou řadu, zároveň vykazuje sezónní složku se 4 sezónami. Tento předpoklad potvrdíme
analýzou korelogramů ACF a PACF.
V menu:
Analyze  Forecasting  Autocorrelations…vložíme proměnnou HDP_Q a ve výstupu
Output obdržíme korelogramy, které zachycuje Obrázek 32.
Obrázek 32: Korelogramy HDP ČR
V korelogramu hodnoty ACF pomalu klesají, v PACF je „velká“ první a pátá hodnota.
Z toho vyvozujeme, že se jedná o nestacionaritu 1. řádu, tj. typu I(1). Stacionarizujeme
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1400000
1Q/2005
4Q/2005
3Q/2006
2Q/2007
1Q/2008
4Q/2008
3Q/2009
2Q/2010
1Q/2011
4Q/2011
3Q/2012
2Q/2013
1Q/2014
4Q/2014
3Q/2015
2Q/2016
1Q/2017
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
148
proto ČŘ jedním diferencováním, dále zvolíme sezónní diferencování a zobrazíme korelogramy,
které jsou na Obrázku 33.
Obrázek 33: Korelogramy diferencované časové řady HDP ČR
Krok 2: Odhad paramteru modelu – výpočet koeficientů provedeme v programu SPSS
v menu: Analyze  Forecasting  Create Models, Dependent Variable: HDP_Q, Independent
Variable: QUARTER, Method: ARIMA, Criteria viz. Obrázek 34. Jedná se o model
SARIMA (0,1,0)x(0,1,1).
Obrázek 34: Zadání ARIMA modelu (0,1,0)x(0,1,1)
Dále zadáme v záložce Statistics Parametrer estimatis a dostaneme Tabulku 14.
Tabulka 14: Odhady parametrů modelu
ARIMA Model Parameters
Estimate SE t Sig.
Constant 54,804 1334,602 ,041 ,967
Difference 1
Seasonal Difference 1
MA, Seasonal Lag 1 ,498 ,151 3,296 ,002
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
149
Krok 3: Verifikace modelu – spočívá v ověření předpokladu, že reziduum je bílým šumem.
V SPSS jsou to hodnoty proměnné ERR. V menu Analyze  Forecasting  Autocorrelations..
vložíme proměnnou ERR, potvrdíme a dostáváme Obrázek 35.
Obrázek 35: Korelogramy reziduí časové řady HDP ČR
Uvedené korelogramy potvrzují, že ACF i PACF jsou nulové, proto reziduum je bílý
šum.
Krok 4: Prognózu odhadneme do konce roku 2019. Výsledky ukazuje Tabulka 15.
Tabulka 15: Predikce HDP_ČR do konce roku 2019
Období Bodový odhad
HDP_ČR v mil. Kč
Intervalový odhad
HDP_ČR v mil. Kč
Q3 2017 1275301 1242689 1307913
Q4 2017 1308320 1262200 1354440
Q1 2018 1220540 1164055 1277026
Q2 2018 1322466 1257242 1387689
Q3 2018 1330737 1249178 1412296
Q4 2018 1363811 1268681 1458941
Q1 2019 1276087 1169094 1383079
Q2 2019 1378067 1260401 1495732
Q3 2019 1386393 1251811 1520975
Q4 2019 1419522 1269925 1569119
Dále zobrazíme v jednom grafu hodnoty půvdní časové řady a hodnoty modelované časové
řady, jak ukazuje Obrázek 36.
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
150
Obrázek 36: Grafické zobrazení původní a odhadnuté časové řady
SHRNUTÍ KAPITOLY
V této závěrečné kapitole jste se seznámili s časovými řadami typu ARIMA. Box-Jenkinsova
metodologie, která se touto problematikou zabývá, klade důraz nikoliv na konstrukci
jednorovnicového nebo vícerovnicového modelu, jak tomu bylo např. v regresní
analýze, nýbrž na analýzu vlastních stochastických vlastností ekonomických ČŘ. Postupně
jste se seznámili s vlastnostmi autoregresivních procesů AR, procesů pohyblivých průměrů
MA, integračních procesů I, jakož i procesů vzniklých jejich kombinací ARIMA. Dále byly
tyto procesy rozšířeny též na sezónní procesy. Úkolem pak bylo pro konkrétní časovou řadu
nalézt vhodný konkrétní model typu ARIMA a nalezený model použít pro účely prognózy
(predikce, extrapolace) hodnot dané časové řady. Celý postup tvorby prognózy ČŘ autoři
metody ARIMA formulovali ve 4 krocích, které nazýváme Box-Jenkinsova metodologie
prognózování ČŘ. Jednotlivé kroky jsou (1) Identifikace modelu, (2) Odhad modelu, (3)
Verifikace modelu a (4) Prognóza pomocí modelu. Jednotlivé kroky Box-Jenkinsovy metodologie
byly ilustrovány na příkladu časové řady čtvrtletního HDP České republiky s pomocí
statistického programu SPSS.
