LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Stejný výsledek dostaneme, když v llk. nahradíme každý sloup celým sloupořadím. Všimněte si, že w prvků nemá předchůdce.
Cvičení.   Kolik je 1 + uj2? Kolik je uj + uj2?
Cvičení.   Ukažte, že každý prvek z uj2 je tvaru a\uj + ao, kde a±, ao jsou přirozená čísla. Návod: Viz předchozí obrázek.
Příklad.    Dvojnásobek ordinálního čísla uj2 je 2uj2 = 2xu2, což je
11lilu. Ililu. lilu lli. L.i...    11liliu lil., lil,
(dvě nekonečné řady nekonečných sloupořadí). Všimněte si, že 2uj prvků nemá předchůdce. Podobně trojnásobek atd.
Příklad.    Co je uj3? Definujeme jej jako w-násobek ordinálního čísla uj2 a znázorňuje jej diagram
llllk. Illlk lllklkUk.^   Illlii llk.lk.kt.,...- Ilk.k.k.t._ lliil,. ___
(trojitě nekonečné sloupořadí). Stejný výsledek dostaneme, když v uj2 nahradíme každý sloup sloupořadím, čili jako cj2-násobek ordinálního čísla uj. Všimněte si, že uj2 prvků nemá předchůdce.
Cvičení.   Ukažte, že každý prvek z uj3 je tvaru a^uJ2 + a\uj + ao, kde ai, ffli, fflo jsou přirozená čísla.
Příklad.   Analogicky uj4 je
(čtyřnásobně nekonečné sloupořadí). Stejný výsledek dostaneme, když v uj3 nahradíme každý sloup sloupořadím, čili jako cj3-násobek ordinálního čísla uj. V tomto případě uj3 prvků nemá předchůdce.
Cvičení.   Zobrazte tento PDF soubor na monitoru a pozorujte obrázky při zvětšujícím se rozlišení.
Cvičení. Ukažte, že každý prvek z uj4 je tvaru a^uj3 + (12uj2 + a\uj + ao, kde ai, ffli, fflo jsou přirozená čísla.
Příklad. Libovolnému polynomu p = anxn + an-ixn~1 + ■ ■ ■ + a±x + fflo G N [a;] jedné neurčité x s koeficienty z N odpovídá ordinální číslo p(lo) = anujn + an-iujn~1 + ■ ■ ■ + a\uj + ao, přičemž pro různé polynomy p,q jsou čísla p(uj) a q(uj) různá. Připomeňme však, že je nutno dodržet pořadí sčítanců (proč?).
Čísla p(uj) vyčerpávají ordinální čísla, která lze vyjádřit pomocí konečných součtů a součinů přirozených čísel a čísla uj.
Na rozdíl od nekonečných součtů, nekonečné součiny ani nekonečné mocniny nenesou přirozené dobré uspořádání. Například 2N°, množina spočetných posloupností čísel 0,1, sice připouští lexikografické uspořádání, ale snadno najdeme nekonečnou klesající posloupnost
[1,0,0,0,0,...]    >    [0,1,0,0,0,...]    >     [0,0,1,0,0,...], ...
Nekonečné součiny a mocniny je nutno konstruovat jiným způsobem.
6.6. Definice. Nechť a, (3 jsou ordinální čísla. Položme
«0=11 ak.
U
kefí
48
LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Vysvětlení: V definici jde o ordinální typ prostého, nikoliv disjunktního, sjednocení množin ak. Konečné mocniny ak jsou stejně jako předtím prostě konečné součiny
a x • • • x a
a jsou vloženy jeden do druhého, ak C ak+1, prostřednictvím zobrazení \a\, a2,. .., &&] i—> [0, a\, a2,. .. , &&], takže prvky z ak předcházejí ostatním v ak+1 (tvoří tam počátek; obecně počátky zavedeme v příštím oddílu). Potom ak C ak+2 prostřednictvím zobrazení [a1; a2, ■ ■ ■, ak] i—>• [0, 0,a1,a2,.. ., ak], atd.
