HvropskýS Q a
^'n
L ' M I N I & T E H S T V Ů SKŮLSTVÍ, O F Y _ .
f c n d v C R EVROPSKÁ UNIE MLADEÍE A TĚJŮVŤCHŮVT m mriinwKkoiinMt Slezska univerzita v O p a v e
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNI
Slezská univerzita v Opavě
Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné
STATISTICKÉ ZPRACOVANÍ DAT
Pro kombinovanou formu studia
Jaroslav Ramík, Radmila Stoklasová
K a r v i n á 2 0 1 3
Projekt OP V K č. CZ.l.07/2.2.00/28.0017
„Inovace studijních programů na Slezské univerzitě,
Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné"
Název: Statistické zpracování dat
Autor: prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc, Mgr. Radmila Stoklasová, Ph.D.
Vydavatel: Slezská univerzita v Opavě
Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné
Určeno: studentům Obchodně podnikatelské fakulty v Karviné
Počet stran: 162
A A - VA: 7,07 - 7,35
Náklad: 100
Tiskárna: Z + M Partner, spol. s r.o. Ostrava
Číslo publikace: 595-200-2013
ISBN: 978-80-7248-842-1
Tato publikace neprošla jazykovou úpravou.
M I N I S T E R S T V O Š K O L S T V Í , OP Vzdělávání
MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost Slezská univerzita v Opavě
I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í
Slezská univerzita v Opavě
Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné
STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Pro kombinovanou formu studia
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové
Karviná 2013
evropský
sociální
fond V ČR EVROPSKÁ UNIE
Projekt OP V K č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0017
„Inovace studijních programů na Slezské univerzitě,
Obchodně podnikatelské fakultě v Karviné"
Obor: Statistika.
Anotace: Publikace představuje studijní oporu vysokoškolského kurzu Statistické metody pro ekonomy
pro navazující studium na vysoké škole ekonomického zaměření. Obsahově pokrývá základní
témata: analýza rozptylu - 1 faktor, analýza rozptylu - 2 faktory, jednorozměrná a vícerozměrná
analýzy rozptylu a časové řady.
Klíčová slova: Analýza rozptylu, jednoduchá regresní analýza, vícerozměrná regresní analýza, analýza
časových řad, Box - Jenkinsova metodologie.
Autor: p r o f. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.
Mgr. Radmila Stoklasové, Ph.D.
Recenzenti: doc. Ing. Jana Hančlová, CSc.
Ing. Filip Tošenovský, Ph.D.
ISBN 978-80-7248-842-1
OBSAH
ÚVOD 6
1 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) - JEDEN FAKTOR 9
1.1 N E Z Á V I S L Ý A Z Á V I S L Ý F A K T O R 10
1.2 P R E D P O K L A D Y A N A L Ý Z Y R O Z P T Y L U S J E D N Í M F A K T O R E M 11
1.3 P O S T U P PŘI A N A L Ý Z E R O Z P T Y L U S J E D N Í M F A K T O R E M 12
1.4 M Í R A T Ě S N O S T I Z Á V I S L O S T I 14
l .5 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 20
1.6 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 21
2 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) - DVA A VÍCE FAKTORŮ 22
2.1 A N A L Ý Z A R O Z P T Y L U S E D V Ě M A F A K T O R Y 22
2.2 P Ř E D P O K L A D Y ANOVA S E 2 F A K T O R Y 24
2.3 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 32
2.4 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 33
3 REGRESNÍ ANALÝZA - JEDNOROZMĚRNÁ LINEÁRNÍ REGRESE 34
3.1 R E G R E S N Í A N A L Ý Z A 34
3.2 J E D N O D U C H Á R E G R E S N Í A N A L Ý Z A 35
3.3 M E T O D A N E J M E N Š Í C H Č T V E R C Ů 36
3.4 M Í R A V A R I A B I L I T Y , K O E F I C I E N T D E T E R M I N A C E 37
3.5 K L A S I C K Ý L I N E Á R N Í M O D E L 39
3.6 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 44
3.7 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 45
4 REGRESNÍ ANALÝZA - JEDNOROZMĚRNÁ: INTERVALY
SPOLEHLIVOSTI, TESTY HYPOTÉZ, NELINEÁRNÍ REGRESE 46
4.1 I N T E R V A L Y S P O L E H L I V O S T I 46
4.2 T E S T Y H Y P O T É Z 47
4.3 N E L I N E Á R N Í R E G R E S N Í A N A L Ý Z A 48
4.4 P A R A B O L I C K Á R E G R E S E 50
4.5 T Ó R N Q U I S T O V Y F U N K C E 50
4.6 M E T O D A V Y B R A N Ý C H B O D Ů 52
4.7 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 63
4.8 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 64
5 REGRESNÍ ANALÝZA - VÍCEROZMĚRNÁ 65
5.1 V Í C E R O Z M Ě R N Á R E G R E S N Í A N A L Ý Z A 65
5.2 M E T O D A N E J M E N Š Í C H Č T V E R C Ů 66
5.3 N Á H O D N Ý V E K T O R A J E H O C H A R A K T E R I S T I K Y 67
5.4 K L A S I C K Ý L I N E Á R N Í M O D E L 67
5.5 M Í R Y V A R I A B I L I T Y A K O E F I C I E N T D E T E R M I N A C E 68
5.6 I N T E R V A L Y S P O L E H L I V O S T I A T E S T Y H Y P O T É Z 69
5.7 I N D I V I D U Á L N Í T - T E S T Y O H O D N O T Á C H R E G R E S N Í C H K O E F I C I E N T Ů 70
5.8 F - T E S T H Y P O T É Z Y O H O D N O T Á C H R E G R E S N Í C H K O E F I C I E N T Ů 71
5.9 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 77
5.10 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 79
6 REGRESNÍ ANALÝZA - VÍCEROZMĚRNÁ: MULTIKOLINEARITA,
HETEROSKEDASTICITA, AUTOKORELACE 82
6.1 CO J E M U L T I K O L I N E A R I T A ? 82
6.2 CO J E H E T E R O S K E D A S T I C I T A ? 85
-3-
6.2.1 JAKZJIŠŤOVATHETER0SKEDAST1C1TU? 86
6.2.2 JAK ODSTRAŇOVATHETEROSKEDASTICITU?
6.3 CO J E A U T O K O R E L A C E ? 91
6.4 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 92
6.5 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 93
7 FIKTIVNÍ PROMĚNNÉ 94
7.1 CO J S O U F I K T I V N Í P R O M Ě N N É ? 94
7.2 F I K T I V N Í P R O M Ě N N É A A N O V A 94
7.3 S P O L E Č N É F I K T I V N Í A K V A N T I T A T I V N Í P R O M Ě N N É 97
7.4 F I K T I V N Í P R O M Ě N N É V S E Z Ó N N Í C H M O D E L E C H 100
7.5 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 102
7.6 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 102
8 ZÁKLADY ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 103
8.1 T Y P Y E K O N O M I C K Ý C H Č A S O V Ý C H Ř A D 103
8.2 E L E M E N T Á R N Í C H A R A K T E R I S T I K Y Č A S O V Ý C H Ř A D 105
8.3 M O D E L Y E K O N O M I C K Ý C H Č A S O V Ý C H Ř A D 105
8.4 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 107
8.5 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 107
9 ANALÝZA TRENDU ČASOVÝCH ŘAD 108
9.1 T R E N D O V Á S L O Ž K A Č A S O V Ý C H Ř A D 108
9.2 L I N E Á R N Í T R E N D 109
9.3 P A R A B O L I C K Ý T R E N D 109
9.4 M O C N I N N Ý T R E N D 110
9.5 E X P O N E N C I Á L N Í T R E N D 110
9.6 L O G I S T I C K Ý T R E N D 111
9.7 G O M P E R T Z Ů V T R E N D 112
9.8 V O L B A V H O D N É H O M O D E L U T R E N D U 112
9.9 K L O U Z A V É P R Ů M Ě R Y 113
9.10 E X P O N E N C I Á L N Í V Y R O V N Á N Í 114
9.11 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 121
9.12 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 121
10 ANALÝZA SEZÓNNÍ SLOŽKY A NÁHODNÉ SLOŽKY 122
10.1 P E R I O D I C K Á S L O Ž K A Č A S O V Ý C H Ř A D 122
10.2 H A R M O N I C K Á A N A L Ý Z A 122
10.3 M O D E L K O N S T A N T N Í S E Z Ó N N O S T I S E S C H O D O V I T Ý M T R E N D E M 124
10.4 M O D E L K O N S T A N T N Í S E Z Ó N N O S T I S L I N E Á R N Í M T R E N D E M 125
10.5 M O D E L P R O P O R C I O N Á L N Í S E Z Ó N N O S T I 126
10.6 A N A L Ý Z A N Á H O D N É S L O Ž K Y 126
10.7 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 132
10.8 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 133
11 STOCHASTICKÉ PROCESY 134
11.1 S T O C H A S T I C K Ý ( N Á H O D N Ý ) P R O C E S 134
11.2 S T A C I O N Á R N Í A N E S T A C I O N Á R N Í P R O C E S 135
11.3 B Í L Ý Š U M A N Á H O D N Á P R O C H Á Z K A 138
11.4 D E T E R M I N I S T I C K Ý A S T O C H A S T I C K Ý T R E N D 140
11.5 J A K P O Z N Á M E , Ž E Č Ř J E S T A C I O N Á R N Í ? 142
11.6 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 144
1 1.7 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 145
12 MODELY TYPU ARIMA A PROGNÓZOVANÍ ČASOVÝCH ŘAD 146
-4-
12.1 Ú V O D 146
12.2 M O D E L O V Á N Í Č A S O V Ý C H Ř A D P O M O C Í A R I M A 147
12.3 A U T O R E G R E S I V N Í P R O C E S (AR) 148
12.4 P R O C E S K L O U Z A V Ý C H P R Ů M Ě R Ů ( M A ) 149
12.5 A U T O R E G R E S I V N Í P R O C E S K L O U Z A V Ý C H P R Ů M Ě R Ů ( A R M A ) 149
12.6 A U T O R E G R E S I V N Í A I N T E G R O V A N Ý P R O C E S K L O U Z A V Ý C H P R Ů M Ě R Ů ( A R I M A ) 149
12.7 S E Z Ó N N Í P R O C E S Y A R I M A ..„ 150
12.8 B O X - J E N K I N S O V A M E T O D O L O G I E P R O G N Ó Z O V A N Í Č Ř 150
12.9 P R O G N Ó Z O V A N Í P O M O C Í A R I M A M O D E L Ů 151
12.10 I D E N T I F I K A C E P R O C E S Ů A R I M A P O M O C Í A C F A P A C F 151
12.11 S A M O S T A T N É Ú K O L Y 157
12.12 Ř E Š E N Í Ú K O L Ů , V Ý S L E D K Y 159
ZÁVĚR 161
SEZNAM DOPORUČENÉ LITERATURY 162
-5-
ÚVOD
Tento text představuje studijní oporu pro studium všech akreditovaných studijních
programů v navazujícím magisterském studiu na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské
fakultě v Karviné. Předmět Statistické zpracování dat navazuje na předmět Statistika (dříve
Kvantitativní metody B) obsahující základní bakalářský kurz statistiky na SU OPF, nebo na
obdobný ekvivalentní předmět základů statistiky v bakalářském stupni studia na jiné VŠ
ekonomického zaměření v ČR. Tento text je inovací předchozí studijní opory s názvem
Statistika pro navazující magisterské studium, specializované pro studenty distanční
a kombinované formy studia. Inovací studijních oborů na SU OPF v rámci projektu OPVK
vznikl také předmět Statistické zpracování dat. V tomto předmětu je kladen důraz především
na uplatnění statistických metod při zpracování ekonomických dat v aplikovaných
ekonomických disciplínách, jako jsou zejména marketing a management.
Samotný učební text, nebo jak se říká v moderní terminologii: studijní opora umožňující
studentovi plnohodnotné a zároveň samostatné studium - je rozčleněn do 12
tematických kapitol. Jednotlivé kapitoly odpovídají obvyklým výukovým týdnům jednoho
semestru a jsou přibližně stejně obsahově rozsáhlé a obtížné. Takový rozsah učiva odpovídá
klasické dvouhodinové přednášce v prezenčním studiu na vysoké škole ekonomického
zaměření. V prezenčním studiu je ovšem na rozdíl od kombinované formy studia přednáška
doplněna seminářem, kde se probraná látka aplikuje na konkrétní číselné příklady, které se
řeší až k požadovanému výsledku pomocí počítače.
Vysokoškolské studium v případě předmětu Statistické zpracování dat vyžaduje
enormní úsilí studenta zaměřené na pravidelnost a vytrvalost ve studiu i samostudiu,
schopnost koncentrace na předmět, aktivní přístup spočívající v samostatném řešení příkladů.
V tom všem by tato studijní opora měla studentům kombinované formy studia pomoci
nahradit kvalitní prezenční výuku i úlohu učebnic a skript. Studijní opora je k tomu účelu
vybavena určitými nástroji, o jejichž funkcích byste měli být informováni a mohli je tudíž
účelně využívat ve svůj prospěch. Pro lepší zvládnutí látky jsou vám v elektronické verzi
kurzu Statistické zpracování dat k dispozici ještě doplňkové materiály v elektronické podobě.
Dalšími podpůrnými zdroji ke studiu mohou být klasické učebnice a skripta a další
doporučená literatura.
Předpokladem pro úspěšné zvládnutí tohoto předmětu Statistické zpracování dat je
zvládnutí bakalářského předmětu Statistika na SU OPF nebo odpovídajícího základního
bakalářského kurzu Pravděpodobnosti - Statistiky, a to podle typu bakalářského studia na
některé VŠ v ČR. Ne všechno, co jste se v základních kurzech statistiky naučili, zde využijete,
řada věcí tam prezentovaných měla jiný účel. Rozhodně se vám však vyplatí nabytá schopnost
přesného a logického uvažování, nezbytností je též zvládnutí matematické symboliky
a základních partií teorie pravděpodobnosti a základů inferenční statistiky.
Nyní něco k obsahu předmětu Statistické zpracování dat. Přesnější název předmětu by
zněl: Vybrané statistické metody zpracování dat pro ekonomy, nebo ještě jinak: Vybrané
statistické metody zpracování dat a jejich použití v marketingu a managementu. To jsou totiž
významné oblasti uplatnění statistických metod, s nimiž se absolventi Obchodně
podnikatelské fakulty SU často v praxi setkávají. Obsahem kapitol 1 a 2 je analýza rozptylu ANOVA,
kapitoly 3 až 6 jsou věnovány regresní analýze - jednoduché i vícerozměrné,
zbývající kapitoly 7 až 12 se věnují analýze ekonomických časových řad, ty jsou
v ekonomických disciplínách mimořádně významné. Během studia budete využívat k řešení
úloh známého programu Excel, s nímž jste pracovali již v předmětu Statistika.
Odměna, která vás na konci studia našeho předmětu očekává, stojí za to: je to pocit, že
jste překonali něco významného, že jste se přenesli přes překážku, za níž se nachází svět
-6-
profesionálů, kteří rozumějí odborným metodám a postupům, jež jsou obyčejným
smrtelníkům nepřístupné. Získaný nadhled vám umožní snadněji pochopit a osvojit si
praktické zásady analýzy informací, jimiž jsme všichni dnes zahlceni a v nichž je nám určeno
žít.
- 7 -
-8-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
1 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) - JEDEN FAKTOR
| RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Jednofaktorová metoda ANOVA, kterou prokazujeme závislost hodnot znaků Y na faktoru X,
pro něž jsou k dispozici příslušná data, spočívá v tom, že celkovou variabilitu měřenou součtem
čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme na variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů a
na variabilitu mezi jednotlivými výběry. Cílem, k němuž směřujeme, je buď přijmout nulovou
hypotézu o vzájemné nezávislosti Y na X, nebo ji zamítnout (na zvolené hladině významnosti).
Jedná se tedy o běžný statistický postup nazývaný testování statistických hypotéz, známý ze
základního kurzu statistiky. V případě přijetí nulové hypotézy vyvozujeme nezávislost hodnot Y
na X, v opačném případě konstatujeme, že Y na X závisí. V této kapitole se naučíte, jak tento test
statistické hypotézy konkrétně provést: jak vypočítat hodnotu testového kritéria a příslušnou
kritickou hodnotu a jak vyvodit z těchto hodnot příslušný závěr týkající se eventuální závislosti
nebo nezávislosti hodnot znaku Y na faktoru X.
Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry
většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů na hospodářský
proces charakterizovaný kvantitativním statistickým znakem. Taktéž dovoluje hodnotit účinky
různých přijatých hospodářských opatření. Základní myšlenka analýzy rozptylu spočívá
v rozkladu celkového rozptylu na dílčí rozptyly příslušející jednotlivým vlivům, podle nichž
jsou data roztříděna. Kromě dílčích rozptylů je jednou složkou celkového rozptylu tzv.
reziduálni rozptyl, způsobený nepostiženými vlivy. Podle počtu analyzovaných faktorů
rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Všeobecně
používané označení ANOVA je akronymem anglických slov „ANalysis Of VAriance"
(doslovný překlad: analýza rozptylu).
Formálně vzato je ANOVA, ať jednofaktorová nebo vícefaktorová, testem statistické
hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním kurzu statistiky. Klasická ANOVA vychází,
jak uvidíte, z předpokladu normality rozdělení hodnot daného faktoru. Pokud je takový
předpoklad neudržitelný, lze použít jiného typu ANOVA, konkrétně Kruskal-Wallisovu verzi
ANOVA. Jednofaktorovou ANOVA se zabývá tato kapitola, vícefaktorová a KruskalWallisova
ANOVA je obsahem kapitoly následující.
V tomto studijním textu předpokládáme, že čtenář má k dispozici verzi Excel 2007,
eventuálně vyšší, pro osobní počítač typu PC s operačním systémem typu Windows. Pro
zjednodušení práce je vhodné mít aktivovaný doplňky „Analýza dat" a „Řešitel" ve složce
„Data" (viz Obr. 1.1)
Obrázek 1.1
Data Revize Zobrazení ( ®
Tipojeni
Mastnosti
I [ÄTŽ1 \W " ^ V y m a z a t E = 3 H B l ó ž i P L ^ S r b %@ + 4 J S r S E B J
l Analýza dat
z I Seřadit Filtr ,
Jpravit odkazy A t
ty Upřesnit
sní Seřadit a filtrovat
Text do Odebrat Ověření Sloučit... Analýza Seskupit... Oddělit... Souhrn
sloupců,,, stejné d a t T
hypotéz""
Datové nástroje \\ Osnova ^ 11 Analýza
Zdroj: Vlastní zpracování.
V případě, že tyto doplňky nejsou ve složce „Data", lehce je nainstalujete tímto
postupem:
„Tlačítko Office" —> „Možnosti aplikace Excel" —> „Doplňky" —> „Přejít..."
a v dialogovém okně zaškrtnout položky „Analytické nástroje" a „Řešitel" (viz Obr. 1.2).
-9-
Analýza rozptylu (ANOVA) - jeden faktor
Obrázek 1.2
Doplňky
Doplňky k dispozici:
Analytické nástroje
Analytické nástroje - VBA
Internet Assistant - VBA
Nástroje pro menu euro
Průvodce podmíněným součtem
Průvodce vyhledáváním
^eš ;e
Procházet..
Analytické nástroje
Obsahuje nástroje pro analýzu statistických a inženýrských
dat.
Zdroj: Vlastní zpracování.
Kromě doplňků „Analýza dat" a „Řešitel" tabulkový procesor MS Excel disponuje
širokým spektrem statistických funkcí. Všechny funkce procesoru MS Excel použité
v následujícím textu budou značeny ve tvaru: =FUNKCE(proměnnál;...; proměnná N) se
znaménkem „=" na začátku; použití analytického nástroje bude značeno podobným
způsobem.
1.1 NEZÁVISLÝ A ZÁVISLÝ FAKTOR
Často se vyskytuje situace, kdy máme k nezávislých náhodných výběrů které obecně
nemusí pocházet z jednoho základního souboru, nebo jinak řečeno, nemusí být stejného typu,
s rozsahy, tj. počty prvků nl,n2,...,nk. Číslo k může být libovolné podle konkrétní situace,
např. 2, 3, 4, ... Tyto rozsahy výběrů rovněž nemusí být stejné, v každém z nich budiž znám
průměr x. , a také rozptyl sf, i = \,2,...,k. V praktických situacích obvykle tyto výběry
vzniknou tak, že základní soubor rozdělíme podle určitého statistického znaku X do k skupin,
např. věkových, v každé z nich pak mámenr prvků, i = \,2,...,k. Znak X pak označujeme jako
nezávislý faktor, jehož hodnoty předem stanovíme, stanovíme např. věkové skupiny takto: do
18 let, 19 až 29 let, 30 až 59 let, 60 a více let, v tomto příkladu je k = 4. Hovoříme proto často
o faktoru kontrolovaném. Další příklady faktorů: velikost rodiny, měsíční příjem rodiny,
velikost podniku, typ ekonomické činnosti, apod. Hodnotami faktoru X jsou obvykle
kvalitativní (nečíselné) veličiny, označujeme je symbolicky xl,x2,...,xk. Tyto hodnoty mohou,
ale nemusejí být nutně vzájemně uspořádány.
Faktor X, jež nabývá k kvalitativních hodnot, může, ale nemusí ovlivňovat hodnoty
statistického znaku Y, o kterém předpokládáme, že má na rozdíl od X kvantitativní (tedy
číselnou) povahu.
Cílem ANOVA je právě prokázat, že hodnoty kvalitativního znaku X ovlivňují hodnoty
kvantitativního znaku Y- závislého faktoru. Hodnoty znaku Y, které přísluší hodnotě xi
faktoru X, označujeme yn, yi2,—, yin. • Pro analýzu rozptylu je výhodné uspořádat výchozí
údaje do přehledné tabulky, viz Tab. 1.1.
-10-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Princip metody ANOVA, kterou prokazujeme závislost Y na X, spočívá v tom, že
celkovou variabilitu měřenou součtem čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme na
variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů a na variabilitu mezi jednotlivými výběry.
V následujícím odstavci tento postup upřesníme.
Číslo
výběru
Zjištěné hodnoty sledovaného znaku Počet prvků Průměr Rozptyl
1 vu , v1 2 ) . ••,yíni «1
2
2 y2 1 ,y2 2 ,. ..,y2j, yi 4
i yŕ l .yŕ 2 , ...fy- '*' yini «i y~i
2
*i
k
• - • V «* yk
'l
Celkem n y s2
Tab. 1.1. Schéma výchozí tabulky analýzy rozptylu pro jeden faktor
Zdroj: Vlastní zpracování.
1.2 PŘEDPOKLADY ANALÝZY ROZPTYLU S JEDNÍM FAKTOREM
Předpokládáme, že faktor X má k úrovní (hodnot xi), s účinkem na znak Y, který lze
vyjádřit vztahem:
ju{ =Ju + ai,i=l,2,...,k,
kde jli je průměr znaku Y v i-té skupině (příslušné k hodnotě faktoru xi),
ju je celkový průměr znaku Y,
ai je efekt hodnoty faktoru xi na znak Y.
Formulujeme nyní nulovou hypotézu H 0 , že všechny výběry pocházejí ze stejné základní
populace (základního souboru), jinak řečeno, že hodnoty faktoru X nemají na hodnoty znaku
Y žádný efekt (vliv).
Budeme dále předpokládat, že hodnoty at pocházejí z normálně rozdělené populace
s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem o2
.
Formulujeme nulovou hypotézu:
H 0 : E{a1) = E{a2) = ... = E{ak)=0,
proti alternativní hypotéze, že Ho neplatí, tudíž alespoň pro dvě položky, např. i aj, platí:
Hi : E
(a
j)Symbolem
E(ai) označujeme střední hodnotu náhodné veličiny ai. Předpoklad
konstantního rozptylu pro všechny veličiny aje podstatný, je ho možno ověřit statistickým
testem, a to buď tzv. Bartlettovým testem, s nímž se seznámíte později. Normalitu rozdělení
veličin ai lze taktéž ověřit příslušným testem, např. Chi-kvadrát testem dobré shody,
známým ze základního kurzu statistiky, viz Ramík (2003). V praxi obvykle předpokládáme
(na podkladě věcné znalosti problému), že zmíněné dva předpoklady jsou automaticky
splněny a při aplikaci ANOVA je již obvykle neověřujeme.
- 77 -
Analýza rozptylu (ANOVA) - jeden faktor
Cílem, k němuž směřujeme, je buď přijmout nulovou hypotézu Ho, nebo Ho zamítnout
(na zvolené hladině významnosti). Jedná se tedy o běžný statistický postup nazývaný testování
statistických hypotéz, známý ze základního kurzu statistiky, viz Ramík (2003). V případě
přijetí nulové hypotézy vyvozujeme nezávislost hodnot faktoru Y na faktoru X, jinak řečeno:
faktor Y na faktoru X nezávisí. V opačném případě (při zamítnutí Ho), konstatujeme, že faktor
Y na faktoru X závisí, neboli faktor X ovlivňuje Y.
1.3 POSTUP PŘI ANALÝZE ROZPTYLU S JEDNÍM FAKTOREM
Celkovou variabilitu znaku Y změříme výběrovým rozptylem
Z Z l v í
- . (1.1)
n-l
V souvislosti s analýzou rozptylu se budeme zabývat pouze čitatelem výše uvedeného
zlomku, totiž součtem čtverců odchylek zjištěných hodnot y^oá celkového průměru ý,
přičemž průměr vypočítáme podle známého vztahu: sečteme všechny hodnoty a výsledek
podělíme jejich počtem, tedy
n ,-=! j=i
Tento celkový součet čtverců budeme označovat symbolem S, tj.
^ = I Ž U - ? ) 2
- (1-2)
Í=I j=i
Celkovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfy = n-\.
Variabilitu mezi skupinami budeme měřit meziskupinovým součtem čtverců S , který
definujeme následovně
Sj„=ÍjH&-ÍŤ- (1-3)
i=i
Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfm = k-\.
Variabilitu uvnitř skupin označujeme jako vnitroskupinovou, nebo také reziduálni
a používáme přitom označení S , přičemž definujeme vnitroskupinový {reziduálni) součet
čtverců takto
^ = Í Z k - y , - ) 2
. (i.4)
i=i j=\
Vnitroskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfv = n-k.
Aritmetickými úpravami výše uvedených vzorců lze snadno dokázat základní vztah
analýzy rozptylu, totiž, že celkový součet čtverců je roven sumě meziskupinového
a vnitroskupinového součtu čtverců, symbolicky:
S y = S „ + S „ . (1.5)
-12-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Pro ověření nulové hypotézy Ho použijeme statistiku:
5„„ $ m
n-k dfv
která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení F{k — \,n — k). Kritické
hodnoty Fisherova rozdělení Fa(dfl,df2) jsou tabelovány pro různé hodnoty hladiny
významnosti a a různé hodnoty parametrů (stupňů volnosti: Jegree of fteedom) df\ a dfo .
Někdy se namísto kritických hodnot tabelují kvantily Fisherova rozdělení Fl
k
_a(dfl,df2).
Vztah mezi kritickými hodnotami a kvantily je jednoduchý:
Fa{dfvdf2) = Flta{dfl,df2).
Např. 5-ti procentní kritická hodnota je rovna 95-ti procentnímu kvantilu při stejných
hodnotách parametrů df\a dfi.
Pro výpočet kritických hodnot lze využít Excelu. Postupuje se přitom takto: v hlavním
menu postupně vybíráte: Vložit —> Funkce —> Statistické —> ¥TNW{a,df\ ; dfi).
Postup testování hypotézy Ho charakterizujeme následujícími 3 kroky:
Krokl. Zvolte hladinu významnosti a, která představuje chybu 1. druhu,
tj. pravděpodobnost zamítnuti správné hypotézy. Praktické hodnoty hladiny významnosti a
jsou: 0,1 , 0,05 , 0,01 , nebo-li v procentech: 10%, 5%, 1%.
Krok 2. Vypočtěte hodnotu statistiky F podle vzorce (1.6), přičemž pro hodnoty
meziskupinového součtu čtverců S a pro výpočet vnitroskupinového součtu čtverců S
použijte vzorce (1.3) a (1.4). Výpočetně výhodnější, např. pro výpočet na kalkulačce, jsou
následující vzorce:
/ \ 2
k «ř j ' /• " \
s
y = T L y i ~ Z Z ^
V'= 1
J=l
J
Í=I j=i n
k i n, A2
n
(1.7)
(1.8)
Vi = 1
j=x
J
K výpočtu S lze využít základního vztahu (1.5) a právě uvedených vztahů (1.7)
a (1.8):
S = S — S
y,v y y,m '
Krok 3. Porovnejte hodnotu statistiky F vypočtené v Kroku 2 s kritickou hodnotou
Fa(k — \,n — k). Výsledek tohoto porovnání může být dvojí:
I. Platí F < Fa{k-\,n-k).
Potom se nulová hypotéza Ho přijímá (nezamítá) a tudíž se konstatuje, že
hodnoty faktoru X nemají na hodnoty znaku Y statisticky významný vliv (na zvolené
hladině významnosti). Jinak řečeno, faktor X je neúčinný.
-13-
Analýza rozptylu (ANOVA) - jeden faktor
II. Platí F > Fa{k-í,n-k).
Potom se nulová hypotéza H 0 zamítá, přijímá se hypotézu alternativní Hi, a tudíž se
konstatuje, že hodnoty faktoru X mají na hodnoty znaku Y statisticky významný vliv. Jinak
řečeno, faktor X je účinný.
Podaří-li se výše uvedeným testem prokázat, že hodnoty faktoru X mají na hodnoty
znaku Y statisticky významný vliv, mohou nás zajímat další informace o tom, které skupiny se
významně odlišují od průměru, eventuálně jak skupinové průměry seřadit, případně zařadit do
společných celků. V krajním případě by se totiž mohlo stát, že významnost rozdílnosti k
skupin způsobuje jediná skupina a ostatní skupiny se navzájem neliší. Touto problematikou se
zabývají metody tzv. simultánního testování, z nichž nejznámější je metoda Shaffeho. Vy se
touto problematikou zde nezabývat nebudete, zájemce odkazujeme na literaturu, viz např.
Anděl (2007).
Metoda analýzy rozptylu je založena na předpokladech shody rozptylů v jednotlivých k
skupinách. Pokud jsou předpoklady splněny, pak popsaná metoda ANOVA poskytuje nejlepší
výsledky - je nejúčinnější. Není-li tento předpoklad splněn, pak použití výše uvedeného testu
může poskytnout nesprávný výsledek. V takovém případě lze použít jiné metody, např.
Kruskal-Wallisova ANOVA, která používá Chi-kvadrát test, s níž se seznámíte v příští
kapitole.
V Excelu jsou k dispozici funkce, které umožňují řešit jednofaktorové i vícefaktorové
úlohy ANOVA. Naleznete je v hlavním menu: Nástroje —> Analýza dat —> ANOVA: jeden
faktor... V tomto textu se s nimi naučíte pracovat.
1.4 MÍRA TĚSNOSTI ZÁVISLOSTI
Variabilita podmíněných (skupinových) průměrů ýi kolem celkového průměru y je
způsobena závislostí znaku Y na znaku X. Tuto variabilitu jsme vyjádřili meziskupinovým
součtem čtverců Sym. Variabilita znaku Y uvnitř jednotlivých skupin - vyjádřena
vnitroskupinovým (reziduálním) součtem čtverců S , je způsobena jinými (neuvažovanými)
činiteli. Čím větší je S , tím větší je těsnost závislosti znaků X a Y. Protože však jsou
jednotlivé součty čtverců vzájemně vázány vztahem (1.5), lze míru těsnosti závislosti vyjádřit
jako podíl meziskupinového a celkového součtu čtverců. Zavádíme proto jako míru těsnosti
závislosti znaku Y na znaku Xpoměr determinace P2
takto:
(1.9)
Odmocninu z poměru determinace P nazýváme poměr korelace.
Poměr determinace nabývá hodnot z intervalu [0,1]. Čím těsnější je závislost Y na X,
tím více se hodnota poměru determinace blíží k 1, tím více se také vnitroskupinový součet
čtverců blíží k celkovému součtu čtverců, přičemž meziskupinový součet čtverců se blíží k
nule. Naopak, čím více se poměr determinace blíží k 0, tím menší část z celkového součtu
čtverců tvoří meziskupinový součet čtverců (na úkor vnitroskupinového), a tím menší je
těsnost závislosti znaku Y na X. Způsob výpočtu determinačního a korelačního poměru si
procvičíte na numerických příkladech. V Excelu bohužel funkce pro výpočet poměru
determinace nebo korelace chybí, musí se proto k výpočtu použít vzorce (1.9).
-14-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Uvědomte si však, že poměr determinace P2
je náhodná veličina (jakožto podíl dvou
veličin - součtu čtverců, které jsou samy náhodnými veličinami), proto může být výsledkem
kladné číslo i v případě, že výsledkem ANOVA je fakt, že zkoumaný faktor není statistický
významný, neboli sledovaná veličina na faktoru nezávisí. V takovém případě by logicky mělo
platit, že poměr determinace P2
je nulový, tj. P2
= 0. Tento zdánlivý rozpor vysvětlujeme
statistickým přístupem: testem statistické hypotézy. V tomto případě je nulová hypotéza
Ho: P2
= 0. Jako testové kritérium se použije statistika F ze vzorce (1.6).
Pokud platí F < Fa(k-l,n-k), potom se nulová hypotéza Ho přijímá (a tudíž
konstatujeme, že hodnoty faktoru X nemají na hodnoty znaku Y statisticky významný vliv na
zvolené hladině významnosti) a poměr determinace (samozřejmě i poměr korelace) je roven
nule, jinak řečeno, je statisticky nevýznamný.
V opačném případě se nulová hypotéza zamítá a poměr determinace je statisticky
významný. Hodnota poměru determinace i poměru korelace je nenulová. V tom případě má
smysl hovořit o síle závislosti veličiny Y na faktoru X.
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 1.1
Na testovacím okruhu byla testována průměrná spotřeba tří automobilů téže třídy
různých výrobců Škoda, Renault a Fiat. Řidič absolvoval s každým automobilem
5 testovacích jízd. Tabulka ukazuje spotřebu benzínu na 100 kilometrů v jednotlivých jízdách.
Automobil Spotřeba
Skoda
Renault
7,4
6,7
7,8 6,8 7,6 8,1
7,2 8,3 7,1 7,5
Fiat 6,8 6,9 7,3 7,9 7,6
Na hladině významnosti a = 0,05 zjistěte, zda má typ automobilu vliv na spotřebu
benzínu. V kladném případě vypočtěte determinační a korelační poměr.
Řešení:
Chceme zjistit závislost znaku Y (průměrná spotřeba) na jediném znaku X (výrobce
automobilu). Provedeme proto jednofaktorovou analýzu rozptylu.
Faktor X má tři hodnoty: x\ = Škoda, X2 = Renault, xj, = Fiat, tzn. k = 3, s počty hodnot
n\ = ri2 = «3 = 5 v každé z nich budeme testovat nulovou hypotézu
Ho: E(CÍI) = E{Oi) = E(oci) = 0, tj. průměrná spotřeba je u všech vozidel stejná.
Alternativní hypotéza Hi je negací nulové hypotézy.
Nejprve vypočítáme podmíněné průměry yx, y2, y3
7,4 + 7,8 + ... + 8,1
5
5
5
6,7 + 7,2+... + 7,5
5
5
5
6,8 + 6,9 + . . + 7,6
-75-
Analýza rozptylu (ANOVA) - jeden faktor
a celkový průměr znaku Y
_ Hyij 7 , 4 + 7 , 8 + . . . + 7 , 6 n A
y = = = 7 , 4 .
n 1 5
Dále vypočítáme pomocí vztahů ( 1 . 2 ) , ( 1 . 3 ) , popř. ( 1 . 7 ) , ( 1 . 8 ) součty Sy a Sym.
3 5
Sy = Z Z (yy - y Ý = ( 7 , 4 - 7 , 4 ) 2
+ ( 7 , 8 - 7 , 4 ) 2
+ . . . + ( 8 , 1 - 7 , 4 ) 2
+
i=\ j=i
+ ( 6 , 7 - 7 , 4 ) 2
+ ( 7 , 2 - 7 , 4 ) 2
+ . . . + ( 7 , 5 - 7 , 4 ) 2
+
+ ( 6 , 8 - 7 , 4 ) 2
+ . . . + ( 7 , 6 - 7 , 4 ) 2
= 3 , 4
3
Sym = Z " , ^ - - yÝ = 5 ( J i - yÝ +5(y2 - y)2
+5(y3 - y)2
=
= 5 ( 7 , 5 4 - 7 , 4 ) 2
+ 5 ( 7 , 3 6 - 7 , 4 ) 2
+ 5 ( 7 , 3 - 7 , 4 ) 2
= 0 , 1 6 .
Součet Sym má k - 1 stupňů volnosti, v našem případě dfm = 3 - 1 = 2 .
Pomocí součtů Sy a Sym dopočítáme součet 5 > v , neboť Sy = Syv + Sym-
Proto
^ = ^ , - ^ = 3 , 4 - 0 , 1 6 = 3 , 2 4 .
Součet S^ mán-k stupňů volnosti, proto dfv = 15 - 3 = 12.
Testové kritérium F vypočítáme podle vztahu ( 1 . 6 ) :
Sym 0 , 1 6
F = = iSrr = 0 , 2 9 6 .
Sy, 3 , 2 4
n-k 1 2
Pro stanovení kritického oboru C najdeme v tabulkách kritických hodnot
Fc£k - \,n -k) kritickou hodn otu F 0 , o 5 ( 2 , 1 2 ) = 3 , 8 9 (ověřte v Excelu pomocí funkce F I N V ) .
Kritický obor je proto interval od 3,89 do nekonečna, tj.
C = ( 3 , 8 9 , + o o ) .
Zřejmě platí 0 , 2 9 6 < 3 , 8 9 , tzn. F £ C , proto nulovou hypotézu H 0 přijímáme.
Znamená to, že faktor X-výrobce automobilu je neúčinný nebo-li, že průměrná spotřeba
benzínu není statisticky významně ovlivněna výrobcem automobilu. Poměr determinace
i korelace je tedy 0 .
-16-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 1.2
Rozhodněte, zda velikost výnosů petržele (faktor Y) závisí na použitém druhu hnojiva
(faktor X). Pokud závisí, pak pomocí determinačního poměru zjistěte těsnost této závislosti.
Data jsou uvedena v následující tabulce, použijte hladinu významnosti 0,05.
Hnojivo Výnosy (lkg/10 m2
)
A
40
42 45 40 44 47
B 76 75 82 68
C 60 58 62 64 70
Řešení:
U tohoto příkladu si ukážeme řešení s pomocí Excelu. Nejprve však příklad vyřešíme
klasickým postupem.
K výpočtu hodnot součtů čtverců Sym a Sy, potřebujeme znát celkový průměr y
a podmíněné průměry y1, y2, y3.
6
I X -
7=1 40 + 42 + ... + 47
= 43,
y2 = 75,25;y3 = 62,8,
3
y = -
43-6 + 75,25-4 + 62,8-5
= 58,2.
n 15
Nyní již můžeme vypočítat součty Sym a Sy, podle vztahů (1.2), (1.3)
S
y = I ^ y ~ =
(40
~5
^2
+ • • •+(47-58,2)2
+
y
+(76-58,2)2
+...+(68-58,2)2
+
+(60-58,2)2
+...+(70- 58,2)2
= 28784.
Sym ^ n ^ - y ) 2
=6(43-58,2)2
+4(75,25-58,2)2
+ 5(62,8-58,2)2
= 265485.
Hodnota testového kritéria je F
ym
k-l
2654,85
2
n-k
2878,4-2654,85
12
71,26.
Kritická hodnota je Fo,o5(2, 12) = 3,89 a je mnohem menší než hodnota testového
kritéria F. Proto nulovou hypotézu zamítáme a konstatujeme, faktor hnojiva významně
ovlivňuje hodnoty výnosů petržele.
Hodnotu determinačního poměru P2
zjistíme dosazením hodnot Sym a Sy do vztahu (1.9).
p 2 = 26H85
2878,4
Hodnoty determinačního poměru blízké 1 svědčí o vysoké závislosti faktoru Y na
faktoru X. Hodnota 0,92 proto znamená, že závislost výnosů petržele na použitém druhu
hnojívaje vysoká.
-17-
Analýza rozptylu (ANOVA) - jeden faktor
Řešení pomocí Excelu:
Nejprve je zapotřebí připravit v Excelu data. Jednotlivé hodnoty yy pro faktoru Y pro
hodnotu Xi faktoru X uspořádáme do řádků, podobně jako v tabulce v zadání. V prvním
sloupci umístíme kvůli lepší orientaci název hodnoty faktoru (popisky) JC„ v tomto případě
název hnojiva: A, B, C. Data ve worksheetu Excelu vypadají tedy například takto:
A B C D E F G H
1 A 40 42 45 40 44 47
2 B 76 75 82 68
3 C 60 58 62 64 70
4
Data je možné uspořádat také do sloupců, přitom do prvního řádku umístíme názvy
hodnot faktoru X (popisky). To je výhodné zejména u velkého množství dat, tj. pro velkou
hodnotu počtu dat n.
Dále otevřeme v hlavním menu postupně položky:
Data -> Analýza dat... -> ANOVA: jeden faktor
Pokud se tam položka Analýza dat nevyskytuje je ji zapotřebí doinstalovat (viz začátek
této kapitoly).
Zvolíte-li pak první položku ANOVA: jeden faktor, otevře se zadávací okno, kde
postupně zadáte:
Vstupní oblast: $A$1:$G$3
Sdružit: zakliknete tlačítko Řádky (je možné uspořádat data do sloupců, pak ovšem
zakliknete tlačítko Sloupce
Popisky v prvním sloupci - zakliknete
Alfa: 0,05 (hladina významnosti je předvolena, lze ji však změnit)
Výstupní oblast: $A$5 (levý horní roh výstupní oblasti)
Potvrdíte OK
Obdržíte následující výstup, kterého "levý horní roh" začíná v buňce A5 nadpisem
Anova jeden faktor:
-18-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasová; STATISTICKÉ ZPRACOVANÍ DAT
V l o ž e n íDomú Vložen
E ] H
- J
Načíst
externí data'
\\\aJ\
Aktualizovat
vše- 8 3
Pripojení
SešitL - Microsoft Excel
Rozložení stránky Vinice Qata
—[Ľ—- uJ— m
DIYi
4>
Z
* Z A
I H
Z J Seřadit Filtr
KText
do Odebrat ^
^ sloupců,., stejné — í "
Seřadit a filtrovat Datové n á stroj e
Zobrazeni
I * I
Osnova
Vŕgár
_ n x
. o x
If5| Analýza dat
? r i Řešitel
Analýza
K4
A B C D E F G H 1
1 A 40 42 45 40 44 47
2 B 76 75 32 63
3 C 60 53 62 64 70
4
5 Anova: jeden faktor
6
7 Faktor
8 Výběr Počet Součet Průměr Rozptyl
9 A 6 25S 43 3
10 B 4 301 75,25 32,91667
11 C 5 314 62,3 21,2
12
13
14 ANOVA
15 "oj variabii Rozdíl MS F hodnota P Fkrit
16 Mezivýbě 2654,35 2 1327,425 71,2552 2,19E-07 3,335294
17 Všechny v 223,55 12 13.62917
13
19 Celkem 2373,4 14
H V • H [ LÍ5tl,/LÍ5t2 /'LiSt3 / € T
Připraven 3
1
latam\ ™ % © Q
•
V první tabulce s názvem Faktor jsou uvedeny základní statistické údaje o datech:
Počet, Součet, Průměr a Rozptyl.
Ve druhé tabulce nazvané ANOVA jsou uvedeny výpočty metodou ANOVA, jednotlivé
položky mají následující význam:
Mezi výběry = meziskupinový
Všechny výběry = vnitroskupinový
Celkem = celkový
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
Rozdíl = stupeň volnosti (DF - Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium = 71,25
Hodnota P = Signifikance (p-hodnota) = 0,000000219 < 0,05 = a
F krit = kritická hodnota rozdělení F = 3,89
Hodnoty získané řešením v Excelu jsou stejné jako při použití „ručního" výpočtu, proto
i závěry jsou stejné. V Excelu máme navíc vypočtenu p-hodnotu testu (tzv. signifikanci),
která, pokud je menší než zvolená hladina významnosti oc, znamená, že nulovou hypotézu
zamítáme. V opačném případě nulovou hypotézu nezamítáme (přijímáme).
-19-
Analýza rozptylu (ANOVA) - jeden faktor
1.5 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
1.1 Pan Novák může jet do zaměstnání čtyřmi různými trasami. Čtyřikrát projel
jednotlivé trasy a zaznamenal si dobu, po kterou jel do zaměstnání. Na hladině významnosti
a= 0,01 zjistěte, zda záleží na tom, kterou trasou pojede.
Cesta 1 Cesta 2 Cesta 3 Cesta 4
22 27 26 28
26 29 33 30
25 26 25 32
30 28 30 26
1.2 Učitel fyziky zkoumal, jaký vliv má druh zkušebního testu na jeho úspěšnost.
Vytvořil tři typy stejně obtížných testů a náhodně je rozdal mezi studenty ve třídě. Tabulka
uvádí bodové zisky studentů v jednotlivých testech. Na hladině významnosti a= 0,05 zjistěte,
zda má typ testu vliv na úspěšnost studentů.
Typ testu
TI T2 T3
75 72 64
90 78 78
70 94 70
90 78 90
85 50
1.3 Ve vepříně zjišťovali, jestli váhové přírůstky vepřů závisí na použitém druhu
krmiva, či nikoli. Na hladině významnosti a= 0,05 rozhodněte, zda jsou váhové přírůstky pro
různá krmiva různé, eventuálně zjistěte, který druh krmiva dává nejmenší váhové přírůstky.
Krmivo
A B C
21,5 19,9 23,7
22,8 24,3 22,5
26,3 20,1 20,6
24,2 20,9 21,4
25,6 21,1
28,1
1.4 Výroba součástek může v podniku probíhat na jednom ze čtyř rozdílných strojů.
I když každý stroj provádí stejné operace, má každý svá specifika. Na hladině významnosti
a= 0,01 testujte hypotézu o tom, že počet vyrobených součástek není ovlivněn volbou stroje.
