Zápočtové příklady - Algebra I
2019
1. Jsou zadány dvě algebraické struktury (S, +), (L,*), kde S značí množinu všech celých sudých čísel, L množinu všech celých lichých čísel, + značí sčítání a operace * je definována a*b = a + b + l. Určete o jaké nejvyšší algebraické struktury se jedná.
2. Jsou zadány matice
A
(   0 4 10     1 \
4 8 18 7
10 18 40 17
\   1 7 17    3 /
B
(	2	-4	8	0	M
	3	-6	1	4	-3
	-4	2	5	-1	7
v	5	-4	-12	5	-i4;
C* :
2 \
1
-1 -3 0
4 /
Zjistěte, které z těchto matic mají stejnou řádkovou hodnost.
3. Najděte normovaného největšího společného dělitele polynomů f{x) = x4 + 128a;3 + 187a;2 — 128a; — 188 a g(x) = x4 + 59a;2 - 60.
4. Je zadána pologrupa (Z, *), kde a*b = a + b+2. Najděte na ní neutrální prvek (pokud existuje).
5. Najděte normovaného největšího společného dělitele polynomů f(x) = xa + 2x2 — 21x + 18 a g(x) = xa + 4a;2 — 11a;+ 6.
6. Pomocí Gaussovy eliminační metody vyřešte následující soustavu rovnic.
X\ — X-2 + a?3 — X4 Xi + X'2 — X$ — X4 -X-2 + X4
xi + 2x2 + 3a;3
I
II
7. Jsou zadány matice
A
1 0 2 3 -1 -1 0   -7 -5
B
Vypočítejte následující matice (pokud existují): D = BT ■ C + A, E = A-CT-B, F = (C ■ B)T + C, G = Ä2 ■ (B ■ C)T,
H=((BT)Y-
5 6 -7 0
-1 0
-4 4
8. Nalezněte inverzní matici k matici
E :
/ 1 1
1
V 1
1 \
9. Spočítejte determinant matice
A
t	1	0	2	0	3	1 \
	0	1	0	0	0	-1
	i	2	-3	4	0	0
	0	1	0	0	1	-1
	-i	0	0	0	0	1
v	2	3	4	0	1	
10. Jaké hodnoty musí nabývat parametr ip, aby byl det D = 0?
D
(I 0
0 1
0 o
V 1 o
-1
1
2
3\
0
2
-4 /