10.4 Samostatné úkoly
10.1 Uvažujte časovou řadu počtu vyrobených součástek v tis. ks v letech 1996 - 2017.
Hodnoty časové řady jsou uvedeny v následující tabulce. Najděte vhodný ARIMA model
této časové řady a pomocí něj prognózujte čtvrtletní hodnoty až do konce roku 2019. Použijte
přitom 4 kroky Box-Jenkinsovy metodologie.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
151
1Q/1996 2872,8 1Q/2001 3154 1Q/2006 3830,8 1Q/2011 4221,8 1Q/2016 4880,8
2Q/1996 2860,3 2Q/2001 3190,4 2Q/2006 3732,6 2Q/2011 4254,8 2Q/2016 4900,3
3Q/1996 2896,6 3Q/2001 3249,9 3Q/2006 3733,5 3Q/2011 4309 3Q/2016 4903,3
4Q/1996 2873,7 4Q/2001 3292,5 4Q/2006 3808,5 4Q/2011 4333,5 4Q/2016 4855,1
1Q/1997 2942,9 1Q/2002 3356,7 1Q/2007 3860,5 1Q/2012 4390,5 1Q/2017 4824
2Q/1997 2947,4 2Q/2002 3369,2 2Q/2007 3844,4 2Q/2012 4387,7 2Q/2017 4840,7
3Q/1997 2966 3Q/2002 3381 3Q/2007 3864,5 3Q/2012 4412,6 3Q/2017 4862,7
4Q/1997 2980,8 4Q/2002 3416,3 4Q/2007 3803,1 4Q/2012 4427,1 4Q/2017 4868
1Q/1998 2027,3 1Q/2003 3466,4 1Q/2008 3756,1 1Q/2013 4460
2Q/1998 3089,7 2Q/2003 3525 2Q/2008 3771,1 2Q/2013 4515,3
3Q/1998 3125,8 3Q/2003 3574,4 3Q/2008 3754,4 3Q/2013 4559,3
4Q/1998 3175,5 4Q/2003 3567,2 4Q/2008 3759,6 4Q/2013 4625,5
1Q/1999 3253,3 1Q/2004 3591,8 1Q/2009 3783,5 1Q/2014 4655,3
2Q/1999 3267,6 2Q/2004 3707 2Q/2009 3886,5 2Q/2014 4704,8
3Q/1999 3264,3 3Q/2004 3735,6 3Q/2009 3944,4 3Q/2014 4734,5
4Q/1999 3289,1 4Q/2004 3779,6 4Q/2009 4012,1 4Q/2014 4779,7
1Q/2000 3259,4 1Q/2005 3780,8 1Q/2010 4089,5 1Q/2015 4809,8
2Q/2000 3267,6 2Q/2005 3784,3 2Q/2010 4144 2Q/2015 4832,4
3Q/2000 3239,1 3Q/2005 3807,5 3Q/2010 4166,4 3Q/2015 4845,6
4Q/2000 3226,4 4Q/2005 3814,6 4Q/2010 4194,2 4Q/2015 4859,7
10.5 Řešení úkolů, výsledky
10.1 a) Identifikace modelu
Na základě tvaru korelačních funkcí diferencované ČŘ vybíráme model ARIMA (1; 1; 0).
b) Odhad parametrů modelu
ARIMA Model Parameters
Estimate SE t Sig.
Constant 23,122 10,586 2,184 ,032
AR Lag 1 -,443 ,097 -4,567 ,000
Difference 1
Modely typu ARIMA a prognózování časových řad
152
Koeficient AR1= – 0,443 je statisticky významný na hladině významosti 0,01 (protože
hodnota signifikance = 0,000 je mneší než 0,01).
c) Verifikace modelu
Korelogramy potvrzují, že ACF i PACF jsou nulové, proto reziduum je bílý šum.
d) Predikce počtu vyrobených výrobků do 4. čtvrtletí 2019
Období Bodový odhad Intervalový odhad (95%)
Q1 2018 4899,02 4616,74 5181,29
Q2 2018 4918,64 4595,52 5241,76
Q3 2018 4943,31 4556,50 5330,12
Q4 2018 4965,75 4535,63 5395,87
Q1 2019 4989,17 4515,27 5463,08
Q2 2019 5012,16 4500,02 5524,30
Q3 2019 5035,34 4486,88 5583,80
Q4 2019 5058,44 4476,23 5640,65
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
153
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
154
LITERATURA
ANDĚL,Jiří, 2007. Statistické metody. 4. upr. vyd. Praha: Marfyzpress, 299 s. ISBN 80-
7378-003-8.