-20-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Stroj
A B C D
93 108 123 133
98 153 143 163
80 123 150 168
88 158 165 145
60 143 140 130
1.5 Školský úřad Karviná chtěl srovnat úroveň znalostí maturantů gymnázií okresu
Karviná. Za tímto účelem byl vytvořen test zahrnující otázky ze všech oblastí učiva a zadán
náhodně vybraným studentů jednotlivých škol. Bodové výsledky studentů jsou uvedeny
v následující tabulce.
Gymnázium
Karviná
Gymnázium
Český Těšín
Gymnázium
Bohumín
Gymnázium
Orlová
Gymnázium
Havířov
79 62 74 73 86
86 54 81 67 52
49 88 64 59 61
72 76
a. Na hladině významnosti a = 0,05 zjistěte, je-li průměrná úroveň maturantů jednotlivých
škol stejná.
b. Jak ovlivní výsledek průzkumu změna hladiny významnosti na 0,01 ?
1.6 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
1.1 F = 1,0 F krit = 5,95 p-hodnota = 0,43 - H 0 přijímáme (je jedno, kterou cestu zvolí).
1.2 F = 1,43 F krit = 3,98 p-hodnota = 0,28 - H 0 přijímáme (typ testu nemá vliv na úspěch).
1.3 F = 4,7 F krit = 3,89 p-hodnota = 0,03 - H 0 zamítáme (krmivo má vliv, nejvíce A).
1.4 F =15,02 F krit = 5,29 p-hodnota = 0,000 - H 0 zamítáme (typ stroje má vliv).
1.5 a) F = 0,12 F krit = 3,26 p-hodnota = 0,97 - H 0 přijímáme (škola nemá vliv),
b) F = 0,12 F krit = 5,41 p-hodnota = 0,97 - H 0 přijímáme (škola nemá vliv).
-21 -
Analýza rozptylu (ANOVA) - dva a více faktoru
2 ANALÝZA ROZPTYLU (ANOVA) - DVA A VÍCE
FAKTORU
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Jednofaktorová metoda ANOVA, kterou prokazujeme závislost znaků (faktorů) Y na X, pro
něž jsou k dispozici příslušná data, spočívá v tom, že celkovou variabilitu měřenou součtem
čtverců odchylek od celkového průměru rozdělíme na variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů
a na variabilitu mezi jednotlivými výběry. Cílem, k němuž směřujeme nyní, je situace, kdy
budeme uvažovat, že se kromě třídění do skupin vyskytují další faktory, říkáme jim bloky,
podle nichž výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž třídíme.
2.1 ANALÝZA ROZPTYLU SE DVĚMA FAKTORY
U analýzy rozptylu s jedním faktorem jste uvažovali výsledky tříděné podle jistého
kvalitativního znaku X do několika (konkrétně do k) skupin o rozsazích nvn2,...,nk. Proto
v tomto případě hovoříme také o ANOVA při jednoduchém třídění, neboli třídění podle
jednoho faktoru. V této kapitole budeme uvažovat situaci, kdy se kromě třídění do skupin,
vyskytují další faktory, říkáme jim bloky, podle nichž výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž
třídíme. Přehledná situace vzniká, když kromě prvního faktoru uvažujeme ještě faktor druhý,
říkáme pak, že je třídíme do bloků a v takovém případě se jedná o dvoufaktorovou ANOVA.
Formálně vzato je ANOVA, ať jednofaktorová, dvoufaktorová nebo vícefaktorová,
parametrickým testem statistické hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním kurzu
statistiky. Tato tzv. klasická ANOVA vychází z předpokladu normality rozdělení hodnot
uvažovaných faktorů. Pokud je takový předpoklad neudržitelný, lze použít jiného typu
ANOVA, tedy neparametrického testu statistické hypotézy (tento pojem si připomeňte ze
základního kurzu statistiky). Konkrétně se v této kapitole seznámíte s Kruskal-Wallisovu
verzi ANOVA, která využívá Chi-kvadrát test statistické hypotézy.
U analýzy rozptylu s jedním faktorem jsme uvažovali výsledky tříděné podle jistého
kvalitativního znaku X do několika (konkrétně do k) skupin o rozsazích nl,n1,...,nk. V tomto
odstavci budeme uvažovat situaci, kdy se kromě třídění do skupin, vyskytuje další faktor,
podle něhož výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž třídíme, říkáme, že je třídíme do bloků.
Začneme výklad příkladem známým již z předchozí kapitoly.
Příklad 1. Testovacími jízdami na zkušebním okruhu se zjišťuje průměrná spotřeba paliva
automobilu Octavia při použití benzínu od různých výrobců (např. Aral, Shell, Benzina,
Slovnaft). Všechny testy provede jeden řidič, když s každým druhem benzínu uskuteční
několik testovacích jízd, a to tak, že pro každou značku benzínu uskuteční jiný počet jízd.
Zjištěné výsledky testů, tj. změřené průměrné spotřeby na 100 km, podrobíme jednofaktorová
analýze rozptylu, která nám umožní zjistit, zda značka (tj. výrobce) použitého benzínu má
vliv na průměrnou spotřebu automobilu.
Příklad 2. Nyní budeme uvažovat podobnou situaci, kdy výsledky testů byly získány
různými řidiči (např. A, B, C, D, E, F), a to tak, že každý řidič uskutečnil jednu testovací jízdu
s každou značkou benzínu. Výsledky testů proto budeme členit nejen podle značky benzínu do
skupin (1. faktor), ale také podle testovacích řidičů - do bloků (2. faktor). Podle
-22-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
předpokladů je nyní počet výsledků ve všech skupinách stejný a je roven počtu řidičů (každý
řidič jel s jednou značkou benzínu jedenkrát). Zjištěné výsledky podrobíme dvoufaktorové
analýze rozptylu, která umožní jednak zjistit, zda značka (tj. výrobce) použitého benzínu má
vliv na průměrnou spotřebu automobilu, jednak zjistit, zda různí řidiči mají vliv na tuto
spotřebu.
Příklad 3. Nyní budeme uvažovat stejnou situaci jako v příkladu 2, přitom výsledky testů
byly získány různými řidiči (např. A, B, C, D, E, F), a to tak, že každý řidič uskutečnil tři
testovací jízdy s každou značkou benzínu. Zjištěné výsledky podrobíme dvoufaktorové
analýze rozptylu s opakováním, která umožní jednak zjistit, zda značka (tj. výrobce)
použitého benzínu má vliv na průměrnou spotřebu automobilu, jednak zjistit, zda různí řidiči
mají vliv na tuto spotřebu.
Na konci této kapitoly budou všechny tři příklady podrobně analyzovány na konkrétních
číselných datech. Nyní budeme postupovat ve výkladu s obecnými daty, nejprve pro případ
popsaný v příkladu 2. Taková data, podobně jako u jednofaktorové analýzy rozptylu,
uspořádáme do přehledné tabulky Tab. 2.1.
Číslo
skupiny
1
H
1
odnot;
2
y sledo
Číslo
vanéh
bloku
j
o znal
r Průměr
skupiny
Číslo
skupiny
1 Vil Vl2 yij y i r
Ji.
2 V21 V22 yy yir
i Ja y r 2 yy yt
%
k y*2 ytj ytr y k .
Průměr
bloku
y.i y.2 y *r y
Tab. 2.1. Schéma výchozí tabulky analýzy rozptylu pro dva faktory
V Tab. 2.1. značíme symbolem y., průměr v i-té skupině, symbolem y . označujeme
průměr hodnot v j-tém bloku, symbolem y značíme celkový průměr.
Celkový součet čtverců (celkovou variabilitu) označujeme stejně, jako v (1.2), tedy:
k r
*,=ZZU-y)2
- (2-D
i=i j=i
Variabilitu mezi skupinami budeme měřit meziskupinovým součtem čtverců S , který
definujeme následovně:
sy,m = r t ( y , - y ) 2
• (2-2)
1=1
-23-
Analýza rozptylu (ANOVA) - dva a více faktoru
Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfm = k - 1.
Variabilitu mezi bloky budeme měřit meziblokovým součtem čtverců S b , který definujeme
následovně:
s
j*=k
í,(y.j-y)2
• (2
-3
)
Meziskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfb = r-\.
Variabilitu uvnitř skupin označujeme jako vnitroskupinovou, nebo také reziduálni
a používáme přitom označení S v, přičemž definujeme vnitroskupinový {reziduálni) součet
čtverců takto
k r 2
^^Xh-^-^+j) • (2
-4
)
1=1 j=\
Vnitroskupinovému součtu čtverců přísluší počet stupňů volnosti dfv = (k - l)(r - 1).
Aritmetickými úpravami výše uvedených vzorců lze dokázat totiž, že celkový součet
čtverců je roven sumě meziskupinového, vnitroskupinového a blokového součtu čtverců,
symbolicky
S y =
Sy,m +
S y , v +
^y,f (2.5)
Tento vztah se nazývá základní vztah dvoufaktorové analýzy rozptylu.
2.2 PŘEDPOKLADY A N O V A SE 2 FAKTORY
Předpokládáme, že faktor X\ má k úrovní, faktor X2 má r úrovní s efektem na znak Y,
který lze vyjádřit vztahem
fiv =fi + at +J3j, i=l,2,...,*, 7 = 1,2,...,/-, (2.6)
kde jUy je průměr znaku Y v /-té skupině a j-tém bloku,
ju je celkový průměr znaku Y,
ai je efekt hodnoty faktoru X\ na znak Y,
fy je efekt hodnoty faktoru X2 na znak Y.
V modelu (2.6) nejprve předpokládáme, že efekty obou faktorů na znak y jsou aditivní
a vzájemně nezávislé, tj. bez vzájemných interakcí. Tento předpoklad nám umožní oddělit od
sebe hypotézy o efektech jednotlivých faktorů.
Formulujeme nejprve nulovou hypotézu, že všechny skupiny pocházejí ze stejné
základní populace (základního souboru), jinak řečeno, že hodnoty faktoru X\ nemají na
-24-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
hodnoty znaku Y žádný efekt (vliv). Budeme tedy v nulové hypotéze předpokládat, že ai
pocházejí z normálně rozdělené populace s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem
o2
, tedy formulujeme nulovou hypotézu
H 0 : E{al)=E{a2) = ... = E{ak)=0,
proti alternativní hypotéze, že Ho neplatí, tudíž alespoň pro dvě hodnoty, např. i a j,
platí:
Hi : E(at)*E(aj).
Cílem, k němuž směřujeme, je přijmout nulovou hypotézu H 0 , eventuálně H 0 zamítnout
(na zvolené hladině významnosti). Pro ověření nulové hypotézy Ho použijeme statistiku:
F,= ±=± , (2.7)
(*-l)(r-l)
která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení F(k-l,(k-l)(r-\)). Kritické
hodnoty lze nalézt v tabulkách, nebo lze využít funkce z Excelu: FTNY(o;,k - l;(k- l)(r- 1)).
Dále formulujeme nulovou hypotézu, že všechny bloky pocházejí ze stejné základní
populace (základního souboru), jinak řečeno, že hodnoty faktoru X2 nemají na hodnoty znaku
Y žádný efekt. Budeme tedy v nulové hypotéze předpokládat, že fi} pocházejí z normálně
rozdělené populace s nulovou střední hodnotou a konstantním rozptylem o2
, tedy formulujeme
nulovou hypotézu
Ho': E(j3l)=...= E(/3r) = 0 ,
proti alternativní hypotéze, že H 0 ' neplatí, tudíž alespoň pro dvě hodnoty, např. ť ž i",
platí
H r :E(/3ľ)*E(/3ľ) .
Pro ověření nulové hypotézy Ho' použijeme statistiku:
F2= ^ , (2.8)
( * - l ) ( r - l )
která má při platnosti nulové hypotézy Fisherovo rozdělení F(r - l,(k - l)(r - 1)).
Zásadní rozdíl mezi dvoufaktorovou a jednofaktorovou analýzou rozptylu spočívá
v tom, že u jednofaktorové ANOVA neuvažujeme působení dalšího faktoru, zatímco
u dvoufaktorové ANOVA tak činíme. Tento rozdíl je vyjádřen ve výpočtu testového kritéria
-25-
Analýza rozptylu (ANOVA) - dva a více faktoru
(2.7) a (2.8), kde se ve jmenovateli zlomku vyskytuje člen (k - l)(r - 1). Kdybychom na
stejnou situaci aplikovali pouze jednofaktorovou ANOVA, pak by ve výpočtu hodnoty
testového kritéria podle vztahu (1.6) byl na stejném místě člen (n - k) nebo člen (n - r), podle
toho, zda bychom brali v úvahu skupiny nebo bloky. Tento rozdíl může zapříčinit rozdílné
výsledky získané jednofaktorovou nebo dvoufaktorovou ANOVA!
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 2.1
Testovacími jízdami na zkušebním okruhu se zjišťuje průměrná spotřeba benzínu
Natural 95 automobilu Octavia při použití benzínu od různých výrobců (Aral, Shell, Benzina,
Slovnaft). Bylo vybráno 6 řidičů A, B, C, D, E, F, z nichž každý absolvoval s každým typem
benzínu jednu zkušební jízdu. Na hladině významnosti 0,05 testujte, je-li průměrná spotřeba
paliva závislá na typu použitého benzínu a na tom, který řidič s vozem jel.
Řidiči
Značka benzínu A B C D E F
Aral
7,5
6,9 7,9 7,3 6,9 7,8
Shell 7,6 7,2 7,5 8,0 7,3 8,2
Benzina 7,2 8,1 7,8 7,6 7,8 6,9
Slovnaft 7,0 7,3 7,2 7,5 8,2 7,7
Řešení:
Máte za úkol prozkoumat závislost průměrné spotřeby (znak Y) na typu použitého
benzínu (znak X\) a na řidiči (znak X2), který s vozem jel.
Znak Xi má k = 4 skupiny, znak X2 má r = 6 bloků.
Pro faktor Xi formulujeme nulovou hypotézu:
H 0 : E(a1)=E(a1)=E(a3)=E(a4), (2.9)
proti
Hi: neplatí (2.9), tj. průměrná spotřeba závisí na použitém druhu benzínu.
Pro faktor X2 formulujeme nulovou hypotézu
H 0 : £(#)=£(#)=...=£(#), (2-10)
proti alternativní hypotéze Hl : neplatí (2.10), tj. průměrná spotřeba benzínu závisí na řidiči,
který s vozem jel.
Pro ověření těchto hypotéz, tj. pro výpočet testových kritérií, musíme znát hodnotu
SOUČtŮ Syrtn, SyyV a Sy.
Nejdříve vypočítáme podmíněné průměry yi , i = 1, 2, 3, 4, ý - ,j = 1, 2, ...,6 a také
celkový průměr y .
7,5 + 6,9 + ... + 7,8
= 7,38,
další průměry y2 , y 3 , y 4 vypočítáme analogicky, viz Tab. 2.2.
7,5 + 7,6 + 7,2 + 7
ya =• = 7,33,
další průměry y2,...,y6 vypočítáme analogicky. Celkový průměr je
-26-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
_ 7,5 + 6,9 + ... + 7,7
y = = 7,50.
24
Hodnoty všech průměrů jsou uvedeny v tabulce. Nyní lze přistoupit k výpočtu jednotlivých
součtů:
4
Sy,m = ( y , - y ) 2
= 6 • [(7,38 -7,5)2
+... + (7,48 -7,5)2
] = 0,21.
s
y,h =k
í(y.j -y)2
=4- [(7
33-7,5)2
+... + (7,38-7,5)2
] = 0,35.
Potřebujeme znát i hodnotu součtu Sy<v, z praktického hlediska je však výhodnější vypočítat
hodnotu součtu Sy. Součet Sy>v pak snadno dopočítáme, neboť Sy = Syytn+SyyV+Syyb.
4 6S
y = ZŽ (yu - y)2
= (7>5 - 7,5)2
+ (6,9 - 7,5)2
+... + (7,8 - 7,5)2
+
i=i j=i
+ (7,6 - 7,5)2
+... + (8,2 - 7,5)2
+... + (7,7 - 7,5)2
= 3,79.
Potom vypočítáme
SyyV = Sy - Sy,m - Sy,b = 3,79 - 0,21 - 0,36 = 3,22.
Pro ověření hypotézy H 0 určíme testové kritérium F\
5„_ 021
_ 3
y,m
y,v
3,22
= 0,32
{k-lXr-1) 3-5
V tabulce kritických hodnot F-rozdělení nebo pomocí Excelu najdeme
F0,05(3,15) = FINV(0,05; 3,15) = 3,29.
Protože 0,32 < 3,29, přijímáme H 0 , což znamená, že použitá značka benzínu nemá na
průměrnou spotřebu vliv.
Pro ověření hypotézy H0 určíme testové kritérium F2
F2 =
S
y, 0,36
r-í _ 5
Sy,v 3,22
= 0,33
( £ - l ) ( r - l ) 3-5
F0,05(5,15) = FINV(0,05; 5,15) = 2,9.
Protože 0,33 < 2,9, přijímáme i hypotézu H0, tzn., že ani volba řidiče nemá na průměrnou
spotřebu statisticky významný vliv.
Na rozdíl od jednofaktorové ANOVA jsme zde v obou situacích uvažovali současné působení
dvou faktorů]
w
Řidiči
Zn. benzínu A B C D E F Průměry
Aral
7,5
6,9 7,9 7,3 6,9 7,8 7,38
Shell 7,6 7,2 7,5 8,0 7,3 8,2 7,63
Benzina 7,2 8,1 7,8 7,6 7,8 6,9 7,57
Slovnaft 7,0 7,3 7,2 7,5 8,2 7,7 7,48
Průměry 7,33 7,38 7,6 7,6 7,55 7,65 7,50
Tab. 2.2. Průměry
-27-
Analýza rozptylu (ANOVA) - dva a více faktoru
Nakonec si ještě ukážeme řešení pomocí Excelu. Využijeme přitom funkci menu:
Nástroje —> Analýza dat... —> ANOVA: dva faktory bez opakování
Nejprve je zapotřebí připravit v Excelu data. Jednotlivé hodnoty yy pro faktoru Y pro
hodnoty faktoru X\ = benzín a X2 = řidič uspořádáme do řádků a sloupců, podobně jako
v tabulce v zadání. Data ve worksheetu Excelu vypadají tedy například takto:
A B C D E F G I
1 benzin/řidič A B C D E F
2 Aral 7,5 6,9 7,9 7,3 6,9 7,8
3 Shell 7,6 7,2 7,5 8 7,3 8,2
4 Benzina 7,2 8,1 7,8 7,6 7,8 6,9
5 Slovnaft 7 7,3 7,2 7,5 8,2 7,7
6
Dále otevřeme v hlavním menu postupně položky:
Data —> Analýza dat... —> ANOVA :dva faktory bez opakování
Po volbě třetí položky ANOVA: dva faktory bez opakování, se otevře zadávací okno kde
postupně zadáte:
Vstupní oblast: $A$1:$G$5
Popisky v prvním sloupci - zakřiknete
Alfa: 0,05 (hladina významnosti je předvolena, lze ji však změnit)
Výstupní oblast: $L$1 (levý horní roh výstupní oblasti)
Potvrdíte OK
Obdržíte následující výstup, kterého "levý horní roh" začíná v buňce LI nadpisem
ANOVA: dva faktory bez opakování:
Anova: dva faktory bez opakování
Faktor Počet Součet Průměr Rozptyl
Aral 6 44,3 7,383333 0,185667
Shell 6 45,8 7,633333 0,154667
Benzina 6 45,4 7,566667 0,194667
Slovnaft 6 44,9 7,483333 0,181667
A 4 29,3 7,325 0,075833
B 4 29,5 7,375 0,2625
C 4 30,4 7,6 0,1
D 4 30,4 7,6 0,086667
E 4 30,2 7,55 0,323333
F 4 30,6 7,65 0,296667
ANOVA
Zdroj variability SS Rozdíl MS F Hodnota P Fkrit
Řádky 0,21 3 0,07 0,325581 0,806868 3,287383
Sloupce 0,358333 5 0,071667 0,333333 0,884913 2,901295
Chyba 3,225 15 0,215
Celkem 3,793333 23
V první tabulce jsou uvedeny základní statistické údaje o datech: Faktor, Počet,
Součet, Průměr a Rozptyl.
-28-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Ve druhé tabulce nazvané ANOVA jsou uvedeny výpočty metodou ANOVA: dva
faktory bez opakování, jednotlivé položky mají následující význam:
Řádky = meziskupinový
Sloupce = vnitroskupinový
Chyba = meziblokový
Celkem = celkový
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
Rozdíl = stupeň volnosti (DF - Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium
Hodnota P = Signifikance (p-hodnota)
F krit = kritická hodnota rozdělení F
Hodnoty získané řešením v Excelu jsou stejné jako při použití „ručního" výpočtu, proto
i závěry jsou stejné. V Excelu máme navíc vypočtenu p-hodnotu testu (tzv. signifikanci),
která, pokud je menší než zvolená hladina významnosti oc, znamená, že nulovou hypotézu
zamítáme. V opačném případě nulovou hypotézu přijímáme.
V předchozích úvahách jsme měli situaci právě jednoho výskytu všech kombinací
hodnot skupin a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič absolvoval jedinou
jízdu s každým typem benzínu. Dále budeme uvažovat situaci vícenásobného opakování
všech kombinací hodnot skupin a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič
absolvuje několik jízd (například 3 jízdy - viz následující příklad 2.2) s každým typem
benzínu, přitom samozřejmě mohou být dosažené hodnoty průměrné spotřeby různé. Zda se
tyto výsledky odlišují výrazně či nikoliv, se opět zjišťuje statistickým testem. Podrobnou
analýzu situace, která je analogická analýze případu bez opakování, již zde uvádět nebudeme.
Omezíme se pouze na řešení příkladu s využitím Excelu, konkrétně položky ANOVA: dva
faktory s opakováním.
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 2.2
Podobně jako v příkladu 2.1 se zjišťuje průměrná spotřeba benzínu Natural 95
automobilu Octavia při použití benzínu od různých výrobců (Aral, Shell, Benzina, Slovnaft).
Bylo vybráno 6 řidičů A, B, C, D, E, F, z nichž každý absolvoval s každým typem benzínu tři
zkušební jízdy. Na hladině významnosti 0,05 testujte, je-li průměrná spotřeba paliva závislá
na typu použitého benzínu a na řidiči. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce.
-29-
Analýza rozptylu (ANOVA) - dva a více faktoru
benzin/řidič Aral Shell Benzina Slovnaft
A 7,5 7,6 7,2 7
7,7 7,4 7,6 7,4
8 7,3 8,1 7,7
B 6,9 7,2 8,1 7,3
6,7 7,4 8,5 7,6
6,6 7,6 8,8 7,8
C 7,9 7,5 7,8 7,2
8 7,8 7,7 7,1
8,3 8,1 7,6 7
D 7,3 8 7,6 7,5
7,2 8 7,8 7,7
7,1 7,9 8 7,8
E 6,9 7,3 7,8 8,2
6,8 7,2 8 8,1
6,7 7 8,1 8
F 7,8 8,2 6,9 7,7
7,7 8,4 7,5 7,7
7,5 8,5 7,9 7,7
Tab. 2.3. Řidiči verus Benzíny s opakováním
Řešení:
Data ve worksheetu Excelu vypadají přesně tak jako v Tab. 2.3, jsou umístěny např.
v poli A I až E19. Dále otevřeme v hlavním menu postupně položky:
Data -» Analýza dat... -» ANOVA: dva faktory s opakováním
Po volbě druhé položky ANOVA: dva faktory s opakováním, se otevře zadávací okno, kde
postupně zadáte:
Vstupní oblast: $A$1:$E$19
Řádků na výběr: 3 (tj. počet opakování)
Alfa: 0,05 (hladina významnosti je předvolena, lze ji však změnit)
Výstupní oblast: např. $L$1 (levý horní roh výstupní oblasti)
Potvrdíte OK.
Obdržíte následující výstup, kterého "levý horní roh" začíná v buňce L I nadpisem ANOVA:
dva faktory s opakováním. V první tabulce jsou uvedeny základní statistické údaje o
datech: Faktor, Počet, Součet, Průměr a Rozptyl.
-30-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Anova: dva faktory s opakováním
Faktor Aral
A
Shell Benzina Slovnaft Celkem
Počet 3 3 3 3 12
Součet 23,2 22,3 22,9 22,1 90,5
Průměr 7,73 7,43 7,63 7,37 7,54
Rozptyl 0,06 0,02 0,20 0,12 0,10
B
Počet 3 3 3 3 12
Součet 20,2 22,2 25,4 22,7 90,5
Průměr 6,73 7,40 8,47 7,57 7,54
Rozptyl 0,02 0,04 0,12 0,06 0,46
C
Počet 3 3 3 3 12
Součet 24,2 23,4 23,1 21,3 92
Průměr 8,07 7,80 7,70 7,10 7,67
Rozptyl 0,04 0,09 0,01 0,01 0,16
D
Počet 3 3 3 3 12
Součet 21,6 23,9 23,4 23 91,9
Průměr 7,200 7,967 7,800 7,667 7,658
Rozptyl 0,010 0,003 0,040 0,023 0,103
E
Počet 3 3 3 3 12
Součet 20,4 21,5 23,9 24,3 90,1
Průměr 6,80 7,17 7,97 8,10 7,51
Rozptyl 0,01 0,02 0,02 0,01 0,33
F
Počet 3 3 3 3 12
Součet 23 25,1 22,3 23,1 93,5
Průměr 7,67 8,37 7,43 7,70 7,79
Rozptyl 0,02 0,02 0,25 0,00 0,19
Celkem
Počet 18 18 18 18
Součet 132,6 138,4 141 136,5
Průměr 7,37 7,69 7,83 7,58
Rozptyl 0,28 0,20 0,19 0,13
Ve druhé tabulce nazvané ANOVA jsou uvedeny výpočty metodou ANOVA: dva
faktory s opakováním.
ANOVA
Zdroj variability SS Rozdíl MS F Hodnota P Fkrit
Výběr 0,69 5 0,14 2,64 0,03 2,41
Sloupce 2,08 3 0,69 13,23 0,00 2,80
Interakce 10,23 15 0,68 12,99 0,00 1,88
Dohromady 2,52 48 0,05
Celkem 15,53 71
Jednotlivé položky mají následující význam:
Výběr = meziskupinový
Sloupce = vnitroskupinový
Interakce = meziblokový
Celkem = celkový
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
-31 -
Analýza rozptylu (ANOVA) - dva a více faktoru
Rozdíl = stupeň volnosti (DF - Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium
Hodnota P = Signifikance (p-hodnota)
F krit = kritická hodnota rozdělení F
Hodnoty získané řešením v Excelu jsou analogické jako v příkladu 2.1, tedy v případě
ANOVA bez opakování. Navíc je tu p-hodnota uvedená v řádku Interakce, která se týká testu
vzájemné závislosti faktorů. Nulová hypotéza předpokládá, že faktoru jsou vzájemně
nezávislé. Pokud je tato hodnota menší než zvolená hladina významnosti a, znamená to, že
nulovou hypotézu zamítáme. V opačném případě nulovou hypotézu přijímáme.
V této kapitole jsme uvažovali situaci, kdy se kromě třídění do skupin vyskytují další
faktory, říkáme jim bloky, podle nichž výsledky (tj. hodnoty znaku Y) rovněž třídíme.
Přehledná situace vzniká, když kromě prvního faktoru uvažujeme ještě faktor druhý, říkáme
pak, že je třídíme do bloků a v takovém případě se jedná o dvoufaktorovou ANOVA.
Formálně vzato je ANOVA, ať jednofaktorová, dvoufaktorová nebo vícefaktorová,
parametrickým testem statistické hypotézy, s nímž jste se seznámili v základním kurzu
statistiky. Nejprve jsme měli situaci právě jednoho výskytu všech kombinací hodnot skupin
a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič absolvoval jedinou jízdu s každým
typem benzínu. Poté jsme uvažovali situaci vícenásobného opakování všech kombinací
hodnot skupin a bloku obou uvažovaných faktorů. Například každý řidič absolvuje několik
jízd s každým typem benzínu, přitom samozřejmě mohou být dosažené hodnoty průměrné
spotřeby různé. Zda se tyto výsledky odlišují výrazně či nikoliv, se opět zjistilo statistickým
testem. K řešení příkladů jsme použili Excel, konkrétně položku Analýza dat.
2.3 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
Řešte v Excelu.
2.1 Ve čtyřech městech okresu Karviná jsme v jednotlivých dnech sledovali průměrnou
spotřebu pitné vody (v m3
) na jednoho obyvatele. Zjistěte, zda je průměrná spotřeba vody
závislá na dni v týdnu, a je-li spotřeba v různých městech různá. Uvažujte hladinu
významnosti 0,01. Zjištěné údaje jsou uvedeny v tabulce.
Karviná Orlová Bohumín Český Těšín
Po 0,64
0,75 0,54 0,76
Ut 0,78 0,63 0,61 0,83
St 0,93 0,82 0,7 0,91
Ct 0,66 0,62 0,56 0,62
Pá 0,99 1,3 0,79 0,99
So 1,22 1,65 1,3 0,98
Ne 1,05 1,3 1,24 1,1
2.2 Výroba součástek může v podniku probíhat na jednom ze čtyř rozdílných strojů.
I když každý stroj provádí stejné operace, má svá specifika. U každého stroje pracuje jeden
dělník. Na hladině významnosti a = 0,01 testujte hypotézu o tom, že počet vyrobených
součástek není ovlivněn volbou stroje ani dělníkem, který na něm pracuje.
-32-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Dělník
Stroj
Dělník A B C D
1 93 108 123 133
2 98 153 143 163
3 80 123 150 168
4 88 158 165 145
5 60 143 140 130
2.4 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
2.1 DNY: F = 12,95 F krit = 4,01 p-hodnota = 0,000 - H 0 zamítáme (průměrná
spotřeba pitné vody závisí na dnu v týdnu)
MĚSTO: F = 2,07 F krit = 5,1 p-hodnota = 0,14 - H 0 přijímáme (nebyla
prokázána závislost průměrné spotřeby pitné vody na městě).
2.2 DĚLNÍK: F = 2,45 F krit = 5,41 p-hodnota = 0,1 - H 0 přijímáme (nebyla
prokázána závislost počtu vyrobených součástek na dělníkovi, který na stroji
pracuje).
STROJ: F = 20,47 F krit = 5,95 p-hodnota = 0,000 - H 0 zamítáme (počet
vyrobených součástek závisí na stroji).
-33-
Regresní analýza - jednorozměrná lineární regrese
3 REGRESNÍ ANALÝZA - JEDNOROZMĚRNÁ LINEÁRNÍ
REGRESE
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Analýzu rozptylu z první kapitoly je možné chápat jako analýzu závislosti kvantitativního
znaku (proměnné) na kvalitativním znaku - faktoru (proměnné). Naproti tomu závislostí
kvantitativního znaku na kvantitativním znaku (nebo více kvantitativních znacích) se zabývá
regresní analýza. V případě závislosti dvou znaků mluvíme o jednorozměrné regresi
(případně jednoduché regresi), u znaku závislém na více kvantitativních veličinách hovoříme
0 vícerozměrné regresi {vícenásobné regresi). V této kapitole budeme vyšetřovat nejprve
nejjednodušší lineární závislost dvou znaků, v další kapitole se budeme zabývat
1 nelineárními závislostmi dvou znaků důležitých z hlediska ekonomických aplikací.
V následujících kapitolách pak budeme vyšetřovat závislosti více než dvou statistických
znaků. Nejprve si ozřejmíte základní rozdíl mezi ANOVA a regresní analýzou, formulujete
model jednoduché lineární regresní analýzy, definujete a ozřejmíte pojem regresní přímky a
regresních koeficientů. Poté bude vysvětlena metoda nejmenších čtverců k nalezení
„nejlepších" hodnot regresních koeficientů v regresním modelu. Míra přiléhavosti dat
k regresní křivce bude stanovena pomocí koeficientu determinace a jeho odmocniny koeficientu
korelace. Nakonec se seznámíte s tzv. klasickým jednoduchým regresním
modelem, který stanovuje 3 základní podmínky, kterým by měl vyhovovat regresní model
vzhledem k existujícím datům. Vše bude demonstrováno na příkladech, které budou řešeny
mimo jiné pomocí funkcí Excelu.
3.1 REGRESNÍ ANALÝZA
Analýzu rozptylu z první kapitoly je možné chápat jako analýzu závislosti
kvantitativního znaku (proměnné) na kvalitativním znaku - faktoru (proměnné). Naproti tomu
závislostí kvantitativního znaku na kvantitativním znaku (nebo více kvantitativních znacích)
se zabývá regresní analýza. V případě závislosti dvou znaků mluvíme o jednorozměrné
regresi (případně jednoduché regresi), u znaku závislém na více kvantitativních veličinách
hovoříme o vícerozměrné regresi {vícenásobné regresi). V této kapitole budeme vyšetřovat
nejprve nejjednodušší lineární závislost dvou znaků, v další kapitole se budeme zabývat
i nelineárními závislostmi dvou znaků důležitých z hlediska ekonomických aplikací.
V následujících kapitolách pak budeme vyšetřovat závislosti více než dvou statistických
znaků.
V regresní analýze studujeme vztah mezi jedinou proměnnou (hodnotami statistického
znaku) nazývanou závisle proměnnou (někdy vysvětlovanou proměnnou), označujeme ji F,
a obecně několika proměnnými (hodnotami statistických znaků), které nazýváme nezávisle
proměnné (někdy vysvětlující proměnné), a označujeme je symboly X\, X2,.... Pokud se
zabýváme jedinou nezávisle proměnnou X, hovoříme o jednoduché regresi, pokud je
nezávisle proměnných více nezjedná, mluvíme o vícrozněrnéné (vícenásobné) regresi (někdy
též mnohonásobné regresi). V této a následující kapitole se věnujeme jednoduché regresi.
Závisí-li veličina Y na veličině X, pak to matematicky vyjadřujeme zápisem
Y=f{X), (3.1)
-34-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
což je funkční vztah, známý mimo jiné z fyziky (například Newtonův gravitační zákon:
F je přitažlivá síla, X je vzdálenost hmotných bodů).
V našem případě jsou Y a X statistické znaky (náhodné veličiny), pak hovoříme
o statistické závislosti, funkční vztah (3.1) přejde v regresní vztah (regresní model)
y=f(x) + e, (3.2)
kde y, resp. x, představují hodnoty znaku Y, resp. X, e je náhodná složka, funkci /
nazýváme regresní funkce.
Jestliže je regresní funkce/ lineární, což značí, že má tvar regresní přímky
f(x) = j3Q + j3lX, (3.3)
potom hovoříme o jednoduché lineární regresi, nemá-li regresní funkce lineární tvar,
hovoříme o jednoduché nelineární regresi. Ve vzorci (3.3) jsou /?0 ,A parametry regresní
funkce neboli regresní koeficienty.
Mezi nejpoužívanější nelineární regresní funkce patří:
regresní parabola: /(*) = (3.4)
regresní hyperbola: /(*) == Ä + Ä - .
X
(3.5)
regresní logaritmická funkce: /(*) == A + A i o g * . (3.6)
regresní mocninná funkce: /(*) = (3.7)
regresní exponenciální funkce: /(*) == A Ä * . (3.8)
Výše uvedené nelineární regresní funkce lze převést na lineární vhodnou transformaci, jak
uvidíme v následující kapitole.
Kromě výše uvedených příkladů nelineárních regresních funkcí existuje celá řada
dalších významných nelineárních funkcí, např. Tornquistovy funkce, které nelze na lineární
funkci jednoduše převést. Budeme se jimi zabývat v následující kapitole.
3.2 JEDNODUCHÁ REGRESNÍ ANALÝZA
Představte si výběr párových hodnot (yi, x{), (y>2, X2), (yi, X3),..., (y„, x„), získaných (např.
změřených) na statistických jednotkách základního souboru. Zde jsou hodnotami závisle
proměnné Y a x,- jsou hodnotami nezávisle proměnné X. Zmíněné párové hodnoty můžeme
získat zejména dvojím způsobem:
-35-
Regresní analýza - jednorozměrná lineární regrese
(A) Hodnoty nezávisle proměnné x-{ jsme předem pevně zvolili a k nim jsme „změřili"
příslušné hodnoty y,-. V této situaci jsou hodnoty znaku X pevné (nenáhodné), zatímco
hodnoty znaku Y považujeme za náhodné veličiny.
(B) Párové hodnoty (y,-, xi) „změříme" na n náhodně zvolených jednotkách základního
souboru. V této situaci jak hodnoty znaku X, tak hodnoty znaku Y považujeme za
náhodné veličiny.
Výše uvedený datový soubor párových hodnot můžeme geometricky znázornit v rovině
bodovým grafem, kde na vodorovnou osu „x" nanášíme hodnoty nezávisle proměnné a na
svislou osu „y" příslušné hodnoty závisle proměnné. Výsledkem je geometrické znázornění n
bodů v rovině, z jejichž vzájemné polohy můžeme soudit na regresní závislost znaku Y na X.
Úkolem jednoduché lineární regrese je „proložit" danými body přímku (tj. nalézt lineární
regresní funkci), která nejlépe charakterizuje polohu daných n bodů. Z předchozího odstavce
víme, že tato regresní funkce má tvar f (x) = J30 + fix, kde Pa,fi jsou zatím neznámé
hodnoty parametrů regresní přímky. Regresní model (3.2) má nyní tvar
Odhady b(j,bl těchto neznámých parametrů - regresní koeficienty získáme metodou
nejmenších čtverců. Této metodě, která patří mezi nejdůležitější metody používané ve
statistice, bude věnován následující odstavec.
3.3 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
Uvažujte data ve formě párových hodnot - bodů: (yi, xi), (y2, x2), (y3, X 3 ) , . . . , (y„, xn).
Úkolem jednoduché regrese je najít regresní funkci, která „nejlépe charakterizuje polohu"
daných n bodů. Nejprve budeme uvažovat obecný tvar regresní funkce f(x;fi0,fi) se dvěma
parametry fi0,fi (nemusí to být nutně regresní přímka). Speciálními případy této regresní
funkce je lineární funkce (3.3) a také nelineární funkce (3.4) - (3.8). Postup metody
nejmenších čtverců bude vždy stejný, tj. nezávislý na konkrétním tvaru regresní funkce.
Odhady b{),\ neznámých parametrů fi0,fi získáme tak, že nalezneme hodnoty \,bx, pro něž
nabývá své minimální hodnoty reziduálni součet čtverců odchylek hodnot závisle proměnné y,
od teoretické hodnoty Yi = fix^b^b^), tj.
Jak je známo z matematické analýzy, své minimum funkce SR (zde je to funkce
proměnných bQ,b{) vždy nabývá pro ty hodnoty bQ,b{, pro něž se anulují její parciální
derivace:
y, = ]B0 + fixi + £i, i = 1, 2,..., n. (3.9)
n
f=fJ{yi-f(xi,bQ,bl)f.S*=j:[yt-Yt) (3.10)
K = 0, K = 0. (3.11)
dho
dh
-36-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Vztahy (3.11) představují soustavu 2 rovnic o 2 neznámých b{),b{, která se nazývá
soustava normálních rovnic. Jejím řešením získáme hledané odhady regresních parametrů
zvolené regresní funkce.
Vyřešíme nyní soustavu (3.11) pro speciální případ, který nás zejména zajímá, totiž pro
lineární regresní funkci f(x;j30,j3l) = j30+j3lx. Dosadíme-li tuto funkci do vztahu (3.10),
vypočteme příslušné parciální derivace, které položíme rovny 0, získáme konkrétní soustavu
normálních rovnic
= v + *i£*.-' (3.12)
i=l i=l
n n n
1=1 1=1 1=1
Z těchto rovnic již snadno (v konkrétním případě pro dané hodnoty y, , Xi známou
„dosazovací metodou") vypočteme hledané odhady W takto:
n
b
i=—n , K = y-b,x. (3.13)
Z 2 —2
xi —nx
i=i
Z analytické geometrie si připomeňte, že regresní koeficient b0 představuje průsečík
regresní přímky s osou „y", tedy hodnotu YQ pro x = 0, tento regresní koeficient se někdy
nazývá úrovňová konstanta. Regresní koeficient b\ vyjadřuje směrnici přímky, tedy sklon
přímky k ose ,yc", tj. změnu funkční hodnoty Y při změně nezávisle proměnné x o jednotku.
Pro jiné než lineární tvary regresní funkce je postup metody nejmenších čtverců
obdobný. Výsledkem je rovněž soustava 2 normálních rovnic, tyto rovnice však již nemusí
být lineární a proto soustavu již obvykle nelze snadno vyřešit. K řešení pak používáme
iterační numerické metody, které zde nejsou předmětem našeho zájmu. V části Řešené
příklady uvedeme způsob nalezení odhadů regresních koeficientů metodou linearizace
exponenciální a mocninné regresní funkce pomocí logaritmické transformace.
Na tomto místě bychom chtěli zvýraznit jeden důležitý fakt, který budeme
v následujícím výkladu neustále využívat. Data pro regresní analýzu jsou výsledkem
náhodného výběru, ať již jsme použili při jejich získání postup (A), nebo (B). Proto také
výsledek jednoduché lineární regresní analýzy - odhady neznámých parametrů /?„,/?!,
tj. regresní koeficienty b^,bx, budou náhodné veličiny. Při každém dalším náhodném výběru
dat bude výsledek, tj. odhad bQ,bl, obecně jiný! Má proto význam hovořit dále o statistických
charakteristikách těchto odhadnutých parametrů, jako např. střední hodnota, rozptyl, apod.
3.4 MÍRA VARIABILITY, KOEFICIENT DETERMINACE
Metoda nejmenších čtverců nás nyní přivedla k postupu, který jsme již použili
v předchozí kapitole při analýze rozptylu. V ANOVA se jednalo o rozklad celkové variability
znaku Y, vyjádřené jako celkový součet čtverců, na meziskupinový a vnitroskupinový
(reziduálni) součet čtverců. V analýze rozptylu jsme pracovali se znakem X, který měl
kvalitativní povahu, a proto nebylo možné vyjádřit závislost regresním modelem. V regresní
analýze má znak X - nezávisle proměnná - kvantitativní povahu, a proto je regresní model
-37-
Regresní analýza - jednorozměrná lineární regrese
závislosti Y na X možný. Použijeme analogii s ANOVA v tom, že znak X zde bude nabývat
hodnot x\, X2,—,x„ a i-tá skupina bude nyní charakterizována teoretickou hodnotou
Yi = f{xi;ba,bl), namísto skupinového průměru y. v ANOVA. Potom celkovou variabilitu
vysvětlované proměnné charakterizuje celkový součet čtverců:
1=1
Část celkové variability vysvětlenou regresním modelem charakterizuje teoretický součet
čtverců:
ST=fj(Yi-ýf, (3.15)
1=1
nevysvětlenou část celkové variability představuje reziduálni součet čtverců (3.10):
SR=fj(yi-Yif, (3.16)
i=i
kde ei = y,- - Yi nazýváme reziduum.
Lze dokázat, že mezi jednotlivými součty čtverců platí základní vztah:
SY= ST+SR. (3.17)
Obdobně jako v analýze rozptylu jsme zavedli k vyjádření těsnosti vztahu Y a X poměr
determinace, nyní zavedeme analogický pojem charakterizující přiléhavost dat k regresnímu
modelu. Tímto pojmem je koeficient determinace, který definujeme vztahem
R2
=\-^. (3.18)
S
y
Ze vztahu (3.17) vyplývá, že koeficient determinace nabývá hodnoty z intervalu [0,1]
a určuje tu část celkové variability pozorovaných hodnot Sy, kterou lze vysvětlit daným
regresním modelem. Jinak řečeno, po vynásobení koeficientu determinace hodnotou 100
obdržíme, kolik procent celkové variability je vysvětlitelných regresním modelem. Koeficient
determinace je proto důležitou charakteristikou vhodnosti zvoleného regresního modelu.
Vztah (3.18) vzniká podílem náhodných veličin, a proto jakožto náhodná veličina je
odhadem koeficientu determinace R2
. Pro malé rozsahy výběru n je odhad (3.18) vychýlený,
viz Ramík (2003), tj. nadhodnocuje přiléhavost k regresnímu modelu. Proto se používá
nevychýlený odhad koeficientu determinace R2
adj (z angl. adjusted), který nazýváme
korigovaný (upravený) koeficient determinace:
* Í = l - ( l - t f 2
K 4 - (3-19)
n-2
Pro velké hodnoty n je však zlomek ve vzorci (3.19) blízký k jedné a korigovaný
koeficient se blíží k „nekorigovanému".
-38-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
3.5 KLASICKÝ LINEÁRNÍ MODEL
Klasickým jednoduchým lineárním regresním modelem se nazývá regresní model (3.9):
y, = fio+ftxi + § , i = l,2,...,n,
splňující následující podmínky:
(1) Hodnoty vysvětlující proměnné se volí předem, viz (A) odstavec 3.2, nejsou to tedy
náhodné veličiny.
(2) Náhodné složky $ v modelu (3.9) mají normální rozdělení pravděpodobnosti se
střední hodnotou 0 a (neznámým) rozptylem o2
.
Konstantnost rozptylu nazýváme homoskedasticita.
(3) Náhodné složky jsou nekorelované, tj.
Cov(£{, £j) = 0 pro každé i rj, i,j = \,2,...,n. (Cov značí kovarianci, viz Ramík (2003))
Podmínky (1) až (3) požadujeme tehdy, chceme-li zajistit splnění některých dalších vlastností:
např. zjistit intervaly spolehlivosti koeficientů regresní funkce, interval spolehlivosti hodnoty
regresní funkce, eventuálně chceme-li provádět testy hypotéz o některých prvcích regresního
modelu. Těmito tématy se budeme zabývat v následujících odstavcích. Pokud totiž tyto
podmínky splněny nejsou, nelze zajistit „spolehlivé předpovědi".
