LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Cvičení.   Ukažte, že pro každou mohutnost m platí lm = l,m + m = 2xm, m2 = mxm. A pokud m/0, pak 0m = 0.
Operace s kardinálními čísly mají i analogie pro systémy kardinálních čísel.
4.6. Definice. Buď {Fí}íěj systém množin. Jeho disjunktní sjednocení definujeme jako sjednocení
Podobně jako u binární operace U platí, že sjednocované množiny {i} x Fi nemají žádné společné prvky (proč?) a opět v tom spočívá smysl této konstrukce.
4.7. Tvrzení. Buď {Fí}íěj systém množin po dvou disjunktních, čili takových, že Fi fl Fj = 9, kdykoliv i^jel. Pak UjeJ Fi ~ Uí(Ej Fi-
Důkaz. Zadejme zobrazení h : (Ji€l Fi —> |_|ieJ Fi předpisem
h(x) = [i,x],    když x 6 Fi.
Ukažte jako cvičení, že h je bijekce.
4.8. Tvrzení. Buďte Fi ~ F[
systémy ekvivalentních množin. Pak
2° n^-n^'
jsou ekvivalentní množiny.
Důkaz. Buďte gi : Fi —► F[ bijekce. 1° : Zaveďme zobrazení
předpisem
Snadno se ukáže, že |_JieJ gi je bijekce s inverzí |_JieJ      . Odtud tvrzení. 2° : Zaveďme zobrazení
ieJ      ieJ ieJ
předpisem
vieJ 7
Snadno se ukáže, že niejí7i Je bijekce s inverzí Yli^i g^1 ■ Odtud tvrzení.
30
LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Při troše velkorysosti můžeme se systémem {Fi}iei spojit systém kardinálních čísel fj = #Fi (ignorujeme fakt, že dosud nemáme třídu kardinálních čísel). Díky právě dokázanému tvrzení lze definovat součet a součin systému kardinálních čísel předpisem
Jde o přímá zobecnění výše definovaných binárních operací '+' a 'x' (ty dostáváme pro dvouprvkové systémy množin).
Platí analogie formulí z tvrzení 4.5, zejména
a x ^2 &i =      a x
iei iei
(n*)6=iK
Dokažte je jako cvičení.
Analogií komutativního a asociativního zákona je, že se v definici neuplatňuje žádné uspořádání indexové množiny.
Cvičení.    Ukažte, že a obecně
m = No x m.
31