MUNMF2 Functional Analysis and Differential Equations

Mathematical Institute in Opava
Winter 2012
Extent and Intensity
0/0. 0 credit(s). Type of Completion: -.
Guaranteed by
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc.
Mathematical Institute in Opava
Course Enrolment Limitations
The course is offered to students of any study field.
Course objectives
To verify whether the student has successfully mastered the studied subject and gained knowledge and skills needed for either further study or practice.
Syllabus (in Czech)
  • Funkcionální analýza a diferenciální rovnice:
    - Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu (řešení, věty o existenci a jednoznačnosti řešení).
    - Lineární systémy diferenciálních rovnic (homogenní a nehomogenní systémy, vlastnosti řešení, systémy s konstantními koeficienty, metoda variace konstant, rovnice vyšších řádů).
    - Parciální diferenciální rovnice prvního řádu (charakteristiky, Cauchyho problém, úplný integrál, kvazilineární rovnice).
    - Eliptické rovnice (Laplaceova a Poissonova rovnice, potenciál, Greenovy formule, Greenova funkce).
    - Hyperbolické rovnice (Riemannova metoda, šíření vln podél struny, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Parabolické rovnice (Cauchyho problém pro rovnici vedení tepla, princip maxima pro smíšené problémy, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Distribuce (prostory základních funkcí a prostory distribucí, konvoluce, fundamentální řešení pro diferenciální operátory, zobecněné řešení Cauchyho problému).
    - Míra a měřitelné funkce (základní vlastnosti míry na okruhu, vnější míra a Carathéodoryho věta, věta o rozšíření míry na metrických prostorech. Hausdorffova míra, Lebesgue-Stieltjesova a Lebesguesova míra, měřitelná funkce jako limita posloupnosti
    jednoduchých měřitelných funkcí, posloupnosti měřitelných funkcí).
    - Lebesgueův integrál a Lebesgue-Stieltjesův integrál (souvislost s Riemannovým integrálem, věty o střední hodnotě, prostory Lp).
    - Diferencovatelnost a spojitost funkcí (diferencovatelnost monotónních funkcí, funkce s konečnou variací, absolutně spojité funkce, Stoneova-Weierstrassova věta o aproximaci spojitých funkcí polynomy).
    - Derivace komplexních funkcí, geometrický význam derivace, konformní zobrazení.
    - Integrály a mocninné řady v komplexním oboru (Laurentova řada a Taylorova řada).
    - Singularity a nulové body (Cauchyova věta o reziduích a její důsledky. Metody výpočtu nevlastních reálných integrálů).
    - Laplaceova transformace a její použití.
    - Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
    - Konvexní analýza v lokálně konvexních topologických vektorových prostorech (základní operátory konvexní analýzy, věta o dualitě).
    - Normované prostory (norma operátoru, duální prostor, Banachova věta o nulovém úhlu, reflexivní prostory, spektrum, kompaktní operátory).
    - Hilbertovy prostory (ortogonální projekce, Hilbertova báze, samoadjungované operátory, příklady: operátory tenzorové mechaniky, Hilbertova-Schmidtova věta).
Literature
    recommended literature
  • J. Franců. Parciální diferenciální rovnice. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2003. info
  • J. Franců. Moderní metody řešení diferenciálních rovnic. Brno, 2002. info
  • V. I. Averbuch. Functional Analysis, pomocné učební texty MÚ SU. MÚ SU, Opava, 1999. info
  • L. C. Evans. Partial diferential equations. 1998. info
  • M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. New York, 1993. info
  • T. Neubrunn, J. Dravecký. Vybrané kapitoly z matematické analýzy. Alfa, Bratislava, 1990. info
  • W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
  • A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Praha, SNTL, 1975. info
  • L. Schwartz. Analyse mathématique II. Herman, Paris, 1967. info
  • L. S. Pontrjagin. Obyknovennyje differenciaľnyje uravnenija. Nauka, Moskva, 1965. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
Language of instruction
Czech
Further Comments
The course can also be completed outside the examination period.
The course is also listed under the following terms Winter 2007, Summer 2008, Winter 2008, Summer 2009, Winter 2009, Summer 2010, Winter 2010, Summer 2011, Winter 2011, Summer 2012, Summer 2013, Winter 2013, Summer 2014, Winter 2014, Summer 2015.
  • Enrolment Statistics (Winter 2012, recent)
  • Permalink: https://is.slu.cz/course/sumu/winter2012/MUNMF2