V praxi jsou podmínky klasického modelu často splněny, nejsme-li si však jejich
platností jisti, můžeme provést testy hypotéz jak o normalitě rozdělení náhodné složky
(např. test dobré shody, viz např. Ramík (2003)), tak i testy o nekorelovanosti náhodných
složek (např. Mest). Další testy uvedeme později v souvislosti s časovými řadami. Na Obr. 3.1
je znázorněna situace, kdy podmínky klasického lineárního modelu jsou splněny, na Obr. 3.2
je zachycena situace, kdy není splněna ani podmínka normality náhodných složek (na obrázku
jsou všechny £, prakticky stejn é), an i podmín ka n ekorelovan osti (hodn oty y,- se n acházejí
vedle sebe po jedné stran ě grafu regresn í fun kce).
Data a regresní křivka
15 j
10 1 — — I — — I — — I — — h -
0 5 10 15 20
ř
Obr. 3.1. Podmínky klasického modelu jsou splněny
-39-
Regresní analýza - jednorozměrná lineární regrese
Data a regresní křivka
25 j
•
•
•
20 --
•
5 --
0 \ 1 \—
0 5 10 15 20
ř
Obr. 3.2 Podmínky klasického modelu nejsou splněny
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 3.1
Společnost na výrobu bytového textilu zkoumala, jak souvisí zisk z prodeje s výdaji na
reklamu. Tab. 3.1 uvádí údaje obdržené v deseti náhodně vybraných firmách.
a. Načrtněte bodový graf a určete typ regresní funkce popisující danou závislost.
b. Stanovte koeficienty regresní funkce z a.
c. Vypočítejte koeficient determinace a zhodnoťte těsnost závislosti vyjádřenou regresním
modelem z bodu b.
Pozorování Výdaje na reklamu (tis. Kč) Zisk z prodeje (10 tis. Kč)
1 6 5
2 8 8
3 9 9
4 9 12
5 12 21
6 15 25
7 16 32
8 20 36
9 22 51
10 23 59
Tab. 3.1. Výdaje na reklamu
Řešení („ruční" výpočet):
a. Zkoumá se závislost zisku z prodeje na výdajích na reklamu, proto sestrojíte bodový
graf tak, že na osu x nanesete výdaje, na osu y zisk.
Z grafu vidíte, že jde o přímou závislost, kterou je možné popsat regresní přímkou
-40-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
b. Máte za úkol stanovit hodnoty koeficientů bo, bu neboli na základě dat z tabulky
odhadnout hodnoty parametrů J3\, fii. Využijeme výsledků metody nejmenších čtverců,
nebudete však dosazovat přímo do soustavy rovnic (3.12), ale použijete vztahy pro bo, b\,
tj. (3.13), které je možné zdané soustavy vyjádřit, a to v numericky výhodném a snadno
zapamatovatelném tvaru:
b = xj_-x-y = 462,1-14-25,8 = 100,9= 2 ^
1
x
2
-x2
230-142
34
b0 = y - hš = 25,8 - 2,97 • 14 = -15,75.
Výpočty potřebných hodnot pomocí kalkulačky jsou uvedeny v následující tabulce.
i Xi yi Yt (Yi - ý)2
(Ji-y)2
1 6 5 36 0 2,04 565,21 432,64
2 8 8 64 64 7,98 318,22 316,84
3 9 9 81 81 10,95 221,15 282,24
4 9 12 81 108 10,95 221,15 190,44
5 12 21 144 252 19,86 35,62 23,04
6 15 25 225 375 28,77 8,61 0,64
7 16 32 256 512 31,74 34,84 38,44
8 20 36 400 720 43,62 315,88 104,04
9 22 51 484 1122 49,56 562,08 635,04
10 23 59 529 1357 52,53 711,60 1102,24
Součet 140 258 2300 4621 258 2994,3 3125,6
Průměr 14 25,8 230 462,1
Lineární regrese
y = 2,9676x - 15,747
Obr. 3.3. Graf regresní přímky
Hledaná regresní přímka má tvar:
F = -15,75 + 2,97*.
c. K tomu, abychom vypočítali determinační koeficient, musíme znát hodnotu součtu ST
a součtu SY. Tyto součty vypočítáme podle vztahů (3.14), (3.15). Pro výpočet teoretického
součtu musíme pro každé x,-, i = !,...,!0, znát teoretickou hodnotu 7„ i = 0
-41 -
Regresní analýza - jednorozměrná lineární regrese
Yi = -15,75 + 2,97 • x, = -15,78 + 2,97 • 6 = 2,04.
Tato hodnota udává, jaký by měl být zisk při výdajích x = 6. Protože však jde o stochastickou
závislost mezi společenskými veličinami, může se tato hodnota lišit od skutečně zjištěné
hodnoty y = 5. Všechny teoretické hodnoty Yi i hodnoty součtů Sy a ST jsou uvedeny v tabulce.
Koeficient determinace vypočítáme dosazením součtů Sy, ST do vztahu (3.18).
R 2 = S^= 29943 =
SY 3125,6
Tato hodnota znamená, že pomocí regresní přímky Y =-15,78+ 2,97x je vysvětleno 95,8%
chování proměnné Y.
Nakonec ještě ukážeme řešení pomocí Excelu. Využijeme přitom graf funkce s funkcí
Přidat spojnici trendu. V dalším řešeném přikladu si pak ukážeme ještě další možnost řešení
úlohy jednoduché (i vícenásobné) regrese s využitím menu:
Data -» Analýza dat... -» Regrese.
Data jsou uspořádána ve worksheetu ve 2 sloupcích:
A B
Výdaje na Zisk
reklamu (tis. z prodeje
Kč) (10 tis. Kč)
1
2 6 5
3 8 8
4 9 9
5 9 12
6 12 21
7 15 25
8 16 32
9 20 36
10 22 51
11 23 59
12
Po volbě položky Vložit graf —> XY bodový..., se otevře zadávací okno, kde zadáte:
Oblast dat: $A$1:$B$11
Sloupce: V (zakřiknout)
Potvrdíte OK
Obdržíte bodový graf, viz Obr. 3.3. (ještě bez regresní přímky). Poklepem pravým tlačítkem
myši na některý z bodů grafu obdržíte nabídku menu, kde zvolíte: Přidat spojnici trendu
Typ trendu regrese: zvolíte Lineární
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakliknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace i?2
).
Potvrdíte OK.
Obdržíte výsledek téměř takový, jaký je na Obr. 3.3. K původním bodům se zobrazí regresní
přímka, dále rovnice regresní přímky a hodnotu koeficientu determinace R .
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 3.2
Společnost Air - Ostrava, zajišťující lety na trase Ostrava - Praha, sleduje při plánování
letů také na hmotnost užitečného zatížení letadla, jehož významnou část tvoří pasažéři a jejich
-42-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
zavazadla. Zjistilo se, že hmotnost zavazadel cestujících souvisí s dobou, na kterou
odcestovali.
a. Najděte rovnici regresní přímky popisující danou závislost.
b. S jakou hmotností zavazadel lze počítat, bude-li na palubě 15 cestujících vracejících se za
2 dny, 7 cestujících vracejících se za 5 dnů, 5 cestujících vracejících se za 6 dnů
a 1 cestující vracející se za 14 dní.
Výsledky průzkumu jsou zaznamenány v tabulce.
Pozorování Dny Hmotnost
1 13 46
2 12 43
3 9 29
4 16 52
5 10 31
6 5 18
7 2 11
8 3 12
9 8 25
10 2 10
11 14 48
12 19 60
13 3 15
14 5 20
15 2 12
Řešení:
Prezentujeme zde pouze „ruční" výpočet řešení (s kalkulačkou), řešení pomocí Excelu s
využitím funkce Přidat spojnici trendu v bodovém grafu ponecháváme na čtenáři.
a. K výpočtu regresních koeficientů bo, b\ použijeme opět vztahů (3.13):
bx = ^2^1 = 324,4-8,2-28,8 = = _ = _ . =
^ _ - 2 96,73-8,22
Regresní přímka má tedy tvar
F = 4,27 + 2,99*.
i
1 13 46 598 169
2 12 43 516 144
3 9 29 261 81
4 16 52 832 256
5 10 31 310 100
6 5 18 90 25
7 2 11 22 4
-43-
Regresní analýza - jednorozměrná lineární regrese
8 3 12 36 9
9 8 25 200 64
10 2 10 20 4
11 14 48 672 196
12 19
60
1140 361
13 3 15 45 9
14 5 20 100 25
15 2 12 24 4
Součet 123
432
4866 1451
Průměr 8,2 28,8 324,4 96,73
b. Vypočítáme hodnotu 7 pro x = 2: 7(2) = 4,27 + 2,99 • 2 = 10,25,
x = 5: 7(5) = 4,27 + 2,99-5 = 19,22,
JC = 6: 7(6) = 4,27 + 2,99 • 6 = 22,21,
x=14: 7(14) = 4,27+ 2,99-14 = 46,13.
Potom hmotnost zavazadel m, se kterou lze počítat, snadno zjistíte, uvážíte-li počty
příslušných cestujících:
m = 15 • 7(2) + 7 • 7(5) + 5 • Y(6) +1 • Y(14) = 153,75 +134,54 +111,05 + 46,13 = 445,47.
3.6 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
3.1 Personální ředitel firmy shromáždil údaje o věku (X) a době pracovní neschopnosti
(7) dvaceti náhodně vybraných stálých zaměstnanců. Zjištěné údaje jsou zaznamenány
v tabulce.
X 7 X 7
20 4 58 20
35 14 46 13
35 15 43 16
34 10 33 10
32 10 29 10
28 9 36 11
25 12 48 14
46 15 55 15
38 15 36 14
50 16 19 6
Načrtněte bodový graf a najděte rovnici regresní funkce vyjadřující danou závislost.
Zhodnoťte výstižnost (přiléhavost) regresní funkce vzhledem k datům.
-44-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
3.2 Bylo sledováno, jak souvisí množství vadných výrobků (v % z vyrobených
výrobků) s výkonem soustružníka (v % z předepsané normy). Bylo vybráno deset pracovníků,
naměřené údaje jsou uvedeny v tabulce.
Výkon
56
68 72 85 92 102 107 111 123 142
Vadné výrobky 5,2 3,9 3,5 2,4 2,04 2 2,2 2,24 2,4 2,51
Stanovte regresní model a určete přiléhavost regresní přímky k datům.
3.3 Tabulka zachycuje stáří (v letech) osmi vybraných strojů v potravinářském závodě
a týdenní náklady (v Kč) na provoz těchto strojů.
Stáří stroje 1 2 3 4 5 6 7 8
Náklady 44 52 61 80 94 108 111 116
a. Odhadněte parametry lineární regresní funkce, která by měla vystihovat průběh závislosti
nákladů na stáří.
b. Určete koeficient determinace R2
a interpretujte jej.
c. Jaké týdenní náklady můžeme očekávat u stroje starého 4 roky?
3.7 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
3.2 F = -0,0285x + 5,56; R2
=0,53.
3.3 a) y = 3244+11,36*
b) R2
=0,97 tzn. modelem je vysvětleno 97% celkové variability.
c) y(4) = 3244+11,364 = 77,58 Kč.
-45-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
4 REGRESNÍ ANALÝZA - JEDNOROZMERNÁ:
INTERVALY SPOLEHLIVOSTI, TESTY HYPOTÉZ,
NELINEÁRNÍ REGRESE
RYCHLÝ NAHLED KAPITOLY
Tato kapitola vám rozšíří znalosti v jednorozměrné regresní analýze. Za předpokladů
jednorozměrného klasického regresního modelu se budete zabývat stanovením intervalů
spolehlivosti a dále testy hypotéz regresních koeficientů a testem nulovosti koeficientu
determinace. Další odstavce se zabývají jednorozměrnou nelineární regresí. Nejprve budou
vyšetřovány regresní funkce, které lze s pomocí vhodné transformace převést na funkce
lineární dále parabolická regresní funkce a nakonec nelineární regresní funkce tzv.
Tornquiustova typu. Pro výpočet parametrů těchto funkcí se používá metoda vybraných bodů
s pomocí Excelu. V této kapitole si rozšíříte znalosti v jednorozměrné regresní analýze.
V návaznosti na jednorozměrný klasický regresní model se budete zabývat intervaly
spolehlivosti a testy hypotéz regresních koeficientů a také testem koeficientu determinace.
Poté se začnete zabývat jednorozměrnou nelineární regresí. Nejprve budou vyšetřovány ty
regresní funkce, které lze s pomocí vhodné transformace převést na funkce lineární. Následuje
parabolická regresní funkce a nakonec nelineární funkce tzv. Tornquiustova typu. Pro výpočet
parametrů těchto funkcí, jež mají uplatnění především v marketingu, poznáte novu metodu
tzv. metodu vybraných bodů, která zde nahradí známou metodu nejmenších čtverců
s využitím Excelu.
4.1 INTERVALY SPOLEHLIVOSTI
Jsou-li splněny předpoklady klasického lineárního modelu (3.9), tj. modelu
yi = fio+frx; + £i, i = l,2,...,n,
potom pro rozdělení odhadů regresních koeficientů b0,bx jakožto náhodných veličin platí toto:
Regresní koeficient bj má normální rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou /3j
a rozptylem o 2
hj, kde 7 = 0 nebo 1, čísla fy jsou definována následujícími vztahy:
K= v r f v r ( 4
- 1 }
K = r^T—v • ( 4
- 2 )
V klasickém lineárním modelu předpokládáme, že náhodné složky mají konstantní
rozptyl o2
, jeho hodnotu však neznáme. Neznámý rozptyl o 2
můžeme nahradit jeho bodovým
odhadem
4 = ^ 7 , (4-3)
n — 2
-46-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
který nazýváme reziduálni rozptyl. Jak je vidět, v reziduálním rozptylu vystupuje v čitateli
reziduálni součet čtverců (3.16) dělený číslem n - 2, což je počet stupňů volnosti, tj. rozsah
dat n mínus počet regresních parametrů v modelu: 2. Odmocninu reziduálního rozptylu SR
nazýváme směrodatná chyba.
Oboustranný interval spolehlivosti pro regresní koeficient bj, při zadaném koeficientu
spolehlivosti (1 - a), je následující interval:
[bj-h-an(n-2) sRy[h~ ,bj + h^n-T) sRJh~~\,j = 0 nebo 1. (4.4)
Připomínáme, že zde t\.an.(n - 2) je příslušný kvantil Studentova ř-rozdělení,
podrobnosti, viz Ramík (2003), fy jsou dány vztahy (4.1), (4.2).
Bodový odhad regresních koeficientů bj neříká nic o eventuální variabilitě tohoto
koeficientu. Tuto informaci doplňuje směrodatná chyba (4.3) a zejména interval spolehlivosti
(4.4), který informuje, v jakém rozmezí se regresní koeficient může pohybovat v rámci
zadané spolehlivosti.
Odhadnutý lineární regresní model (3.1), který má tvar
y = bo + b\x + e , (4.5)
resp. regresní funkce
Y= bo + bix, (4.6)
má praktický význam zejména při odhadu chování modelu v případě, že nezávisle proměnná
nabývá nějakou v datech se nevyskytující hodnotu, označme ji např. XQ. Model (4.5), resp.
regresní funkce (4.6), pak slouží k předpovědi (predikci, prognóze, extrapolaci) hodnoty
závisle proměnné. Bodový odhad předpovědi získáme dosazením XQ do (4.5), resp. (4.6),
neboť predikovaná hodnota chyby (rezidua) e je 0, tedy
Y0 = b0 + bix0 . (4.7)
Informaci o tom, v jakém rozmezí se predikovaná hodnota závisle proměnné y může
pohybovat, poskytne oboustranný interval spolehlivosti:
[YQ-h.adn-T) sR4Ř, Y0 + h.^n-2) sR4Ti ], (4.8)
kde H =1 + 1 +
(nx0 -^x,.)2
Ostatní symboly v (4.8) mají stejný význam, jako
v intervalu (4.4).
4.2 TESTY HYPOTÉZ
Metodou nejmenších čtverců lze zjistit, zda regresní koeficienty bj jsou nenulová čísla,
musíme mít však stále na paměti, že se jedná o realizace náhodných veličin, a tudíž má smysl
testovat, zda naše původní parametry J3j jsou přesto nulové. Za předpokladů klasického
lineárního modeluje možno testovat nulovou hypotézu:
H0 : J3j=0, j' = 0nebo 1 (4.9)
proti oboustranné alternativní hypotéze
Hi: 0j*O, j' = 0nebo 1. (4.10)
Při tomto testu použijeme testové kritérium
-47-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
b
T= . 1
, (4.11)
Ín-2 1
které má při platnosti H 0 ř-rozdělení s n - 2 stupni volnosti, SR je reziduálni součet čtverců, hj
je dáno vztahy (4.1), (4.2), přičemž j = 0 nebo 1.
Na hladině významnosti a (viz Ramík (2003)) je kritický obor vymezen nerovností
\T
\> h-an(n-2),
kde tl_a/2(n-2) je příslušný kvantil Studentova ř-rozdělení, který lze nalézt v tabulkách,
nebo v Excelu pomocí funkce TINV.
Přijmete-li např. na dané hladině významnosti a nulovou hypotézu Ho: /?, = 0, pak to
znamená, že y nezávisí na x, jinak řečeno, pro libovolnou hodnotu nezávisle proměnné
x nabývá závisle proměnná y neustále stejné hodnoty /30.
Vypočítaná hodnota koeficientu determinace je prakticky vždy kladná. Musíme však
mít stále na paměti, že u hodnot vstupujících do výpočtu koeficientu determinace se jedná
o realizace náhodných veličin, a tudíž má smysl testovat, zda teoretický koeficient
determinace R2
není přesto nulový. Za předpokladů klasického lineárního modelu je možno
testovat nulovou hypotézu:
H0 :R2
= 0,
proti oboustranné alternativní hypotéze
Hi:R2
* 0.
Při tomto testu použijeme testové kritérium
které má při platnosti Ho ř-rozdělení s n - 2 stupni volnosti, Ŕ1
je vypočítaný koeficient
determinace.
Na hladině významnosti a (viz Ramík (2003)) je kritický obor vymezen nerovností
T>t1_a(n-2),
kde tl_a(n - 2) je příslušný kvantil Studentova ř-rozdělení, který lze nalézt v tabulkách, nebo
v Excelu pomocí funkce TINV.
4.3 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ ANALÝZA
V tomto odstavci si povšimneme jednoduchého regresního modelu s nelineární regresní
funkcí, který se však dá pouhou substitucí na lineární model převést. Konkrétně se jedná
o dvě regresní funkce zmíněné již v kapitole 3:
regresní mocninná funkce: f(x) = / i 0 x A
, (4.12)
regresní exponenciální funkce: f(x) = f5[)f5l
x
. (4.13)
-48-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACO VÁNÍ DAT
Regresní model s regresní funkcí (4.12) má tvar:
y = /30x&+£, (4.14)
avšak namísto něj uvažujeme model, jež vznikne logaritmováním (4.12), kde položíme
y = f (x), tj. In y = ln/?0 +fillnx + e', přitom In označuje přirozený logaritmus
o základu e = 2,718... Jestliže nyní položíte substituce
y' = l n y , x' = lnx, (4.15)
Ä = l n A . Ä = Ä . (4-16)
pro transformaci (4.15) původních dat y „ xiy obdržíte „čárkovaný" jednoduchý lineární
regresní model
y' = /r0+fix'+£', (4.17)
jehož parametry P'0,P[(regresní koeficienty) lze odhadnout metodou nejmenších čtverců
aplikovanou na lineární model (4.17), a obdržíte tak jejich odhady b'0,b[. S použitím vztahů
(4.15) a (4.16) dostanete nazpět odhady b0,bx původního nelineárního regresního modelu
(4.12):
b0=eb
°,b1 =b[.
Analogickým postupem lze linearizovat jednoduchý nelineární regresní model
s exponenciální regresní funkcí (4.13), která je v ekonomii známa jako Cobb-Douglasova
jednofaktorová produkční funkce:
y = Mx
+£, (4.18)
který substitucemi
y = ln y , x' = x, (4.19)
j3'0=m/30, A' = h i A , (4.20)
lze rovněž transformovat na „čárkovaný" lineární model (4.17), jehož parametry P'0,P[
odhadneme metodou nejmenších čtverců, a obdržíme tak jejich odhady b'Q,b[. S použitím
vztahů (4.20) vypočteme nazpět odhady W původního nelineárního regresního modelu
(4.18):
bQ=eh
'° ,bl=eh;
. (4.21)
Je však třeba upozornit, že na intervalové odhady, resp. testy hypotéz, regresních koeficientů
b'0,b[ lze použít postup zpočátku této kapitoly pouze tehdy, když transformovaná,
tj. „čárkovaná" data y-,JC(', splňují podmínky klasického regresního modelu z kapitoly 3.
Meze intervalových odhadů, tedy krajní body intervalů spolehlivosti pak vypočítáme
s použitím zpětných transformací (4.21).
Dalšími užitečnými nelineárními regresními funkcemi s uplatněním především
v marketingu a výzkumu trhu (logistické funkce, Gompertzovy funkce, aj.) se budete zabývat
v kapitole věnované analýze časových řad. Tam se budete zabývat i problémem výběru
vhodného typu regresní funkce. V následujících odstavcích se ještě věnujeme známé
parabolické regresní funkci a dále Tôrnquistovým funkcím, které nelze převést jednoduše na
lineární tvar, jak tomu bylo v tomto odstavci.
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
4.4 PARABOLICKÁ REGRESE
V kapitole 3.1. jsme označili parabolickou regresní funkci (3.4) za regresní funkci,
kterou lze substitucí x = x2
převést na lineární tvar. V tomto případě se však jednalo pouze
o speciální tvar paraboly (s vrcholem na ose y) se dvěma parametry. Obecný tvar paraboly
však má parametry tři a vypadá takto:
f(x) = /3Q + fix + /32x2
. (4.22)
Jednoduchý regresní model s parabolickou regresní funkcí pak má tvar
y = jBQ+jB1x + j82x2
+ £. (4.23)
Máme-li tedy k dispozici data, tj, dvojice hodnot (yi, xi), (y2, xi), (V3, X3),..., (yn, xn), pak lze
odhady b0,bvb2 regresních parametrů P0,/3u/32 získat metodou nejmenších čtverců, přičemž je
zapotřebí řešit soustavu 3 normálních rovnic o 3 neznámých:
^y^nb.+b^+b^x2
, (4.24)
YJ =b
ňYj x
í + b
i H x
i 2 + b
2 Xx
í '
X y i x
i 2
= b
o Y ; x
i 2 + b
i Y j x
i +^ X x
í •
Uvědomte si, že neznámejšou v této soustavě rovnic b0,bvb2, zatímco y„ x, jsou známé
hodnoty, které se dosadí do sum E v soustavě (4.24). Tuto soustavu 3 lineárních rovnic
o 3 neznámých je snadné vyřešit např. známou Gaussovou eliminační metodou. Číselný
příklad uvedeme v následující části věnované řešeným příkladům.
4.5 TÔRNQUISTOVY FUNKCE
Zejména v marketingu se využívají Tornquistovy regresní funkce (též Tornquistovy
křivky), což jsou regresní funkce s více parametry, které podle použití rozdělujeme na tři
typy:
Tornquistovy křivky I. typu vyjadřují závislosti poptávky po spotřebním zboží f(x)na
výši příjmů x ekonomických subjektů (např. rodin). Tyto křivky mají tvar:
f(x)=-fe-. (4.25)
x + A
Křivky tohoto typu se používají například při plánování a prognózovaní ve spotřebním
průmyslu. Regresní funkce (4.25) slouží k modelování poptávky po zboží nezbytného
charakteru (mléko, pečivo, obuv, apod.).
Při modelování poptávky po zboží relativně nezbytného charakteru (elektrospotřebiče,
maso a uzeniny, apod.) se používají Tornquistovy křivky II. typu, které mají tvar:
/ ( x ) = £ ) ( * - # ) ( 4 2 6 )
x + j32
Tornquistovy křivky III. typu se používají při modelování poptávky po zboží zbytného
charakteru (auta, šperky, umělecká díla, apod.). Tyto regresní funkce se třemi parametry mají
tvar:
/ ( X ) = M * - A ) ( 4 2 7 )
x + p2
-50-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Odhady regresních parametrů funkcí (4.25) - (4.27) lze získat opět metodou nejmenších
čtverců, avšak s použitím PC a Excelu, neboť soustava 3 normálních rovnic o 3 neznámých je
nelineární, a proto se k řešení používají iterační numerické metody. Pro ruční výpočet
můžeme alternativně využít i metodu vybraných bodů.
Tornquistova křivka I. typu
1 j
0,9 -
0,8 -
0,7 --
0,6 Sř
0,5 ^
0,4 -
0,3 -
0,2 --,
0,1 /
0 -
0
x
Obr. 4.1. Tornquistova křivka I. typu, J30 = {3l = j32 =1
Tornquistova křivka II. typu
1 j
0,8 -
0,6 ^
0,4 -
0,2 -
0 --
0 2 4 6 8 10 12
x
Obr. 4.2. Tornquistova křivka II. typu, {3Q = j3l = /32 = 1
Tornquistova křivka III. typu
1
0,8
0,6
5^0,4
0,2
0
x
Obr. 4.3. Tornquistova křivka III. typu, = j5x = l,/32 = 80
10 12
0 2 4 6 8 10 12
-57 -
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
4.6 METODA VYBRANÝCH BODŮ
Ukážeme si zde jinou metodu výpočtu neznámých parametrů, která sice nevede
z teoretického pohledu k nejlepším odhadům, avšak její výhoda spočívá ve výpočetní
nenáročnosti umožňující „ruční" výpočet. Tato metoda se nazývá metoda vybraných bodů
a spočívá v tom, že z daných údajů (ľ,, x,) vybereme 3 charakteristické hodnoty - body,
kterými necháme Tôrnquistovu křivku procházet, jinými slovy, položíme empirické hodnoty
rovny hodnotám teoretickým. Jestliže charakteristické hodnoty poptávky YVY2,Y3 odpovídají
hodnotám výše příjmů xl,x2,x3, pak ze vztahu (4.26) obdržíte soustavu 3 rovnic
o 3 neznámých b0,bvb2:
Y =bQ(xl-b1)
x1+b2
Y = b0(x2-bl)
x2+b2
Y =
b
o(x
3-b
i)
x3+b2
(4.28)
jejichž řešením např. postupným dosazováním získáme odhady neznámých parametrů b0,bl,b2.
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 4.1
Data v tabulce představují ceny brožovaných knih a k nim příslušné počty jejich stran.
a. Určete lineární regresní model popisující závislost ceny knih na počtu stran.
b. Určete interval, ve kterém bude s pravděpodobností 95% ležet regresní koeficient b\.
c. Na hladině významnosti 5% testujte, zdaje regresní koeficient b\ statisticky významný.
d. Vypočtěte koeficient determinace a na hladině významnosti 5% testujte, zdaje statisticky
významný.
e. V jakém rozmezí se bude pohybovat cena knihy s 250 stranami? Uvažujte hladinu
významnosti 0,01.
Měření č.
1
2 3 4 5 6 7
Počet stran 20 35 48 50 130 200 86
Cena knihy 40 50 70 106 118 179 100
Řešení:
a. Koeficienty regresní přímky Y = bo + bix určíte pomocí vztahů (3.13):
10135,71-81,29-94,71 2436,73x-y-x-y
2 —2
X -x
10103,57 -8L292
3495,51
= 0,70
b0 = ý - b, -x = 94,71-0,7-81,29 = 37,81.
Hledaná regresní přímka má tvar y = 37,81 + 0,1 x.
b. Úkolem je najít 95% oboustranný interval spolehlivosti pro koeficient b\. Obecný
tvar tohoto intervalu je následující (viz (4.4)):
\b\-t\.adn-T)sR^hi ,b\ + h-adn-2) sR^],
kde sR je odmocnina z reziduálního rozptylu Sg = ——, h\ je definováno vztahem (4.2).
n-2
-52-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasová; STATISTICKÉ ZPRACOVANÍ DAT
i Xi yi Yi (yi-Yt)2
(yi-y)2
1 20 40 400 800 51,81 139,48 2993,18
2 35 50 1225 1750 62,31 151,54 1998,98
3 48 70 2304 3360 71,41 1,99 610,58
4 50 106 2500 5300 72,81 1101,58 127,46
5 130 118 16900 15340 128,81 116,86 542,42
6 200 179 40000 35800 177,81 1,42 7104,80
7 86 100 7396 8600 98,01 3,96 27,98
Součet
569
663 70725 70950 1516,83 13405,43
Průměr 81,29 94,71 10103,57 10135,7
Nejprve se vypočítá reziduálni součet čtverců SR (v tabulce výpočtů je to hodnota
v předposledním sloupci dole):
S*=ŽU-^)2
=1516,83.
Teoretické hodnoty i 7
, obdržíme postupným dosazováním hodnot JC, do rovnice regresní
přímky. Hodnoty Yt, jednotliví sčítanci i součet SR jsou uvedeni v tabulce. Nyní můžeme
vypočítat hodnotu reziduálního rozptylu s2
R .
2 1516,83
s„ = = 303,37.
7 - 2
Potom
SR = V * í = V303,37 =17,42.
Dále stanovíme hodnotu h\.
n 7 7
= 0,00004.
' " Z > / 2
- ( l > / ľ V-70725-5692
171314
V tabulkách Studentova rozdělení nalezneme (1 - 0d2) = 97,5% kvantil ř-rozdělení o n - 2 =
7 - 2 = 5 stupních volnosti, tj. tQ975(5) = 2,57.
Dosazením výše vypočítaných hodnot do vztahu pro interval spolehlivosti určíme jeho pravou
a levou stranu:
L = 0,1- 2,57 • 17,42 • ^0,00004 = 0,42.
P = 0,7 + 2,57 • 17,42 • ^0,00004 = 0,98.
Regresní koeficient b\ bude s 95%-ní pravděpodobností ležet v intervalu [0,42; 0,98].
c. Ačkoliv je hodnota koeficientu b\= 0,7, nesmíte zapomínat na to, že pracujete
s náhodným výběrem a že teoretická hodnota parametru fi\ přesto může být nulová. Bude se
proto testovat nulová hypotéza
H0 :Ai = 0
proti oboustranné alternativní hypotéze
H i : # * 0 .
K ověření nulové hypotézy vypočítáme hodnotu testového kritéria (4.11)
b ' ' 0,7 0,7
T =
n-2
1 ^ . 0 , 0 0 0 0 4 W 1
7 - 2
6,35.
-53-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
V tabulkách ř-rozdělení nalezneme ro,97s(5) = 2,57. Protože 6,35 > 2,57, zamítáme nulovou
hypotézu ve prospěch hypotézy alternativní, což znamená, že na zvolené hladině významnosti
je parametrfi\nenulový a tedy statisticky významný.
d. Koeficient determinace R2
vypočítáme podle vztahu
R2
=1 ^ = 1-
1516,83
13405,43
= 0,89.
Testové kritérium stanovíte podle vztahu (4.11*)
T
\R2
{n-2) 0,89.5
\-RÁ
6,35.
V 1-0,89
Protože 6,35 > 2,57, zamítá se nulová hypotéza ve prospěch hypotézy alternativní, což
znamená, že na zvolené hladině významnosti je koeficient determinace R nenulový a tedy
statisticky významný.
e. Máte stanovit 99% interval spolehlivosti pro predikovanou hodnotu Y, je-li XQ = 250.
Podle (4.8) je tvar tohoto intervalu
[Y0 - h.adn-2) Sr4H , Y0 + h-ďi(n-2) sffVŽŽ ],
kde
Y0 = b0 + bix = 37,81 +0,7 -250 = 212,81,
h.odn -2) = 4,032,
SR = 17,42 ,
H = l + 1 + (nx0
~Y,x
if
Z X - (Z*,)2
= 1 + 1 +
(7-250-569)2
7-70725-5692
= 1 +
f 139476ŕ
J
1 +
V 171314
= 1 + --9,14 = 2,31.
7
Meze hledaného intervalu jsou:
L = 212,81 - 4,032 • 17,42 • ^231 = 106,06.
P = 212,81 + 4,032 • 17,42 • ^231 = 319,56.
Cena knihy se bude s 99%-ní pravděpodobností pohybovat v intervalu [106,06;319,56].
Nakonec si ukážeme řešení pomocí Excelu. Na tomto místě to bude další možnost
řešení úlohy jednoduché (i vícenásobné) regrese s využitím menu:
Data Analýza dat... Regrese.
Data jsou uspořádána ve worksheetu ve 2 sloupcích:
A B C
1 Počet stran Cena knihy
2 20 40
3 35 50
4 48 70
5 50 106
6 130 118
7 200 179
8 86 100
9
Otevře se okno regrese, které vyplníte takto:
-54-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Regrese | ? ||X
-Vstup—
Vstupní oblast V:
Vstupní oblast X:
| $ B $ 1 : $ B $ 8 3
[ÍÄÍliíÄíi 53
Popisky IKonstanta
je nula
R Hladina spolehlivosti [99 %
|íAÍ20
-Možnosti výstupu —
í* Výstupní oblast:
C~ Nový [ist: |
P Nový sešit
Rezidua
IRezidua
IGraf
s rezidui
IStandardní
rezidua |~~ Graf regresní přímky
~a
Nilormální pravděpodobnostjGraF
pravděpodobnosti I
Storno
Nápověda
Po potvrzení OK obdržíte:
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,942
Hodnota spolehlivosti R 0,887
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,864
Chyba stř. hodnoty 17,416
Pozorování 7
ANOVA
Rozdíl SS MS F yznamnost F
Regrese 1 11888,84 11888,84 39,19608 0,001525
Rezidua 5 1516,586 303,3172
Celkem 6 13405,43
Koeficientyba stř. hodí tstat Hodnota P Dolní 95% Horní 95% Dolní 99,0% Horní 99,0%
Hranice 38,059 11,19022 3,401 0,019 9,294 66,825 -7,061 83,180
Počet stran 0,697 0,111327 6,261 0,002 0,411 0,983 0,248 1,146
V první části výstupu jsou popisky s nepřesnými překlady do češtiny, uvádíme proto jejich
správné významy:
Násobné R = R - koeficient korelace
Hodnota spolehlivosti R = R2
- koeficient determinace
Nastavená hodnota spolehlivosti R = R 2
a d j - upravený koeficient determinace
Chyba stř. hodnoty = s 2
- směrodatná chyba (odhad směrodatné odchylky náhod, složky)
V této části výstupu je důležitá druhá hodnota - koeficient determinace R2
= 0,887, který
odpovídá ručně získanému výsledku z části d.
Druhá tabulka ve výstupu - ANOVA není v pravém slova smyslu metoda ANOVA, jak jsme
sejí zabývali v kapitolách 1 a 2, jde tu o analogii využívající podobnosti vztahů (1.5) a (3.17).
Analogicky jako v metodě ANOVA je zde výsledek F-testu statistické významnosti celého
regresního modelu: Významnost F = 0,001525. Tato hodnota je menší než 0,05 a proto je
celý regresní model statisticky významný.
Ve třetí - poslední tabulce jsou uvedeny relevantní informace k vypočítanému regresnímu
modelu. Nejprve jsou uvedeny odhady regresních koeficientů:
Hranice = úrovňová konstanta = bo
Počet Stran = sklon regresní přímky = koeficient u nezávisle proměnné „počet stran" = b\
Ve sloupci Hodnota P jsou uvedeny p-hodnoty (signifikance) testů nulovosti příslušných
regresních koeficientů:
Pro regresní koeficient bo je tato hodnota 0,019 < 0,05 - bo je statisticky významný tj. fio* 0.
-55-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
Pro regresní koeficient b\]& tato hodnota 0,002 < 0,05 - b\ je statisticky významný tj. f3\ ž 0.
Intervaly spolehlivosti regresních koeficientů jsou uvedeny ve sloupcích:
Dolní95%, Horní95%, resp. Dolní99,0%, Horní99,0%.
Konkrétně, 95%-ní interval spolehlivosti koeficientu j3\ je [0,411 ; 0,983], což je stejný
výsledek, jaký jsme obdrželi předtím ručním výpočtem.
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 4.2
Při sledování závislosti vlastních nákladů na skladování zahrnující i ztráty způsobené
zastavením výroby z nedostatku součástek (F) na velikosti dodávek (X) v 18 obuvnických
závodech jsme obdrželi následující údaje - viz. tabulka.
a. Nalezněte regresní funkci popisující závislost Y na X a určete její rovnici.
b. Stanovte optimální velikost dodávky.
Podnik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Dodávka
Náklady
28 32 35
62 59 58
40 42 45 49 51
53 50 46 44 42
53 56 57 60 61 64 69
40 41 38 35 36 36 38
72 75 77
40 42 46
Řešení:
Jak z průběhu bodového diagramu, tak i rozboru empirických údajů plyne, že závislost
mezi velikostí dodávek a náklady na skladování dobře vystihuje parabolická regresní funkce
f(x) = /3o+/3lx+/J2x2
.
Náklady na skladování mají zpočátku klesající tendenci- malá dodávka způsobuje vysoké
náklady na převzetí připadající na jednu součástku a způsobuje výpadky ve výrobě. Tuto
tendenci později vystřídá vzestup - příliš velká dodávka zvyšuje stav zásob, prodlužuje
skladovací dobu a vyvolává nutnost úvěrového krytí - viz Obr. 4.4.
Odhady hodnot parametrů parabolické regrese obdržíme řešením soustavy normálních
rovnic
E V; =nb0 +b{YJxi + b2TJ
X
?
i i i
E = ^ E x
i +
b
i E x
? + b
2 E x
i
i i i i
5><*ľ =KYUX
Í + b
^ x
i + ^ E x
!
4
•
í i i i
-56-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Regresní parabola
70
60
50
40
30
20
10
20 40 60
Obr. 4.4. Parabolická regrese
y = 0,0227x2
- 2,8479x + 127,71
R2
= 0,939
• Náklady
Polynomický (Náklady)
80 100
Dosazením hodnot ze součtového řádku tabulky do těchto rovnic dostaneme:
806 = 1860 +9666,+5553462
41618 = 966Z?0 + 555346, + 337208462
2330182 = 5553460 +33720846, + 21366485862.
Řešením této soustavy rovnic (např. Cramerovým pravidlem) získáme regresní koeficienty
b0 = 127,71; bx = - 2,8479; b2 = 0,0227.
Hledaná parabola má tvar
Y = 127,71 - 2,8479x+0,0227x2
.
b. Optimální velikost objednávky zjistíme jako minimum funkce
Y = 127,71 - 2,8479x+0,0227x2
tak, že položíme její první derivaci rovnu nule, tj.
Y'= - 2,8479 + 0,0454x = 0, tudíž x = 62,7.
Optimální velikost dodávky je 62 nebo 63 kusů.
Nakonec provedeme výpočet pomocí Excelu s využitím funkce Přidat spojnici trendu
v bodovém grafu.
Po zobrazení dat pomocí grafu XY bodový poklepete pravým tlačítkem myši,
zvolíte položku Typ trendu a rergrese: Polynomický (stupeň 2),
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakřiknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a současně zakliknete
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace i?2
).
Potvrdíte OK.
i Xi
x? x? x?
1 28 62 784 21952 614656 1736 48608
2 32 59 1024 32768 1048576 1888 60416
3 35 58 1225 42875 1500625 2030 71050
4 40 53 1600 64000 2560000 2120 84800
5 42 50 1764 74088 3111696 2100 88200
6 45 46 2025 91125 4100625 2070 93150
7 49 44 2401 117649 5764801 2156 105644
8 51 42 2601 132651 6765201 2142 109242
9 53 40 2809 148877 7890481 2120 112360
-57-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
10 56 41 3136 175616 9834496 2296 128576
11 57 38 3249 185193 10556001 2166 123462
12 60 35 3600 216000 12960000 2100 126000
13 61 36 3721 226981 13845841 2196 133956
14 64 36 4096 262144 16777216 2304 147456
15 69 38 4761 328509 22667121 2622 180918
16 72 40 5184 373248 26873856 2880 207360
17 75 42 5625 421875 31640625 3150 236250
18 77 46 5929 456533 35153041 3542 272734
Součet 966 806 55534 3372084 213664858 41618 2330182
Obdržíte výsledek téměř takový, jaký je na následujícím obrázku. K původním bodům
se zobrazí regresní parabola, dále rovnice regresní paraboly a hodnotu koeficientu
determinace R . Výsledek je stejný, jako při ručním výpočtu, viz výše.
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 4.3
V jisté firmě zkoumali, jak závisí vlastní náklady na jednotku produkce (F) na objemu
produkce (X). Následující tabulka uvádí zjištěné údaje v různých obdobích.
a. Najděte regresní hyperbolický model popisující danou závislost.
b. Pomocí koeficientu determinace zhodnoťte přiléhavost regresní funkce k datům.
Období 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Objem produkce
Náklady / jednotka
0,5 0,7
456 297
0,9
206
1,4
165
1,9 3,2 4,2
118 79 57
4,8
54
6,9
40
7,9
35
8,8
30
9,2
23
10,1
14
Řešení:
a. Dosadíte potřebné údaje do normálních rovnic, které získáte z hyperbolické regresní
funkce (3.5) tak, že k nalezení minima součtu čtverců odchylek:
f 1
F(*0 A) = S y , - ( * 0 + * í - )
v •*/ J
obdržíte následující normální rovnice:
2 > ; - =n
-K+b
iYj—
JC• JC• JC•
a obdržíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých
1574 = 13-b0 + br -7,13
1812,19 = b0 -1,13 + b, -8,33.
Řešením této soustavy získáte odhady regresních parametrů:
b0= 3,32; bx = 214,71.
214 71
Hledaná regresní hyperbola má tvar: Y = 3,32 + — .
se anulují parciální derivace, tj. = 0 a = 0. Tím
oba ob.
-58-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
b. Nejdříve vypočítáte teoretické hodnoty Yt postupným dosazením hodnot x, do rovnice
regresní hyperboly
Yx = 3,32 + ?±S1± = 332 + = 432,74.
Xj 0,5
Všechny hodnoty Y,jsou uvedeny v tabulce, viz níže.
Dále vypočítáte součty ST, Sy
13
ST = £ (Yt - y)2
= (432,74 -121,08)2
+ (310,05 -121,08)2
+... + (24,58 -121,08)2
=
; = i
= 203722,02.
13
Sy = ^(y,. - y)2
= (456 -121,08)2
+ (297 -121,08)2
+... + (14-121,08)2
= 2060,97 .
i Xi 1/Xi llx] yt/xi Yi (Yi-y)2
( y i - y ) 2
1 0,5 456 2,00 4,00 912,00 432,74 97131,96 112171,41
2 0,7 297 1,43 2,04 424,29 310,05 35709,66 30947,85
3 0,9 206 1,11 1,23 228,89 241,89 14595,06 7211,41
4 1,4 165 0,71 0,51 117,86 156,68 1267,36 1928,97
5 1,9 118 0,53 0,28 62,11 116,33 22,56 9,49
6 3,2 79 0,31 0,10 24,69 70,42 2566,44 1770,73
7 4,2 57 0,24 0,06 13,57 54,44 4440,89 4106,25
8 4,8 54 0,21 0,04 11,25 48,05 5333,38 4499,73
9 6,9 40 0,14 0,02 5,80 34,44 7506,49 6573,97
10 7,9 35 0,13 0,02 4,43 30,50 8204,74 7409,77
11 8,8 30 0,11 0,01 3,41 27,72 8716,09 8295,57
12 9,2 23 0,11 0,01 2,50 26,66 8915,14 9619,69
13 10,1 14 0,10 0,01 1,39 24,58 9312,25 11466,13
Součet 60,5 1574 7,13 8,33 1812,19 203722,02 206010,97
Průměr 4,65 121,08 0,55 0,64 139,40
Hodnoty jednotlivých sčítanců i součtů ST, Sy jsou uvedeny v tabulce.
Koeficient determinace R2
vypočítáte podle vztahu (3.18).
R 2 _ S T _ 203722,02 _ Q I ) I )
Sy 206011,97
Hodnota koeficientu determinace 0,99 je vysoká, což znamená, že daným regresním modelem
s vysvětlující proměnnou „objem produkce" je vysvětleno 99% variability znaku Y. Pouze 1%
chování proměnné Y je ovlivněno jinými faktory.
-59-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 4.4
Data v tabulce ukazují poptávku po určitém druhu zboží (v tis. ks) při různých cenách
(v Kč). Popište závislost poptávky na ceně mocninnou regresní funkcí.
Pozorování 1 2 3 4 5 6
Cena 8,5 40 92 180 200 250
Poptávka 200 140 80 45 42 18
Řešení:
Úkolem je nalézt odhady parametrů fi\, fio regresní funkce Y = j30x^ .
Použijete linearizující transformace, a to tak, že obě strany rovnice zlogaritmujete a použijete
vhodnou substituci (viz odstavec 4.3), čímž získáte rovnici
Y' = P'0+fiíx',
kde Y' = InF, x = \wc,f3'{) =m
A o ' A ' =
A > c
° ž J e
rovnice regresní přímky.
Regresní koeficienty b'0,b[ určíme pomocí známých vztahů takto:
,, J č y - 7 - 7 17,49-4,39-4,18 -0,86
e>, = — — — = = = -0,6
x ' 2
- x ' 2
20,7-4,39-4,39 1,43
bó=J'- b(x' = 4,18 - (-0,6 • 4,39) = 6,8.
i x y x' y' *y x'2
1 8,5 200 2,14 5,30 11,34 4,58
2 40 140 3,69 4,94 18,23 13,61
3 92 80 4,52 4,38 19,81 20,45
4 180 45 5,19 3,81 19,77 26,97
5 200 42 5,30 3,74 19,80 28,07
6 250 18 5,52 2,89 15,96 30,49
Průměr 4,39 4,18 17,49 20,70
Odhady bo, b\ původního modelu snadno vypočítáte zpětnou transformací
b[ = bl,b0 =eb
°.
Proto bude
bx = -0,6; b0 =897,85.
Hledaná mocninná regresní funkce má tvar
Y = 897,85 -x^6
.
Nakonec provedeme výpočet pomocí Excelu s využitím funkce Přidat spojnici trendu
v bodovém grafu.
Po zobrazení dat pomocí grafu XY bodový poklepete pravým tlačítkem myši, zvolíte položku
-60-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Typ trendu a rergrese: Mocninný,
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakřiknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a současně zakliknete
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace i?2
).
Potvrdíte OK.