Příklad. Počítejme r = y 2fe
Zde 2° je jednoprvková množina 1 = {0}, vložená do 21 = {0,1} jako prvek [0, 1]. Přitom 21 = {0,1} je vložená do 22 jako prvky [0, 0], [0,1], zatímco 22 je vložená do 23 jako prvky [0, 0, 0], [0, 0,1], [0,1, 0], [0, 1,1], atd. Vidíme, že sjednocení [Jkeu} 2fe lze ztotožnit s množinou všech posloupností ..., a,2, ffl2, ao nekonečných směrem doleva, kde a± je 0 nebo 1, ale jen konečně mnoho prvků (n je nenulových. Uspořádání zůstává lexikografické, čili rozhodujs se podle nejlevějšího nenulového clí. Dostáváme
(..., 0, 0, 0) <(..., 0, 0,1) <(..., 0,1, 0) <(..., 0,1,1) <■■■,
což je izomorfní řetězci w, čili
Poznámka. Všimněte si, že oproti kardinálnímu číslu 2 0 je ordinální číslo 2" spočetné.
Příklad. Počítejme 1" = IJfee^ Jelikož 1 C 2, můžeme použít postup z předchozího příkladu, kde se omezíme jen na posloupnosti sestavené z prvků z 1. Tam je ovšem jediný prvek 0 a proto 1" obsahuje jediný prvek, a sice nulovou posloupnost ..., 0, 0, 0. Tudíž,
Příklad. Počítejme u". Opět můžeme použít postup z předchozího příkladu, ale tentokrát budou posloupnosti ... ,a,2,a2,ao sestaveny ze všech přirozených čísel, přičemž vše ostatní zůstane stejné, včetně uspořádání. Dostáváme
(...,0,0,0,0) < (...,0,0,0,1) < (...,0,0,0,2) < ■■■
< (...,0,0,1,0) < (...,0,0,1,1) < (...,0,0,1,2) <■ ■■ <(..., 0, 0, 2, 0) <(..., 0, 0, 2,1) <(..., 0, 0, 2, 2) <■ ■ ■
< ■ ■ ■
< (...,0,1,2,0) < (...,0,1,2,1) < (...,0,1,2,2) <■■■,
což není žádné z dosud zkonstruovaných ordinálních čísel, protože všechna doposud zkonstruovaná ordinální čísla jsou tvaru p(lo) = cnlon + Cn-iLO11^1 + ■ ■ ■ + c\uj + co a odpovídají posloupnostem an,..., 02, 02, do konečné délky. Vidíme, že      je zcela nové ordinální číslo.
Diagram množiny uj^ obdržíme, když v množině w nahradíme každý sloup množinou w (vznikne uj2), poté opět nahradíme každý sloup množinou uj (vznikne co3), a tak dále do nekonečna. Vznikne tak sobě podobná množina, jejíž každá část je podobná celku, čili fraktál.
49
LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
Příklad. Podle podobného návodu se sestrojí číslo w" , jen použité posloupnosti budou indexovány prvky z u". Analogicky u"    , atd.
Poznámka. Ordinální čísla u",       , , ■ ■ ■, jsou opět spočetná.
Zde naši exkurzi do zoo ordinálních čísel ukončíme. Vidíme, že svět ordinálních čísel je mnohem rozmanitější než svět kardinálních čísel. Zdůrazněme, že všechna zatím zkonstruovaná ordinální čísla mají spočetnou mohutnost.
Z obvyklých zákonů aritmetiky platí pro operace s ordinálními čísly jen některé. Již jsme viděli, že obecně naplatí komutativní zákon ani pro sčítání, ani pro násobení.
6.7. Tvrzení. Buďte a,/3, 7 libovolné mohutnosti. Pak
0 + a = a = a + 0,
{a+ 13) + 7 = a+ (/3 + 7),
a x (3 = (3 x a,
íxa = a = axí,
(a x j3) x 7 = a x {j3 x 7),
(a + /3)x7 = aX7 + aX7,
Ox« = 0 = ax0,
a° = l,
a1 = a.
aSi+i = ai x a0}
Cvičení.    Ukažte, že a x (/? + 7) nemusí být rovno a x /? + a x 7. Z distributivních zákonů mezi násobením a sčítáním tak platí jen jeden. Návod: Volte a = 2, j3 = u, 7 = 1.
Cvičení.   Ukažte, že (a x (3)1 nemusí být rovno ani a1 x fP, ani fP x a1. Návod: Volte a = w, (3 = 7 = 2.
50