ARLT, Josef, 1999. Moderní metody modelování ekonomických časových řad. 1.vyd.
Praha: Grada Publishing, 307 s. ISBN 80-716-9539-4.
CIPRA,Tomáš, 1986. Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii. 1.vyd. Praha: Státní
nakladatelství technické literatury, 246 s.
GUJARATI, Damodar N, c2003. Basic econometrics. 4th ed. Boston: McGraw-Hill,
xxix, 1002 s. ISBN 978-0-07-233542-2.
HÁTLE, Jaroslav a LIKEŠ, Jiří, 1974. Základy počtu pravděpodobnosti a matematické
statistiky. 2. vyd. Praha: SNTL. 463 s.
HINDLS, Richard, SEGER, Jan a HRONOVÁ, Stanislava, 2002. Statistika pro ekonomy.
1. vyd. Praha: Professional Publishing, 415 s. ISBN 80-864-1926-6.
KAŇKA, Miloš, 1998. Vybrané partie z matematiky pro ekonomy. 1.vyd. Praha: VŠE,
231 s. ISBN 80-707-9537-9.
MAREK, Luboš a kol., 2007. Statistika pro ekonomy: aplikace. 2. vyd. Praha: Professional
Publishing. 485 s. ISBN 978-80-86946-40-5.
RAMÍK, Jaroslav a Šárka ČEMERKOVÁ, 2000. Statistika A. Vyd. 3., rozš. a upr. V
Opavě: Slezská univerzita, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 162 s. ISBN 80-
7248-097-9.
RAMÍK, Jaroslav a Šárka ČEMERKOVÁ, 2000. Statistika B. Vyd. 2., rozš. a upr. V
Opavě: Slezská univerzita, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 143 s. ISBN 80-
724-8099-5.
RAMÍK, Jaroslav a Šárka ČEMERKOVÁ, 2003. Kvantitativní metody B: statistika. Vyd.
1. Karviná: Slezská univerzita v Opavě, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 206
s. ISBN 80-724-8198-3.
SEGER, Jan, HRONOVÁ, Stanislava a HINDLS, Richard, 1998. Statistika v hospodářství.
1.vyd. Praha: ETC Publishing, 636 s. ISBN 80-860-0656-5.
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová - Statistické zpracování dat
155
SHRNUTÍ STUDIJNÍ OPORY
Tento text představuje studijní oporu pro studium všech akreditovaných studijních programů
v navazujícím magisterském studiu na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské
fakultě v Karviné. Předmět Statistické zpracování dat navazuje na předmět Statistika obsahující
základní bakalářský kurz statistiky na SU OPF, nebo na obdobný ekvivalentní předmět
základů statistiky v bakalářském stupni studia na jiné VŠ ekonomického zaměření
v ČR. Tento text je inovací předchozí studijní opory. V tomto předmětu je kladen důraz
především na uplatnění statistických metod při zpracování ekonomických dat v aplikovaných
ekonomických disciplínách, jako jsou zejména marketing a management.
Samotný učební text, nebo jak se říká v moderní terminologii: studijní opora - umožňující
studentovi plnohodnotné a zároveň samostatné studium – je rozčleněn do 10 tematických
kapitol.
Vysokoškolské studium v případě předmětu Statistické zpracování dat vyžaduje enormní
úsilí studenta zaměřené na pravidelnost a vytrvalost ve studiu i samostudiu, schopnost koncentrace
na předmět, aktivní přístup spočívající na samostatném řešení příkladů. V tom
všem by tato studijní opora měla studentům pomoci. Dalšími podpůrnými zdroji ke studiu
mohou být klasické učebnice a skripta a další doporučená literatura.
156
PŘEHLED DOSTUPNÝCH IKON
Čas potřebný ke studiu Cíle kapitoly
Klíčová slova Nezapomeňte na odpočinek
Průvodce studiem Průvodce textem
Rychlý náhled Shrnutí
Tutoriály Definice
K zapamatování Případová studie
Řešená úloha Věta
Kontrolní otázka Korespondenční úkol
Odpovědi Otázky
Samostatný úkol Další zdroje
Pro zájemce Úkol k zamyšlení
.
Název: Statistické zpracování dat
Autor: Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc., Mgr. Radmila Stoklasová, Ph.D.
Klikněte sem a zadejte text.
Vydavatel: Slezská univerzita v Opavě
Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné
Určeno: studentům SU OPF Karviná
Počet stran: 156
Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.