Obdržíte výsledek, jaký je na následujícím obrázku. K původním bodům se zobrazí regresní
mocninná funkce, dále její rovnice a hodnotu koeficientu determinace R . Výsledek je
poněkud odlišný od výsledku, který jsme získali při ručním výpočtu, viz výše. Tato odlišnost
je způsobena tím, že Excel počítá koeficienty přímo metodou nejmenších čtverců bez použití
linearizace s logaritmickou transformací. Metoda použita Excelem je přesnější než metoda
linearizace a proto bychom ji dali při aplikaci přednost. Metoda linearizace je zase výpočetně
jednodušší, je ji možno provést ručně, v době počítačů však tato výhoda ztrácí na významu.
300 j
250
200 <
150
100
50
0 —
0
Obr. 4.5. Mocninná regrese
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 4.5
Tabulka uvádí stáří pletacích strojů (X) v letech a náklady na jejich údržbu (ľ) v tis. Kč.
Popište závislost Y na X exponenciální regresní funkcí.
Měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Stáří 14 0,8 3 7,5 8,4 14,8 4,5 15,6 17,3 11,5 13,2 1,5
Náklady 47,5 8 10 17 22 76,4 12,5 76 94,5 25 30,6 12
Řešení:
Úkolem je nalézt odhady regresních parametrů exponenciální regresní funkce
y = M •
Pomocí logaritmické transformace převedeme tuto funkci na funkci lineární:
lny = ln/?o + xlnfii.
Použitím substituce
y'= lnY,x' = x, fi'0 =ln/30, f}[ = ln / i .
Mocninná regrese y = ioo5,a<oeE3
Fř = 0,8347
• Poptávka
Mocninný (Poptávka)
100 200 300
-61 -
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
obdržíte regresní přímku y'= J3'0 +fi[x.
Odhady parametrů P'0,P[ této přímky určíme použitím známých vztahů
j č y - ? - / 34,8-9,34-3,25 4,45 . . .
o, = — = — = = 0,14
x'2
-/2
118,59-9,342
31,35
b'0=J'- b[x' = 3,25 - (0,14 • 9,34) = 1,94.
Regresní koeficienty původní funkce snadno vypočítáme zpětnou transformací:
b0 = e° =6,96;£»j =eh
' =1,15. Hledaná exponenciální regresní funkce má tvar:
y = 6,96 1,15" =6,96- e0Mx
.
i *i =x
'i yi y i Ay'i x'2
1 14 47,5 3,86 54,04 196,00
2 0,8 8 2,08 1,66 0,64
3 3 10 2,30 6,90 9,00
4 7,5 17 2,83 21,23 56,25
5 8,4 22 3,09 25,96 70,56
6 14,8 76,4 4,34 64,23 219,04
7 4,5 12,5 2,53 11,39 20,25
8 15,6 76 4,33 67,55 243,36
9 17,3 94,5 4,55 78,72 299,29
10 11,5 25 3,22 37,03 132,25
11 13,2 30,6 3,42 45,14 174,24
12 1,5 12 2,48 3,72 2,25
Průměr 9,34 3,25 34,80 118,59
-62-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Nakonec provedeme výpočet pomocí Excelu s využitím funkce Přidat spojnici trendu
v bodovém grafu. Po zobrazení dat pomocí grafu XY bodový poklepete pravým tlačítkem
myši, zvolíte položku
Typ trendu a rergrese: Exponenciální,
Dále otevřete záložku Možnosti, kde zakliknete:
Zobrazit rovnici regrese (rovnice regresní přímky) a současně zakliknete
Zobrazit hodnotu spolehlivosti R (hodnotu koeficientu determinace i?2
).
Potvrdíte OK.
Obdržíte výsledek, jaký je na následujícím obrázku. K původním bodům se zobrazí regresní
exponenciální funkce, dále její rovnice a hodnotu koeficientu determinace R . Výsledek je
prakticky stejný jako výsledek, který jsme získali při ručním výpočtu, viz výše.
4.7 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
4.1 Tabulka zachycuje stáří (v letech) osmi vybraných strojů v potravinářském závodě
a týdenní náklady (v Kč) na provoz těchto strojů.
Stáří stroje 1 2 3 4 5 6 7 8
Náklady 44 52 61 80 94 108 111 116
a. Odhadněte parametry regresní funkce f(x)=f3o+f3\\nx, která by měla vystihovat průběh
závislosti nákladů na stáří.
b. Jaké týdenní náklady můžeme očekávat u stroje starého 4 roky?
c. Určete koeficient determinace a interpretujte jej.
4.2 V tenisovém zápase má významný vliv na vítězství hráče úspěšnost jeho prvního
podání. Data v tabulce představují počet úspěšných prvních podání (X) a počet vyhraných
bodů při úspěšném prvním podání (ľ) deseti vybraných hráčů z předních míst žebříčku ATP.
X 31 42 39 41 50 38 33 49 37 46
Y 22 31 29 26 33 26 23 30 29 31
Zvolte nejprve lineární a potom parabolický typ regresní funkce popisující závislost Y na X.
a. Určete regresní parametry obou zvolených regresních funkcí.
b. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient b\ u lineární regrese.
c. Zhodnoťte výstižnost obou zvolených regresních funkcí. Která z nich lépe vystihuje data?
-63-
Regresní analýza - jednorozměrná: intervaly spolehlivosti, testy hypotéz, nelineární regrese
ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
4.1 a) Y = 32,29+38,44 • ln x
b) y(4) = 32,29+38,44-ln 4 = 85,58*2
c) /?2
=0,92
4.2 lineární regresní funkce kvadratická regresní funkce
a) 7 = 7,95 + 0,49* F = -25,94 + 2,19x-0,02x2
b) bis (0,26; 0,73)
c) i?2
=0,75 i?2
=0,79
Model lépe vystihuje kvadratická regresní funkce.
-64-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
5 REGRESNÍ ANALÝZA - VÍCEROZMĚRNÁ
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole navážete na jednoduchou regresi vyšetřovanou v předchozí kapitole. Nyní
budeme předpokládat, že vysvětlovaná proměnná závisí na několika (více než jedné)
vysvětlujících proměnných. Vícenásobný lineární regresní model je zobecněním
jednoduchého lineárního regresního modelu. Lineární regresní model bude rozšířen na
vícenásobný regresní model lineární v parametrech, který předpokládá lineární vztah pouze
v regresních koeficientech, nikoliv nutně v nezávisle proměnných. Odhady regresních
koeficientů se stanoví opět metodou nejmenších čtverců, přitom lze využít maticové
symboliky, která usnadňuje práci s vektory a maticemi. Podobně jako v případě jednoduché
regrese budou formulovány předpoklady klasického regresního modelu, přičemž obdržíte
analogické výsledky pro intervaly spolehlivosti regresních koeficientů a odpovídající testy
hypotéz jako v případě jednoduché regrese. Nejprve budeme předpokládat, že vysvětlovaná
proměnná Y závisí na několika (konkrétně k) vysvětlujících proměnných X\, X2,..., XT.
Zkonstruujeme vícenásobný lineární regresní model, který předpokládá lineární vztah pouze
v regresních koeficientech, (nikoliv nutně v nezávisle proměnných - uvědomte si ten rozdíl!).
Odhady regresních koeficientů se stanoví opět metodou nejmenších čtverců, přitom lze využít
maticové symboliky, která usnadňuje práci s vektory a maticemi. Podobně jako v případě
jednoduché regrese budou dále formulovány předpoklady klasického regresního modelu,
přičemž obdržíte analogické výsledky pro intervaly spolehlivosti regresních koeficientů
a odpovídající testy hypotéz jako v případě jednoduché regrese.
5.1 VÍCEROZMĚRNÁ REGRESNÍ ANALÝZA
Na rozdíl od předchozích dvou kapitol, kde jsme předpokládali, že vysvětlovaná
proměnná Y závisí na jediné vysvětlující proměnné X, budeme nyní předpokládat, že
vysvětlujících proměnných je několik (tj. alespoň 2), řekněme k, kde k > 2, přitom k je celé
číslo. Vysvětlující statistické znaky (proměnné) označíme X\, XI,...,XK, /-tému pozorování (/-té
realizaci) hodnot vysvětlujících znaků xn ,xi2,...,xik odpovídá hodnota vysvětlovaného znaku
yř . Vícenásobný lineární regresní model je zobecněním jednoduchého lineárního regresního
modelu (4.9) a má následující tvar:
y,= Po+
Plx
n+
P2
x
i2
+
- + Pkx
ik +£,, 1 = 1,2,...,/!. (5.1)
Jak jste viděli v předchozí kapitole při aplikaci metody linearizace, bylo pro použití
metody nejmenších čtverců podstatné, že regresní funkce byla lineární v parametrech f}.,
nikoliv v proměnné x. Tohoto důležitého faktu využijeme nyní a formulujeme poněkud
obecnější model, než (5.1), totiž vícenásobný regresní model lineární v parametrech. Ten
vypadá takto
yi = Po + Pih (*n.x
n > • ••.x
ik) + Pih (xn,xi2,..., xik)+.. .+pk fk (xn ,xi2,..., xik ) + et,
i = 1,2,.. .,n. (5.2)
kde fj(x1,x2,...,xk), j = 1,2,...,k, jsou funkce proměnných x1,x2,...,xk, nezávislé na
parametrech /3r
-65-
Regresní analýza - vícerozměrná
5.2 METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
Odhady regresních koeficientů bQ,bx,...,bk lze stanovit metodou nejmenších čtverců,
která spočívá v minimalizaci součtu kvadrátů (tj. druhých mocnin) odchylek skutečných
hodnot dat y, od teoretických hodnot Yi = b0 + blfl(xil,xi2,...,xik) + ... + bkfk(xil,xi2,...,xik).
Podobně, jako u jednoduchého modelu, vypočteme odhady ze soustavy normálních rovnic:
^ - 0 , ^ = 0,... ds
dbn
db db„
(5.3)
y
0 w w
k
V (5.3) se jedná o parciální derivace funkce SR podle proměnných b[. Označení
F
ÍJ = fi(xjl,xj2,...,xjk),i= l,2,...,k, j= 1,2,...,«, (5.4)
umožní využít maticovou symboliku. Soustavu rovnic (5.2) lze maticově zapsat takto:
y = Fp +£ ,
kde matice:
1 F„
1 K.
(5.5)
ki
kn
se nazýva matice regresoru,
P =
Dále
£ =
>2
J n .
Ä
A .
je vektor pozorování vysvětlované proměnné Y,
resp. b = , je vektor regresních koeficientů, resp. vektor jejich odhadů.
, je vektor náhodných složek.
Při výpočtu vektoru odhadů b regresních koeficientů metodou nejmenších čtverců
obdržíte soustavu normálních lineárních rovnic, které lze maticově vyjádřit. Pozor, používáte
přitom pravidla pro sečítání a násobení matic - pravidlo „řádek krát sloupec". Toho lze
dosáhnout tak, že regresní rovnici y = F.b , vynásobíte zleva transponovanou maticí FT
, takže
obdržíte
(5.6)FT
y = FT
F.b ,
a za předpokladu, že matice FT
F je regulární, a tedy existuje k ní matice inverzní (FT
F)"1
, lze
nalézt řešení soustavy, tj. vektor odhadů regresních koeficientů modelu (5.5), a to po
vynásobení (5.6) zleva maticí (FT
F)"1
, ve tvaru:
b = ( F ^ y V y . (5.7)
-66-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Ve speciálním případě jednoduché lineární regrese je k = 1, pak matice regresorů a další
prvky z (5.6) mají tvar:
1 x
1 x,
1 x.
FT
F = 2><
X * Z -
,FT
y =
Z * ^
a soustava normálních rovnic (5.6) je následující:
Z?<-
2 > ŕ T*? A]
(5.8)
což je tvar ekvivalentní rovnicím (3.12), (3.13).
5.3 NÁHODNÝ VEKTOR A JEHO CHARAKTERISTIKY
Nyní ještě rozšíříme pojmy střední hodnoty a rozptylu používané doposud pro náhodnou
veličinu (skalár), a to pro náhodný vektor:
X
X,
(5.9)
kde složky X,- jsou náhodné veličiny. Střední hodnota E(X) vektorové náhodné veličiny X je
vektor středních hodnot jednotlivých složek, tj.:
~E{XX)
E(X).
E(X2)
(5.10)
E
( X
n ) _
Rozptyl (variance) Var(X) vektorové náhodné veličiny X je matice:
Var(X) = E((X- E(X))l
(X - E(X))), (5.11)
kde čárkou ' označujeme transponovanou matici (vektor). Jistě jste si všimli, že rozptyl
náhodného vektoru (5.11) je čtvercová matice typu (nxn).
5.4 KLASICKÝ LINEÁRNÍ MODEL
O klasickém (vícerozměrném) lineárním regresním modelu hovoříme tehdy, když matice
regresorů má nejjednodušší tvar, tj. když je matice tvořena danými hodnotami pozorování
vysvětlujících proměnných:
Fij=xij,i= \,2,...,k, j= 1,2,...,n. (5.12)
-67-
Regresní analýza - vícerozměrná
V tom případě má matice regresorů tvar:
1 Xj
1 x,
1
Xin
(5.13)
U klasického lineárního modelu požadujeme splnění podmínek 1. až 3. z minulé
kapitoly, přitom u těchto podmínek nebylo důležité, zda jde o jednoduchý nebo vícerozměrný
regresní model:
1. Hodnoty vysvětlujících proměnných X\, X2,...,Xk, tvořící matici regresorů F podle
(5.13) se volí předem, nejsou to tedy náhodné veličiny.
2. Reziduum e v modelu (3.5) má normální rozdělení pravděpodobnosti s nulovou
střední hodnotou a (neznámým) rozptylem o2
, tj.:
E(e) = 0, (5.14)
Var(e) = o2
l, (5.15)
kde symbol I označuje jednotkovou matici.
Vztah (5.15) zahrnuje zároveň podmínku 3. z klasického lineárního modelu, viz kapitola
3.5, neboť na diagonále matice Var(e) jsou rozptyly o2
jednotlivých složek náhodného
vektoru e a mimo diagonálu vystupují nulové kovariance těchto složek. V tom případě
hovoříme o homoskedasticitě. V opačném případě hovoříme o přítomnosti
heteroskedasticity.
3. Vysvětlující proměnné X\, X2,...,Xk, nejsou kolineární, tj. sloupcové vektory matice
regresorů (5.13) jsou nekorelované. V opačném případě hovoříme o přítomnosti
multikolinearity.
5.5 MÍRY VARIABILITY A KOEFICIENT DETERMINACE
Podobně jako u jednoduché regrese, zajímáme se nyní o celkovou variabilitu
vysvětlované proměnné, kterou charakterizuje celkový součet čtverců:
S y ^ b t - y ) 2
. (5-16)
1=1
Část celkové variability vysvětlenou regresním modelem charakterizuje teoretický součet
čtverců:
ST=fi{Yi-ý)2
, (5.17)
i=i
kde Yi=b0+b1f1(xn,xi2,...,xik) + ... + bkfk(xn,xi2,...,xik), bt jsou odhady regresních
parametrů získané MNC. Nevysvětlenou část celkové variability představuje reziduálni součet
čtverců:
SR=Z(yi-Yif, (5.18)
i=i
kde ei = yi - Yi je reziduum, tj. odhad náhodné složky £5.
-68-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Mezi jednotlivými součty čtverců platí základní vztah:
SY = ST + SR. ' (5.19)
Obdobně, jako v případě jednoduché regrese, zavedeme analogický pojem, charakterizující
přiléhavost dat k regresnímu modelu, koeficient determinace, který definujeme vztahem:
fl2=^ = l _ ^ i L . (5.20)
S y S y
Koeficient determinace nabývá hodnoty z intervalu [0,1] a určuje tu část celkové variability
pozorovaných hodnot y„ kterou lze vysvětlit daným regresním modelem. Jinak řečeno, po
vynásobení koeficientu determinace stem obdržíme, kolik procent celkové variability je
vysvětlitelných regresním modelem.
Nevychýlený odhad koeficientu determinace R2
adj, který nazýváme korigovaný (upravený)
koeficient determinace, definujeme takto:
* Í = l - ( l - * 2
) — , (5.21)
n-p
kdep = k+l označuje počet parametrů v regresním modelu (5.2).
5.6 INTERVALY SPOLEHLIVOSTI A TESTY HYPOTÉZ
Tento odstavec je přirozeným rozšířením kapitoly 4 pro jednoduchý klasický lineární
model, tj. model (3.9) se dvěma parametry /?(,,/?,. Nyní máme analogický model, avšak
s k+l parametry j30,/31,...,/3k.
Jsou-li splněny předpoklady klasického lineárního modelu (5.5), tj. modelu:
yt = Po+PiXn+P2xi2+... +fikxik +£,, i=\,2,...,n, (5.22)
potom pro rozdělení odhadů regresních koeficientů b0,b1,...,bk, jakožto náhodných veličin,
platí toto: Regresní koeficient bj má normální rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou
jBj a rozptylem o2
hjj , kde j = 0,l,...,fc, čísla hjj jsou diagonálními prvky matice:
H = (FT
F)"1
, " (5.23)
kde matice F je definována vztahem (5.13).
V klasickém lineárním modelu předpokládáme, že reziduálni složky mají konstantní
rozptyl o2
, jeho hodnotu však zpravidla neznáme. Neznámý rozptyl o2
můžeme nahradit jeho
bodovým odhadem:
4 = — , (5-24)
n — p
který nazýváme v souladu s (5.22) reziduálni rozptyl. V reziduálním rozptylu vystupuje
v čitateli reziduálni součet čtverců (5.18) dělený číslem n - p, což je počet stupňů volnosti,
tj. rozsah dat n mínus počet regresních koeficientů v modelu: p = k + 1. Odmocninu
reziduálního rozptylu SR nazýváme směrodatná chyba.
Oboustranný interval spolehlivosti pro regresní koeficient bj, při zadaném koeficientu
spolehlivosti (1 - a), je následující interval:
[bj - tucňin-p)]^- , bj + h-an{n-p) J^5L ], j = 0,1,...,*. (5.25)
-69-
Regresní analýza - vícerozměrná
Zde t\-an(n - p) je příslušný kvantil Studentova r-rozdělení, hjj diagonální prvky matice
(5.23). Interval (4.23) je speciálním případem intervalu (5.25) v případě k=l.
Bodový odhad regresních koeficientů bj, vypočtený metodou nejmenších čtverců,
doplňuje interval spolehlivosti (5.25), který informuje, v jakém rozmezí se regresní koeficient
může pohybovat v rámci zadané spolehlivosti v případě jiného náhodného výběru dat (ze
stejného základního souboru). Odhadnutý lineární regresní model (3.9), který má tvar:
y = bQ+blxl+b2x2+... + bkxk+e, (5.26)
kde e je reziduum, tj. odhad náhodné složky e, resp. regresní funkce:
Y = b0 +blxl +b2x2 +... + bkxk, (5.27)
má praktický význam zejména při odhadu chování modelu pro nezávisle proměnné
nevyskytující se v datech, např. hodnoty xoi, XQ2 xot. Model (5.26), resp. regresní funkce
(5.27), pak slouží k predikci hodnoty závisle proměnné. Bodový odhad předpovědi získáme
dosazením xo = (xoi, XQ2 xot Y do (5.27):
Y0=b0+b1x01+b2xO2+... + bkx0k. (5.28)
Informaci o tom, v jakém rozmezí se predikovaná hodnota vysvětlované proměnné
může pohybovat, poskytuje oboustranný interval spolehlivosti:
[Yo-ti.ď2(n-p)sR^l + xT
QHxQ , Y0 + h-odn-p) sR^l + xT
QHxQ ], (5.29)
kde H = (FT
F)_ 1
a matice F je definována vztahem (5.13). Ostatní symboly v (5.29) mají
stejný význam, jako v intervalu spolehlivosti (5.25).
5.7 INDIVIDUÁLNÍ T-TESTY O HODNOTÁCH REGRESNÍCH KOEFICIENTŮ
Tento odstavec je rozšířením kapitoly 4.2 pro vícerozměrný lineární regresní model.
Zjistíme-li metodou nejmenších čtverců, že regresní koeficientyfyjsou nějaká nenulová čísla,
musíme mít stále na paměti, že se jedná o realizace náhodných veličin, a tudíž má smysl
testovat, zda naše původní parametry fij nemohou být přesto nulové. Za předpokladů
klasického lineárního modelu je možno pro j = 0,1,...,k testovat nulovou hypotézu:
H 0 : fi = 0, (5.30)
proti oboustranné alternativní hypotéze:
H i : $ * 0 . (5.31)
Při tomto testu použijeme testové kritérium:
(5.32)
které má při platnosti Ho ř-rozdělení s n - p stupni volnosti, SR je reziduálni součet čtverců, hjj
jsou diagonální prvky matice H z (5.23), přičemž j = 0,1,...,Ä; p = k + 1.
Na hladině významnosti a je kritický obor vymezen nerovností:
H> h-aiiin-p),
kde tx_al2(n- p) je příslušný kvantil Studentova ř-rozdělení, viz funkci v Excelu TINV,
Nemůžeme-li např. na dané hladině významnosti a zamítnout nulovou hypotézu Ho: fij = 0,
pak to znamená, že y nezávisí na x,-, jinak řečeno, pro libovolnou hodnotu vysvětlující
proměnné Xj nabývá vysvětlovaná proměnná y stále stejné hodnoty.
- 70-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
5.8 F-TEST HYPOTÉZY O HODNOTÁCH REGRESNÍCH KOEFICIENTŮ
V minulém odstavci jste individuálními Městy zjišťovali vliv jednotlivých vysvětlujících
proměnných na vysvětlovanou proměnnou. V tomto odstavci se budeme zabývat testem, který
najednou odhalí, zda vůbec existuje nějaká vysvětlující proměnná, která má na vysvětlovanou
proměnnou nějaký vliv. Testuje se nulová hypotéza:
Ho: A = Ä = - = Ä = 0 , (5-33)
proti alternativní hypotéze, že pro alespoň jeden regresní koeficient platí fij^OTestové
kritérium:
SY
(5.34)
n-p
má Fisherovo rozdělení F s (p - l) a (n - p) stupni volnosti. Na hladině významnosti a je
kritický obor vymezen nerovností:
T>Fl_a(p-l,n-p), (5.35)
kde Fx_a(p - \,n - p) je příslušný kvantil rozdělení. Pokud hodnota testového kritéria padne do
kritického oboru, tedy pokud platí (5.35), potom H 0 zamítáme, což znamená, že některá
z vysvětlujících proměnných má statisticky významný efekt na vysvětlovanou proměnnou y.
Pokud však nulovou hypotézu nelze na dané hladině významnosti zamítnout, pak vysvětlující
proměnné x, nemají statisticky významný efekt na y.
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 5.1
Při zjišťování vlivů na pracovní neschopnost zaměstnanců 10 podniků byly získány
následující údaje:
Průměrný věk
(roky)
Podíl žen v počtu
pracovníků (%)
Pracovní
neschopnost (%)
37 55 4,4
33 32 0,7
46 59 7,6
34 36 1,8
25 18 0,1
32 47 3,4
38 22 1,6
40 36 3,5
32 29 3,3
41 38 4,7
a. Odhadněte parametry lineární regresní funkce popisující závislost pracovní neschopnosti
na průměrném věku zaměstnanců a na podílu žen mezi zaměstnanci.
b. Pomocí koeficientu determinace charakterizujte přiléhavost daného regresního modelu
k datům.
c. Jak se změní pracovní neschopnost zaměstnanců, zvýší-li se jejich průměrný věk o 2 roky
při stejném podílu žen?
d. Určete 95% intervaly spolehlivosti pro regresní koeficienty bo, b\, bi.
Na hladině významnosti a= 0,01 testujte hypotézu fi^= fa = 0.
- 71 -
Regresní analýza - vícerozměrná
Řešení:
a. Naším úkolem je nalézt regresní koeficienty bo, b\, b2 regresní funkce
Y=b0 + biXi + b2X2,
kde X\ je průměrný věk zaměstnanců,
X2 je podíl žen v počtu zaměstnanců.
Regresní koeficienty bo, b\, b2 vypočítáme pomocí metody nejmenších čtverců. Využijeme
přitom nejprve maticové symboliky, kterou jsme použili v textu.
"1 37 55" "4,4"
1 33 32 07
1 46 59 7,6
1 34 36 1,8
1 25 18 0,1
y =
0,1
1 32 47 3,4
1 38 22 1,6
1 40 36 3,5
1 32 29 3,3
1 41 38 _ 4
> 7
_
b =
Vektor b vypočítáme pomocí vztahu (5.7). Matice FT
F a FT
y mají obecně tvar:
n Z x
i i Z*2/ " Z*"
FT
F = Z 4 Z X
l í ' X
2 ; Z x
i ^ í
Z X
l'X
2i Z 4 j
Hodnoty potřebné k výpočtu těchto matic jsou uvedeny v následující tabulce:
Pozorování X2 Y
* l
X1X2 XIY X2Y
1 37 55 4,4 1369 3025 2035 162,8 242,0
2 33 32 0,7 1089 1024 1056 23,1 22,4
3 46 59 7,6 2116 3481 2714 349,6 448,4
4 34 36 1,8 1156 1296 1224 61,2 64,8
5 25 18 0,1 625 324 450 2,5 1,8
6 32 47 3,4 1024 2209 1504 108,8 159,8
7 38 22 1,6 1444 484 836 60,8 35,2
8 40 36 3,5 1600 1296 1440 140,0 126,0
9 32 29 3,3 1024 841 928 105,6 95,7
10 41 38 4,7 1681 1444 1558 192,7 178,6
Ľ 358 372 31,1 13128 15424 13745 1207,1 1374,7
-72-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Potom
"10 358 372 " " 31,1 "
FT
F = 358 13128 13745 FT
y = 1207,1
372 13745 15424 1374,7
K matici F F musíme vypočítat matici inverzní:
" 4,355 -0,131 -0,012"
(FT
F)_ 1
= -0,131 0,005 -0,001
-0,012 -0,001 0,001
Vektor b je výsledkem součinu matic (FT
F )_ 1
a FT
y:
(FT
F )"1
FT
y =
-6,59
0,18
0,09
Hledaná regresní funkce má tvar: Y = -6,59 + 0,18xi + 0,09^2.
b. K tomu, abychom vypočítali determinační koeficient, musíme znát hodnotu teoretického
součtu čtverců SY a celkového součtu čtverců SY. Tyto součty vypočítáme podle vztahů
(5.17), (5.16). Pro výpočet teoretického součtu musíme pro každé xu, x2i, i = 1,..., 10, znát
teoretickou hodnotu Yt, i= 1,...,10, např. Y\ vypočítáme takto:
Yi = -6,59 + 0,18xii + 0,09x22 = -6,59 + 0,18-37 + 0,09-55 = 5,02
X2 y Y
(y-y)2
(Y-y)2
1 37 55 4,4 5,02 1,664 3,648
2 33 32 0,7 2,23 5,808 0,774
3 46 59 7,6 7,00 20,160 15,132
4 34 36 1,8 2,77 1,716 0,116
5 25 18 0,1 -0,47 9,060 12,816
6 32 47 3,4 3,40 0,084 0,084
7 38 22 1,6 2,23 2,280 0,774
8 40 36 3,5 3,85 0,152 0,548
9 32 29 3,3 1,78 0,036 1,769
10 41 38 4,7 4,21 2,528 1,210
Součet 358 372 31,1 32,02 43,489 36,872
Tato hodnota udává, jaká by měla být teoreticky pracovní neschopnost při průměrném věku
zaměstnanců téměř 37 let a podílu žen v počtu pracovníků 55%. Protože však jde
o stochastickou závislost, liší se tato hodnota od skutečně zjištěné hodnoty y = 4,4. Všechny
teoretické hodnoty Yt jsou uvedeny v následující tabulce. Jednotliví sčítanci i hodnoty součtů
SY a STjsou rovněž uvedeni v tabulce.
- 73-
Regresní analýza - vícerozměrná
Koeficient determinace vypočítáme dosazením do vztahu (3.20):
Tato hodnota znamená, že pomocí regresní funkce Y = -6,59 + 0,18x1 + 0,09x2 je vysvětleno
84,8% celkové variability proměnné Y.
c. Velikost změny znaku Y je při změně znaku X\ o jednotku rovna b\. Má-li se tedy zvýšit
průměrný věk o 2 roky při nezměněné zaměstnanosti žen X2, zvýší se pracovní neschopnost
o 2bi, tj. o 0,36%.
d. Obecný tvar těchto intervalů je následující (viz (3.25)):
kde SR je reziduálni součet čtverců,
h-ďi(n - p) je kvantil ř-rozdělení o n-p stupních volnosti,
p je počet parametrů regresní funkce,
ha prvek matice H = (F'F)"1
.
Hodnotu SR vypočítáme ze vztahu:
SR = SY - ST = 43,49 - 36,87 = 6,62.
V tabulce t-rozdělení nalezneme (l-a/2) = 97,5% kvantil t-rozdělení o n-p = 10-3 = 7
stupních volnosti:
Dosazením výše vypočítaných hodnot do vztahu pro interval spolehlivosti určíme jeho pravou
a levou krajní hodnotu L a P:
Pro bo, tj. i = 0:
95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient bo je [1,79;11,39]. Pro b\, tj. i = 1:
ř
0 , 9 7 5 ( 7
)
= 2
>3
65,
^oo = 4,355; hn = 0,0051; h22 = 0,001, H={%}, y = 0,1,2.
Pak 95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient bi je [0,016; 0,344].
Pro b2 , tj. i = 2:
Potom 95% interval spolehlivosti pro regresní koeficient b2 je [0,017; 0,163].
- 74-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
e. Pro ověření hypotézy použijeme F-test. Budeme testovat nulovou hypotézu:
H0 :/3i-=# = 0
proti alternativní hypotéze
Hi: alespoň jedno /?, je různé od nuly.
K ověření nulové hypotézy použijeme testové kritérium (3.34):
S
T 36,87
Z7 P~l
2
SR 6,62
19,49.
n — p 7
V tabulce F-rozdělení najdeme (l-a)% kvantil F-rozdělení o p - l a n-p stupních volnosti:
Fi_ o,oi(2,7) = 9,55.
Protože je 19,49 > 9,55, zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch alternativní hypotézy, což
znamená, že regresní parametry jsou vesměs nenulové, a tudíž existuje statisticky významná
závislost Y na X\ a nebo X2.
Řešení v Excelu.
Regresní statistika
Násobné R 0,912
Hodnota spolehlivosti R 0,831
(koeficient determinace)
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,783
Chyba stř. hodnoty 1,024
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 36,155 18,078 17,255 0,002
Rezidua 1 7,334 1,048
Celkem 9 43,489
e) Protože hodnota Významnost F je menší než hladina významnosti 0,01; nulovou hypotézu
zamítáme, tzn. že regresní parametry jsou vesměs nenulové.
Chyba stř. Hodnota Dolní Horní
Koeficienty hodnoty tStat P 95% 95%
Hranice -6,595 2,136 -3,087 0,018 -11,645 -1,544
průměrný věk XI 0,178 0,073 2,441 0,045 0,006 0,351
podíl žen (%) X2 0,089 0,032 2,758 0,028 0,013 0,166
- 75-
Regresní analýza - vícerozměrná
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 5 . 2
Následující tabulka obsahuje údaje o tržbách, velikosti výdajů na reklamu a o počtu
obchodních zástupců pro 11 firem zabývajících se nákupem a prodejem:
Reklamní výdaje Obchodní zástupci Objem prodeje (mil. Kč)
(tis. Kč)
180 35 260
230 38 310
260 33 280
240 40 300
280 38 340
300 32 380
340 42 410
320 49 440
360 53 400
380 55 430
260 33 310
a. Popište závislost objemu produkce na reklamních výdajích a na počtu obchodních
zástupců dvourozměrný lineárním regresním modelem.
b. F-testem posuďte významnost tohoto regresního modelu. Uvažujte hladinu významnosti
or=0,01.
c. Na hladině významnosti a = 0,01 testujte individuální významnost regresního parametru
Píd.
Jaký objem produkce lze očekávat, vydá-li firma na reklamu 450 tis. Kč a současně bude
mít 50 obchodních zástupců? Určete bodový odhad objemu produkce.
Řešení:
Řešení v Excelu.
Regresní statistika
Násobné R ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 0,916
Hodnota spolehlivosti R 0,839 koeficient determinace
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,799
Chyba stř. hodnoty 28,434
Pozorování 11
ANOVA
Rozdíl SS MS F
Významnost
F
Regrese 2 33822,799 16911,399 20,917 0,001
Rezidua 8 6468,110 808,514
Celkem 10 40290,909
- 76-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
b) Hodnota Významnost F je menší než 0,01;
model je zvolen správně,
zamítáme nulovou hypotézu o nulovosti obou koeficientů
Chyba stř.
Koeficienty hodnoty tStat Hodnota P
Hranice 63,830 47,652 1,340 0,217
reklamní výdaje (tis.Kč) 0,849 0,224 3,789 0,005
obchodní zástupci 1,076 1,656 0,650 0,534
a) y = 63,83+0,85.xl+l,08.x2
c) Koeficient M = 0,849 je statisticky významný na hladině významnosti 0,01; protože
Hodnota P je mešní než 0,01.
d) 500,33 mil.Kč
5.9 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
5.1 Firma sledovala, jak jsou její tržby ovlivněny výdaji na reklamu v různých
sdělovacích prostředcích. Výsledky průzkumu jsou uvedeny v následující tabulce.
Rádio, TV (tis.
Kč)
Noviny, časopisy
(tis. Kč)
Tržby (tis.
Kč)
0 16 254
22 29 765
28 30 864
33 35 1001
39 27 911
41 36 1121
49 0 856
55 12 932
60 23 1152
63 34 1403
68 54 1702
a. Určete jednoduchý lineární regresní model popisující závislost obratu na velikosti
prostředků vydaných na reklamu v novinách a časopisech.
b. Určete dvourozměrný lineární regresní model popisující závislost obratu na velikosti
prostředků vydaných na reklamu v novinách a časopisech a na velikosti prostředků
vydaných na reklamu v rozhlase a v televizi.
c. Pomocí F-testu rozhodněte, je-li vhodné k popisu závislosti používat zvolený vícenásobný
lineární model. Uvažujte hladinu významnosti a= 0,05.
d. Přispělo významně zavedení další vysvětlující proměnné k zlepšení výstižnosti modelu?
- 7 7 -
Regresní analýza - vícerozměrná
e. Jaký obrat je možné očekávat, vydá-li se na reklamu v tisku 32 tis. Kč a na reklamu
v rozhlase a televizi 47 tis. Kč? Proveďte bodový odhad.
5.2 Mezinárodní organizace WHO zjistila údaje o dětské úmrtnosti (v promile) - DÚ,
gramotnosti žen (v procentech) - GZ a HDP na hlavu (v dolarech) - HDP u 64 rozvojových
zemí:
DU GZ HDP DU GZ HDP
128 37 1870 142 50 8640
204 22 130 104 62 350
202 16 310 287 31 230
197 65 570 41 66 1620
96 76 2050 312 11 190
209 26 200 77 88 2090
170 45 670 142 22 900
240 29 300 262 22 230
241 11 120 215 12 140
55 55 290 246 9 330
75 87 1180 191 31 1010
129 55 900 182 19 300
24 93 1730 37 88 1730
165 31 1150 103 35 780
94 77 1160 67 85 1300
96 80 1270 143 78 930
148 30 580 83 85 690
98 69 660 223 33 200
161 43 420 240 19 450
118 47 1080 312 21 280
269 17 290 12 79 4430
189 35 270 52 83 270
126 58 560 79 43 1340
12 81 4240 61 88 670
167 29 240 168 28 410
135 65 430 28 95 4370
107 87 3020 121 41 1310
72 63 1420 115 62 1470
128 49 420 186 45 300
27 63 19830 47 85 3630
152 84 420 178 45 220
224 23 530 142 67 560
a. Určete lineární regresní model popisující závislost dětské úmrtnosti na gramotnosti žen
a HDP v rozvojových zemích.
b. Pomocí F-testu rozhodněte, je-li vhodné k popisu závislosti používat zvolený vícenásobný
lineární model. Uvažujte hladinu významnosti a= 0,05.
c. Jsou regresní koeficienty modelu statisticky významné? Stanovte jejich intervaly
spolehlivosti pro hladinu významnosti a = 0,10.
d. Pomocí koeficientu determinace určete přiléhavost dat k modelu. Jak se změní dětská
úmrtnost při zvýšení HDP o 1000 USD při stejném stupni negramotnosti žen? Naopak: jak
se změní dětská úmrtnost při zvýšení gramotnosti žen o 1 procento při stejné úrovni HDP?
- 78-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
5.10 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
5.1 a) jednoduchý lineární regresní model
Regresní statistika
Násobné R 0,658
Hodnota spolehlivosti R 0,433
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,370
Chyba stř. hodnoty 292,354
Pozorování 11
ANOVA
Rozdíl SS MS F
Významnost
F
Regrese 1 587103,478 587103,478 6,869 0,028
Rezidua 9 769235,250 85470,583
Celkem 10 1356338,727
Koeficienty
Chyba stř.
hodnoty tStat Hodnota P
Hranice 538,482 195,714 2,751 0,022
Noviny,časopisy
(tis.Kč) 17,019 6,494 2,621 0,028
Y = 539,5 + 17,2.x
b) dvourozměrný lineární regresní model
Regresní statistika
Násobné R 0,992
Hodnota spolehlivosti R 0,985
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,981
Chyba stř. hodnoty 50,634
Pozorování 11
- 7 9 -
Regresní analýza - vícerozměrná
ANOVA
Rozdíl SS MS F
Významnost
F
Regrese 2 1335828,082 667914,041 260,514 0,000
Rezidua 8 20510,645 2563,831
Celkem 10 1356338,727
Koeficienty
Chyba stř.
hodnoty tStat Hodnota P
Hranice 87,214 42,969 2,030 0,077
Rádio,TV (tis.Kč) 13,905 0,814 17,089 0,000
Noviny,časopisy (tis.Kč) 12,275 1,158 10,596 0,000
F = 87,21+13,9.jcl + 12,27.x2
c) Ano, hodnota Významnost F je menší než 0,05; proto vícenásobný lineární model je
vhodný.
d) Ano, koeficient determinace se z hodnoty 0,43 zvýšil na hodnotu 0,98.
e) 1 133,15 tis.Kč = 1 133 150 Kč
5.2 a)
Regresní statistika
Násobné R 0,841
Hodnota spolehlivosti R 0,708
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,698
Chyba stř. hodnoty 41,748
Pozorování 64
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 2 257362,373 128681,187 73,833 0,000
Rezidua 61 106315,627 1742,879
Celkem 63 363678,000
Chyba stř. Hodnota Dolní Horní
Koeficienty hodnoty tStat P 90,0% 90,0%
Hranice 263,642 11,593 22,741 0,000 244,278 283,005
GŽ -2,232 0,210 -10,629 0,000 -2,582 -1,881
HDP -0,006 0,002 -2,819 0,006 -0,009 -0,002
Y = 263,64- 2,23jel - 0,006.x2
- 80 -
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
b) Ano, hodnota Významnost F je menší než 0,05; proto vícenásobný lineární model je
vhodný.
c) Oba regresní koeficienty jsou statisticky významné, protože Hodnota P je menší než
0,1. Intervaly spolehlivosti: bí € (- 2,5; -1,8); bl € (- 0,009; - 0,002)
d) Koeficient determinace je roven 0,71; tzn., že 71% celkové variability je vysvětleno
modelem.
e) Při zvýšení HDP o 1000 USD při stejném stupni negramotnosti žen klesne dětská
úmrtnost o 5,6 promile. Při zvýšení gramotnosti žen o 1% při stejné úrovni HDP
klesne dětská úmrtnost o 0,22 promile.
-81 -
Regresní analýza - vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
6 REGRESNÍ ANALÝZA - VÍCEROZMĚRNÁ:
MULTIKOLINEARITA, HETEROSKEDASTICITA,
AUTOKORELACE
RYCHLÝ NAHLED KAPITOLY
V této kapitole se naučíte identifikovat, analyzovat a odstraňovat problémy, které způsobuje
nesplnění hlavních předpokladů klasického vícerozměrného lineárního regresního modelu
formulované v kapitole 5.4: multikolinearita, heteroskedasticita a autokorelace.
Multikolinearitou tedy rozumíme vzájemnou statistickou závislost, tj. korelaci, mezi
vysvětlujícími proměnnými ve vícenásobném lineárním regresním modelu. Další důležitou
vlastností klasického lineárního regresního modelu je homoskedasticita. Jde o vlastnost
(5.15), která spočívá v tom, že rozptyl poruchy et v populačním lineárním regresním modelu
je konstantní. Autokorelace je korelace mezi pozorováními uspořádanými v čase (data jsou
časové řady) nebo v prostoru (data jsou průřezová, tj. v jednom časovém okamžiku/intervalu).
Říkáme, že v regresním modelu není přítomná autokorelace, jestliže náhodné veličiny jsou
vzájemně nekorelované.
6.1 CO JE MULTIKOLINEARITA?
Multikolinearitou tedy rozumíme vzájemnou statistickou závislost, tj. korelaci, mezi
vysvětlujícími proměnnými ve vícenásobném lineárním regresním modelu:
y = fi0 + fi1x1+fi2x2+...+fikxk+e. (6.1)
Informaci o této vzájemné závislosti poskytuje matice výběrových korelačních koeficientů:
R
1
1
'kl
'2k
1
(6.2)
Zřejmě je matice (6.2) symetrická, tj. ri} - r}i pro všechna i,j. Pokud jsou všechny dvojice
vysvětlujících proměnných vzájemně nekorelované, potom platí, že rtj = rjt = 0, tj. R = I, čili
R je jednotkovou maticí.
Uvědomte si, že na diagonále matice R musejí být všechny prvky rovny 1, neboť
korelace vektoru dat se sebou samým je vždy rovna 1! Jsou-li však alespoň některé
nediagonální prvky matice R nenulové, hovoříme o multikolinearitě. Matice R pak není
jednotkovou maticí a její determinant je menší než 1. Je-li multikolinearita vysoká, hovoříme
o škodlivé multikolinearitě, pak se determinant matice R blíží k nule. V tom případě dává
metoda nejmenších čtverců odhady regresních koeficientů s širokými intervaly spolehlivosti,
takže výsledky jsou prakticky neupotřebitelné.
Na to, kdy je multikolinearita „škodlivá", existují různé názory, opírající se víceméně
o zkušenost. Někteří autoři považují za škodlivou multikolinearitu, když alespoň jeden
nediagonální prvek matice R je větší než 0,8.
-82-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Zjistí-li se škodlivá multikolinearita, je možno postupovat v zásadě dvojím způsobem.
Buď vysvětlující proměnnou, která je zdrojem multikolinearity, vypustíme z modelu, nebo
doplníme data, eventuálně získáme nový vzorek dat. Škodlivá multikolinearita je totiž často
důsledkem „špatného" vzorku dat. Projevuje se obvykle vysokým koeficientem determinace
(blízkým k 1) a zároveň jsou individuální koeficienty statisticky nevýznamné (t-test), model
jako celek je naopak statisticky významný (F-test), viz kap. 5.7 a 5.8.
Celou záležitost ilustrujeme na příkladu.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 6.1
V následující tabulce jsou uvedeny měsíční výdaje, měsíční příjmy a majetek (v Kč)
u 10 českých rodin. Proveďte regresní analýzu měsíčních výdajů rodin v závislosti na
měsíčních příjmech a majetku. Vysvětlete dosažené výsledky pomocí jednorozměrné regrese.
Y výdaje X1 prijmy X2 majetek
8400 9600 100000
7800 12000 120000
10800 14400 150000
11400 16800 170000
13200 19200 200000
13800 21600 225000
14400 24000 246000
16800 26400 264000
18600 28800 292000
18000 31200 322000
Řešení:
Data z Ta. 6.1 uložíme v excelovské tabulce. Známým postupem v menu:
Data -» Analýza dat... -» Regrese
získáme po vyplnění příslušných políček tento výsledek:
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,981
Hodnota spolehlivosti R 0,962
Nastavená hodnota spole 0,951
Chyba stř. hodnoty 832,660
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F ýznamnost F
Regrese 2 1,23E+08 61581370 88,82062 1,06E-05
Rezidua 7 4853260 693322,9
Celkem 9 1,28E+08
Koeficientyba sď. hodí tstat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 2943,676 832,579 3,536 0,010 974,940 4912,413
X1 prijmy 0,569 0,847 0,672 0,523 -1,433 2,571
X2 majetek -0,006 0,083 -0,071 0,946 -0,203 0,191
-83-
Regresní analýza - vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
V tomto výstupu se vyskytují zdánlivě paradoxní výsledky. Z Tabulky ANOVA
vyplývá, že regresní model
y = 2943,676 + 0,569;ti - 0,006x2 + £
je jako celek statisticky významný (F-test), zatímco individuální regresní koeficienty
u proměnných „příjmy" resp. „majetek" jsou statisticky nevýznamné, neboť obě odpovídající
p-hodnoty (signifikance) jsou větší než 0,05 (0,672 resp. 0,946). Koeficient determinace
R2
= 0,962 je vysoký - blízký k 1, což svědčí o vysoké příléhavosti dat k modelu. Navíc je
u regresního koeficientu u proměnné x2 záporné znaménko, což je evidentně v rozporu
s intuicí, která říká: čím je větší majetek, tím je vyšší spotřeba rodiny. Tento zdánlivý rozpor
je způsoben kolinearitou regresorů, o čemž svědčí jejich korelační matice
R [1,000 0,999"
~ [o,999 1,000 J '
kterou lze snadno zjistit tak, že vypočítáte r12 = r21 =0,999012 pomocí excelovské funkce
=CORREL(B4:B13;C4:C13), za předpokladu, že data pro x\ jsou uložena v oblasti B4:B13,
data pro x2 jsou uložena v oblasti C4:C13. Vysvětlující proměnné x\ a x2 jsou kolineární,
neboť koeficient korelace r12 = r21 = 0,999012 je blízký k 1.
Vypustíme-li nyní jednu z vysvětlujících proměnných, např. x2 - majetek, a provedemeli
(jednoduchou) regresi x\ na y, obdržíme s analogickým využitím Excelu tento výsledek:
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,981
Hodnota spolehlivosti R 0,962
Nastavená hodnota spolí 0,957
Chyba stř. hodnoty 779,160
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 1.23E+08 1.23E+08 202,8679 5.75275E-07
Rezidua 8 4856727 607090,9
Celkem 9 1.28E+08
Koeficientyba stf. hodí fsfaf Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 2934,545 769,658 3,813 0,005 1159,710 4709,381
X1 prijmy 0,509 0,036 14,243 0,000 0,427 0,592
Vidíte, že v novém regresním modelu je regresní koeficient statisticky významný, neboť
odpovídající p-hodnota (signifikance) je menší než 0,05 (0,000...), což je ve shodě s tabulkou
ANOVA.
