Zápočtové příklady - Algebra II
1. Určete součet a průnik vektorových podprostorů U, V C IR3, kde t7=I(l,0,-7),(2,l,2)]ay=I(l,l,-2)].
2. Je zobrazení / : IR3 —> IR2, f(u, v,w) = (u + w,v — Aw) lineární? Pokud ano, určete jeho jádro a obraz.
3. Je zadáno lineární zobrazení g : IR2 —> IR2 předpisem g(a, b) = (3a + 2fo, b — a). Jak bude vypadat matice tohoto zobrazení? Určete obraz vektoru x = (—5,11) při tomto zobrazení. (Na prostoru IR2 předpokládáme kanonickou bázi.)
4. Je zadána báze b = {(0,4, 3), (1, 2, —11), (51, 7, —l)}prostoru IR3. Nalezněte ortonormální bázi k b.
í 4 5-2
5. Je zadána lineární transformace / : C3 —> C3 maticí A =     — 2   — 2    1    ] . Nalezněte její
v-1 -1 1
vlastní hodnoty.
6. Určete součet a průnik vektorových podprostorů U, V C IR3, kde U = K-2, 0, 3), (0,1, -2)] a V = [(-2, -1, 5)].
7. Je zobrazení / : IR3 —> IR, f(u,v,w) = (| — v + 20w) lineární? Pokud ano, určete jeho jádro a obraz.
8. Jsou zadány 2 báze na prostoru IR2 : e\ = ((1, 0), (0, 3)), 62 = ((—1,1), (0, 5)). Jak bude vypadat matice přechodu od báze e± k 62? Jaké budou souřadnice vektoru a = (1, 2, —3) v bázi e{l
9. Je zadána báze u = {(1, 2, 2,-1), (1,1,-5, 3), (3, 2, 8,-7)} podprostorů U C IR4. Nalezněte ortonormální bázi tohoto podprostorů.
/ -1  0 2
10. Je zadaná lineární transformace g na prostoru IR3 maticí A =     —2   12]. Určete první
\  0    0 1
rozklad transformace g.