Podobně, vypustíme-li nyní vysvětlující proměnnou x\ - příjem, a provedeme-li
(jednoduchou) regresi x2 na y, obdržíme s analogickým využitím Excelu výsledek
z následujícího výstupu. Opět vidíte, že v novém regresním modelu je regresní koeficient
statisticky významný, neboť odpovídající p-hodnota (signifikance) je menší než 0,05
(0,000...), což je ve shodě s tabulkou ANOVA. Navíc je znaménko u regresního koeficientu
0,050 kladné, což je v souhlasu s intuicí, že totiž velikost spotřeby je přímo úměrná velikosti
majetku.
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,979614
Hodnota spolehlivosti R 0,959644
Nastavená hodnota spok 0,954599
Chyba stř. hodnoty 803,6024
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 1,23E+08 1.23E+08 190,2357 7,37266E-07
Rezidua 8 5166214 645776,8
Celkem 9 1,28E+08
Koeficientyba stř. hodí tstat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 2880,627 798,404 3,608 0,007 1039,503 4721,750
X2 majetek 0,050 0,004 13,793 0,000 0,042 0,058
6.2 CO JE HETEROSKEDASTICITA?
Další důležitou vlastností klasického lineárního regresního modelu je homoskedasticita.
Jde o vlastnost (5.15), která spočívá vtom, že rozptyl poruchy £ v populačním lineárním
regresním modeluje konstantní, tj. v modelu
yi = A + M i + p2x
i2+
-+Pkx
ik + f
í ' i = (5.i)
platí podmínka
Var(&) = o2
1, (5.15)
kde symbol I označuje jednotkovou matici.
Podmínku (5.15) je možné ekvivalentně vyjádřit také takto
E(el
2
)=o2
, i = 1,2,...,«, (6.3)
kde E je známý operátor střední hodnoty.
Pokud podmínka (5.15) není splněna, potom hovoříme o heteroskedasticitě. Příkladem
heteroskedasticity v případě jednorozměrného lineárního regresního modeluje na Obr. 6.1. Je
zřejmé, že rozptyl hodnoty y se zvětšuje s rostoucí hodnotou x.
30i
Data a regresní pnrrka
30i
25
20
X15
10
•
• •
•
• t~ —
25
20
X15
10 • • •
5
n
0 5 10 15 20
ř
Obr. 6.2. Případ heteroskedasticity v regresním modelu
-85-
Regresní analýza - vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
Heteroskedasticita může být způsobena různými příčinami. Častou příčinou
heteroskedasticity je fakt, že při postupném sběru dat se technika sběru postupně zlepšuje
a chyba se proto zmenšuje. Naopak se chyba zvětšuje s přítomnosti odlehlých hodnot. Dalším
zdrojem heteroskedasticity je nesprávná specifikace modelu, např. tím, že jsou opominuty
důležité vysvětlující proměnné regresního modelu. Přítomnost heteroskedasticity v regresním
modelu je silně nežádoucí, a to zejména z těchto důvodů:
• Přítomnost heteroskedasticity způsobuje neplatnost odhadů rozptylů regresních
koeficientů a tudíž také odhadů jejich intervalů spolehlivosti a testů hypotéz o jejich
statistické významnosti atd., viz kap. 5.6.
• Prognózy s využitím regresního modelu obsahujícího heteroskedasticitu jsou často
nespolehlivé a dokonce nerealistické.
6.2.1 JAK ZJIŠŤOVAT HETEROSKEDASTICITU?
Jak poznáme, že v regresním modelu, který jsme sestavili na základě nějakých dat, je
přítomna heteroskedasticita? Podobně jako v případě multikolinearity neexistují přesná
pravidla, jak detekovat přítomnost heteroskedasticitu, pouze pár heuristických zásad.
Velmi často poznáme přítomnost heteroskedasticity z věcné povahy problému.
Například je známo, že s rostoucím věkem zaměstnanců se zvětšuje rozptyl jejich platů. Ať je
typ závislosti platu na věku lineární nebo ne, bude v modelu přítomna heteroskedasticita.
Pokud však nemáme podobné předběžné empirické informace o povaze problému,
předpokládáme, že heteroskedasticita není přítomna, že tudíž je rozptyl náhodné složky
modelu konstantní. Takové tvrzení pak můžeme podrobit zkoumání např. grafické analýze
nebo statistickému testu reziduí e,. S oběma postupy se zde seznámíte.
Grafická analýza
Zobrazíme si závislost kvadrátu reziduí e] na teoretické hodnotě Yt. Na Obr. 6.3 jsou
zobrazeny 4 důležité případy tvaru, které mohou nastat, kde
Y,=K +b
Ji (*fl - x
i2 ) + ••• + K f k (x
,a,xi2,.. 'x
ik ) '
přitom fy jsou odhady regresních parametrů získané MNČ,
e =y.-Y.
i J i i
je reziduum, tj. odhad náhodné složky £j.
(6.4)
(6.5)
• •
• /
•
a) b) Yi c) Yi
Obr. 6.3. Závislost e, na Y,
-86-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Na Obr. 6.3 a) hodnota ef v zásadě nezávisí na Yt, což naznačuje, že náhodná složka je
konstatntní a tudíž heteroskedasticita není přítomna. Na druhou stranu Obr. 6.3 b) a c)
hodnota ef v zřejmě závisí na Yt, což naznačuje přítomnost heteroskedasticity. Konkrétní tvar
závislosti vám dobře potvrdí zobrazení bodového diagramu závislosti yt na vybrané datové
hodnoty j-té vysvětlující proměnné xp.
Testy heteroskedasticity
Detekce heteroskedasticity s pomocí statistického testu hypotézy je obvykle založena na
nulové hypotéze, že rozptyly náhodné složky ef jsou konstantní, přičemž se analyzují jejich
odhady, tj. rezidua ef . V literatuře můžete nalézt podrobné testy heteroskedasticity s názvy
jako Parkův test, Glejserův test, Goldfeld-Quandtův test aj., viz např. Gujarati (2003). Tyto
statistické testy lze provádět pomocí specializovaných statistických programů, např. SPSS,
v Excelu specializované funkce na tyto testy bohužel chybí. M y si zde proto ukážeme
tzv. Bartletův test heteroskedasticity, který představuje zjednodušený Goldfeld-Quandtův test
a lze k jeho provedení využít funkce Excelu.
Bartletův test
Test vychází z rozdělení dat podle velikosti (některé) vysvětlující proměnné - označíme
ji X - do dvou částí: xt < x a xt > x, přitom jsou data uspořádána podle X, x. je medián z xt.
• Testuje se hypotéza o rovnosti rozptylů reziduí v obou částech (v Excelu: Analýza dat,
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl,...)
• Pokud se hypotéza o rovnosti rozptylu reziduí v obou částech zamítá, potom se hypotéza
o konstantnosti rozptylu náhodné složky neboli hypotéza o přítomnosti heteroskedasticity,
přijímá (a obráceně).
Použití Bartletova testu si ukážeme na příkladu. Ještě předtím se budeme zabývat
otázkou, jak odstranit zjištěnou heteraskedasticitu, tj. jak modifikovat původní model tak, aby
heteraskedasticitu neobsahoval.
6.2.2 JAK ODSTRAŇOVAT HETEROSKEDASTICITU?
Nejznámější metodou k odstranění heteroskedasticity je metoda vážených nejmenších
čtverců MVNC. V M V N C předpokládáme určitý typ nekonstantního chování rozptylu
náhodné složky.
Předpoklad 1: Rozptyl náhodné složky je přímo úměrný kvadrátu vysvětlující
proměnné x, tj.
E(e2
) = a2
xf ,i=\,2,...,n. (6.6)
Transformovaný regresní model získáme tak, že regresní rovnici
y, = fi0 + filx,+e„ i = 1,2,...,n, (6.7)
vydělíme hodnotou x,, čímž obdržíme
A = A +Ä +£L = fjo 1 +Ä + s., i = 1,2,...,n, (6.8)
x
i x
i x
i x
i
kde pro novou náhodnou chybu Si platí po dosazení z (6.6)
-87-
Regresní analýza - vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
£.2
E(Sf) = E(^) = az
,i=l,2,...,n. (6.9)
*«•
Provedením transformace y,-'= —, xi'= — ,i=\,2,...n. (6.10)
*«• *i
obdržíme z (6.8) nový regresní model
y(. , i = l,2,...,n. (6.11)
což je nový lineární regresní model podle (6.9) však bez heteroskedasticity.
Uvažovali jsme jednoduchý regresní model, avšak rozšíření výše uvedeného postupu na
vícerozměrný regresní model je snadné. Předpoklad 1 modifikujeme tak, že rozptyl náhodné
složky je přímo úměrný kvadrátu vysvětlující proměnné Xj, tj.
E(£l
2
)= a2
x2
, i = 1,2,...,«. (6.6)
Namísto modelu (6.7) uvažujeme model
yt = P0 + P,xn + P2xi2 +... + £., i = 1,2,...,n. (6.7*)
Pro nový vícerozměrný regresní model použijeme namísto transformace (6.10) nová
transformovaná data
yt'= — > xij= — ,xik=^,k±j,i=l,2,...,n. (6.10*)
X
ÍJ X
ÍJ X
ÍJ
Předpoklad 2 : Rozptyl náhodné složky je přímo úměrný vysvětlující proměnné x, tj.
E(£l
2
)= o2
Xi , i = 1,2,...,«. (6.12)
Transformovaný regresní model získáme tak, že regresní rovnici
yt = P0 + P,xt + £i, i = l,2,...,n, (6.13)
vydělíme hodnotou Jx~, čímž obdržíme
J!i--JL + fr^ + J± = fio-}= + /3lfi'l+0l,i=l ,2,...,n, (6.14)
kde pro novou náhodnou chybu Si platí po dosazení z (6.12)
F2
E(ů2
) = E(^) = a2
, i = \,2,-,n. (6.15)
Provedením transformace y.'= -^L=, x{= -^=,x"= •s[x~ , i = 1,2,...,n. (6.16)
V x
i V x
i
obdržíme z (6.16) nový regresní model
yt = 0oxt'+/3lxt"+ůt, i = 1,2,...,«, (6.17)
což je nový lineární regresní model bez úrovňové konstanty podle (6.15) však bez
heteroskedasticity. Rozšíření na vícerozměrný regresní model je možné udělat analogicky
jako v případě Předpokladu 1. Odstranění heteroskedasticity si prakticky vyzkoušíte
v následujícím řešeném příkladu.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 6 . 2
V následující tabulce jsou uvedeny příjmy a spotřební výdaje 30 rodin v tis. Kč/rok.
Vytvořte lineární regresní model závislosti výdajů na příjmech, graficky a statistickým testem
-88-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
zjistěte přítomnost heteroskedasticity. Z původního modelu pak heteroskedasticitu odstraňte
pomocí MVNC. Použijte přitom Excel.
č.rodiny Výdaje Příjmy č.rodiny Výdaje Příjmy
1 66 80 16 115 180
2 65 100 17 120 225
3 70 85 18 100 170
4 80 110 19 145 240
5 79 120 20 110 185
6 84 115 21 172 220
7 98 130 22 200 230
8 95 140 23 175 245
9 90 125 24 140 260
10 75 90 25 135 190
11 74 105 26 140 205
12 110 160 27 155 200
13 113 150 28 230 270
14 125 165 29 137 230
15 108 145 30 145 290
Řešení:
V Excelu vytvoříme z daných údajů graf: X Y bodový a pomocí pravého tlačítka
iniciujeme nabídku s volbou Přidat spojnici trendu... Vpodnabídce Možnosti zakřikneme
2 položky: Zvolit rovnici regrese a Zvolit koeficient spolehlivosti (tj. koeficient
determinace). Obdržíme výsledek, z něhož vyplývá lineární regresní model:
y = 9,29 + 0,64.x + £,
viz následující graf.
Dále vedle sloupce yt vytvoříme pomocí vzorce regresní rovnice sloupec teoretických hodnot
Yi. Další sloupec vytvoříme jako rozdíl sloupců y, a Yi, což bude sloupec reziduí. Poslední
sloupec bude druhá mocnina reziduí. Společně pak vytvoříme X Y bodový graf mezi Yt a ef .
-89-
Regresní analýza - vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
Výsledkem je následující graf, který napovídá přítomnost heteroskedasticity, neboť body
v grafu netvoří pás rovnoběžný s vodorovnou osou, jako na Obr. 6.3 a), ale spíše kužel, jako
na Obr. 6.3 b).
^islost e2
na Y
3500,00
3000,00
2500,00
2000,
50 70 90 110 130 150 170 190 210 230
Obr. 6.4. Příklad: Kužel závislosti ei na Yi
K exaktnímu prokázání heteroskedasticity použijeme Bartletův test. Podle rostoucích hodnot
X - Příjmů seřadíme hodnoty reziduí a z nich vytvoříme dva stejně velké soubory el a e2:
Příjmy e1 Příjmy e2
80 1,99 170 -8,09
85 -10,83 180 -29,68
90 3,03 185 -17,19
100 -1,74 190 -13,54
105 -8,65 200 -16,05
110 -0,69 205 25,28
115 4,45 220 47,37
120 -4,46 225 13,51
125 -0,60 230 -30,36
130 5,08 230 6,00
140 -4,78 240 2,14
145 -1,28 245 20,09
150 7,63 260 53,74
160 10,77 270 -15,63
165 5,58 290 -43,08
Budeme testovat, zda rozptyly obou souborů jsou stejné pomocí F-testu z Excelu:
V menu: Data -> Analýza dat -> Dvouvýběrový F-test pro rozptyl zadáme umístění
oblastí sloupců el a e2, eventuální popisky a oblast výstupu. Obdržíme výstup:
- 90-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Soubor 1Soubor 2
Stř. hodnota 0,366225 -0,366225
Rozptyl 35,88461 792,7791
Pozorování 15 15
Rozdíl 14 14
F 0,045264
P(F<=f)(1) 3,89E-07
F krit (1) 0,402621
V tomto vystupuje důležitá P-hodnota: P(F<=f) (1) = 3,89 E-07 = 0,000000389 < 0,05.
Na hladině a = 0,05 proto nulovou hypotézu H 0 : „Rozptyly obou uvažovaných souborů jsou
stejné" zamítáme. Uvažované soubory mají různý rozptyl, což znamená, že rozptyl náhodné
složky regresního modelu není konstantní, neboli že heteroskedasticita je v modelu přítomna.
Nakonec ukážeme, jak přítomnou heteroskedasticitu odstranit. V Obr. 6.4 se body grafu
nacházejí v „lineárním kuželu", proto zvolíme pro transformaci Předpoklad 2.
Transformace podle (6.16): y.'= -jL=, xi'=—ř=,xi"= *Jx~, i = 1,2,...,30.
Jx
i vx
«
obdržíme nový regresní model
y,'= 16,75*,'+ 0,59ix,"+ůt, i = 1,2,..., 30,
který je bez heteroskedasticity.
č. rodiny y' x' x " č.rodiny y' x' x "
1 7,379 0,112 8,944 16 8,572 0,075 13,416
2 6,500 0,100 10,000 17 8,000 0,067 15,000
3 7,593 0,108 9,220 18 7,670 0,077 13,038
4 7,628 0,095 10,488 19 9,360 0,065 15,492
5 7,212 0,091 10,954 20 8,087 0,074 13,601
6 7,833 0,093 10,724 21 11,596 0,067 14,832
7 8,595 0,088 11,402 22 13,188 0,066 15,166
8 8,029 0,085 11,832 23 11,180 0,064 15,652
9 8,050 0,089 11,180 24 8,682 0,062 16,125
10 7,906 0,105 9,487 25 9,794 0,073 13,784
11 7,222 0,098 10,247 26 9,778 0,070 14,318
12 8,696 0,079 12,649 27 10,960 0,071 14,142
13 9,226 0,082 12,247 28 13,997 0,061 16,432
14 9,731 0,078 12,845 29 9,034 0,066 15,166
15 8,969 0,083 12,042 30 8,515 0,059 17,029
6.3 CO JE AUTOKORELACE?
Autokorelace je korelace mezi pozorováními uspořádanými v čase (data jsou časové
řady) nebo v prostoru (data jsou průřezová, tj. v jednom časovém okamžiku/intervalu).
Říkáme, že v regresním modelu není přítomná autokorelace, jestliže náhodné veličiny jsou
vzájemně nekorelované, symbolicky to lze vyjádřit takto
EiSiSj) = 0 , i *j, i,j = l,2,...,n. (6.18)
-91 -
Regresní analýza - vícerozměrná: multikolinearita, heteroskedasticita, autokorelace
Jestliže naopak existuje dvojice indexů i ž j, přičemž platí E(£j£j) ž 0, řekneme, že
v regresním modelu je přítomna autokorelace.
Autokorelace se nejčastěji vyskytuje v regresních modelech založených na datech ve
formě časových řad. Potom indexy i, (resp. j) představují časové okamžiky t. Časovým řadám
a jejich analýze se budou věnovat následující kapitoly 8 až 12, kde bude podrobněji
pojednáno také o autokorelaci.
Následující obr. 6.5 dává příklad dvou regresních modelů dat, z nichž jeden je správně
specifikován (nelineární regresní model - černá křivka), druhý je nesprávně specifikován
(lineární regresní křivka - červená přímka). Nesprávná specifikace modelu způsobuje, že
rezidua jsou vzájemně korelována, což se projevuje tak, že datové body leží vždy ve větší
oblasti podél vodorovné osy na jedné straně regresní křivky, zatímco v případě
nekorelovaných reziduí leží datové body rovnoměrně po obou stranách regresní křivky v celé
oblasti vodorovné osy (tj. nezávisle proměnné).
tna
spdcifikace
moielu
\ Správná
specifikace
modelu
Obr. 6.5. Autokorelace: špatná a správná specifikace modelu
6.4 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
6.1 V následující tabulce jsou uvedeny hodnoty obratu, výdajů na vědu a výzkum (VaV)
a zisku za 18 průmyslových odvětví v USA v roce 1990. Vytvořte lineární regresní model
závislosti zisku na obratu a výdajích na VaV. Zjistěte, zda je v modelu přítomna
multikolinearita a heteroskedasticita. Použijte postupy, které jste se naučili v této kapitole.
Obrat VaV Zisk
6375,3 62,5 185,1
11626,4 92,9 1569,5
14655,1 178,3 276,8
21869,2 258,4 2828,1
26408,3 494,7 225,9
32405,6 1083,0 3751,9
35107,7 1620,6 2884,1
40295,4 421,7 4645,7
70761,6 509,2 5036,4
80552,8 6620,1 13869,9
95294,0 3918,6 4487,8
101314,1 1595,3 10278,9
116141,3 6107,5 8787,3
122315,7 4454,1 16438,8
141649,9 3163,8 9761,4
175025,8 13210,7 19774,5
230614,5 1703,8 22626,6
293543,0 9528,2 18415,4
-92-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
6.5 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
6.1 F = 791,54+0,069.xl+ 0,369.x2
x l . . .obrat; x2.. .výdaje na VaV; koeficient b2 = 0,369 není statisticky
významný
Korelační koeficient = 0,692 je statisticky významný na hladině významnosti 0,01.
V modelu je přítomna multikolinearita.
Závislost zisku na obratu:
Y = 862,85+ 0,08.xl
Koeficient 0,08 je statisticky významný.
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Soubor 1 Soubor 2
Stř. hodnota -809,8808 809,8807591
Rozptyl 1219536 20761396,39
Pozorování 9 9
Rozdíl 8 8
F 0,058741
P(F<=f) (1) 0,000289
Fkrit(l) 0,290858
Nulovou hypotézu: rozptyly obou souborů jsou stejné, zamítáme, rozptyl náhodné složky není
konstantní, neboli heteroskedasticita je v modelu přítomna.
Závislost zisku na obratu:
Y = 3817,11+1,4x2
Koeficient 1,4 je statisticky významný.
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Soubor 1 Soubor 2
Stř. hodnota -1348,771 1348,770762
Rozptyl 7292620 43919891,06
Pozorování 9 9
Rozdíl 8 8
F 0,166044
P(F<=f)(l) 0,010033
Fkrit(l) 0,290858
Nulovou hypotézu: rozptyly obou souborů jsou stejné, nezamítáme, rozptyl náhodné složky
je konstantní, neboli heteroskedasticita není v modelu přítomna, (hladina významnosti 0,01)
-93-
Fiktivní proměnné
7 FIKTIVNÍ PROMĚNNÉ
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Jedním ze způsobů jak kvantifikovat přítomnost nebo nepřítomnost nějaké vlastnosti je
konstrukce nových proměnných, které toto vyjadřují pomocí čísel 1 nebo 0, přitom 1 indikuje
přítomnost a 0 nepřítomnost vlastnosti. Tyto proměnné, které se nazývají fiktivní proměnné
(anglicky dummy variables), mají časté použití při analýze ekonomických problémů závislosti
mezi ekonomickými veličinami. V této kapitole se naučíte použít fiktivní vysvětlující
proměnné ve vícerozměrných regresních modelech. Fiktivní proměnné lze zavést do
regresního modelu stejně snadno, jako jakékoliv jiné kvantitativní proměnné, které jsme např.
použili v předchozí kapitole o vícenásobné regresní analýze. V této kapitole si ukážeme, jak
vytvořit regresní model, který obsahuje výlučně fiktivní vysvětlující proměnné, jak tento
model souvisí s dříve použitou metodou ANOVA, a také jak využít model, který je kombinací
fiktivních a obvyklých kvantitativních vysvětlujících proměnných. Dále ukážeme, jak lze
fiktivní proměnné výhodně použít pro sezónní data k identifikaci jednotlivých sezón a analýze
problému závislostí mezi ekonomickými veličinami.
7.1 CO JSOU FIKTIVNÍ PROMĚNNÉ?
V regresní analýze je závisle proměnná (kritérium) ovlivňována často nejen
kvantitativními proměnnými (regresory) jako například příjem rodin, ceny výrobků, náklady
podniků atd., ale také proměnnými, které mají kvalitativní povahu, jako jsou pohlaví
zákazníků, jejich národnost, vzdělání, region apod. Tyto proměnné obvykle představují
přítomnost nebo naopak nepřítomnost nějaké „kvality" nebo vlastnosti, jako jsou v případě
pohlaví zákazníků muž nebo žena, v případě národnosti Cech nebo Slovák, v případě vzdělání
základní (Z), středoškolské (S) nebo vysokoškolské (V) apod. Jedním ze způsobů jak
kvantifikovat takové vlastnosti je konstrukce nových proměnných, které vyjadřují přítomnost
nebo nepřítomnost příslušné vlastnosti pomocí čísel 1 nebo 0, přitom 1 indikuje přítomnost
a 0 nepřítomnost vlastnosti. Tyto proměnné se nazývají fiktivní proměnné (anglicky „dummy
variables").
Fiktivní proměnné lze zavést do regresního modelu stejně snadno, jako jakékoliv jiné
kvantitativní proměnné, které jsme např. použili v předchozí kapitole. Můžeme však vytvořit
regresní model, který obsahuje výlučně fiktivní vysvětlující proměnné. S nimi jste se vlastně
již setkali v 1. a 2. kapitole v rámci ANOVA.
7.2 FIKTIVNÍ PROMĚNNÉ A ANOVA
Nejprve budeme vyšetřovat situaci pouze s kvalitativní vysvětlující proměnnou, která
nabývá K hodnot (kategorií) Z0 , Z\, Z2,...,ZK_\. Tuto kvalitativní proměnnou nahradíme K- 1
fiktivními vysvětlujícími proměnnými: d\,..., dx-u definovanými takto:
d\ = 1 pokud kvalitativní proměnná nabývá hodnoty Zi,
= 0 jinak.
d2 = 1 pokud kvalitativní proměnná nabývá hodnoty Z2 ,
= 0 jinak.
dx-i = 1 pokud kvalitativní proměnná nabývá hodnoty ZK-u
= 0 jinak.
94
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACO VÁNÍ DAT
Budeme nadále uvažovat regresní model:
y = Po + pldx + /hd2 +...+ PK-\dK-\, + £ (7.1)
s vysvětlovanou proměnnou y představující vysvětlovanou (závisle) proměnnou a K - 1
fiktivními vysvětlujícími proměnnými: d\,..., dK-\, £ je náhodná složka.
Mohli jste si všimnout, že k vyjádření K kategorií jsme použili K - 1 fiktivních
proměnných. Možná vás napadla otázka: Proč jsme nepoužili též proměnnou do pro kategorii
Z0 podobně jako pro ostatní kategorie? Pokud kvalitativní proměnná nabývá hodnoty Z0 ,
potom podle definice všechny zavedené fiktivní proměnné: d\,..., dx-u nabývají hodnoty 0,
a tudíž je v regresním modelu (7.1) situace popsána rovnicí
y = fa+£. (7.2)
Průměrná hodnota vysvětlované proměnné y je vyjádřena regresní úrovňovou konstantou J3Q.
Poznámka. Kdybychom však postupovali tak, že bychom použili proměnnou do pro kategorii
Z0 , podobně jako pro ostatní kategorie, pak by došlo k situaci perfektní kolinearity mezi
vysvětlujícími fiktivními proměnnými, což je nežádoucí situace popsaná v předchozí kapitole.
V tomto případě bychom mohli použít regresní analýzu s modelem bez úrovňové konstanty,
tj. regresní model
y = j30d0 + /3idl+ fcd2 +...+ pK-idK-i, + £ • (7.3)
K tomuto regresnímu modelu se vrátíme ještě v subkapitole 7.4, která se bude zabývat
použitím fiktivních proměnných u sezónních dat.
Ke stanovení odhadů regresních koeficientů modelu (7.1), eventuálně model (7.3),
použijeme metodu nejmenších čtverců, tedy vícerozměrnou regresní analýzu z kapitoly 5.
Stejně tak můžete k řešení výchozí situace použít jednofaktorovou ANOVA, přitom
nezávislým faktorem bude uvažovaná kvalitativní proměnná s K kategoriemi. Vztah mezi
metodou ANOVA a metodou regresní analýzy vysvětlíme na konkrétním příkladu, který
budeme řešit s pomocí Excelu.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 7.1
Analyzujte závislost výdajů rodin na letní dovolenou na vzdělání rodičů (nejvyšší
vzdělání alespoň jednoho z rodičů je základní - ZŠ, středoškolské - SŠ, vysokoškolské - VŠ).
Použijte metodu ANOVA a poté vícerozměrnou regresní analýzu. Srovnejte oba výsledky.
Data za 15 rodin jsou uvedena v následující tabulce.
Přitom Yi představují výdaje rodiny na letní dovolenou,
du = 1 jestliže rodiče mají vzdělání SŠ, 0 jinak,
d2i = 1 jestliže rodiče mají vzdělání VŠ, 0 jinak.
y i - výdaje na dov. d u -SS d2i - VS
39 1 0
33 1 0
31 1 0
31 1 0
36 1 0
60 0 1
72 0 1
64 0 1
79 0 1
62 0 1
18 0 0
19 0 0
17 0 0
15 0 0
20 0 0
-95-
Fiktivní proměnné
Řešení:
Budeme uvažovat regresní model
yt =fio+ Pidn + {han + £i
s vysvětlovanou proměn n ou y, představující výdaje rodiny na letní dovolenou a dvěma
fiktivními proměnnými: du - rodiče mají vzdělání SŠ, ďu- rodiče mají vzdělání VŠ. Všimněte
si, že k vyjádření K = 3 kategorií (ZŠ, SŠ, VŠ) jsme použili 2 fiktivní proměnné. K výpočtu
regresních koeficientů použijeme Excelu. V hlavním menu otevřeme postupně položky:
Data - » Analýza dat... - » Regrese
Data uložíme ve worksheetu v poli s adresou al:cl6 (viz níže), zadávací okno vyplníme takto:
Regrese
Vstup
Vstupní oblast V;
Vstupní oblast X:
W Popisky | Konstanta je nula
V Hladina spolehlivosti [ffi %
Možnosti výstupu —
(• Výstupní oblast:
C Nový [ist:
f Nový sešit
rRezidua—
líEíl
UM
|$A$1:$A$16 51
|$B$1:$C$16 5]
OK
Nápověda
"31
| ~ Rezidua |~" Graf s rezidui
| ~ Standardní rezidua |~" Graf regresní pnmky
i-Ni
r
ormální pravděpodobnost
f " Graf pravděpodobnosti
Zadáme OK.
Ve výstupu dostaneme jak výsledek metody ANOVA, tak i výsledek regresní analýzy.
V první tabulce výstupu: Regresní statistika nás zajímá druhá hodnota - koeficient
determinace (Hodnota spolehlivosti R), tj. R 2
= 0,953.
Ve druhé tabulce ANOVA (viz níže) jednotlivé položky mají následující význam:
Regrese = meziskupinový součet čtverců
Rezidua = vnitroskupinový součet čtverců
Celkem = celkový součet čtverců
SS = Součet čtverců (Sum of Squares)
Rozdíl = stupeň volnosti (DF - Degree of Freedom)
MS = Průměr čtverců (Mean Square)
F = testové kritérium = 122,234
Významnost F = Signifikance (p-hodnota) = 0,00000001049 < 0,05 = a
Faktor vzdělání vyjádřený kategoriemi ZŠ, SŠ, VŠ je tudíž statisticky významný.
Poměr determinace P 2
= 0,953 se vypočte jako podíl meziskupinového a celkového
součtu čtverců (vypočtěte, konfrontujte s kapitolou 1!). Vidíte, že R = P2
, tedy v případě
fiktivních proměnných je koeficient determinace definovaný v regresní analýze totožný
s poměrem determinace z ANOVA. Odtud plyne, že také koeficient korelace je totožný
s poměrem korelace z ANOVA. Přiléhavost dat k regresní rovině je tedy totéž, co těsnost
závislosti, s níž jste se setkali v metodě ANOVA.
-96-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Poslední tabulka výstupu přináší hodnoty odhadů regresních koeficientů:
Hranice = b0 = 17,8 ; S Š = Z?i=16,2; VŠ = £2 = 49,6.
Ve sloupci Hodnota P (signifikance) jsou všechna čísla mnohem menší, než je běžná
hladina významnosti a =0,05, tedy hodnoty regresních koeficientů jsou statisticky významné.
Přitom hodnota bo = 17,8 představuje průměrné výdaje rodiny, kde rodiče mají pouze
základní vzdělání, b\ = 16,2 představuje průměrný nárůst výdajů na letní dovolenou při
nárůstu fiktivní proměnné du zO na 1, tedy průměrné výdaje rodiny, kde rodiče mají
středoškolské vzdělání, jsou bo + b\ = 34,0 tis. Kč. Hodnota regresního koeficientu b2 = 49,6
představuje průměrný nárůst výdajů na letní dovolenou při nárůstu fiktivní proměnné d2i z 0
na 1, tedy průměrné výdaje rodiny, kde rodiče mají vysokoškolské vzdělání, jsou
bo + ž>2 = 67,4 tis. Kč. Poslední dva sloupce tabulky udávají dolní a horní hranici 95%-ního
intervalu spolehlivosti pro příslušný regresní koeficient.
-iktivni_prom [Režim kompatibili
i'1
- h
Vložení Rozložení stránky Vzorce
^ Upozornení zabezpecerí Byly za tázány automatické aktualizace propojení. | Možnosti,,, |
J&r | Yi - Výdaje na dov.
Y\ - Výdaje na dov.
35
• I
Regresní statistikaNásobná R 0,976325
Hodnota spolehlivosti R 0,953211
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,945412
Chyba str. hodnoty 5 115336
Pozorování 15
ANOVA
SS MSRegrese
Rezidua
Celkem
2 6396,933 3198.467 122,2344
12 314 26,16667
14 6710,933
_ /znasnnosl F
1U4925E-0B
-:.-:a str, nod t stat Hodnota P Point 95% Hc~'ič!
:
Hranice
SŠ
vš
17,8 2,287648 7,780917 4.99E-06
16,2 3,235223 5,007383 0,000306
49 Ě 3 233223 15 33123 3 Ú3E-ÚS
12,81564329 22,78436
9,151055143 23,24894
42,55105514 56,94894
0.953211
> n | Při / P r 2 / P r 3 /Pr4~1 Pr5 / P r 6 / P r 7 f<Q A
] [D]| 100%
7.3 SPOLEČNÉ FIKTIVNÍ A KVANTITATIVNÍ PROMĚNNÉ
Nyní budeme vyšetřovat situaci, která se v ekonomické oblasti často vyskytuje:
současně se vyskytují jak s fiktivní vysvětlující proměnné (nabývají pouze hodnot 0 a 1), tak
kvantitativní vysvětlující proměnné (mohou nabývat libovolných číselných hodnot). Pro
jednoduchost se v následujícím textu omezíme na přítomnost pouze jediné kvantitativní
proměnné, případ přítomnosti více kvantitativních proměnných je analogický. Uvažujme tedy
regresní model
y = Po + P\di+ /hd2 +...+ j3K-idK-i, + bKxK, + e (7.4)
s vysvětlovanou proměnnou y, K - 1 fiktivními vysvětlujícími proměnnými: d\,...,dK-\
a kvantitativní vysvětlující proměnnou XK, přitom e je náhodná složka. Pro ilustraci budeme
uvažovat následující příklad, který je rozšířením příkladu z předchozí subkapitoly.
- 9 7 -
Fiktivní proměnné
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 7 . 2
Analyzujte závislost výdajů rodin na letní dovolenou na vzdělání rodičů (nejvyšší
vzdělání alespoň jednoho z rodičů je základní - ZŠ, středoškolské - SŠ, vysokoškolské - VŠ),
jakož i na příjmech rodin. Data za 15 rodin jsou uvedena v následující tabulce. Přitom yt
představují výdaje rodin na letní dovolenou, x, představují roční příjem rodin (obojí v Kč),
dále uvažujeme dvě fiktivní proměnné:
d\i = 1 jestliže rodiče mají vzdělání SŠ, 0 jinak,
d2i = 1 jestliže rodiče mají vzdělání VŠ, 0 jinak.
y i - výdaje na dov. d n - SS d2i - VS Xi -příjmy
39 1 0 400
33 1 0 310
31 1 0 180
31 1 0 190
36 1 0 470
60 0 1 270
72 0 1 260
64 0 1 170
79 0 1 430
62 0 1 490
18 0 0 150
19 0 0 250
17 0 0 290
15 0 0 200
20 0 0 410
Řešení:
Budeme uvažovat regresní model
yi = j8o + Pidn + /hdii + {ha + et
s vysvětlovanou proměnnou y, představující výdaje rodiny na letní dovolenou, dvěma
fiktivními proměnnými: dn - rodiče mají vzdělání SŠ, djx- rodiče mají vzdělání VŠ a jednou
kvantitativní vysvětlující proměnnou x,. V hlavním menu otevřeme postupně položky:
Data -» Analýza dat... -» Regrese
Data uložíme ve worksheetu v poli s adresou al:dl6 (viz níže), zadávací okno vyplníme
takto:
- 98-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Regrese
Vstup
Vstupní oblast Y:
Vstupní oblast X:
W Popisky
V Hladina spolehlivosti
|ÍBÍ1:$DÍ16
V Konstanta je nula
[95 %
-Možnosti v ý s t u p u —
(* Výstupní oblast:
C Nový list:
C Nový sešit
Rezidua
ItFíl
V Rezidua
| ~ Standardní rezidua
l~~ Graf s rezidui
~ Graf regresní přímky
Ľ
Ni
r
lorrnální pravděpodobnost \
~ Graf pravděpodobnosti
3
3
Nápověda
Zadáme OK.
V první tabulce výstupu: Regresní statistika nás zajímá druhá hodnota - koeficient
determinace (Hodnota spolehlivosti R), tj. R2
= 0,96. Přiléhavost dat k regresní nadrovině je
96%.
Druhá tabulka ANOVA (viz níže) však již nemá význam klasické metody ANOVA jako
v příkladu 7.1. Dále sejí nebudeme zabývat.
Poslední tabulka výstupu přináší hodnoty odhadů regresních koeficientů:
Hranice = b0 = - 12,86 , d1 i-SŠ = bi = - 0,68 , d2i-VŠ = b2 = 4,472 , xi-příjmy = b3 =
0,172, viz následující tabulka:
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,9982662
Hodnota spolehlivosti R 0,99653541
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,99559053
Chyba stř. hodnoty 1,4538542
Pozorování 15
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 3 6687,682721 2229,2 1054,6605 8.27968E-14
Rezidua 11 23,25061224 2,1137
Celkem 14 6710,933333
Koeficienty Chyba stř. hodnoty tstat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice -12,860 2,694 -4,774 0,001 -18,789 -6,931
d1i-SŠ -0,680 1,708 -0,398 0,698 -4,439 3,079
d2i - VŠ 4,472 3,956 1,130 0,282 -4,236 13,179
xi - příjmy 0,172 0,015 11,728 0,000 0,140 0,205
Ve sloupci Hodnota P (signifikance) jsou u koeficientů b\ (0,698) a b2 (0,282) hodnoty
signifikance větší, než běžná hladina významnosti a =0,05, tedy hodnoty těchto regresních
koeficientů nejsou statisticky významné (nulovou hypotézu, že bt = 0 přijímáme) a nemají
proto na vysvětlovanou proměnnou (tj. výdaje na dovolenou) vliv. Ukazuje se, že mnohem
významnější vliv má vysvětlující proměnná x, u které je regresní koeficient b3 (0,172)
statisticky významný, stejně jako koeficient bo (-12,86). Přitom hodnota bo = -12,86
představuje teoretickou hodnotu výdajů na dovolenou v (nerealistickém) případě nulových
příjmů rodiny. Ve srovnání s příkladem 7.1, kde jsme použili stejná data ochuzená o údaje
o příjmech rodin, jsme obdrželi velmi odlišný výsledek. Tento výsledek však není
-99-
Fiktivní proměnné
s předchozím v rozporu, jak by se mohlo zdát. K původním datům jsme totiž přidali data
nová, která jsme použili pro naši analýzu, a přitom se ukázalo, že pak výdaje na dovolenou
nezávisí na vzdělání rodin, nýbrž závisí na příjmech rodin, které jsou pro danou závislost
mnohem významnější.
7.4 FIKTIVNÍ PROMĚNNÉ V SEZÓNNÍCH MODELECH
Mnoho ekonomických údajů se nachází ve formě tzv. časových řad, kdy údaje jsou
uspořádány podle sledované rostoucí časové posloupnosti. Může se např. jednat o denní
(měsíční, roční) hodnoty tržeb v jistém supermarketu. V těchto časových řadách se často
projevují tzv. sezónní vlivy, které se pravidelně opakují v jistých obdobích, např. v letní
(zimní) sezónu, o Vánocích, Velikonocích apod. Během uvažovaných sezón se chování
hodnot sledovaného znaku odlišuje od běžného chování ve zbytku sledovaného období,
zaznamenáváme v chování tzv. sezónní složku. Podrobněji se budeme analýzou časových řad
zabývat v následujících kapitolách tohoto textu. Na tomto místě uvedeme příklad situace, kdy
je možné k analýze časové řady se sezónními složkami výhodně využít fiktivních
proměnných, které identifikují tyto sezónní složky a umožňují tak odstranění sezónnosti. To
přispívá k lepšímu pochopení chování sledovaného ukazatele. V ekonomické praxi jsou
důležité časové řady, jako např. míra nezaměstnanosti, spotřebitelský cenový index (CPI),
index průmyslové výroby aj., publikovány ve formě časových řad „očištěných" od sezónnosti.
Pro ilustraci techniky fiktivních proměnných budeme uvažovat příklad měsíčních tržeb
prodeje ledniček v jistém supermarketu. Sezónami zde budou 4 čtvrtletí roku, proto budeme
uvažovat regresní model se 4 fiktivními proměnnými bez úrovňové konstanty. Tento postup
jsme zvolili proto, abychom ukázali druhou možnost volby počtu fiktivních vysvětlujících
proměnných, viz subkapitolu 7.2 (a Poznámku tam uvedenou), kde jsme použili metodu, která
by vedla v tomto případě ke 3 fiktivním proměnným, avšak s úrovňovou konstantou. Zde tedy
uvádíme druhý způsob řešení se 4 fiktivními proměnnými, avšak bez úrovňové konstanty.
Budeme uvažovat následující regresní model
y = jBod0 +{hd\ +fí>d2+/M3, + £, (7.5)
kde y je vysvětlovan á proměn n á - měsíční prodej ledniček, dt, i = 0,1,2,3, jsou fiktivní
proměnné pro první, druhé, třetí a čtvrté čtvrtletí roku. Data prodejů za 32 po sobě jdoucích
měsíců (v tis. Kč) jsou uvedena v následující tabulce.
y - tržby dO d1 d2 d3 y - tržby dO d1 d2 d3
1317 1 0 0 0 943 1 0 0 0
1615 0 1 0 0 1175 0 1 0 0
1662 0 0 1 0 1269 0 0 1 0
1295 0 0 0 1 973 0 0 0 1
1271 1 0 0 0 1102 1 0 0 0
1555 0 1 0 0 1344 0 1 0 0
1639 0 0 1 0 1641 0 0 1 0
1238 0 0 0 1 1225 0 0 0 1
1277 1 0 0 0 1429 1 0 0 0
1258 0 1 0 0 1699 0 1 0 0
1417 0 0 1 0 1749 0 0 1 0
1185 0 0 0 1 1117 0 0 0 1
1196 1 0 0 0 1242 1 0 0 0
1410 0 1 0 0 1684 0 1 0 0
1417 0 0 1 0 1764 0 0 1 0
919 0 0 0 1 1328 0 0 0 1
-100-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Uvedeme řešení pomocí Excelu. V hlavním menu otevřeme postupně položky:
Data -» Analýza dat... -» Regrese
Data uložíme ve worksheetu v poli s adresou al:e33 (viz níže), zadávací okno vyplníme
takto:
Regrese
Vstup
Vstupní oblast Y:
Vstupní oblast X: |$B$1:$E$33
W Popisky W Konstanta je nula
V Hladina spolehlivosti [ŠŠ %
-Možnosti v ý s t u p u —
(* Výstupní oblast:
C Nový list:
C Nový sešit
Rezidua
ItHíl
V Rezidua
| ~ Standardní rezidua
l~~ Graf s rezidui
~ Graf regresní přímky
Ľ
Ni
r
lormální pravděpodobnost V
Graf pravděpodobnosti
Nápověda
Všimněte si, že jsme zaklikli položku Konstanta je nula. Tato volba umožňuje řešení
regresního modelu bez úrovňové konstanty. Po zadání OK obdržíme řešení uvedené
v následující tabulce. Odhady regresních koeficientů, které jsou všechny statisticky významné
(viz sloupec Hodnota P, jde o velmi malá čísla), má regresní nadrovina rovnici
y = 1222,13J0 +1467,50di + 1569,75J2 +1160,00d3- (7.6)
Regresní koeficienty v (7.6) představují průměrné hodnoty prodejů v jednotlivých čtvrtletích.
Zvolíme-li jako výchozí úroveň hodnoty prodejů v 1. čtvrtletí, potom sezónní faktor S, Mého
čtvrtletí obdržíme jako rozdíl mezi bi a bo, tj. S, = bi - bo. V našem příkladu je So = 0,
Si = 245,38, S2 = 247,63, S3 = - 62,13.
Další použití fiktivních proměnných si ukážeme v kapitole o sezónních modelech
časových řad.
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,729244
Hodnota spolehlivosti R 0,531797
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,445918
Chyba stř. hodnoty 169,6785
Pozorování 32
ANOVA
Rozdíl :
MS F ýznamnost F
Regrese 4 228909 7,950768 0,000227
Rezidua 28 28790,8
Celkem 32
Koeficienty tstat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 0 #N/A #N/A #N/A #N/A
dO 1222,13 20,372 2.5E-18 1099,24 1345,01
d1 1467,50 24,46224 1,94E-20 1344,615 1590,385
d2 1569,75 26,16668 3.18E-21 1446,865 1692,635
d3 1160,00 19,33642 9,81E-18 1037,115 1282,885
-101 -
Fiktivní proměnné
Můžeme tedy shrnout: Jedním ze způsobů, jak kvantifikovat přítomnost nebo
nepřítomnost nějaké vlastnosti, je konstrukce nových proměnných, které toto vyjadřují
pomocí čísel 1 nebo 0, přitom 1 indikuje přítomnost a 0 nepřítomnost vlastnosti. Tyto
proměnné se nazývají fiktivní proměnné (anglicky dummy variables). Fiktivní proměnné lze
zavést do regresního modelu stejně snadno, jako jakékoliv jiné kvantitativní proměnné, které
jsme použili např. v předchozí kapitole. V této kapitole jsme ukázali, jak vytvořit regresní
model, který obsahuje výlučně fiktivní vysvětlující proměnné a také model, který je
kombinací fiktivních a obvyklých vysvětlujících proměnných. Na konec jsme ukázali, jak lze
fiktivní proměnné výhodně použít pro sezónní data k identifikaci jednotlivých sezón.
7.5 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
7.1 V následující tabulce jsou uvedeny roční úspory a příjmy rodin za období od roku 1979 do
roku 1996. Protože po roce 1989 došlo ke změně ekonomického chování rodin, použijte
fiktivní proměnnou k vysvětlení změny závislosti úspor na příjmech, viz sloupec „období".
rok úspory příjmy období
1979 57,7 831,8 0
1980 66,3 894 0
1981 61,4 981,6 0
1982 89 1101,7 0
1983 96,7 1210 0
1984 104,6 1313,4 0
1985 95,8 1451,4 0
1986 90,7 1607,5 0
1987 110,2 1812,4 0
1988 118,1 2034 0
1989 136,9 2258,5 0
1990 159,4 2520,9 1
1991 153,9 2670,8 1
1992 130,6 2836,6 1
1993 164,1 3008,7 1
1994 125,4 3325,3 1
1995 121,7 3531 1
1996 104,2 3780 1
7.6 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
7.1 y, = fio + fi\du + fiiXi + Si, yi.. .úspory; xt.. .příjmy; du ... fiktivní proměnná
Yi = 71,86 + 0,015 Xi + 17,84 du
Hodnota P (signifikance) je u koeficientu b\ (0,236) a u koeficientu (0,465) tedy nulovou
hypotézu o nulovosti koeficientů nelze zamítnout a tyto proměnné nemají vliv na
vysvětlovanou proměnnou.
Vynecháme-li fiktivní proměnnou, dostáváme: Yt = 61,87 + 0,023 xi a hodnota
P u koeficientu b\ je 0,0009 a nulovou hypotézu o nulovosti koeficientu zamítáme. To
znamená, že úspory nezávisí na období, ale na příjmech rodin.
-102-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasová; STATISTICKÉ ZPRACOVANÍ DAT
8 ZÁKLADY ANALÝZY ČASOVÝCH RAD
RÝCHLY NAHLED KAPITOLY
Důležitým nástrojem ke zkoumání dynamiky ekonomických procesů je analýza časových řad.
Časovou řadou přitom rozumíme věcně a prostorově srovnatelná pozorování uspořádaná
v čase směrem od minulosti přes přítomnost k budoucnosti. Obsahem této kapitoly je objasnit
typizaci ekonomických časových řad, vysvětlit elementární charakteristiky časových řad,
uvést základní modely časových řad a popsat jejich složky. Analýza časových řad je vedena
snahou po vysvětlení minulosti a předvídání budoucnosti, v ekonomické oblasti se jedná
o vývojové trendy ukazatelů hospodářské činnosti. Analýza časových řad jako soubor metod
a postupů nabízí širokou škálu nástrojů a technik. Ke klasickým analytickým postupům
založeným na regresi z předchozích kapitol a syntetickým přístupům založeným na
technikách vyrovnání časových řad, přistupuje moderní, výpočetně náročnější harmonická
analýza a Box - Jenkinsova metodologie využívající současného mohutného rozvoje
výpočetní techniky.
8.1 TYPY EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD
Důležitým nástrojem ke zkoumání dynamiky ekonomických procesů je analýza
časových řad. Časovou řadou přitom rozumíme věcně a prostorově srovnatelná pozorování
uspořádaná v čase směrem od minulosti přes přítomnost k budoucnosti. Časové řady členíme
následujícím způsobem:
• podle charakteru časové řady na intervalové časové řady a okamžikové časové řady,
• podle periodicity, s jakou jsou sledovány, na krátkodobé časové řady (méně než roční
periodicita), střednědobé časové řady (roční periodicita) a dlouhodobé časové řady (delší,
než roční periodicita),
• podle druhu sledovaných ukazatelů (údajů) na časové řady absolutních ukazatelů a časové
řady odvozených ukazatelů.
Intervalovou časovou řadou se rozumí časová řada intervalového ukazatele yt, tj.
ukazatele, jehož velikost (hodnota) závisí na délce intervalu, za který je sledován. Pro
ukazatele tohoto typu je možné tvořit součty, z jejich povahy však vyplývá, že se vztahují ke
stejně dlouhým časovým intervalům, jinak by byly hodnoty vzájemně nesrovnatelné. Není
např. správné srovnávat výrobu za leden a únor, neboť únor je z hlediska počtu pracovních
dní kratší. Abychom zajistili srovnatelnost, přepočítáváme všechna sledovaná období na
stejný časový interval. Tato operace se nazývá očišťování časových řad od kalendářních
variací. Údaje očištěné časové řady yř
( 0 )
dostaneme z hodnoty očišťovaného ukazatele
yt takto:
k,
kde kt je průměrný počet dnů v příslušném dílčím období, kt je skutečný počet dnů
v příslušném dílčím období t.
Okamžikovou časovou řadou rozumíme časovou řadu ukazatelů, které se vztahují
k určitému okamžiku, např. počátku nebo konci určitého časového intervalu (období). Protože
-103-
Základy analýzy časových řad
součet za několik za sebou jdoucích okamžikových hodnot obvykle nemá reálný smysl,
shrnují se řady tohoto typu pomocí chronologického průměru.
Pro dané ekvidistantní (stejně vzdálené) časové okamžiky tj, t2,...,tn , ke kterým přísluší
hodnoty okamžikových ukazatelů yi,y2,---,yn je prostý chronologický průměr definován jako
aritmetický průměr z aritmetických průměrů vždy dvou po sobě jdoucích hodnot, tedy:
yx + y2 , y 2 + y 3 , , y„-i + y„
ych = ^ — : A
, (8-2)
n-l
Není-li délka mezi jednotlivými časovými okamžiky stejná, definujeme vážený chronologický
průměr, kde vahami jsou délky jednotlivých časových intervalů d\ = řjt+i - h , k = 1,2,...,n -1:
** =
W L l +r, • ( 8 3 )
rfj + a2 + ... + aB_j
Časový rozdíl mezi časovými okamžiky, tedy délka časového intervalu v okamžikové časové
řadě, se nazývá periodicita časové řady. Je-li periodicita ekonomických časových řad kratší
než jeden rok, hovoříme o krátkodobých časových řadách. Nejčastější periodicitou je měsíční
periodicita. Je-li periodicita roční, hovoříme často o střednědobých časových řadách, při delší
periodicitě, např. pětileté, hovoříme o dlouhodobých časových řadách.
Časovou řadou absolutních hodnot se obvykle rozumí časová řada přímo zjištěných
údajů (v naturálních jednotkách) očištěná od kalendářních variací. Odvozené údaje a z nich
vytvořené časové řady získáme obvykle matematickými operacemi z absolutních údajů.
Většinu důležitých ekonomických časových řad tvoří časové řady ukazatelů vyjádřených
v peněžní formě. Vzhledem ke změnám cenové hladiny, které jsou v tržní ekonomice
přirozené, však v delší časové řadě často dostáváme posloupnost údajů, které nejsou vždy
zcela souměřitelné. Proto důležitým problémem v analýze časových řad je srovnatelnost
údajů, konkrétně cenová srovnatelnost. Při sestavování delší časové řady je možno v zásadě
postupovat dvojím způsobem: použít běžné ceny a vyjádřit v nich absolutní objem určitého
ukazatele, resp. tempa růstu, nebo vycházet ze stálých cen, tj. cen fixovaných k určitému datu.
Používání stálých cen v ekonomice vede ke zmírnění negativních tendencí v účinnosti
základních fondů vyplývajících z vlivu technického rozvoje na výrobu, dále vede ke zreálnění
výsledků hospodářského vývoje vzhledem k mezinárodnímu srovnání.
Vývoj základních ekonomických ukazatelů v České republice je možné sledovat jednak
za jednotlivé roky ve statistických ročenkách, jednak podle jednotlivých měsíců ve
statistických přehledech a bulletinech vydávaných Českým statistickým úřadem. Pro potřeby
vrcholového řízení ve firmách a podnicích slouží především údaje o vývoji základních
ukazatelů podle měsíců, neboť jde o informace s určitým vztahem k okamžité odezvě
v chování ekonomických subjektů, ať už výrobců, nebo spotřebitelů. Jsou to zejména
informace o inflaci (index spotřebitelských cen a indexy životních nákladů), dále informace
o peněžních příjmech a výdajích obyvatelstva, o celkovém prodeji v maloobchodě,
průmyslové, zemědělské a stavební výrobě a též údaje o nezaměstnanosti.
Bohatým zdrojem informaci a dat jsou webové stránky Českého statistického úřadu
(ČSÚ), www.czso.cz případně Statistického úřadu Evropské komise EUROSTAT:
http://epp.eurostat.ec.europa.eu .
-104-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
8.2 ELEMENTÁRNÍ CHARAKTERISTIKY ČASOVÝCH ŘAD
Mezi elementární metody analýzy časových řad patří vizuální analýza chování ukazatele
využívající grafů spolu s určováním elementárních statistických charakteristik, ke kterým
patří absolutní diference různého řádu a koeficient růstu časové řady.
Označíme-li yt hodnoty určitého ukazatele v čase t = \,2,...,n (např. v jednotlivých
měsících), potom absolutní diferencí prvního řádu rozumíme rozdíl:
Am
yt=yt-yt_l,t = 2,3,...,n. (8.4)
Obdobně lze definovat absolutní diference vyšších řádů - druhého, třetího, atd.:
A( 2 )
yř =A( 1 )
yř - A ( 1 )
y ř _ 1 = y, - 2yt_l + yt_2, t = 3,4,...,«,
A( 3 )
yř = A( 2 )
yř - A ( 2 )
y ř _ i = yt - 3y,., + 3y,_2 - yt_3, t = 4,5,...,«, atd.
Další používanou elementární charakteristikou je koeficient růstu, který udává, o kolik
procent vzrostla hodnota časové řady v daném časovém okamžiku oproti období
v předchozím časovém okamžiku:
k= — ,t = 2,3,...,n. (8.5)
y,-i
Při hodnocení vývoje za celou analyzovanou řadu zjišťujeme souhrnné charakteristiky průměrný
absolutní přírůstek:
Ä =J
- Ž A ^ y = ^ f , (8.6)
n — 1f = 2 n — 1 t
a průměrný koeficient růstu:
k=^k2k3...kn ="-]—• (8.7)
V ^ i
Jak průměrný absolutní přírůstek, tak průměrný koeficient růstu závisí pouze na první
a poslední hodnotě časové řady. Průměrný absolutní přírůstek ukazuje, o kolik by se měl
ukazatel pravidelně měnit (v absolutních jednotkách), aby se hodnota ukazatele změnila
z původní první hodnoty y\ na poslední hodnotu yn. Naproti tomu průměrný koeficient růstu
poskytuje informaci, o kolik procent by se měla hodnota ukazatele měnit, tj. jaká by měla být
rychlost růstu (poklesu), aby se hodnota ukazatele změnila z původní první hodnoty y\ na
poslední hodnotu yn.
8.3 MODELY EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD
Modelový přístup k analýze časových řad bude vycházet z předpokladu, že jediným
faktorem dynamiky ukazatele v časové řadě je čas. Ostatní faktory působící na hodnotu
ukazatele budeme většinou zanedbávat. Model časové řady tohoto typu můžeme zapsat ve
formě:
yt=f{t,et), (8.8)
kde yt je hodnota analyzovaného ukazatele v čase t, f je určitá funkce (typ závislosti), t je
časová proměnná, et je hodnota náhodné složky. Modely časových řad založené na výše
uvedeném principu se nazývají jednorozměrné modely.
Každá časová řada může obsahovat 4 složky, které vyjadřují různé druhy pohybu
analyzovaného ukazatele:
-105-
Základy analýzy časových řad
• trendovou složku (trend) T,,
• sezónní složku St,
• cyklickou složku Ct,
• náhodnou složku et.
Trendová, sezónní a cyklická složka tvoří společně systematickou (deterministickou)
složku kterou značíme Yt , tj. Yt =Tt +St + Ct. Zpravidla se uvažuje, že složky Yt jsou
v aditivním vztahu, takže model časové řady můžeme zapsat ve tvaru:
yt=Tt + S, + C,+et. (8.9)
V tom případě mluvíme o aditivním modelu časové řady. V ekonomických časových řadách
se nejčastěji setkáváme se dvěma speciálními případy modelu (8.9). U střednědobých modelů
(s roční periodicitou) se obvykle předpokládá S, = C, = 0, pak model časové řady (8.9) má
tvar:
y,=T,+et. (8.10)
U krátkodobých modelů časových řad (s čtvrtletní nebo měsíční periodicitou) se předpokládá,
že C, = 0, a tedy model (8.9) má tvar:
yt=Tt+St + £t, (8.11)
mluvíme pak o časové řadě se sezónní složkou.
Vedle aditivního modelu (8.9) je multiplikativní model založen na předpokladu, že
vzájemný vztah jednotlivých složek obsažených v modelu je dán vzájemným násobením:
yt=T-St-Ct-et. ' . . .
Popis a kvantifikace jednotlivých složek modelu časové řady patří k hlavním úkolům analýzy
časových řad.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 8.1
V tabulce jsou uvedeny průměrné měsíční mzdy zaměstnanců ve státní správě v letech
1989-1997. Pro tuto časovou řadu vypočítejte:
a. absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek,
b. koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu.
Roky 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Mzda 2980 3110 4500 5650 7460 8930 10670 12820 13250
Řešení:
a. Absolutní přírůstky vypočítáme podle vztahu (8.4):
A( 1 )
y2 =y2-yl =3110-2980= 130, atd.
Výsledek říká, že průměrná měsíční mzda stoupla v letech 1989-1990 o 130 Kč.
Všechny absolutní přírůstky jsou uvedeny v následující tabulce.
Průměrný absolutní přírůstek je podle (8.6):
z = i z A = 13250-2980
n-í 8
b. Koeficienty růstu vypočítáme podle vztahu (4.5). Např.:
y2 3110
k2 = — = —— = 1,0436.2
yl 2980
Průměrná měsíční mzda vzrostla v letech 1989-1990 o 4,36%.
-106-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Hodnoty ostatních koeficientů růstu jsou uvedeny v následující tabulce.
Průměrný koeficient růstu vypočítáme podle (8.7):
F = J ^ = * & 1,205.
Vy, V 2980
Výsledek ukazuje, že mzdy rostly ročně v průměru o 20,5%.
Roky 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Mzda 2980 3110 4500 5650 7460 8930 10670 12820 13250
A(1
>y 130 1390 1150 1810 1470 1740 2150 430
k 1,04 1,45 1,26 1,32 1,20 1,19 1,20 1,03
8.4 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
8.1 V tabulce jsou uvedeny počty prodaných automobilů v autocentru A+A v letech 1990 až
1997. Pro tuto časovou řadu vypočítejte:
a) absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek
b) koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu.
Rok 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Počet 120 159 167 175 197 172 199 240
8.5 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
8.1
Rok Počet Abs.přírůstky Koeficienty růstu
1990 120 XXX XXX
1991 159 39 1,325
1992 167 8 1,050
1993 175 8 1,048
1994 197 22 1,126
1995 172 -25 0,873
1996 199 27 1,157
1997 240 41 1,206
Průměrný absolutní přírůstek je podle (8.6): A = 17,14.
Průměrný koeficient růstu vypočítáme podle (8.7): k = 1,104.
Počet prodaných automobilů rostl ročně v průměru o 10,4%.
-107-
Analýza trendu časových řad
9 ANALÝZA TRENDU ČASOVÝCH ŘAD
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
V této kapitole se budete zabývat trendovou složkou časové řady, která představuje
nejdůležitější komponentu analyzované časové řady. Proto popis trendu je jedním
z nejdůležitějších úkolů analýzy časových řad. Vycházíme přitom z předpokladu, že jediným
faktorem vývoje dynamiky analyzovaného ukazatele je čas. Trendová složka totiž poskytuje
rozhodující informaci pro prognózovaní hodnot časové řady do budoucna. K určení trendové
složky používáme dva obecné přístupy: analytický a syntetický. Analytický přístup stanovení
trendu vychází z předem známých typů trendových funkcí vyznačujících se přítomností
parametrů, které je třeba stanovit co nejlépe s ohledem na skutečné hodnoty ukazatele časové
řady. Z velkého množství používaných trendových funkcí se zaměříme na několik z nich,
které mají význam především v ekonomických aplikacích. Jsou to: lineární trend, parabolický
trend, exponenciální trend, logistický trend a Gompertzův trend. Syntetický přístup stanovení
trendu spočívá ve vyrovnání odchylek daného ukazatele v časové řadě tak, že získané
vyrovnané hodnoty vyjadřují trendový faktor obsažený pouze v časové řadě, nikoliv faktor
vložený z vnějšku. Nemusíte proto znát předem typ trendové funkce, což je přednost
syntetického přístupu oproti přístupu analytickému. Jeho nevýhodou je naopak obtížnější
využití pro prognózovaní hodnot časové řady. Z existujících metod syntetického přístupu
uvedeme metody klouzavého průměru a exponenciální vyrovnání.
9.1 TRENDOVÁ SLOŽKA ČASOVÝCH ŘAD
Jak již bylo v průvodci studiem řečeno, v této kapitole vycházíme z předpokladu, že
jediným faktorem vývoje dynamiky analyzovaného ukazatele je čas t. Jednoduchý způsob
volby časové proměnné spočívá v jejím zavedení tak, že časová řada začíná v okamžiku 1, ke
kterému se vztahuje první člen analyzované časové řady y\. Další časové okamžiky
označujeme po řadě přirozenými čísly 2,3,...,n. Symbol n označuje poslední uvažovaný
časový okamžik a zároveň i počet uvažovaných časových okamžiků.
Jiný jednoduchý a výhodný způsob označení časové proměnné spočívá v zavedení nové
časové proměnné ť následujícím způsobem:
ť = (t-t), (9.1)
o - n +1
je-li počet členů časové řady n lichý, pak t = —^—, nebo
ť = 2(t-t), (9.2)
je-li počet členů n sudý. Nová časová proměnná splňuje důležitý požadavek:
2 > ' = 0 . (9-3)
Trendová složka představuje nejdůležitější komponentu analyzované časové řady, a proto
popis trendu je jedním z nejdůležitějších úkolů analýzy časových řad. Trendová složka totiž
poskytuje rozhodující informaci pro prognózovaní hodnot časové řady do budoucna. K určení
trendové složky používáme dva obecné přístupy: analytický a syntetický.
Analytický přístup stanovení trendu vychází z předem známých typů trendových funkcí
vyznačujících se přítomností parametrů, které je třeba stanovit co nejlépe s ohledem na
skutečné hodnoty ukazatele časové řady. Z velkého množství používaných trendových funkcí
se zaměříme na několik z nich, které mají význam především v ekonomických aplikacích.
-108-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Jsou to: lineární trend, parabolický trend, exponenciální trend, logistický trend a Gompertzův
trend. Výhodou těchto trendových funkcí je to, že je lze snadno použít pro účely
prognózovaní. Nevýhodou je fakt, že typ trendové funkce musíme stanovit předem na základě
externích, mnohdy subjektivních předpokladů a informací. Nejužívanější metodou odhadu
neznámých parametrů trendové funkce je metoda nejmenších čtverců (MNČ), s níž jsme se
setkali již v kapitole 3. Zde tuto metodu aplikujeme na speciální typ jednoduché regrese pro
data ve formě ekonomické časové řady, tedy případ, kdy nezávisle proměnnou je čas a závisle
proměnnou tvoří sledovaný ekonomický ukazatel. Kromě metody nejmenších čtverců pro
nelineární trendové funkce uvedeme alternativní metodu vybraných bodů (MVB).
Syntetický přístup stanovení trendu spočívá ve vyrovnání odchylek daného ukazatele
v časové řadě (tzv. vyrovnání) tak, že získané vyrovnané hodnoty vyjadřují trendový faktor
obsažený pouze v časové řadě, nikoliv faktor vložený z vnějšku. Nemusíme proto znát
předem typ trendové funkce, což je přednost syntetického přístupu oproti přístupu
analytickému. Jeho nevýhodou je naopak obtížnější využití pro prognózovaní hodnot časové
řady. Z existujících metod syntetického přístupu uvedeme metody klouzavého průměru
a exponenciální vyrovnání.
9.2 LINEÁRNÍ TREND
Nejčastěji používanou trendovou funkcí je lineární trendová funkce:
T^A+fr, (9.4)
kde J30,^l jsou neznámé parametry a t = 1,2,...,n je časová proměnná. Odhady neznámých
parametrů, které označujeme b0,bl, získáme metodou nejmenších čtverců, která dává nejlepší
nestranné odhady. V souladu s postupem z kapitoly 3 je zapotřebí vyřešit 2 normální rovnice
(3.12), kde xt nahradíme t:
Xryř =&o2> + frJ>2
- (9-6)
Použijeme-li nyní časové transformace (9.1), (9.2) a s využitím vztahu (9.3) dostaneme
jednoduché řešení normálních rovnic (9.5), (9.6):
b = ^ b = ^ (9 7)
Parametr b0 interpretujeme jako aritmetický průměr hodnot časové řady, parametr bl udává,
jaký přírůstek hodnoty Tt odpovídá jednotkovému přírůstku proměnné t.
9.3 PARABOLICKÝ TREND
Rozšířením lineárního trendu o kvadratický člen dostaneme parabolickou trendovou
funkci:
Tt=/3Q + ftt + /32t2
, (9.8)
kde /5a,/5v/52 jsou neznámé parametry a t = 1,2,...,n je časová proměnná. Odhady
neznámých parametrů, které označujeme b0,bl,b2, získáme metodou nejmenších čtverců
řešením soustavy 3 lineárních rovnic o 3 neznámých:
-109-
Analýza trendu časových řad
^ ť y ^ b ^ ť + b^ity+b^iťf , (9.9)
YJ{ť)2
y,=b^{ťý+blYJ{ťÝ+b2YJ{ť)A
.
Z podmínky (9.3) dostaneme z rovnice (9.9) ihned řešení:
bx=+^. (9.10)
Dosazením (9.10) do zbývajících dvou normálních rovnic obdržíme ještě řešení b0,b2 '•
B A^IÁ^I ' ^Y
' , (9.ii)
bi=
n
T^lzLzS^L. ( 9.i2)
9.4 MOCNINNÝ TREND
Mocninná trendová funkce má tvar:
Tt=P/\ (9.13)
avšak namísto něj uvažujeme model, jenž vznikne logaritmováním obou stran (9.13):
lnr( =ln/?0 + y^lnr,
kde ln je přirozený logaritmus o základu e = 2,718... Použijeme analogický postup jako
v případě jednoduché lineární regrese v kapitole 2.2.6. Jestliže nyní použijeme substituce
Tt'=\nTt, t" = \nt, (9.14)
^ = l n / J 0 , #' = # , (9.15)
obdržíme „čárkovaný" lineární trend:
T,'=fil + fiť, (9.16)
jehož parametry /?„',/?,' (regresní koeficienty) odhadneme metodou nejmenších čtverců
a obdržíme tak jejich odhady b'0 ,b[. Ze vztahů (9.15) vypočteme zpětně odhady b0 ,bl:
bQ = eh
°, bx = b[.
9.5 EXPONENCIÁLNÍ TREND
Exponenciální trendová funkce má tvar:
který substitucemi:
T;=\nTt, t" = t, (9.18)
Ä = I n A , Ä = M . (9-19)
lze rovněž transformovat na „čárkovaný" lineární trend, jehož parametry odhadneme
metodou nejmenších čtverců, a obdržíme tak odhady b'Q,b[. Ze vztahů (9.19) vypočteme
odhady b0,bl původního nelineárního regresního modelu (9.17):
b0=eb
'\b,=e*.
Použití exponenciálního trendu bude demonstrováno na příkladu v závěru této kapitoly.
-110-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
9.6 LOGISTICKÝ TREND
Logistická trendová funkce patří k nelineárním trendům, které se vyznačují horní
asymptotou, tj. hranicí, k níž se hodnoty ukazatele přibližují pro neomezeně rostoucí hodnoty
času, a jedním inflexním bodem, v němž graf logistické funkce přechází z konvexního do
konkávního tvaru. Pro tvar podobný písmenu S se takovým křivkám říká S-křivky.
V ekonomické oblasti, speciálně v marketingu, se tato funkce používá pří modelování
poptávky po zboží dlouhodobé spotřeby, ale také při modelování vývoje výroby a prodeje
některých druhů výrobků.
Na rozdíl od předchozích trendových funkcí, které byly definovány jednoznačně,
logistická funkce bývá vyjadřována v několika různých variantách, uvedeme zde
nejpoužívanější tvar:
T= (9.20)
kde J30,fa, /f jsou neznámé parametry a t = \,2,...,n je časová proměnná, přitom se kvůli
zachování tvaru S-křivky předpokládá, že 0 < K, 0 <fa,0 <fa< 1. Odhady neznámých
parametrů, označujeme je bQ,bx, k, lze opět získat metodou nejmenších čtverců, která dává
nejlepší výsledky, i když vede na řešení soustavy nelineárních rovnic vyžadující použití
složitějších výpočetních metod - iteračních metod. Proto zde ukážeme jinou metodu výpočtu
neznámých parametrů, která sice nevede z teoretického pohledu k nejlepším odhadům, avšak
její výhoda spočívá ve výpočetní nenáročnosti umožňující „ruční" výpočet. Tato metoda se
nazývá metoda vybraných bodů a spočívá v tom, že z daných údajů časové řady vybereme
3 charakteristické hodnoty - body, kterými necháme logistickou trendovou křivku procházet,
jinými slovy, položíme empirické hodnoty rovny hodnotám teoretickým. Jestliže
charakteristické hodnoty Tt,Tt,Th odpovídají časovým okamžikům tut2,t3, kde tl<t2<t3,
pak ze vztahu (4.33) obdržíme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých fa, fa , K
K K K
T = T = T = (921)
jejichž řešením získáme odhady neznámých parametrů ba,b{, k. Výpočty v metodě vybraných
bodů můžeme usnadnit, když charakteristické body zvolíme ekvidistantně:
tx =0,t2= A, t3 = 2A,
kde A je určitý časový interval. Za tohoto předpokladu je řešení soustavy následující:
k-T,
b = -
(9.22)
2TT T -Tt
2
ÍT +T, )
k= h h h
^ ^ . (9.23)
Z výše uvedeného vztahu (9.23) lze přímo vypočíst parametr k, jeho dosazením do vztahu
(9.22) vypočítáme parametry b0 ,b{. Jak se snadno zjistí, hodnota asymptoty logistické křivky
- 777 -
Analýza trendu časových řad
1£
je , což představuje horní mez, k níž se limitně přibližuje hodnota trendové funkce při
i+A>
velkých hodnotách času t.
9.7 GOMPERTZŮV TREND
Ve srovnání s předchozí logistickou trendovou funkcí je Gompertzův trend jiným typem
5-křivky:
Tt = Kfif , (9.24)
kde opět , /rjsou neznámé parametry a t = \,2,...,n je časová proměnná, přitom se kvůli
zachování tvaru S-křivky předpokládá, že 0 < K, 0 < /?0,0 < J3X < 1. Odhady těchto k
parametrů získáme opět metodou nelineární regrese (metodou nejmenších čtverců),
eventuálně metodou vybraných bodů, jako v předchozím odstavci. Asymptota Gompertzovy
křivky je rovnoběžná s osou t ve vzdálenosti k, přičemž inflexní bod křivky není na rozdíl od
logistického trendu (9.20) umístěn uprostřed mezi časovou osou a asymptotou.
9.8 VOLBA VHODNÉHO MODELU TRENDU
Závažným problémem analýzy časových řad je problém stanovení konkrétního typu trendové
funkce. Základem pro rozhodnutí o vhodném typu funkce by měla být věcně-ekonomická
kritéria, tedy trendová funkce by měla být volena na základě věcné analýzy zkoumaného
ekonomického jevu. Během věcného rozboru lze obvykle posoudit, zda jde o funkci rostoucí
(nebo klesající), s trendem růstu nade všechny meze, či k určité konečné hodnotě (asymptotě).
Grafické znázornění časové řady umožní v hrubých rysech odhalit základní tendence ve
vývoji analyzovaného ukazatele. Nebezpečí volby na základě vizuálního výběru spočívá však
v jeho subjektivitě. Různí analytici mohou danou situaci posoudit různě a zvolit rozdílné typy
trendové funkce. Nebezpečí tu plyne i z toho, že tvar grafu je do značné míry závislý na volbě
použitého měřítka.
Přiléhavost dat k trendové (regresní) křivce jsme v kapitole 3 měřili koeficientem determinace
R2
, viz (3.18):
fl2=±_r = 1_±_« . (9.25)
Tento koeficient můžeme k porovnání vhodnosti různých modelů trendu použít i nyní.
V zásadě lze přijmout hodnocení, v němž nejvhodnější model trendu dává nejvyšší hodnotu
koeficientu determinace R2
. Vzhledem k tomu, že hodnota Sy je dána, závisí velikost R2
na
velikosti reziduálního součtu čtverců SR ; čím je jeho hodnota menší, tím je hodnota R2
větší
(blíže k jedné). Taková metoda hodnocení trendu časové řady však upřednostňuje modely
s větším počtem parametrů. Protože se zejména u ekonomických časových řad snažíme o
nalezení jednoduchého tvaru trendu, je lepší k hodnocení vhodnosti modelu použít reziduálni
rozptyl:
s 2
R = - ^ , (9.26)
n — p
-112-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
kde
SR=±(yi-Yif
je reziduálni součet čtverců, n je počet datových bodů a p je počet parametrů v modelu.
Z tvaru (9.26) je zřejmé, že hodnota reziduálního rozptylu roste s rostoucím počtem
parametrů, což odpovídá výše uvedenému požadavku po co nejmenším počtu parametru
v trendové funkci. Vhodný model trendu bude tedy „kompromisem" mezi velikostmi hodnot
R2
a p.
Volbu vhodné trendové funkce lze podpořit také testy hypotéz. Z celé řady různých testů
uvedeme známý F-test, který slouží pro rozhodování, zda má smysl dávat přednost
složitějšímu modelu (s větším počtem parametrů) před jednodušším modelem (s menším
počtem parametrů). Testujeme nulovou hypotézu, že totiž pokud jde o přiléhavost dat ke
zvoleným trendovým funkcím, není mezi modely statisticky významný rozdíl. Tento test je
založen na statistice:
o ( 2 ) _ o ( l )
F= %f2
. (9-27)
R
n-pl
kde hodnoty Sj\Sg\p1 přísluší ke složitějšímu modelu, hodnoty Sj2)
,p2 přísluší
k jednoduššímu modelu, tj. p{> p2, ST
2)
> . Statistika (9.27) má přibližně Fisherovo
rozdělení F s p{- p2 a n- pl stupni volnosti. V případě, že vypočítaná hodnota statistiky
padne do kritického oboru, lze na zvolené hladině významnosti a usuzovat, že model s větším
počtem parametrů přináší výrazné zlepšení oproti jednoduššímu modelu.
9.9 KLOUZAVÉ PRŮMĚRY
V posledních dvou odstavcích této kapitoly věnované trendovým funkcím se budeme
zabývat dvěma metodami syntetického způsobu stanovení trendu časové řady. Jak již bylo
řečeno, syntetický přístup stanovení trendu spočívá ve vyhlazení a vyrovnání odchylek
daného ukazatele v časové řadě takovým způsobem, že získané vyrovnané hodnoty vyjadřují
trendový faktor obsažený pouze v časové řadě, nikoliv však vnější faktory. Nemusíme proto
znát předem typ trendové funkce, což je přednost syntetického přístupu oproti přístupu
analytickému, kde jsme typ trendové funkce museli stanovit předem. Jeho nevýhodou je
naopak obtížnější využití pro prognózovaní hodnot časové řady. Z existujících metod
syntetického přístupu uvedeme metody klouzavého průměru a exponenciální vyrovnání.
Podstata vyrovnání časové řady pomocí klouzavých průměrů spočívá v tom, že posloupnost
hodnot časové řady nahradíme novou řadou průměrů vypočítaných s kratších úseků časové
řady, přičemž tyto kratší úseky postupně posouváme (kloužeme) směrem od začátku ke konci
časové řady, a současně vypočítáváme dílčí průměry - klouzavé průměry. Vzniká důležitý
problém, který je nutno předem řešit: jaký má být počet členů klouzavé části průměru.
Klouzavou částí průměru budeme tedy rozumět časový interval určité délky, který se
posunuje po časové ose vždy o jednotku. Volba rozsahu klouzavé části závisí na věcném
(ekonomickém) charakteru časové řady a nelze ji obvykle stanovit na podkladě exaktních
statistických metod. V praxi jsou u ekonomických neperiodických časových řad voleny
většinou klouzavé části menší liché délky, např. 3, 5 nebo 7 časových jednotek, což souvisí se
snadnější interpretovatelností výsledků, neboť pak můžeme hodnotu klouzavého průměru
-113-
Analýza trendu časových řad
přiřadit prostřednímu časovému okamžiku klouzavé části. U periodických časových řad se
volí délka klouzavých části totožná s délkou periody (sezóny, cyklu).
Uvažujme časovou řadu yl,y2, y3,— yn • Prosté klouzavé průměry získáme tak, že úseky
časové řady o délce m = 2/7 + 1, přičemž m < n, p > 1, celé číslo, vyrovnáme lineárním
trendem s využitím metody nejmenších čtverců. Výsledkem je vzorec pro hodnoty vyrovnané
časové řady ve formě aritmetického průměru:
- _ i y 1
_ yt-p+
y^-p+i +•••+yt+P-i+
m 1 f i \
2p + lt=_p 2p + l
kde t = p + l,p + 2,...,n-p. Přitom p hodnot na začátku a p hodnot na konci časové řady
zůstává nevyrovnáno.
Kromě prostých klouzavých průměrů se někdy používají složitější vážené klouzavé
průměry, případně centrované klouzavé průměry. Ty získáme tak, že namísto lineárního
trendu v každém úseku použijeme polynomický trend vyššího řádu, tj. kvadratickou parabolu,
kubickou parabolu apod. Metodou nejmenších čtverců obdržíme poměrně složité vzorce pro
výpočet vyrovnaných hodnot. Vzhledem k poměrně řídkému použití těchto složitějších
klouzavých průměrů se jimi zde nebudeme dále zabývat. Zájemce odkazujeme na literaturu,
např. Seger (1998).
9.10 EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁNÍ
Další metodou vyhlazování časové řady, tedy syntetického stanovení trendu, je
exponenciální vyrovnání. Při něm se nová vyrovnaná hodnota stanoví na základě
exponenciálně váženého průměru současné hodnoty a všech předchozích hodnot časové řady.
Přitom se používá systém koeficientů - vah, kdy novější hodnota má vždy větší váhu
(tj. důležitost), než hodnota starší.
Nechť y, značí pozorovanou hodnotu v časovém okamžiku t, w je váha přiřazená
současné hodnotě, 0 < w < 1, ýt je vyrovnaná hodnota v čase t. Metoda exponenciálního
vyrovnání začíná tím, že první vyrovnanou hodnotu časové řady ýx (v čase 1) položíme rovnu
pozorované hodnotě yx, tedy:
$i = Ji •
Následující vyrovnané hodnoty definujeme rekurentním vztahem:
ýt =Wyt + (1 - W)yt_x, t = 2,3,...n, (9.29)
který umožňuje postupně vypočítat všechny vyrovnané hodnoty dané časové řady. Ze vztahu
(9.28) lze snadno odvodit vztah:
ýt = wyt + w(l - w)yt_\ + w(l - w)2
yt_2 +... + w(l - w)'~2
y2 + (l — w)'~l
yt.
Z posledního vztahu je vidět, že vyrovnaná hodnota časové řady v čase t závisí na všech
předchozích nevyrovnaných hodnotách s tím, že do celkového součtu vstupují starší hodnoty
s menší vahou
wt_. =w ( i - wy, (9.30)
kde i = 0,l,...,ř-2. Vzhledem k tomu, že platí 0 < w < 1, je zřejmé, že se hodnota w,_;
exponenciálně zmenšuje s rostoucím i, tj. rostoucím „stářím" dat. Váhu w nazýváme
koeficient exponenciálního zapomínání. Ze vztahu (9.30) vyplývá, že čím vyšší je koeficient
zapomínání, tím menší je hodnota (1 - w), a tedy také (1 - w)1
, což znamená, že váha význam
starších dat klesá, starší data se rychleji zapomínají. Je-li např. w - 0,9, tedy
koeficient zapomínání je 90%, potom za jednotku času se vliv hodnoty y(_ř zmenší na
-114-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
{\-w)yt_i=Q,\yt_i, což znamená, že se „zapomene" 90% hodnoty. V praxi se používají
obvykle váhy z intervalu 0,7 až 1,0. Pro výpočet exponenciálně vyrovnaných hodnot časové
řady je ovšem výhodnější rekurentní vztah (9.29).
Kromě výše uvedené metody se v praxi využívají i složitější postupy exponenciálního
vyrovnání, které se zařazují do skupiny metod, kterým se říká adaptivní metody. Zájemce
odkazujeme např. na práce Seger (1998), Cipra (1986).
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 9.1
V následující tabulce jsou uvedeny počty prodaných automobilů v autocentru A+A
v letech 2000 až 2007. Pro tuto časovou řadu vypočítejte:
Rok 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Počet 120 159 167 175 197 172 199 240
a. Trend v prodeji automobilů popište lineární trendovou funkcí.
b. Jaký počet prodaných automobilů lze očekávat v roce 2008 s 95% pravděpodobností?
(Stanovte bodový odhad a 95%-ní interval spolehlivosti prognózy.)
c. Stanovte koeficient determinace a na jeho základě určete přiléhavost dat k trendové
funkci.
Řešení:
a. Podle vztahu (9.2) zavedeme novou časovou proměnnou ť (viz následující tabulka).
Rok ť yt ť 1
ytť Ť (y-f f (y-y f
2000 -7 120 49 -840 133,818 190,937 3436,891
2001 -5 159 25 -795 146,620 153,264 385,141
2002 -3 167 9 -501 159,422 57,426 135,141
2003 -1 175 1 -175 172,224 7,706 13,141
2004 1 197 1 197 185,026 143,377 337,641
2005 3 172 9 516 197,828 667,086 43,891
2006 5 199 25 995 210,630 135,257 415,141
2007 7 240 49 1680 223,432 274,499 3766,891
Součet 0 1429 168 1077 1629,552 8533,875
Odhady bo, b\ parametrůfío,(3\ trendové funkce:
Tt=f30+f3/,ť = -7,-5,-3,...
vypočítáme podle vztahů:
0
n 8 1 1 6 8
Odhadnutá trendová funkce má tvar:
Ť = 178,625 + 6,41 ť, ť = -7, -5, -3,...
b. Očekávaný prodej v roce 2008 vypočítáme dosazením ť, které odpovídá roku 2008,
do rovnice trendu:
i = 178,625 + 6,401-9 = 236,32.
- 7 7 5 -
Analýza trendu časových řad
Intervalovou předpověď obdržíme dosazením potřebných hodnot do vztahu (4.8). Ve
speciálním případě časové řady, kdy ŕ,- = xt, obdržíme po úpravách následující vztah pro
interval spolehlivosti predikce na i časových okamžiků dopředu:
[y(n+i) -tx-odn-T)SRJQJÍ) , y(n+i) + tX-odn-2) sR^Qn{i) ],
kde y(n + i) = Ť = 236,32 ,
h-oa(n - 2) = 2,45 ,
SR | sR
n — p
a ( o = J ( i - ^ ) f ^ | , ŕ = i .
\ (n -l)(n-2)
Z tabulky obdržíte SR = 1629,552. Potom směrodatná chyba odhadu sR je
11629,552 . , A O
* * =
V - 8 = i 1 6 / W
K
výpočtu Qn(i) je zapotřebí znát hodnotu koeficientu determinace 7?2
, tj.
^ = 1 - ^ = 1 - 1 ^ 5 2 =0,809.
Sv 8533,875
Výpočet součtu SY je uveden v tabulce. Potom
e»(i)= (1-0,809 ) 8 < 6 4
- " + 1 2
=, Ú l • M - OS 1.
V (64-l)f8-2) V 378
Dosazením výše vypočítaných hodnot do obecného vztahu obdržíte levou (L) a pravou (P)
mez intervalové předpovědi.
L = 236,315 - 2,447-16,48- VÔŠT = 207,52.
P = 236,315 + 2,447-16,48- VÔŠT = 265,11.
Bodový odhad prodeje v roce 2008 je 236 automobilů. S 95% pravděpodobností by se mělo
v roce 2008 prodat mezi 208 a 265 automobily.
c. Koeficient determinace byl vypočten v b: R2
= 0,809. Tato hodnota říká, že
přiléhavost dat k trendové funkci je „vysoká".
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 9 . 2
V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu vyrobených myček nádobí v letech 2004-2012.
a. Trend ve výrobě tohoto výrobku popište exponenciální trendovou funkcí.
b. Vypočítejte bodovou prognózu výroby na rok 2013, dále zjistěte koeficient determinace
a na jeho základě zhodnoťte „přiléhavost" dat k trendové funkci.
Rok
2004
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Myčky nádobí
(tis. ks)
8 9 17 20 38 40 70 101 180
- 776-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Řešení:
Nejprve vypočítáte odhady bo, b\ parametrů exponenciální trendové funkce
Tt=MLogaritmováním
této rovnice obdržíte vztah
lnT( =\nfifí+t\nfil.
Zavedením substituce
Tt'=\nTt, ť = t,
se původní rovnice exponenciálního trendu transformuje na rovnici lineárního trendu.
Zavedete novou časovou proměnnou ť viz (9.1) a vypočítáte koeficienty b'0,b[
ž > ; _ 31,4886 23,2315 _,
Potom
0,3872
bQ=e ,3,4987
: 33,07 & j = e ,0,3872
1,47.
Rok t" y y' = lny ť' t" y' T (y-T ý (y- y)2
2004 -4 8 2,0794 16 -8,3178 7,0285 0,8425 2085,7489
2005 -3 9 2,1972 9 -6,5917 10,3519 1,9904 1995,4089
2006 -2 17 2,8332 4 -5,6664 15,2466 2,8771 1344,6889
2007 -1 20 2,9957 1 -2,9957 22,4558 6,2330 1133,6689
2008 0 38 3,6376 0 0 33,0737 24,3049 245,5489
2009 1 40 3,6889 1 3,6889 48,7122 74,1821 186,8689
2010 2 70 4,2485 4 8,4970 71,7452 2,1345 266,6689
2011 3 101 4,6151 9 13,8453 105,6690 16,3831 2240,1289
2012 4 180 5,1930 16 20,7718 155,6333 654,3364 15959,2689
Součet 0 490 31,4886 60 23,2315 783,2839 25458,0001
Hledaná trendová funkce má tvar
7> = 33,07 • 1,47'', t" = -4,-3,-2,....
K bodovému odhadu využijeme nalezenou trendovou funkci, kam dosadíme t" = 5, což je
hodnota, která odpovídá netransformované časové hodnotě t = 2013.
Koeficient determinace vyžaduje znát hodnotu celkového součtu Sy a reziduálního
součtu SR (viz poslední dva sloupce v tabulce).
Pro výpočet reziduálního součtu čtverců je dále třeba znát odhady teoretické hodnoty 7>,
které obdržíme postupným dosazováním za t" do rovnice trendu, tedy např. pro t" = -4:
Ť =33,07-1,47 " 4
= 7,08.
Všechny hodnoty Ť i součtů Sy, SR najdete v tabulce. Pro koeficient determinace platí:
i ? 2
= l - ^ g - = l - 7 8 3 3 3 9
=0,969.
Sy 25458,0001
Hodnota 0,969 říká, že přiléhavost dat k trendové křivce je vysoká.
-117-
Analýza trendu časových řad
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 9.3
V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu výrobků určitého typu (v tis. ks) v letech 1999 - 2009.
Nalezněte logistickou trendovou funkci, která charakterizuje trend dané časové řady.
Prognózujte výrobu pomocí bodového odhadu na rok 2012.
Čas
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2006 2006 2007 2008 2009
Zjištěné hodnoty 5 6 9 16 22 25 32 34 41 44 45
Řešení:
Hledáme odhady parametrů trendové funkce ve tvaru (9.20)
K
Tyto odhady stanovíte metodou vybraných bodů. Abyste mohli k výpočtu použít vztahy
(9.21), (9.22), (9.23), zvolíte opět novou časovou proměnnou ť, viz následující tabulka. Ze
všech údajů v časové řadě vyberete tři časové okamžiky, např. na počátku, uprostřed a na
konci časové osy: t[ = 0,ř2' = 5,r3' = 10. V těchto okamžicích (jsou vyznačeny tučně) položíte
empirické hodnoty rovny hodnotám teoretickým, tedy Tť{ = 5, Tťi = 25,7^ = 45.
t
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2006 2006 2007 2008 2009
ť 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zjištěné hodnoty 5 6 9 16 22 25 32 34 41 44 45
Potom ze vztahů (9.22), (9.23) postupně vypočítáte:
k =
2T
>'J>iT
>'3 ~T
j(T
t[ +r
>3 j= 2• 5• 25• 45-252
(5 + 45) = 5 Q
7>7> - 7 7 5-45-25'
k-T, 50-5
bQ= ^ = 2 ^ = 9, t
Tt[ 5
Odhadovaný logistický trend má tvar
Ť 50
'' 1 + 9-0,644'"
ŕ
Tt;(k-Tt,)^
TAk-Tť)
( 5(50-25)
25(50-5)
= 0,644.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Zjištěné hodnoty
^—Trend
1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
Obr. 9.1. Logistický trend
-118-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Rok 2012 odpovídá v transformované časové ose hodnotě t'= 13. Dosazením do rovnice
zjištěné trendové funkce obdržíte
7 2 0 0 8 =
1 + 9 • 0,64413 = 4 8 , 5 7
~ 4 9
'
tj. prognózovaná výroba daného výrobku v roce 2012 je 49 tis. ks.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 9.4
V následující tabulce jsou uvedeny údaje o spotřebě pitné vody v jednotlivých dnech tří
po sobě jdoucích týdnů.
a. Stanovte odpovídající interval klouzavého průměru a vyrovnejte tuto řadu prostými
klouzavými průměry.
b. Vyrovnejte časovou řadu pomocí metody exponenciálního vyrovnání, použijte koeficient
zapomínání w = 0,7.
Po 0,64 0,75 0,54
Ut 0,78 0,63 0,61
St 0,93 0,82 0,7
Ct 0,66 0,63 0,56
Pá 0,99 1,3 0,79
So 1,22 0,65 1,3
Ne 1,05 1,3 1,24
Řešení:
a. Z charakteru dat vyplývá, že pro analyzovanou časovou řadu budou vhodné klouzavé
průměry o délce m = 7 pozorování, tj. v rámci týdne. Použijete proto prosté7-členné
klouzavé průměry, které vypočítáte podle vztahu (9.28):
_ y, + y 2 + ...+ y 7 0,64+0,78 + 0,93+0,66+0,99 + 1,22+1,05 n o n £
y, = ——— — = = 0,896.
1
7 7
Tuto hodnotu přiřadíte prostřednímu časovému okamžiku klouzavé části, tj. ke čtvrté
hodnotě dané časové řady.
Druhý klouzavý průměr vypočítáte analogicky posunutím o jeden den a přiřadíte jej
k páté hodnotě původní časové řady:
_ _ y 2 + y 3 + . . . + y 8 _ 0,78 + 0,93 + 0,66 + 0,99 + 1,22 + 1,05 + 0,75 _
y9 u,y 11.
7 7
Ostatní klouzavé průměry vypočítáte obdobně postupným klouzáním směrem ke konci
časové řady. Empirické hodnoty jakož i klouzavé průměry ukazuje Obr. 9.2 .
b. Exponenciální vyrovnání se provede podle (9.29):
9i =
91= w
yt + ( 1 _ w
)9t-i>t =
2,3,...n, kde w = 0,7.
- 7 7 9 -
Analýza trendu časových řad
• Spotreba vody
- Klouzavé průměry
— -A — Exponenciální vyrovnání
Po Út St ČI P á So Ne Po Út St ČI Pá So Ne Po Út St ČI P á So Ne
Obr. 9.2. Klouzavé průměry a exponenciální vyrovnání
Proto:
yi •• 0,64,
ý2 = 0,7y2 + ( 1 - 0,7)- y, = 0,7-0,78 + 0,3-0,64 = 0,738.
Další hodnoty ýt vypočítáme rekurentně, viz následující tabulka.
Den Spotřeba vody Klouzavé Exponenciální
(m3
/os.) průměry vyrovnání
Po 0,64 0,640
Ut 0,78 0,738
St 0,93 0,872
Ct 0,66 0,896 0,724
Pá 0,99 0,911 0,910
So 1,22 0,890 1,127
Ne 1,05 0,874 1,073
Po 0,75 0,870 0,847
Ut 0,63 0,914 0,695
St 0,82 0,833 0,783
Ct 0,63 0,869 0,676
Pá 1,30 0,839 1,113
So 0,65 0,836 0,789
Ne 1,30 0,819 1,147
Po 0,54 0,809 0,722
Ut 0,61 0,736 0,644
St 0,70 0,829 0,683
Ct 0,56 0,820 0,597
Pá 0,79 0,867 0,732
So 1,30 1,130
Ne 1,24 1,207
Je zřejmé, že koeficient zapomínání w = 0,7 ještě nevyhlazuje původní data dostatečně,
k většímu vyhlazení by byla zapotřebí menší hodnota koeficientu zapomínání.
Zopakujme si získané poznatky této kapitoly: Jediným faktorem vývoje dynamiky
analyzovaného ukazatele byl zde čas. Trendová složka představuje nejdůležitější komponentu
analyzované časové řady, a proto popis trendu je jedním z nejdůležitějších úkolů analýzy
časových řad. K určení trendové složky jsme použili dva obecné přístupy: analytický
a syntetický. Analytický přístup stanovení trendu vychází z předem známých typů trendových
funkcí vyznačujících se přítomností parametrů, které je třeba stanovit co nejlépe s ohledem na
skutečné hodnoty ukazatele časové řady. Z velkého množství používaných trendových funkcí
-120-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
jsme se zaměřili na několik, které mají význam především v ekonomických aplikacích. Byly
to: lineární trend, parabolický trend, exponenciální trend, logistický trend a Gompertzův
trend. Syntetický přístup stanovení trendu spočívá ve vyrovnání odchylek daného ukazatele
v časové řadě tak, že získané vyrovnané hodnoty vyjadřují trendový faktor obsažený pouze
v časové řadě, nikoliv faktor vložený z vnějšku. Nemuseli jste proto znát předem typ trendové
funkce, což je přednost syntetického přístupu oproti přístupu analytickému. Jeho nevýhodou
je naopak obtížnější využití pro prognózovaní hodnot časové řady. Z existujících metod
syntetického přístupu jsme uvedli metodu klouzavého průměru a jednoduché exponenciální
vyrovnání.
9.11 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
9.1 V tabulce jsou uvedeny údaje o počtu vyrobených kuchyňských robotů v letech
2001 až 2011.
Rok
2001
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Kuchyňské
roboty (tis. ks)
5 4 8 16 35 32 40 56 100 120 195
a. Trend ve výrobě tohoto výrobku popište exponenciální trendovou funkcí.
b. Jaké množství vyrobených kuchyňských robotů lze očekávat v roce 2014?
c. Znaménkovým testem ověřte na hladině významnosti a= 0,05 náhodnost reziduí.
9.2 Následující časová řada představuje počet vyrobených pneumatik Barum v letech
2001 až 2012.
Rok 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Pneumatiky
(mil.ks)
0,8 1,6 1,5 2,4 5 3,88 4,47 3,88 6,89 7,69 5,83 8,25
a. Nalezněte lineární trend časové řady.
b. Jaké množství vyrobených pneumatik lze očekávat v roce 2013? Stanovte bodový
i intervalový odhad na hladině významnosti a= 0,05.
9.12 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
9.1 a) Ť = 29,55-1,47^ = -5-4-3,....
b) v roce 2014, tzn. ŕ = 8; f = 644,31.
c) 5 = 5; testové kritérium U = 0; obor přijetí A = (-1,96; 1,96); přijímáme
nulovou hypotézu o náhodném uspořádání reziduí
9.2 a) Ť = 4,35+0,32.ŕ, ř =—11,-9,-7,...
b) v roce 2013, tzn. t = 13; Ť = 8,5 mil.ks ; 95%-ní intervalový odhad (5,97; 11,05)
- 727 -
Analýza sezónní složky a náhodné složky
10 ANALÝZA SEZÓNNÍ SLOŽKY A NÁHODNÉ SLOŽKY
RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY
Při analýze ekonomických časových řad se setkáváme téměř vždy s existencí sezónních
vlivů, reprezentovaných v modelu časové řady sezónní složkou. Sezónními vlivy rozumíme
soubor příčin, které se pravidelně opakují v důsledku koloběhu přírody. Důsledkem působení
sezónních vlivů na analyzovanou časovou řadu jsou pravidelné výkyvy nahoru a dolů vůči
určitému normálnímu vývoji. Pokud se u časových řad vyskytují podobné vlivy v delším
časovém horizontu, hovoříme o cyklické složce časové řady, v kratším časovém horizontu,
hovoříme o sezónní složce časové řady. Souhrnně se sezónní a cyklické složky označují jako
periodické složky časové řady. Úkolem modelování periodické složky časové řady je nalézt
její vhodné vyjádření, které by umožnilo periodickou (nejčastěji sezónní) složku nejen vhodně
identifikovat, ale i následně použít k predikci chování časové řady v budoucnu. V této
kapitole se budete zabývat časovými řadami, jejichž hodnoty se periodicky opakují: jedná se
o sezónní časové řady. Nejprve si objasníte význam sezónní složky časové řady, poté se
věnujete metodě harmonické analýzy, která k modelování časové řady využívá známé
matematické periodické funkce sinus a kosinus. Poté se naučíte aplikovat jednoduché metody
konstantní sezónnosti se schodovitým a lineárním trendem a rovněž metodu proporcionální
sezónnosti. V závěru se budete věnovat analýze náhodné složky. Zmíněné metody si
ozřejmíte na konkrétních příkladech řešených s využitím Excelu.
10.1 PERIODICKÁ SLOŽKA ČASOVÝCH ŘAD
Při analýze časových řad s periodicitou kratší než jeden rok se setkáváme téměř vždy
s existencí sezónních vlivů, reprezentovaných v modelu časové řady sezónní složkou.
Sezónními vlivy rozumíme soubor příčin, které se pravidelně opakují v důsledku koloběhu
přírody. Důsledkem působení sezónních vlivů na analyzovanou časovou řadu jsou pravidelné
výkyvy nahoru a dolů vůči určitému normálnímu vývoji. Pokud se u časových řad vyskytují
podobné vlivy v delším časovém horizontu, hovoříme o cyklické složce časové řady.
Souhrnně se sezónní a cyklické složky označují jako periodické složky časové řady, takže
model časové řady (8.9) můžeme vyjádřit ve tvaru
y,= Tt + Pt+ £„ t=\,2,...n, (10.1)
kde Pt je periodická složka Pt=St+Ct, St - sezónní složka, Ct - cyklická složka. Úkolem
popisu periodické složky časové řady je nalézt její vhodné modelové vyjádření, které by
umožnilo periodickou (nejčastěji sezónní) složku nejen vhodně identifikovat, ale i následně
použít k predikci chování časové řady v budoucnu.
10.2 HARMONICKÁ ANALÝZA
Pro vyjádření periodické složky časových řad se využívají různé modely. Mezi nejčastěji
používané modely sezónní složky patří harmonická analýza. Základní ideou tohoto přístupu je
vyjádřit periodickou složku jako součet určitého počtu „vln" známých periodických goniometrických
křivek - funkcí sinus a kosinus. Jde tedy o následující model periodické složky časové řady:
H
Pt = ^j(aj sinú)jt + fi.coscOjt), t = 1,2,...n, (10.2)
-122-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Výraz (10.2) se nazývá trigonometrický polynom, přičemž jeho část v závorce za znakem
2m
sumace je harmonický člen. Přitom je přirozené číslo H < n/2, dále (O = — - se nazývá
n
frekvence, čas t = \,2,...,n. Harmonický člen v (10.2) je možné vyjádřit také takto:
a. sin(ú.t +fy.cos(ú-t = A. sin(ó>y + q>.,), (10.3)
přičemž platí:
kde Aj se nazývá amplituda, $ je tzv. fázový posuv.
Předpokládejme, že máme dánu časovou řadu yt, t = 1,2,...n, kde trend Tt je již
stanoven například některým z postupů uvedených v předchozí kapitole. V takovém případě
lze identifikovanou trendovou složku od hodnot časové řady odečíst, čímž dostaneme nový
model časové řady, avšak s konstantním trendem ju. Model (10.1) pak má tvar:
y, = ju + Pt + £t, t= l,2,...n, (10.4)
kde periodická složka Pt je dána vztahem (10.2). Metodou nejmenších čtverců se vypočítají
bodové odhady m, cij, bj regresních koeficientů ju , a^, f3j takto:
• = - 2 > , = y . (10.5)m
n
2 11
aj= — V y• sin (OX, (10.6)
2 n
bj= - V ytcosú)jt,j= l,2,...,H. (10.7)
Přiléhavost modelu (10.2) k datům je dána koeficientem determinace:
R ^ ^ f í . (,0.8)
var(yř)
kde
var(JPř)= \'fd{.a)+b2
j), (10.9)
var(yř )=-ŽU-y)2
. (10.10)
Vyhledávání periodicity v časových řadách lze realizovat následujícími postupy:
• Subjektivní odhady zahrnují vizuální odhady z grafů, eventuálně z klouzavých průměrů.
Tyto metody přes svoji jednoduchost a subjektivnost neztratily dosud význam, zvláště
v situacích, kdy potřebujeme rychlé předběžné informace o chování časové řady.
• Objektivní odhady zahrnují některé složitější a také výpočetně náročnější metody
a postupy jako autokorelační funkce, spektrální analýza a periodogram. Tyto nástroje
slouží k hlubšímu a obecnějšímu zkoumání chování časových řad a jsou obvyklou
součástí pokročilých statistických softwarových paketů, jako SPSS, STATISTKA,
UNISTAT apod. Zde se budeme podrobněji věnovat periodogramu, který je relativně
nejjednodušší.
-123-
Analýza sezónní složky a náhodné složky
Periodogram představuje souhrn všech hodnot rozptylů jednotlivých harmonik periodické
složky vyjádřených pomocí amplitud Aj, respektive s využitím vztahu A2
= aj +b2
také
pomocí odhadů regresních koeficientů. Podle velikosti jednotlivých rozptylů (pro jednotlivá
j = 1,2,...,H) a jejich příspěvků k vysvětlení celkového rozptylu rozhodneme, kterou
frekvenci (a tedy periodu neboli „délku vlny") vybereme. Schéma periodogramu je uvedeno
v následující tabulce:
j Frekvence Cůj = 2nj/n I(ca,) = l/2(ai
2
+ bi
2
)
1 M2{a2
+ b2
)
2 Oh l/2(a2
2
+ b2
2
)
H 0)H
\l2{aH
2
+ bH
2
)
Z ... var(yj)
Periodogram se často zobrazuje také graficky v podobě sloupcového grafu.
Pokud některá hodnota 7(<2}) z periodogramu, eventuálně několik takových hodnot, značně
převyšuje zbývající hodnoty, je intuitivně zřejmé, že odpovídající frekvence identifikují
významné harmoniky periodické složky dané časové řady. Exaktní metodou pro rozhodnutí
o existenci statisticky významné periodické složky v časové řadě poskytuje Fisherův test.
V něm se testuje nulová hypotéza, že yt, t = 1,2,...n, je časová řada nezávislých náhodných
veličin, majících normální rozdělení se střední hodnotou 0, proti alternativní hypotéze, že
existuje periodická složka ve tvaru (10.2).
V testu se postupuje tak, že se nejprve seřadí sestupně hodnoty I(G)j), tak, že největší z nich
označíme h, nejmenší IH , pak se tyto hodnoty „normují", tj. položí se:
r , = - i r - - ( 1 0
- n
)
Testová statistika W má tvar:
W = maxYj. (10.12)
Nulová hypotéza se zamítá, když hodnota testové statistiky W překročí kritickou
hodnotu g . (a), která je tabelována pro různé hodnoty hladiny významnosti a
10.3 MODEL KONSTANTNÍ SEZÓNNOSTI SE SCHODOVITÝM TRENDEM
Při popisu trendové složky i periodické složky v předchozí subkapitole jsme používali
posloupnost časové proměnné t = 1,2,...n, nyní budeme toto označení používat pro označení
časových intervalů (např. roků), které se člení na dalších r dílčích časových období, které
nazýváme sezóny (např. měsíce nebo čtvrtletí) a označujeme j = \,2,...,r (např. v případě, že
sezóny jsou měsíce je r = 12, v případě že sezóny představují kvartály, platí r = 4). Model
(10.1) lze s použitím uvedené symboliky zapsat ve tvaru:
ytj=Ttj+Ptj+£tj,t=l,2,...,n, j=\,2,...,r. (10.13)
U modelu konstantní sezónnosti se vychází z předpokladu, že:
Ptj - yj pro sezónu j v letech t = 1,2,...,n, (10.14)
- 7 2 4 -
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
kde yj jsou neznámé sezónní parametry, o nichž dále předpokládáme, že splňují rovnost:
2 > v = ° - ( 1 0
- 1 5
)
Předpoklady (10.14) a (10.15) vycházejí z představy, že v důsledku pravidelného (ročního)
koloběhu sezónních vlivů se v 7-té sezóně opakují sezónní výkyvy y1
•, které se mezi léty neliší
- podmínka (10.14). Dále se tyto vlivy během roku (r sezón) vykompenzují, takže jejich roční
součet je nulový - podmínka (10.15).
Nejprve budeme předpokládat, že trendová složka Ttj nabývá ve všech sezónách hodnotu roku
t hodnotu at , takže posloupnost těchto hodnot v letech t = 1,2,...,n představuje schodovitý
trend. Model (10.13) pak bude mít tvar:
ytj = at + yj+etj,t=l,2,...,n, j = l,2,...,r. (10.16)
Odhady at,Cj n + r parametrů tohoto modelu získáme metodou nejmenších čtverců:
<h=-£yi = y,> ^ = - ± y t j - - ± ± y t j . (10
-17
)
Všimněte si v prvním vzorci, že odhadem výšky schodu v roce t je průměr hodnot v roce t.
Z druhého vzorce pak vyplývá, že hodnota sezónního vlivu q, tzv. j-tého sezónního
koeficientu, je představována průměrnou hodnotou vypočítanou z j-tých sezón ve všech letech
po odečtení celkového průměru ze všech hodnot v celé časové řadě. Například sezónní
koeficient c\ se vypočítá jako průměr ze všech lednových hodnot v časové řadě měsíčních
údajů po odečtení celkového průměru ze všech hodnot v celé časové řadě. V tomto příkladu je
měsíc leden uvažován jako první sezóna z 12 měsíčních sezón.
Konkrétní použití modelu si ukážeme na řešeném příkladu 10.1 v závěru této kapitoly.
10.4 MODEL KONSTANTNÍ SEZÓNNOSTI S LINEÁRNÍM TRENDEM
Při popisu trendové složky v předchozím odstavci jsme používali posloupnost časové
proměnné t = 1,2,...n, o trendové funkci jsme předpokládali, že je konstantní během všech
sezón daného roku t, tj. Ttj = at pro j = 1,2,...,r. Přitom hodnota at mohla být v každém roce
jiná a tvořila výšku „schodu" v roce t. Model časové řady bude opět aditivní, tedy
ytj =Tt + ľj+£tj,t= \,2,...,n, j=\,2,...,r, (10.18)
kde stejně jako v modelu (10.13) jsou y. neznámé sezónní parametry, o nichž dále
r
předpokládáme, že splňují podmínku ^ y} = 0.
Nyní budeme předpokládat, že trendová složka Ttj má lineární tvar, potom model (10.18)
bude mít tvar:
ytj = a + p(t-t) + yj+etj,t=\,2,...,n, j=\,2,...,r. (10.19)
Odhady a,b,Cj z (r +2) parametrů tohoto modelu získáme metodou nejmenších čtverců,
řešení má komplikovaný tvar, který zde neuvádíme, zájemce odkazujeme na Segera (1998).
- 7 2 5 -
Analýza sezónní složky a náhodné složky
10.5 MODEL PROPORCIONÁLNÍ SEZÓNNOSTI
Nyní budeme používat t = \,2,...,n, k označení časových intervalů (např. roků), které se
člení na dalších r dílčích časových období, které nazýváme sezóny (např. měsíce nebo
čtvrtletí) a označujeme j = 1,2,...,r (např. v případě, že sezóny jsou měsíce je r = 12, v případě
že sezóny představují kvartály, platí r = 4). Regresní model lze s použitím uvedené symboliky
zapsat ve tvaru:
ytj =Ttj + Ptj+£tj, t= 1,2,...,«, j = l,2,...,r. (10.20)
U modelu proporcionální sezónnosti se vychází z předpokladu, že periodická složka je
proporcionální (tj. přímo úměrná) velikosti trendové složky:
Ptj - CjTtj pro sezónu j v letech t = 1,2,...,n, (10.21)
tedy po dosazení (10.21) do (10.20) obdržíte
y^fl + Cj^+e^. (10.22)
Aplikací MNC obdržíme q odhad koeficientů Q takto
n
1 + ^ = ^ ^ , 7 = 1 , 2 , . . . , / - . (10.23)
!=1
Dosazením do (10.22) obdržíte konečnou podobu modelu proporcionální sezónnosti
i=\
ny„ =—„ Tt+e, ,1=1,2 n, j = 1,2 r. (10.24)
1 ľ
Přitom y. = — V y, je aritmetický průměr yy přes j. V konkrétním případě můžeme uvažovat,
že trendová složka má lineární tvar, tedy například
Ttj=a + f3(t-t). (10.25)
Vzorec (10.24) lze snadno realizovat v Excelu.
10.6 ANALÝZA NÁHODNÉ SLOŽKY
Náhodnou složku et lze v modelu (10.20) vyjádřit v tvaru:
et= yt-Y„ t= \,2,...n, (10.26)
kde Yt = Tt + Pt. Jedná se zde o vyjádření blíže nespecifikovaných náhodných vlivů. Zdrojem
této složky jsou obvykle nepodchycené drobné vzájemně nezávislé náhodné vlivy. Chceme-li
zajistit spolehlivé předpovědi na základě modelu časové řady, potom je třeba mít zajištěny
některé předpoklady o náhodné složce. Konkrétně je výhodné, když jsou splněny předpoklady
klasického lineárního regresního modelu, které jsme uvedli v kapitole 3.5. Byly to
předpoklady 1. až 3., které pro přehlednost zopakujeme, avšak při současném označení, kdy
nezávisle proměnná x je nyní čas t. Jedná se tedy o tyto předpoklady:
1. Hodnoty vysvětlující proměnné t se volí předem, obvykle t = \,2,...,n.
2. Náhodné složky ^ v modelu (10.20) mají normální rozdělení pravděpodobnosti se
střední hodnotou 0 a (neznámým) rozptylem o2
.
Konstantnost rozptylu nazýváme homoskedasticita.
-126-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
3. Náhodné složky jsou nekorelované, tj.
Cov(£t, £t) = 0 pro každé t žť, t,ť' = \,2,...,n.
(Cov značí kovarianci)
Jak již bylo řečeno v kapitole 3.5, v praxi jsou podmínky klasického modelu často
splněny. Nejsme-li si však jejich platností jisti, můžeme provést testy hypotéz jak o normalitě
rozdělení náhodné složky (např. Chi-kvadrát test dobré shody), tak i testy homoskedasticity
(Bartleyův test). Při ověřování těchto předpokladů zjišťujeme, zda jsou všechny systematické
složky z časové řady eliminovány. Jakákoliv nenáhodnost u reziduí naznačuje nevhodnost
zvoleného modelu časové řady.
Jednoduchým nástrojem, kterým lze ověřit náhodnost reziduí, je znaménkový test. Při
tomto testu vyčíslíme počet případů, kdy rozdíl sousedních reziduí et - et_{ je kladný, jejich
počet označíme S. Přitom je:
e=y-Yt, ' (10.27)
kde Yt = Tt + Pt je odhad teoretické hodnoty časové řady, Tt je odhad trendu (s regresními
koeficienty získanými např. metodou nejmenších čtverců), Pt je odhad periodické složky,
např. (10.23), kde parametry «,,/?, jsou rovněž odhadnuty metodou nejmenších čtverců.
Náhodné složky e,, které jsou dány (10.26), jsou tedy náhodné veličiny, zatímco rezidua et,
(10.27), jsou realizacemi - odhady těchto náhodných veličin. Je-li posloupnost reziduí et
n-í
náhodně uspořádána, potom pro střední hodnotu Splatí: E(S)= - . Testujeme proto
n — 1 n — 1
nulovou hypotézu: HQ:E(S)= - , proti alternativní hypotéze H{: £"(5) ^ —--—. Použijeme
testové kritérium:
J i \
S—(n-1)
2 _
Vn + 1
12
U= ^ . 2 J
-, (10.28)
které má již pro n>13 přibližně normované normální rozdělení. Pro stanovení kritických
hodnot tedy použijeme kvantily normovaného normálního rozdělení u{_an .
Vlastnost časových řad, která často způsobuje porušení předpokladů 1. až 3. je
autoregrese náhodných složek, viz též kapitola 6.5, která znamená, že mezi náhodnými
složkami platí následující vztah:
et=pet_x+ut, (10.29)
kde 0 < p < 1 je autokorelační koeficient a ut splňuje předpoklady 1. až 3. Nulovou hypotézu:
HQ:p = 0 (což je totéž, jako st=ut) testujeme proti alternativní hypotéze Hl :p *0pomocí
testového kritéria:
±{et-etJ
D = — . (10.30)
£«?
Funkce D, nazývaná Durbin-Watsonova statistika, bývá tabelována pro různé hladiny
významnosti a, viz např. Gujarati (2003). Test založený na této statistice nazýváme
Durbin-Watsonův test autokorelace.
-127-
Analýza sezónní složky a náhodné složky
V této kapitole jste se zabývali časovými řadami, jejichž hodnoty se periodicky opakují,
tzv. sezónními časovými řadami. Nejprve jste si objasnili význam sezónní složky časové řady,
poté jste se věnovali metodě harmonické analýzy, která k modelování časové řady využívá
známé matematické periodické funkce sinus a kosinus. Poté jste se naučili aplikovat
jednoduché metody konstantní sezónnosti se schodovitým a lineárním trendem a rovněž
metodu proporcionální sezónnosti. Zmíněné metody si ozřejmíme na konkrétních příkladech
řešených s využitím Excelu.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 10.1
Časová řada yt udává počet měsíčně ubytovaných v Penzionu Madonna za období let
2006 a 2007 - celkem 24 hodnot. Harmonickou analýzou modelujte sezónní složku této
časové řady. Zvolte j = 2.
1 i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y. 332 223 267 319 455 507 492 500 350 253 178 401
i 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
y- 301 213 247 433 399 466 505 455 314 222 184 335
Řešení:
Pomocí vztahů (10.1) - (10.7) stanovíme regresní koeficienty m, a2, b2. Všechny potřebné
výpočty jsou uvedeny v následující tabulce. V této tabulce jsou také uvedeny teoretické
hodnoty Yt a rezidua et.
t yt iTVJt
sin
n
iTVJt
cos
n
iTVJt
y, sin
n
2njt
y,cos
n
Y, et
1 332 0,50 0,87 166,00 287,52 236,32 95,68
2 223 0,87 0,50 193,12 111,50 269,28 -46,28
3 267 1,00 0,00 267,00 0,00 323,33 -56,33
4 319 0,87 -0,50 276,26 -159,50 383,97 -64,97
5 455 0,50 -0,87 227,50 -394,04 434,97 20,03
6 507 0,00 -1,00 0,00 -507,00 462,65 44,35
7 492 -0,50 -0,87 -246,00 -426,08 459,60 32,40
8 500 -0,87 -0,50 -433,01 -250,00 426,64 73,36
9 350 -1,00 0,00 -350,00 0,00 372,59 -22,59
10 253 -0,87 0,50 -219,10 126,50 311,94 -58,94
11 178 -0,50 0,87 -89,00 154,15 260,95 -82,95
12 401 0,00 1,00 0,00 401,00 233,27 167,73
13 301 0,50 0,87 150,50 260,67 236,32 64,68
14 213 0,87 0,50 184,46 106,50 269,28 -56,28
15 247 1,00 0,00 247,00 0,00 323,33 -76,33
16 433 0,87 -0,50 374,99 -216,50 383,97 49,03
17 399 0,50 -0,87 199,50 -345,54 434,97 -35,97
18 466 0,00 -1,00 0,00 -466,00 462,65 3,35
19 505 -0,50 -0,87 -252,50 -437,34 459,60 45,40
20 455 -0,87 -0,50 -394,04 -227,50 426,64 28,36
21 314 -1,00 0,00 -314,00 0,00 372,59 -58,59
22 222 -0,87 0,50 -192,26 111,00 311,94 -89,94
23 184 -0,50 0,87 -92,00 159,35 260,95 -76,95
24 335 0,00 1,00 0,00 335,00 233,27 101,73
Součty 8351 0,00 0,00 -295,57 -1376,32 8351 0,00
-128-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Potom platí:
l ^ - i 1 -\ri 8351 _._m
= -Ty.=^lly>= — = 347,95.
n t=i ( = 1
2 4
2 " . 2 * . 2#f 1 ^ . 2^2ř -295,57 . . „
a9 = —> y, sin<wr =— > y, sin = — > y, sin = = -24,63.
2
nj~t 1
24 jť/ n Uj~t 24 12
, 2 ^ 2#ŕ 2^2ř -1376,32
b2 = - 2 J y , c o s ^ / ^ ^ T Z - y , c o s
= T^2^y,cos
—r— = = -114,69.
n ,=i 241 n 12fľ 2 4 12
Teoretické hodnoty obdržíme dosazením m, ci2, bi do modelu (10.2), např.:
2;r2í 2n2t
Y,=m + a7 sin GJí + b7 cos£7,í = 347,95 - 24,63 sin 114,69 cos-
1 1
J 1
J 24
2 4
= 347,95-24,63-0,5-114,69-0,87 = 236,32.
Na Obr. 10.1. je znázorněna harmonická analýza pro j = 2, j = 4. Regresní parametry m, «4,
&4 vypočítáte analogicky.
600,00
500,00
400,00
300,00 -
200,00
100,00
0,00 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
s t. A No <b Nfe Nq> <p o,\ # 4 # # $
Obr. 10.1. Harmonická analýza
ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 10.1
Data v tabulce představují objem přepravy po vodních tocích ČR v jednotlivých
čtvrtletích pěti po sobě jdoucích let.
- 7 2 9 -
Analýza sezónní složky a náhodné složky
tli Čtvrtletí
Roky 1 2 3 4 Součet Průměr
1 120 138 132 114 504 126,00
2 118 138 150 119 525 131,25
3 149 161 155 145 610 152,50
4 150 173 181 159 663 165,75
5 178 195 198 183 754 188,50
Součet 715 805 816 720 3056
Průměr 143 161 163,2 144 152,80
a. Nalezněte pro tuto časovou řadu model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem.
b. Na hladině významnosti a= 0,05 ověřte náhodnost reziduí.
Řešení:
a. Úkolem je nalézt odhady parametrů y} modelu
ytj =at+ fj + £ t j , t = 1,2,...,«, j = l,2,...,r,
kde 0Ct je trendová složka
y je sezónní složka.
Odhady at,Cj n + r parametrů tohoto modelu vypočítáme ze vztahů (10.28):
Všechny potřebné součty a průměry jsou uvedeny v tabulce, jejich dosazením do daných
vztahů obdržíte :
trendová složka: a\ = 126 , a2 = 131,25 , a3 = 152,5 , « 4 = 165,75, a$ = 188,5,
sezónní složka: c\ = 143 - 152,8 = -9,8 , c2 = 161-152,8 = 8,2,
c3 = 163,2 - 152,8 = 10,4 ,c4 = 144-152,8 = -8,8.
Výsledky ukazují, že působení sezónních vlivů klesl v prvním čtvrtletí objem přepravy
o 9,8 tun a ve čtvrtém čtvrtletí o 8,8 tuny. Tento pokles je vykompenzován růstem přepravy
ve zbylých dvou čtvrtletích o 8,2 a 10,4 tun, tj. ve čtvrtletích pro říční přepravu klimaticky
příznivějších. Z vývoje ročních průměrů at je zřejmé, že se průměrný roční objem přepravy
neustále zvyšoval.
b. Nejdříve vypočítáte odhady teoretických hodnot Ý dané časové řady tak, že
odhadnete trendovou i sezónní složku. Např.:
Ýu =al+cl =126 + f-9,8) = 116,2
ý1 2 = f l 1 + c 2 =126+8,2 = 134,2
Všechny hodnoty y,7 jsou uvedeny v následující tabulce.
tli 1 2 3 4
1 116,20 134,2 136,4 117,2
2 121,45 139,5 141,7 122,5
3 142,70 160,7 162,9 143,7
4 155,95 174,0 176,2 157,0
5 178,70 196,7 198,9 179,7
-130-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
200
150 -
100
50
0
m—
Časová rada
• Model
Ql Q2 Q3 04 Ql 02 Q3 Q4 Ql | Q2 | Q3 | Q4 Ql Q2 Q3 Q4 Ql Q2 Q3 Q4
Rokl Rok2 Rok3 Rok4 Rok5
Obr. 10.2. Model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem.
Dále podle (10.28) vypočítáme hodnoty reziduí. Např.:
eu = yu - Ýu = 120 -116,2 = 3,8, e12 = y12 - Ýl2 = 138 -134,2 = 3,8 .
Hodnoty všech reziduí jsou uvedeny v následující tabulce:
tli 1 2 3 4
1 3,80 3,80 ^1,40 -3,20
2 -3,45 -1,45 8,35 -3,45
3 6,30 0,30 -7,90 1,30
4 -5,95 -0,95 4,85 2,05
5 -0,70 -1,70 -0,90 3,30
K testu náhodnosti reziduí použijeme znaménkový test. Je proto třeba určit počet případů S,
kdy je rozdíl sousedních reziduí et- et-\ kladný. Např.:
e\,i ~ e\,\ = 3,8 - 3,8 = 0,
eu ~ eU2 = -4,4 - 3,8 = -8,2.
V následující tabulce jsou případy, kdy et - et- \ > 0, označeny „+", ostatní „-".
tli 1 2 3 4
1 — — +
2 — + + —
3 + — — +
4 — + + —
5 - - + +
Z tabulky vidíme, že S = 9. Hodnotu testového kritéria vypočítáme podle (10.28):
U =
S (n-1)
2
9 (20-1)
2 = -0,378
Vn + 1 V20 + 1
V tabulce normovaného normálního rozdělení nalezneme u\-^2 , tj.: « 0 , 9 7 5 = 1,96.
131
Analýza sezónní složky a náhodné složky
Protože hodnota testového kritéria -0,378 leží v oboru přijetí A = (-1,96;1,96), lze na
zvolené hladině významnosti přijmout nulovou hypotézu, tj. hypotézu o náhodném
uspořádání reziduí.
10.7 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
10.1 V následující tabulce jsou uvedeny měsíční tržby jedné obchodní organizace za
posledních 60 měsíců od ledna 2007 až do prosince 2011.
a. Nalezněte model konstantní sezónnosti se schodovým trendem.
b. Pro rok 2012 uvažujte s růstem 5% (tj. výška schodu). Prognózujte tržby na rok 2012.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6489 5971 6272 6944 7217 7448 7259 7602 7651 8064 7952 8498
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
6930 6391 6979 7315 7798 7861 7994 7798 8022 8155 8694 8764
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
7560 7182 7077 7847 8603 8659 8827 8855 8337 8379 8834 9709
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
7833 7406 7791 8190 8869 8988 8736 9254 9240 9380 9422 9954
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
8442 7987 8673 8925 9534 9534 9331 9877 9695 9730 10192 10661
10.2 Použijte data z řešeného příkladu 10.1. Nalezněte pro tuto časovou řadu model
konstantní sezónnosti s lineárním trendem.
-132-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
10.8 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
10.1 a) al = 7280,6; a2 = 7630,6; a3 = 8322,4; a4 = 8755,3; a5 = 9381,7; a6 = 9850,8
cl =-823,3; c2 =-1286,7; c3=-915,7; c4 =-429,9; c5= 130,1; c6 = 223,9;
c7= 155,3; c8 = 403,1; c9 = 314,9; clO = 467,5; c i l = 744,7; cl2= 1243,1
b)
leden 2012 9027,51
únor 2012 8564,11
březen 2012 8935,11
duben 2012 9420,91
květen 2012 9980,91
červen 2012 10074,7
červenec 2012 10006,1
srpen 2012 10253,9
září 2012 10165,7
říjen 2012 10318,3
listopad 2012 10595,5
prosinec 2012 11093,9
10.2 Yt = 6782,2 + 49,536.ř + q
cl =-569,8; c2 =-1082,7; c3 =-761,3; c4 = -325; c5 = 185,4; c6 = 229,7;
c7 = 111,6; c8 = 309,8; c9 = 172,1; clO = 275,2; c i l = 502,8; cl2 = 951,7
leden 2012 9234,1
únor 2012 8770,7
březen 2012 9141,7
duben 2012 9627,5
květen 2012 10187,5
červen 2012 10281,3
červenec 2012 10212,7
srpen 2012 10460,5
září 2012 10372,3
říjen 2012 10524,9
listopad 2012 10802,1
prosinec 2012 11300,5
-133-
Stochastické procesy
11 STOCHASTICKÉ PROCESY
RYCHLÝ NAHLED KAPITOLY
V této kapitole se nejprve zaměříte na obecnější pojetí časové řady s pomocí pojmu
stochastický (náhodný) proces. V klasickém pojetí je časová řada posloupnost číselných
veličin v čase, v rozšířeném pojetí je to posloupnost náhodných veličin v čase. Speciální
důležitou třídu tvoří tzv. stacionární procesy, zbývající procesy jsou nestacionární. Výjimečné
místo mezi stacionárními procesy zaujímá bílý šum, mezi nestacionárními je to náhodná
procházka. Těmi se budete v této kapitole podrobněji zabývat. S rozšířením pojmu časové
řady vzniká i rozšíření klasického deterministického trendu na tzv. stochastický trend.
V závěru kapitoly se budete zabývat problémem, jak rozhodnout, zda daná časová řada je
nebo není stacionární. K řešení ilustračních příkladů budete používat nejen Excel, nýbrž také
speciální statistický SW: SPSS (Statistical Package for Sociál Sciences).
11.1 STOCHASTICKÝ (NÁHODNÝ) PROCES
V kapitole 8 jste se o časové řadě dozvěděli, že časovou řadou rozumíme věcně
a prostorově srovnatelná pozorování uspořádaná v čase směrem od minulosti přes přítomnost
k budoucnosti. Tato definice časové řady jako posloupnost čísel {yt}, kde t představuje časový
index, nám doposud vystačila, avšak pro další rozvoj metod analýzy časových řad se ukázalo
vhodné definici časové řady rozšířit. V tomto rozšíření je každá hodnota časové řady
pojímána jako realizace nějaké náhodné veličiny. Jinak řečeno, v konkrétním čase t je
hodnotou časové řady náhodná veličina Yt, přičemž se realizovala konkrétní hodnota časové
řady yt. Kdyby však bylo možné čas vrátit zpět do t, pak by se mohla realizovat jiná hodnota,
řekněme zt. V čase t by bylo možné realizovat různé hodnoty s různou pravděpodobností,
neboli s jistým rozdělením pravděpodobnosti. Náhodná veličina Y, přestavuje jednak
množinu hodnot, které se mohou nabývat, jednak rozdělení pravděpodobnosti, s níž se
hodnoty mohou nabývat. Stochastický proces je pak posloupnost náhodných veličin { Yt },
kde t představuje časový index. Ačkoliv časový index může být intervalem reálných čísel
(tzv. spojitý čas), v ekonomických aplikacích vystačíme zpravidla s tzv. diskrétním časem,
konkrétně t =1,2,3,...
Stejně tak lze uvažovat, že dvě nebo více sousedních hodnot časové řady v čase spolu
buď nesouvisejí - nejsou vzájemně korelovány, nebo naopak souvisejí - jsou vzájemně
korelovány. Budeme-li nadále hovořit o časové řadě, budeme tím mít na mysli stochastický
proces ve výše zmíněném smyslu.
Příklad 1. Uvažujte jednoduchý stochastický proces „hod kostkou v čase": pro
t =1,2,3,... je Y, náhodná veličina nabývající hodnoty 1,2,3,4,5,6 se stejnou pravděpodobností
p = Vé. Výsledky hodů kostkou v jednotlivých časech jsou vzájemně nezávislé nekorelované.
Grafické zobrazení takové „časové řady", tj. konkrétních realizací takových
náhodných veličin, je na Obr. 11.1.
-134-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
7 ,
6 * -f- -f
5
4
A A / T r^V r \ I —7
co
• A 7 W \ 1t / — \ T17 \ /
2
•i
\/ \l V/x/ T J \ i
1
n
u
Q
Obr. 11.1 Stochastický proces „Hod kostkou v čase "
V každém časovém intervalu se realizuje diskrétní náhodná veličina Y,, která má střední
hodnotu p =2 1
/6 = 3,5 a rozptyl a2
=1 8
'5
/6 = 2,9167.
11.2 STACIONÁRNÍ A NESTACIONÁRNI PROCES
Typem stochastického procesu, který si získal velkou pozornost analytiků časových řad
je tzv. stacionární stochastický proces. Stručně a poněkud nepřesně řečeno, stochastický
proces (časová řada) se nazývá stacionární, jestliže střední hodnota a rozptyl náhodných
veličin jsou konstantní v čase a také hodnota kovariance mezi dvěma veličinami vzdálenými
v čase závisí pouze na jejich vzdálenosti v čase a nikoliv na konkrétním časovém okamžiku,
v němž se kovariance zjišťuje. V odborné literatuře se takovýto typ stacionarity nazývá též
slabá stacionarita, zde vystačíme s jednoduchým stacionarita.
K přesnější definici stacionarity použijeme známou symboliku ze statistiky. Uvažujte
stochastický proces - časovou řadu {Yt}, nechť je střední hodnota konstantní, tj.
E(Yt) = jd pro všechna t, (11-1)
rozptyl je konstantní, tj.
Var(Yt) = E(Yt- /u)2
= o2
pro všechna t, (11.2)
kovariance nezávisí na čase t, tj.
Cov(Yt,Yt+k) = E[(Yt-fi)(Yt+k-fi)] = yk pro všechna t, (11.3)
kde Var značí rozptyl (z angl. „Variance"), Cov označuje kovarianci („Covariance", E je
operátor střední hodnoty („£xpected value"). Potom se stochastický proces {Y,} nazývá
stacionární.
V (11.3) se jedná o kovarianci mezi dvěma hodnotami Y, které jsou od sebe vzdáleny
o k časových jednotek - tzv. posuv (angl. lag). Jestliže posuv k = 0, obdržíme yo, která se
v tom případě rovná rozptylu, tj. yo = a2
. Jestliže je posuv k=l, obdržíme kovarianci yu která
je v tom případě kovarianci sousedních hodnot. Důležitou roli hraje tzv. autokorelační funkce
(ACF) stochastického procesu, která je definována jako normovaná kovarianční funkce, tedy
Y
pk = — pro k =1,2,...
To
(11.4)
V případě stacionárního procesu má ACF následující vlastnosti:
(a) Po = 1,
(b) -l</>*<lpro*=l,2,...
(c) pt = P-k pro k = 1,2,..., tj. autokorelační funkce je symetrická kolem k = 0.
-135-
Stochastické procesy
Grafickým znázorněním autokorelační funkce je korelogram, jehož příklady jsou na
Obr. 11.2. a 11.3. Vzhledem k uvedeným vlastnostem stačí, aby korelogram zobrazoval
hodnoty korelace pro posuvy (angl. „lag") k > 0.
M A 1
*t -1,0
' U
U U U
C o n f i d e n c e L i m i t s
• C o e f f i c i e n t
1 3 5 T 9 1 1 1 3 15
2 4 6 8 10 12 14 16
Lag Number
Obr. 11.3 Korelogram - ACF (výstup z programu SPSS)
Proč jsou stacionární stochastické procesy důležité? Je to proto, že když je časová řada
nestacionární, můžeme její chování analyzovat pouze v časovém intervalu, kde máme
k dispozici data. Pro analýzu mimo tento časový interval, např. pro prognózovaní, nemá daná
časová řada praktický význam. Jak poznáme, že časová řada je stacionární? K tomuto
problému se vrátíme na konci této kapitoly, kdy se seznámíte se statistickým testem, kterým
lze stacionaritu zjišťovat (tj. testovat). Na tomto místě uvedeme příklad nestacionární
časové řady.
Příklad 2. Uvažujte stochastický proces „hod kostkou závislý na čase": pro t =1,2,3,...
je Y, náhodná veličina nabývající hodnoty 1-ř, 2-t, 3-t, 4-t, 5-t, 6-t se stejnou pravděpodobností
p = VÓ, přitom t je časový okamžik. Výsledky hodů kostkou v jednotlivých časech jsou
vzájemně nezávislé - nekorelované. Grafické zobrazení takové „časové řady", tj. konkrétních
realizací takových náhodných veličin, je na Obr. 11.4.
-136-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
160 -r
Obr. 11.4 Stochastický proces „Hod kostkou závislý na čase "
Příklad 3. Uvažujte stochastický proces „Čtvrtletní HDP České republiky". Data
v následující tabulce byla převzata z českého statistického úřadu, viz www.czso.cz . Je
zřejmé, že se jedná o stochastický proces - časovou řadu v širším pojetí, kdy konečná hodnota
za každé čtvrtletí je realizací náhodné veličiny (s neznámým rozdělením pravděpodobnosti),
která může nabývat různých hodnot z číselného intervalu v závislosti na konkrétních
ekonomických podmínkách závislých na mnoha faktorech. Grafické znázornění je na
obr. 11.5.
Q 1.95 II.95 III.95 IV.95 I.96 II.96 III. 96 IV.96 I.97 II.97 III.97 IV.97
HDP Q 332995 366618 376688 390221 382859 423953 432152 444324 415593 455790 461902 477809
Q 1.98 II.98 II.98 IV.98 I.99 II.99 II.99 IV.99 I.00 II.00 III.00 IV.00
HDP Q 457925 512225 512408 513925 481895 532968 529465 536469 504479 558691 557780 568219
Q 1.01 11.01 111.01 IV.01 I.02 II.02 III. 02 IV.02 I.03 II.03 III.03 IV.03
HDP Q 540124 598842 599262 613986 576665 630141 621004 636622 598385 660401 650791 667533
Q I.04 II.04 III.04 IV.04 I.05 II.05 III.05 IV.05 I.06 II.06 III. 06 IV.06
HDP Q 650448 715163 712103 737048 696387 759740 753836 777759 745496 817867 821754 846459
Q I.07 II.07 III.07
HDP Q 820689 900606 900022
Tab. 11.1 Čtvrtletní HDP ČR 1995 - 2007
Kva-tálníHDPCR
Obr. 11.5 Stochastický proces „Čtvrtletní HDP České republiky'
-137-
Stochastické procesy
11.3 BÍLÝ ŠUM A NÁHODNÁ PROCHÁZKA
V této části se budeme věnovat dvěma speciálním typům stochastického procesu. První
z nich je nejjednodušší stochastický proces nazývaný bílý šum. Setkali jste se s ním již
v kapitolách o regresní analýze v souvislosti s klasickým jednoduchým lineárním regresním
modelem, kde jsme jej nazývali náhodná porucha. O té jsme předpokládali, že splňuje jisté
podmínky:
• má nulovou střední hodnotu,
• má konstantní rozptyl o ,
• veličiny poruchy jsou vzájemně nekorelované, tj. Cov(Yt ,Yt+k) = 0 pro vš. t a k ž 0.
Poslední podmínka vlastně říká, že autokorelační funkce je identicky nulová (pro k > 0).
Tyto podmínky zároveň zaručují, že posloupnost poruch tvoří speciální stacionární
stochastický proces, konkrétně podmínky (11.1) - (11.3), který nazýváme bílý šum
(angl. white noise). Můžeme tedy říci, že daná data vyhovují jistému klasickému regresnímu
modelu, jestliže se od něj odlišují o bílý šum. Ještě jinak, můžeme říci, že jistý regresní model
je vhodným modelem pro daná data, jestliže je jeho odchylka od dat bílým šumem,
v opačném případě není vhodným modelem. Totéž platí o modelech časových řad, které jsou
speciálními jednoduchými regresními modely, kde nezávislou proměnnou je čas. Bílý šum je
tedy výjimečným stacionárním stochastickým procesem (časovou řadou v širším pojetí), který
hraje významnou roli při analýze a modelování časových řad.
Na druhou stranu podobnou roli u nestacionárních stochastických procesů sehrává
tzv. náhodná procházka (angl. random walk). Její název je odvozen od představy, která
spočívá v tom, že další krok vzniká přičtením náhodně zvolené veličiny (bílého šumu) ke
kroku předchozímu. Říká se, že ceny akcií nebo kurzy měn se řídí náhodnou procházkou jsou
nestacionární. Rozlišujeme dva typu náhodné procházky: (1) náhodná procházka bez
posuvu a (2) náhodná procházka s posuvem.
Uvažujme nyní bílý šum ut s nulovou střední hodnotou a rozptylem o2
. Časová řada {YT]
daná předpisem
YT=YTA + uT, (11.5)
je podle naší definice náhodná procházka. Podle modelu (11.5) se hodnota časové řady v čase
t rovná hodnotě v čase (t-l) plus náhodná chyba. Podle příznivců hypotézy eficientního
kapitálového trhu jsou ceny akcií v zásadě náhodné, chovají se podle modelu (11.5), a není
proto důvodů pro spekulaci o jejich cenách: kdybychom totiž uměli predikovat zítřejší cenu
akcie na základě ceny dnešní, byli bychom všichni milionáři. Rovnici (11.5) můžeme rozepsat
takto:
Fi = Y0 + Mi,
Y2 = Y\ + U2 = YQ + U\ + «2,
Y3 = Y2 + UT, = YQ + U\ + «2 + «3
YT = YTA + uT=Y0 + HUL
Aplikujete-li operátor střední hodnoty E, obdržíte díky vlastnostem střední hodnoty
E(YT) = E(Y0 + Zud = YQ. (Víte proč?) (11.6)
Podobně lze odvodit, že v tomto případě (nyní díky vlastnostem rozptylu Var) platí
Var{YT) = to2
. ' ' (11.7)
Jak vyplývá z předchozích vztahů, střední hodnota časové řady je rovna YQ, COŽ je konstanta
(obvykle je rovna nule, tj. YQ = 0), avšak rozptyl se přímo úměrně zvětšuje s rostoucím t, není
-138-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
tedy konstantní, a proto časová řada není stacionární. Můžete dále vztah (11.5) zapsat také
takto
Yt-Yn =AYt = ut, (11.8)
kde AYt značí první diferenci časové řady (viz kap. 8). Vztah (11.8) nám tedy dává důležitou
informaci: přestože časová řada - náhodná procházka {Yt} je nestacionární časová řada, její
první diference AYt je stacionární, neboť je to vlastně bílý šum ut.
Modifikujme nyní vztah (11.5) následovně:
Yt= S + Yt.\ + ut, (11.9)
kde ô je tzv. parametr posuvu neboli drift. Podobně jako v případě, kdy bylo
5=0, aplikujeme operátor střední hodnoty E a obdržíme (díky vlastnostem střední hodnoty)
E(Yt)=Y0+tS ' ' (11.10)
a analogicky lze odvodit, že stejně jako v předchozím případě platí
Var(Yt) = ta2
.
V tomto případě, na rozdíl od případu bez driftu (tj. ô = 0), je nejen rozptyl, ale též střední
hodnota rostoucí nebo klesající v závislosti na tom, zda je ô kladné nebo záporné číslo.
Náhodná procházka s posuvem je proto rovněž nestacionární časová řada. V závěru této
subkapitoly uvedeme příklad náhodné procházky bez driftu a s driftem.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 11.1
Pomocí funkce NÁHČÍSLO() vExcelu simulujte bílý šum ut pro t = 1,2,...,30
s rozptylem a2
= 1. Přitom funkce NAHČISLO() generuje spojitou náhodnou veličinu se
stejnoměrným rozdělením a s hodnotami v intervalu [0,1]. S generovanými hodnotami bílého
šumu pak vytvořte náhodnou procházku
a. bez driftu,
b. s driftem 8=2.
Simulace časových řad zobrazte graficky.
Řešení:
Nejprve si uvědomte, že funkce NAHCISLO() v Excelu simuluje náhodnou veličinu X
se stejnoměrným rozdělením pravděpodobnosti a s hodnotami v intervalu [0,1], přitom střední
hodnota E(X) = 0,5 a rozptyl Var(X) = l
/í2. Abyste obdrželi požadovaný bílý šum se střední
hodnotou E(X) = 0 a rozptylem Var(X) = 1, hodnoty generované funkcí NAHCISLO()
transformovat na hodnoty bílého šumu, tj. musíte od každé simulované hodnoty nejprve
odečíst střední hodnotu 0,5 a poté výsledek násobit Vl2 = 3,464 (aby byl výsledný rozptyl
roven požadované hodnotě 1). Pro spojitou náhodnou veličinu X se stejnoměrným rozdělením
pravděpodobnosti, která nabývá hodnoty v intervalu [a,b] totiž platí, viz [Statika A]:
E(X) = (b-a)/2 a Var(X) = (b-a)2
l\2.
V následující tabulce z Excelu je ve. sloupci A hodnota časového indexu t, ve sloupci B jsou
generovány hodnoty funkce NAHCISLO(), ve sloupci C je hodnota z 2. sloupce
transformována na hodnotu bílého šumu ut pomocí vzorce
=odmocnina(12)*(B3-0,5), atd.
Ve sloupci D se uloží kumulované hodnoty bílého šumu ut a vypočítá se hodnota náhodné
procházky Yt pomocí vzorce
=D2+C3, atd., přitom 70=0 a dále
v je buňce C2 uložena hodnota u\. V dalších buňkách C4, C5,... jsou následně uloženy
postupně kumulované součty hodnot bílého šumu. V buňce D2, D3,... jsou uloženy aktuální
hodnoty bílého šumu.
-139-
Stochastické procesy
Ve sloupci E se kumulací hodnot bílého šumu ut a driftu ô •
procházky Yt+\ a to tak, že v buňce E3 je uložen vzorec
=2+E2+C3, atd.,
přitom je v buňce E2 uložena hodnota u\+2.
Průběhy časových řad jsou zobrazeny spojnicovými grafy.
2 vypočítá hodnota náhodné
A B C D E
1 t NAHCISLO Ut Y, Y.+2
2 1 0,02388619 -1,649307 -1,649307 0,350693
3 2 0,09182492 -1,41396 -3,063267 0,936733
4 3 0,49199476 -0,027731 -3,090998 2,909002
5 4 0,99972311 1,731092 -1,359906 6,640094
6 5 0,16421835 -1,163182 -2,523088 7,476912
7 6 0,08807177 -1,426961 -3,950049 8,049951
8 7 0,79755234 1,030752 -2,919297 11,0807
9 8 0,97280984 1,637861 -1,281436 14,71856
10 9 0,1767674 -1,119711 -2,401147 15,59885
11 10 0,24392359 -0,887075 -3,288221 16,71178
12 11 0,78491179 0,986963 -2,301258 19,69874
13 12 0,83005406 1,143341 -1,157917 22,84208
14 13 0,17227059 -1,135288 -2,293205 23,70679
15 14 0,08082969 -1,452049 -3,745254 24,25475
16 15 0,03972789 -1,594429 -5,339683 24,66032
17 16 0,37897088 -0,419257 -5,75894 26,24106
18 17 0,08436329 -1,439808 -7,198748 26,80125
19 18 0,74316992 0,842365 -6,356383 29,64362
20 19 0,8830687 1,326989 -5,029394 32,97061
21 20 0,82902386 1,139772 -3,889622 36,11038
22 21 0,05462249 -1,542833 -5,432455 36,56755
23 22 0,65885022 0,550273 -4,882181 39,11782
24 23 0,77936355 0,967744 -3,914438 42,08556
25 24 0,3407385 -0,551698 -4,466136 43,53386
26 25 0,60415156 0,360792 -4,105344 45,89466
27 26 0,58379199 0,290264 -3,81508 48,18492
28 27 0,63250072 0,458996 -3,356084 50,64392
29 28 0,00089919 -1,728936 -5,08502 50,91498
30 29 0,04228401 -1,585575 -6,670595 51,32941
31 30 0,48263301 -0,060161 -6,730756 53,26924
Tab.11.2 Hodnoty náhodné procházky Obr. 11.6 Náhodná procházka bez driftu a s driftem 8=2
11.4 DETERMINISTICKÝ A STOCHASTICKÝ TREND
Rozdíl mezi stacionárním a nestacionárním procesem - časovou řadou spočívá zejména
v tom, že příslušný trend časové řady (viz kap. 9) je buď deterministický nebo stochastický.
Zhruba řečeno, je-li trend časové řady plně předvídatelný a neměnný, říkáme, že je
deterministický, není-li předvídatelný, řekneme, že je stochastický. Pro účely formálního
zpřesnění této definice uvažujte následující model časové řady
Y, = fa + fa t + faYt-x + ut, (11.11)
kde ut je bílý šum, t je časový index. Rozebereme následující možnosti:
Náhodná procházka: Ve vztahu (11.11) uvažujte fa = 0, fa = 0, fa = 1, potom
obdržíte
Yt = Yt-i + ut,
což je náhodná procházka bez driftu (11.5), která je nestacionární časovou řadou, jejíž první
diference je podle (11.8) stacionární, neboť první diference je bílý šum. Proto se taková
časová řada nazývá diferenčně stacionární.
Náhodná procházka s driftem: Ve vztahu (11.11) uvažujte fa ŕ 0, fa = 0, fa = 1,
potom obdržíte
Yt = fa + Yt-i + ut,
-140-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
což je náhodná procházka s driftem (11.9), která je nestacionární časovou řadou. Pro první
diferenci je pak
ÁYt = j31 + ut, (11.12)
což představuje stochastický trend, který je buď pozitivní {j3\ > 0), nebo je negativní {j3\ < 0).
První diference je podle (11.12) též stacionární, i když to obecně není bílý šum.
Deterministický trend: Ve vztahu (11.11) uvažujte fy ŕ 0, j3i ŕ 0, /3? = 0, potom
obdržíte
Yt = /31+/32t + ut, w (11.13)
což je nestacionární časová řada, kterou nazýváme trendově stacionární. Časová řada (11.13)
je nestacionární proto, že její střední hodnota není konstantní v čase, neboť z (11.13) vyplývá
E(Yt) =/31+/32t, (11.14) "
a dále po dosazení z (11.13) a (11.14) obdržíte
Var(Yt) = E{Yt - E{Yt)f = E{utf = a2
.
Náhodná procházka s driftem a deterministickým trendem: Ve vztahu (11.11)
uvažujte fi\ ž 0, fh. * 0, /3? = 1, potom obdržíte
Yt = Pv +/32t+Yt.l+ ut, (11.15)
což po diferenciaci dává
AYt = j31+fat + ut, (11.16)
a to je nestacionární časová řada.
Příklad 4. Uvažujte stochastický proces
Y, = 0,5t + ut,
kde ut je bílý šum, který při simulaci pro t = 1,2,...,100 generuje časovou řadu
s deterministickým trendem, viz Obr. 11.7 (fialová křivka), a stochastický proces
Yt = 0,5 + Yt-i + ut,
který při simulaci generuje časovou řadu stochastickým trendem, viz Obr. 11.7 (žlutá křivka).
-141 -
Stochastické procesy
Jak je zřejmé, v případě deterministického trendu tvoří odchylky od lineárního trendu
Yt = 0,5t pouze bílý šum, zatímco v případě stochastického trendu ovlivňuje bílý šum
dlouhodobý průběh časové řady.
11.5 JAK POZNÁME, ŽE Č Ř JE STACIONÁRNÍ?
Možná si kladete otázku, jak poznat stacionární, resp. nestacionární časovou řadu (ČR)?
Přirozený návod nám dávají vlastnosti (11.1) - (11.3). Pokud alespoň jedna z těchto
3 podmínek není u časové řady splněna, potom je daná časová řada nestacionární. Zejména
splnění prvních dvou podmínek: konstantní střední hodnoty ČR v čase a konstantní rozptyl
ČR v čase, lze často odhadnout jednoduše grafickou metodou, tj. posouzením spojnicového
grafu, viz Příklady 1 a 2. V některých případech však může být toto posouzení obtížné,
zejména nemáme-li k dispozici dostatečně dlouhý časový úsek ČR a tehdy může pomoci třetí
podmínka: analýza autokorelační funkce, resp. korelogramu. Všimněme si nejprve, jak
vypadá korelogram nejjednodušších ČR: bílého šumu a náhodné procházky.
Z definice bílého šumu v subkapitole 11.3 přímo plyne, že korelační funkce pt je
nulová pro k ž 0. Z toho plyne, že v korelogramu, tj. sloupcovém grafu, který zobrazuje
hodnoty autokorelací pro posuvy k = 1,2,... pomocí výšky sloupců, mají všechny sloupce
nulovou výšku. V konkrétní ČR je třeba tento fakt ověřit statistickým testem hodnoty
výběrového autokorelačního koeficientu, který z dané časové řady vypočteme podle vztahů
Á = ^ pro £=1,2,..., (11.17)
To
kde
„ ^(Yt-Y)(Yt+k-Y)
7k=— : ,resp. (11.18)
n — k
Y(Y-Y)2
f o - , • (11-19)
n-l
je výběrový autokovarianční koeficient řádu k, resp. výběrový rozptyl ČR. Hodnoty výběrové
autokorelační funkce budou zcela jistě nenulové, statistickým testem zjistíme, zda jsou tyto
hodnoty statisticky významné, tj. zda nulovou hypotézu: pk = 0 zamítneme, či nikoliv. Pokud
nulovou hypotézu nezamítnete pro všechna k = 1, 2,..., pak je původní ČR bílý šum.
V opačném případě ČR není bílý šum (může však být přesto stacionární ČR, jak uvidíme
v následující kapitole).
Ř E Š E N Ý P Ř Í K L A D 11.2
V následující tabulce je uvedena časová řada Y, pro t = 1,2,...,30. Sestrojte korelogram
a na jeho základě rozhodněte, zda se jedná o bílý šum. Použijte program SPSS.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Y, -0,437 -0,360 1,014 0,210 -1,723 1,509 1,152 0,858 -1,157 1,462 1,701 1,557 0,089 -0,752 1,506
t 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Y, -0,145 -1,604 1,576 -1,511 -0,362 -0,255 1,239 0,469 0,376 0,534 -1,240 0,364 0,599 1,289 -0,723
Tab. 11.3. Hodnoty časové řady
-142-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Řešení:
Data z tabulky Tab. 11.3. zapíšeme v SPSS (v. 15) do jediného sloupce editoru Data
View. V záhlaví ji nazveme Yt. V hlavním menu vybereme postupně položky:
Analyze -> Time Series->Autocorelations...
Proměnnou Yt vložíme do Variables, v Options... nastavíme
Maximum number of Lags: 15, Continue a potvrdíme OK.
Obdržíme následující výstup, který je požadovaným korelogramem.
Coefficient
- Upper Confidence Limit
- Lower Confidence Limit
7 8
Lag Number
Lag Coeff
1 0,247
2 0,263
3 0,117
4 -0,105
5 -0,004
6 -0,216
7 -0,166
8 -0,076
9 -0,012
10 0,073
11 0,12
12 0,023
13 -0,088
14 -0,145
15 -0,13
Poloha čar, které stanovují horní a dolní konfidenční meze (Upper/Lower Confidence Limit)
vymezuje pás, v němž všechny hodnoty autokorelační funkce ACF jsou statisticky
nevýznamné (tedy s 95%-ní pravděpodobností nulové).
Nyní se podíváme na korelogram náhodné procházky (NP), tedy nestacionární ČR.
Poměrně snadno se dá dokázat, že pro autokorelační funkci platí vztah (Arit, 1999)
(11.20)
Již ze vztahu (11.20) je zřejmé, že autokorelační funkce závisí nejen na posuvu k, nýbrž také
na konkrétním časovém indexu t. NP tedy nesplňuje také 3. podmínku stacionarity, tj. (11.3).
Navíc je vidět, že pro ŕ—>+°° konverguje pt k hodnotě 1, tj. Pk—»1. Z (11.20) je vidět, že u NP
je pro k = 1,2,... hodnota autokorelační funkce blízká l a s rostoucím &tato hodnota pomalu
klesá.
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 11.3
VTab. 11.3. jsou hodnoty časové řady, o níž jste v Řešeném příkladu 11-2 rozhodli, že se
jedná o bílý šum. Vytvořte z této ČR náhodnou procházku a s pomocí programu SPSS
zobrazte její korelogram.
Řešení:
Z bílého šumu vytvoříme náhodnou procházku postupnou kumulací jeho hodnot. Data
si takto připravíme v Excelu do následující tabulky
-143-
Stochastické procesy
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Y, -0,437 -0,797 0,217 0,426 -1,296 0,213 1,365 2,224 1,067 2,529 4,230 5,786 5,875 5,123 6,629
t 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Y, 6,483 4,880 6,456 4,945 4,583 4,328 5,567 6,036 6,412 6,946 5,706 6,070 6,669 7,958 7,235
Tab. 11.4. Příprava dat v Excelu
Data z tabulky zapíšeme v SPSS (v. 15) do jediného sloupce editoru Data View.
V záhlaví ji nazveme NPt. V hlavním menu vybereme postupně položky:
Analyze -> Time Series->Autocorelations...
Proměnnou NPt vložíme do Variables, v Options... nastavíme
Maximum number of Lags: 15, Continue a potvrdíme OK.
Obdržíme následující výstup, který je požadovaným korelogmem.
N P t
i,o-
0,5-
LL
_
i - i
- i—i
i,o-
0,5-
LL
_
L-0,5-
-i,oT
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 í~
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Lag N u m b e r
Z korelogramu je vidět, že dochází k pozvolnému poklesu hodnot autokorelační funkce ACF,
což potvrzuje fakt, že se jedná o časovou řadu, která je náhodnou procházkou.
Shrňme tedy poznatky z této kapitoly: Nejprve jsme se zaměřili na obecnější pojetí
časové řady s pomocí pojmu stochastický (náhodný) proces. V klasickém pojetí je časová
řada posloupnost číselných veličin v čase, v rozšířeném pojetí je to posloupnost náhodných
veličin v čase. Speciální důležitou třídu tvoří stacionární procesy, zbývající procesy jsou
nestacionární. Výjimečné místo mezi stacionárními procesy zaujímá bílý šum, mezi
nestacionárními je to náhodná procházka. Oběma jsme se v této kapitole podrobněji zabývali.
S rozšířením pojmu časové řady vzniká také rozšíření klasického deterministického trendu na
stochastický trend. V závěru kapitoly jsme se zabývali problémem, jak rozhodnout, zda daná
časová řada je nebo není stacionární. K řešení ilustračních příkladů jsme využili nejen Excel,
ale také speciální statistický SW: SPSS.
11.6 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
11.1 V následující tabulce je uvedena časová řada Ut pro t = 1,2,...,30.
a. Sestrojte a zobrazte korelogram ČR a na jeho základě potvrďte, že se jedná o bílý
šum.
b. Vytvořte z této ČR kumulací hodnot náhodnou procházku a s pomocí programu
SPSS zobrazte její korelogram.
-144-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
u, 1,657 0,835 -0,516 -1,656 -1,702 -1,260 -0,037 0,423 -1,634 -1,508 0,511 0,547 0,353 -0,331 -0,716
t 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
u, 1,416 0,545 -0,997 0,990 0,931 0,188 -0,641 -0,295 -1,483 -0,380 -0,279 1,301 -0,065 0,813 -0,845
11.7 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
11.1 a. Jak je vidět z korelogramu, první hodnota autokorelační funkce vybočuje z 95%ního
intervalu, v němž jsou hodnoty statisticky nevýznamné. Zadaná ČR je proto bílým
šumem „s nižší spolehlivostí".
ut
I Coefficient
Upper Confidence Limit
Lower Confidence Limit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Lag Number
b. Z bílého šumu se vytvoří NP postupnou kumulací jeho hodnot v Excelu do
následující tabulky:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v, 1,657 2,492 1,976 0,321 -1,381 -2,641 -2,678 -2,256 -3,889 -5,397 -4,886 -4,339 -3,986 -4,317 -5,033
t 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
v, -3,377 -2,831 -3,828 -2,838 -1,908 -1,719 -2,361 -2,656 -4,140 -4,520 -4,798 -3,498 -3,562 -2,750 -3,594
Korelogram potvrzuje, i když ne příliš přesvědčivě, že ČŘ Vt z kumulovaných hodnot Ut má
charakter náhodné procházky.
vt
| Coefficient
Upper Confidence Limit
Lower Confidence Limit
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
L a g N u m b e r
- 7 4 5 -
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
12 MODELY TYPU ARIMA A PROGNÓZOVANÍ
ČASOVÝCH ŘAD
RÝCHLY N A H L E D K A P I T O L Y
Tato kapitola bezprostředně navazuje na kapitolu předchozí a to zejména v tom, že
o vyšetřovaných časových řadách (v širším smyslu) budeme předpokládat, že jsou buď
stacionární, nebo je lze na stacionární ČR převést (několikerým) diferencováním. Nejprve se
budete zabývat časovými řadami typu ARIMA. Box-Jenkinsova metodologie, která se modely
analýzy časových řad typu ARIMA zabývá, klade důraz nikoliv na konstrukci jednorovnicového
nebo vícerovnicového modelu, jak je tomu např. v regresní analýze, nýbrž na
analýzu vlastních stochastických vlastností ekonomických ČR. Postupně se seznámíte
s vlastnostmi autoregresivních procesů AR, procesů pohyblivých průměrů M A , integračních
procesů I, jakož i procesů vzniklých jejich kombinací: ARIMA. Dále lze tyto procesy rozšířit
též na sezónní procesy. Úkolem pak je pro konkrétní proces - časovou řadu nalézt vhodný
konkrétní proces (model) typu ARIMA a nalezený model použít pro účely prognózy
(predikce, extrapolace) hodnot dané časové řady. Celý postup tvorby prognózy ČR autoři
metody ARIMA formulovali ve 4 krocích, které nazýváme Box-Jenkinsova metodologie
prognózovaní ČR. Jednotlivé kroky jsou (1) Identifikace modelu, (2) Odhad modelu,
(3) Verifikace modelu a (4) Prognóza pomocí modelu. Jednotlivé kroky Box-Jenkinsovy
metodologie budou ilustrovány na příkladu časové řady čtvrtletního HDP České republiky
s pomocí statistického programu SPSS. K řešení ilustračních příkladů budete používat nejen
Excel, nýbrž také speciální statistický SW: SPSS (Statistical Package for Sociál Sciences).
12.1 Ú V O D
Tuto kapitolu lze obtížně studovat izolovaně, neboť bezprostředně navazuje na kapitolu
předchozí, se kterou je úzce propojena jak tematicky, tak použitými příklady. Ke zvládnutí
látky kapitoly je podstatnou měrou využit statistický program SPSS, který je dostupný ve
všech PC učebnách na SU OPF. SPSS je typem SW, který je do značné míry intuitivní a
uživatelsky přátelský. Řešení příkladů uvedených v této kapitole, jež SPSS verzi 11.5
využívají, jsou podrobně komentována postupným procházením vložených menu, např. takto:
Analýze -> Time Series -> Autocorrelations...,
což znamená, že nejprve zvolíte položku hlavního menu Analýze, potom Time Series,
konečně Autocorrelations... Jednotlivé prvky, které jsou součástmi SPSS, jsou odlišeny
jiným fontem písma (Arial), zatímco ostatní text je psán fontem Times New Roman. Přesto
před studiem této kapitoly naléhavě doporučujeme seznámit se podrobněji s hlavními
funkcemi a způsobem ovládání programu SPSS, ať již starší verze 11.5, nebo nejnovější verze
20, která je již také na některých počítačových učebnách k dispozici. K tomu účelu může
velmi dobře posloužit položka Tutoriál, kterou naleznete pod položkou hlavního menu Help.
Na tomto místě zmíníme pouze jedinou informaci avšak prvořadé důležitosti: Přenos
číselných dat mezi worksheetem v Excelu a Data View v SPSS funguje naprosto
bezproblémově, a to na obě strany tak, jak jste zvyklí z MS Office: pomocí kombinace kláves
Ctrl+C (kopírovat do schránky), Ctrl+V (vložit ze schránky).
Prognózovaní (předvídání, předpovídání) je důležitou součástí ekonomických
(ekonometrických) analýz, dá se říci, že z určitého pohledu nej důležitější. Jak prognózovat
-746-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
budoucí hodnoty ekonomických veličin, jako jsou HDP, inflace, kurzy měn, ceny akcií, míra
nezaměstnanosti a dalších? Jednu klasikou metodu již znáte: lineární, (resp. nelineární)
regresní analýza, s níž jste se seznámili již v kapitolách 3 a 4. V této kapitole se dozvíte
o nové metodě, která se stala v posledních letech velmi populární: tzv. modely
autoregresivních a integrovaných procesů a klouzavých průměrů - ARIMA (z angl. Auto
Regresive Integrated Moving Average), která je známa také pod názvem Box-Jenkinsova
metodologie (podle autorů metody G.P.E. Boxe a G.M. Jenkinse ze 70. let 20. století).
Téma ekonomického prognózovaní je velmi široké a existuje k němu množství
specializovaných knih a dalších publikací. My zde chceme podat pouze stručný vhled do
problematiky. Naštěstí k problematice prognózovaní ekonomických ČR existuje nejen vhodná
literatura, její přehled lze nalézt např. u Arita (1999), u Gujaratho (2003) aj., ale též příslušný
specializovaný SW v podobě programových balíků jakými jsou SPSS (v současnosti je
k dispozici na všech PC učebnách SU OPF), STATISTKA, SAS a další. V této kapitole
budeme využívat konkrétně program SPSS, který obsahuje modul Time Series, umožňující
modelování pomocí metody ARIMA.
Tato kapitola bezprostředně navazuje na kapitolu předchozí a to zejména v tom, že
o níže vyšetřovaných časových řadách (v širším smyslu) budeme předpokládat, že jsou buď
stacionární, nebo je lze na stacionární ČR převést (několikerým) diferencováním. Přitom zde
využijeme pojmy zavedené v předchozí kapitole a přidáme ještě pojmy další, které se nám
budou pro prognózovaní ČR hodit.
Jak jsme již dříve zmínili, k analýze ČR existuje řada různých metod a přístupů. Kromě
již zmíněné (1) jednoduché regresní analýzy a (2) metody ARIMA, které jsou předmětem
tohoto textu, je zapotřebí ještě jmenovat (3) metody exponenciálního vyrovnání (HoltovaWintersova
metoda a jejich varianty), (4) metody simultánních rovnic a (5) vektorové
autoregresivní metody VAR, (6) metody ARCH a GARCH a další. S nimi se zájemci mohou
blíže seznámit např. v Seger (1998).
12.2 MODELOVÁNÍ ČASOVÝCH ŘAD POMOCÍ A R I M A
Podle svých autorů známa jako Box-Jenkinsova metodologie, avšak technicky nazývaná
ARIMA metodologie klade důraz nikoliv na konstrukci jednorovnicového nebo
vícerovnicového modelu, jak je tomu např. v regresní analýze, nýbrž na analýzu vlastních
stochastických vlastností ekonomických ČR podle filosofie „ať data hovoří sama za sebe".
V regresních modelech je závisle proměnná Y vysvětlována několika vysvětlujícími
proměnnými - regresory, zatímco v ARIMA metodách je závisle proměnná Y v čase
t vysvětlována hodnotami téže Y v minulých časových okamžicích a zároveň chybovými
členy v současných anebo minulých okamžicích. Na rozdíl od regresních modelů a modelů
simultánních rovnic, které jsou založeny na ekonomické teorii, nejsou modely ARIMA na
teorii přímo závislé. Teoretické závislosti jsou u nich vyjádřeny zprostředkovaně skrze
sledované hodnoty v minulých časových okamžicích.
Příklad 1. Uvažujte stochastický proces Yt „Čtvrtletní HDP České republiky" z kapitoly
11, viz www.czso.cz. Z ČR vypočítáme novou ČR indexu růstu It podle vztahu
It = - ^ - proř = 5,6,...,30. (12.1)
Hodnoty indexu růstu čtvrtletního HDP jsou uvedeny v níže uvedené tabulce.
Je zřejmé, že se jedná o stochastický proces - časovou řadu v širším pojetí, kdy konečná
hodnota za každé čtvrtletí je realizací náhodné veličiny (s neznámým rozdělením
pravděpodobnosti), která může nabývat různých hodnot z číselného intervalu v závislosti na
-147-
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
konkrétních ekonomických podmínkách závislých na mnoha faktorech. Grafické znázornění
je na Obr. 12.1.
Q 1.95 II.95 111.95 IV.95 1.96 II.96 III.96 IV.96 1.97 II.97 III.97 IV.97
1 HDP Q 1,150 1,156 1,147 1,139 1,085 1,075 1,069 1,075
Q 1.98 II.98 III.98 IV.98 1.99 II.99 III.99 IV.99 1.00 II.00 III.00 IV.00
1 HDP Q 1,102 1,124 1,109 1,076 1,052 1,040 1,033 1,044 1,047 1,048 1,053 1,059
Q 1.01 11.01 111.01 IV.01 1.02 II.02 III.02 IV.02 1.03 II.03 III.03 IV.03
1 HDP Q 1,071 1,072 1,074 1,081 1,068 1,052 1,036 1,037 1,038 1,048 1,048 1,049
Q I.04 II.04 III.04 IV.04 1.05 II.05 III.05 IV.05 1.06 II.06 III.06 IV.06
1 HDP Q 1,087 1,083 1,094 1,104 1,071 1,062 1,059 1,055 1,071 1,077 1,090 1,088
Q I.07 II.07 III.07
1 HDP Q 1,101 1,101 1,095
Tab. 12.1 Index růstu I, čtvrtletního HDP ČR
Čtvrtletní HDP ČR index růstu
1,2
0,95 \ m m m m m m , m , m m m r-l
5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51
Obr. 12.1 Časová řada indexu růstu I, čtvrtletního HDP ČR
12.3 AUTOREGRESIVNÍ PROCES (AR)
Uvažujte ČR indexu růstu It z Tab. 12.1., který budeme pro konzistenci skap. 11
označovat Y,. Budeme předpokládat, že Yt se chová podle vztahu
(Yt -ju) = <p\(YtA -ju) + ut, (12.2)^ ^
kde juje střední hodnota Yt a ut je bílý šum, (p\ je konstanta. V tom případě říkáme, že ČR Yt je
autoregresivníproces 1. řádu, neboli AR(1). Podle modelu (12.2) je prognóza Y-jU v čase ř je
přímo úměrná Y-jU v čase (t - 1) prostřednictvím koeficientu úměry (p\ plus/mínus náhodná
chyba (bílý šum). Pokud pro konstantu v modelu (12.2) platí -1 < (p\ < 1, pak se dá ukázat, že
proces AR(1) je stacionární. Dále si všimněte, že speciálně při (p\ = 0 je z (12.2) proces AR(1)
bílý šum a při (p\ = 1 je z (12.2) proces AR(1) náhodná procházka. Také pro (p\ > 1 nebo
<Pi < -1 je proces AR(1) nestacionární (Arit, 1999).
Podobně autoregresivní proces 2. řádu, neboli AR(2) má tvar
(Yt -ju) = <p\(YtA - ju) +(p2(Yt_2 -ju)+ ut. (12.3)
Analogicky autoregresivní proces p-tého řádu, neboli AR(p) má tvar
(Yt -ju) = <p\(YtA - ju) +(fh(Y,-2 - M) +...+<pp(Yt.p -ju) + ut. (12.4)
Otázka stacionárny procesů AR(p) pro p > 1 je složitější problém, kterým se zde
zabývat nebudeme. Eventuální zájemce odkazujeme na literaturu, např. knihu Arit (1999).
-148-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Všimněte si, že kromě hodnot Y v různých časových okamžicích se ve výše uvedených
modelech nevyskytují jiné regresory. V tomto smyslu říkáme, že „data hovoří sama za sebe".
12.4 PROCES KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ (MA)
Výše uvedený A R proces není jediný, kterým lze generovat hodnoty Y. Nyní budeme
předpokládat, že Y, se chová podle vztahu
(Yt-ju) =ut-Olun, _ (12.5)
kde ju je střední hodnota Yt a ut je bílý šum. V tom případě říkáme, že ČR Yt je proces
klouzavých průměrů 1. řádu, neboli MA(1). Podle modelu (12.5) je prognóza Y-ju v čase t je
přímo úměrná náhodné chybě v čase (í-1) prostřednictvím koeficientu úměry -9\ plus/mínus
náhodná chyba (bílý šum).
Podobně proces klouzavých průměrů 2. řádu, neboli MA(2) má tvar
(Yt -jU) = ut- 0\ut.\ - &iu,.2, (12.6)
Analogicky proces klouzavých průměrů q-tého řádu, neboli MA(q) má tvar
(Yt -jU) = Ut- 0\Ut-\ - OlUt-l - ... - OqUt-q. (12.7)
Jednoduše řečeno, proces klouzavých průměrů je lineární kombinací minulých náhodných
chyb bílého šumu. Na rozdíl od A R procesů jsou procesy MA(q) pro všechna q > 1
stacionární nezávisle na hodnotách koeficientů
12.5 AUTOREGRESIVNÍ PROCES KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ (ARMA)
Časová řada, která má charakteristiky jak A R tak M A procesů, je A R M A proces.
Konkrétně A R M A proces 1. řádu, tj. ARMA(1,1) má tvar
Yt=S+<plYt.l + Ut-0iut.i, (12.8)
kde ô je konstantní člen. Analogicky můžete uvažovat procesy ARMA(p,q), které mají
p autoregresivních a q klouzavých členů. Vzhledem ke stacionaritě procesu MA(q) je
podmínka stacionárny procesu ARMA(p,q) totožná s podmínkou stacionarity procesu AR(p).
Jinak řečeno, proces ARMA(p,q) je stacionární, právě když je stacionární proces AR(p).
12.6 AUTOREGRESIVNÍ A INTEGROVANÝ PROCES KLOUZAVÝCH
PRŮMĚRŮ (ARIMA)
Časové procesy, které jste doposud poznali, byly vesměs za určitých podmínek
stacionární. Dobře však víte, že mnohé ekonomické časové řady jsou nestacionární. Říkáme,
že časová řada Yt, tj. stochastický proces Yt je integrovaný 1. řádu, neboli je to 1(1) proces,
jestliže 1. diference této časové řady je stacionární. Jinak řečeno, ČR Yt je integrovaná 1. řádu,
jestliže AYt =Yt- Yt.\ je stacionární ČR. Analogicky lze zavést pojem integrované časové řady
J-tého řádu, jestliže d-tá diference této ČŘ je stacionární, neboli Ad
Y, = Ad
'l
Yt - Ad
'l
Yt.\ je
stacionární, přitom A1
= A. Stacionární proces se této symbolice označuje jako 1(0) proces.
Proto když nejprve proces J-krát diferencujeme a poté obdržíme ARMA(p,q) proces,
nazývá se původní proces ARYMA(p,d,q). V tomto symbolickém vyjádření znamenají např.
ARJJVIA(/?,0,g) a ARMA(p,#) stejný proces, stejně tak ARIMA(0,0,g) = MA(q),
ARLMA(p,0,0) = AR(p), ARMA(p,0) = AR(p), apod.
- 7 4 9 -
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
12.7 SEZÓNNI PROCESY A R I M A
Uvažujte nyní stochastický proces Yt o němž je známo, že je sezónní se sezónní složkou
a r sezónami, viz kapitolu 9, které budeme modelovat jako AR proces. Konkrétně si můžete
vzít naši časovou řadu čtvrtletního HDP ČR z Příkladu 1, kde počet sezón (tj. čtvrtletí) je
r = 4. Budeme proto předpokládat, že Yt se chová podle vztahu
Yt = <P,Yt.r + ut, _ (12.9)
kde ut je bílý šum, <Pi je konstanta. V tom případě říkáme, že ČR Yt je sezónní autoregresivní
proces 1. řádu, neboli SAR(l) s r sezónami. Podobně můžeme uvažovat další sezónní
ARJJVIA procesy, říkáme jim SARJJVIA procesy. Podrobněji se touto problematikou zabývat
nebudeme, viz např. Arit (1999).
12.8 Box-JENKINSOVA METODOLOGIE PROGNÓZOVANÍ Č Ř
Představte si, že máte analyzovat nějakou časovou řadu, jako třeba čtvrtletní HDP ČR
z příkladu 3, Tab. 11.2 v kapitole 11. Jak zjistíte, o který typ procesu se jedná? Jde o realizaci
AR procesu, nebo snad M A procesu, či jejich kombinaci ARMA? Může byt konkrétní časová
řada realizaci více různých typů procesu, např. jak AR(1), tak současně MA(1)? V této
souvislosti hledáme model časové řady a hned je třeba říci, že konkrétní časová řada může mít
několik „správných" modelů. Zda je model „správný" ověříme postupem zvaným verifikace
modelu, viz Krok 3 v následujícím postupu. Předtím však musíte v Kroku 1 identifikovat,
o jaký typ procesu se ve vašem případě jedná, zdaje to proces AR, M A , ARI apod., a také
stanovit řád příslušného procesu, např. AR(2), kde řád p = 2, nebo ARI(2,1), kde se jedná
o integrovaný proces 1(1) řádu d=l v kombinaci autoregresivním procesem AR(2) řádu p = 2,.
Abyste mohli „správně" prognózovat hodnoty časové řady v budoucnosti (Krok 4), musíte mít
k dispozici „správný" model ČR, který následně použijete pro výpočet prognózy. Celý postup
tvorby prognózy ČR autoři metody ARIMA formulovali ve 4 krocích, které nazýváme BoxJenkinsova
metodologie prognózovaní ČR. Jednotlivé kroky si teď přiblížíme i s ohledem na
použití statistického programu SPSS.
Krokl. Identifikace modelu: Stanovení typu modelu (AR, M A , I, ARMA, ARIMA,
sezónnosti apod.) a řádů, tj. čísel p, d, q v modelu ARJMA(p,d,q). V sezónních
modelech SARIMA se stanoví ještě další parametry sp, sd, sq (viz Analýze —> Time
Series -> ARIMA v SPSS). Využívá se přitom tvarů ACF a PACF (viz další
subkapitola).
Krok 2. Odhad modelu: Odhad parametrů modelu - výpočet koeficientů modelu (p\ a Oj
(v SPSS je použita metoda maximální věrohodnosti, což je obdoba metody
nejmenších čtverců - MNČ). Diferencování modelu (J-krát) vede ke stacionarizaci
ČŘ.
Krok 3. Verifikace modelu: Výpočet Rezidua - rozdílu mezi modelovými hodnotami
a příslušnými hodnotami z dat. (V SPSS jsou to hodnoty proměnné ERR). Model je
správný, pokud reziduum je bílý šum, jinak je třeba přejít na Krok 1 - k nové
identifikaci a přehodnocení modelu. Tento krok do značné míry závisí na
zkušenostech analytika - nejde o přísně exaktní postup (např. hodnocení tvarů ACF
a PACF, resp. statistické významnosti hodnot ACF a PACF na hladině spolehlivosti
95%).
-150-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Krok 4. Prognózovaní: Výpočet modelem prognózovaných hodnot v zadaném
časovém horizontu prognózy a intervalů spolehlivosti prognózy. (V SPSS jsou to
hodnoty proměnné FIT, 95%UCL a 95%LCL).
Aplikaci jednotlivých kroků s využitím SPSS si ukážeme na konkrétním příkladu v závěru
této kapitoly. Ještě předtím se seznámíte s dalšími nástroji a metodami, které se využívají
v prvním kroku pří identifikaci modelu ČR.
12.9 PROGNÓZOVANÍ POMOCÍ A R I M A MODELŮ
Významným nástrojem ke stanovení typu modelu (AR, M A , I, ARMA, ARJMA) je
autokorelační funkce p\, k = 1,2,..., (ACF) a korelogram, resp. výběrová autokorelační funkce
pk, k = 1,2,..., a výběrový korelogram, s kterými jste se seznámili v subkapitolách 11.2.
a 11.5. Korelace mezi 2 náhodnými veličinami je často způsobena tím, že obě tyto veličiny
jsou korelovány s veličinou třetí, velká část korelace mezi veličinami Yt a Yt.k může být
zapříčiněna jejích korelací s mezilehlými veličinami Yt.\, YT_2,„„Yt_k+\. Pojem parciální
autokorelace zachycuje korelaci mezi veličinami Yt a Yt.k očištěnou o vliv veličin mezi nimi.
Parciální autokorelační koeficient p\k, k = 0,1,2,..., (2 indexy kk) je analogií k pojmu parciální
regresní koeficient. Uvažujte fc-násobnou lineární regresi Yt s regresory Yt.\, YT.2„„,Yt.k:
Yt = pki Yt_i+ pk2 Yt.2+...+pkk Yt-k + et. (12.10)
Regresní koeficient pkk je ve (12.10) právě parciální autokorelační koeficient. Vztahu (12.10)
se také využívá k výpočtu výběrového parciálního autokorelačního koeficientu pa , viz Arit
(1999).
Důležitou roli hraje tzv. parciální autokorelační funkce (PACF) stochastického procesu
Pkk pro k =0,1,2,... PACF má následující vlastnosti:
Poo = 1,
-1 <Pkk< 1 pro k = 1,2,...
Pkk = P-k,-k pro k = 1,2,..., tj. PACF je symetrická kolem k = 0.
Grafickým znázorněním PACF je parciální korelogram. Vzhledem k uvedeným vlastnostem
stačí, aby parciální korelogram zobrazoval hodnoty pro posuvy k > 0. Výpočet PACF bývá
dnes samozřejmou součástí statistických softwarových programů, např. SPSS.
12.10 IDENTIFIKACE PROCESŮ A R I M A POMOCÍ A C F A P A C F
Při identifikaci typu procesu ARIMA a jeho řádů využíváme charakteristických tvarů
ACF a PACF. Různé typy procesů ARIMA mají charakteristické tvary korelogramů
a parciálních korelogramů. V SPSS využíváme nabídku: Analyze —> Time Series —>
Autocorrelations...
Jednotlivé typy procesů mají následující charakteristiky:
a. Proces AR(p): Prvních p hodnot PACF je „velkých", další = 0 a „rychlý" pokles
(v absolutních hodnotách) ACF.
- 757 -
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
Příklad korelogramů AR(1):
I I I . . . . innnnnr
- Upper Confidence Lir
- Lower Confidence Li
Proces MA(q): Prvních q hodnot A C F je „velkých", další
(v absolutních hodnotách) PACF.
Příklad korelogramů MA(1):
0 a „rychlý" pokles
MA1
U|>f"rl
- Confidence
Limit
Lowei
- Confidence
Limit
L a g N u m b e r
XV}
Proces l(d): „Pomalý" pokles ACF, prvních d hodnot PACF je „velkých", další = 0.
Příklad korelogramů 1(1): „Náhodná procházka"
Lag Number
•ľ •:•ťffidťiit
- Upper Confidem
- Lower Confiden
2 3 1 5 B J B 3 ID 11 12 12
Lag Number
Proces ARMA(p,q): Prvních q hodnot ACF je „velkých", další = 0 a prvních p hodnot
PACF je „velkých", další = 0.
- 7 5 2 -
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Příklad korelogramů ARMA(1,1):
ARMA11 ARMA11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1E
Lag Number Lag Number
Ř E Š E N Ý PŘÍKLAD 12.1
Uvažujte ještě naposledy časovou řadu „Čtvrtletní HDP České republiky" z Příkladu 3
v kap. 11, viz www.czso.cz . Hodnoty časové řady jsou uvedeny v následující tabulce
Tab. 12.2 a zobrazeny v grafu na Obr. 12.2:
Q 1.95 II.95 III.95 IV.95 I.96 II.96 III.96 IV.96 I.97 11.97 III.97 IV.97
HDP Q 332995 366618 376688 390221 382859 423953 432152 444324 415593 455790 461902 477809
Q 1.98 II.98 III.98 IV.98 I.99 II.99 III.99 IV.99 I.00 11.00 III.00 IV.00
HDP Q 457925 512225 512408 513925 481895 532968 529465 536469 504479 558691 557780 568219
Q 1.01 11.01 111.01 IV.01 I.02 II.02 III.02 IV.02 I.03 II.03 III.03 IV.03
HDP Q 540124 598842 599262 613986 576665 630141 621004 636622 598385 660401 650791 667533
Q I.04 II.04 III.04 IV.04 I.05 II.05 III.05 IV.05 I.06 II.06 III.06 IV.06
HDP Q 650448 715163 712103 737048 696387 759740 753836 777759 745496 817867 821754 846459
Q I.07 II.07 III.07
HDP Q 820689 900606 900022
Tab. 12.2 HDP ČR v letech 1995 - 2007
Kvartálni HDP ČR
1 000 000
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
Obr. 12.2 HDP CR CR v letech 1995 - 2007: grafické znázornení
Nalezněte vhodný ARIMA model této časové řady a pomocí něj prognózujte čtvrtletní
hodnoty HDP až do konce roku 2009.
-153-
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
Řešení:
K řešení využijeme Box-Jenkinsovu metodologii prognózovaní ČR formulovanou ve
4 krocích popsaných v subkapitole 12.3. Použijeme k tomu statistický program SPSS. Zde
v Data View do proměnné nazvané HDP_Q uložíme 51 hodnot kvartálního HDP. V menu:
Data - » Define Data ->Years, Quaters
vytvoříme hodnoty časové osy (počínaje rok - čtvrtletí):
Year: 1995
Quarter: 1
Krok 1: Identifikace modelu procesu ARIMA.
Z prostého pohledu na spojnicový graf na Obr. 12.2. lze usoudit, že se jedná
o nestacionární časovou řadu, zároveň vykazuje sezónní složku se 4 sezónami. Tento
předpoklad potvrdíme analýzou korelogramu ACF a PACF. V menu:
Analýze -> Time Serieš -> Autocorrelations...
vložíme proměnnou HDP_Q a ve výstupu Output obdržíme korelogramy:
HDP_0
HDP_Q
' 1—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i 1
1 — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 3 9 10 11 12 13 14 15 16
Lag Number Lag Number
V korelogramu hodnoty ACF pomalu klesají, v PACF je „velká" první hodnota, ostatní jsou
statisticky nevýznamné, tedy nulové, neboť se nacházejí v pásu 95% spolehlivosti. Z toho
vyvozujeme, že se jedná o nestacionaritu 1. řádu, tj. typu 1(1). Stacionarizujeme proto ČR
jedním diferencováním a zobrazíme korelogramy této ČR: V menu:
Analyze -> Time Series -> Autocorrelations...,
dále zvolíme Seasonally difference: 1 , obdržíme korelogramy:
Coefficient
- Upper Confident
- Lower Confidenc,
Z tvarů kolerogramů je zřejmé, že stacionarizovaný proces je typu AR(1), srovnejte
s příkladem v subkapitole 12.4.1. Celkovým výsledkem kroku identifikace je, že naše časová
řada je ARI(1,1) proces se sezónní složkou (se 4 sezónami) řádu 1.
- 7 5 4 -
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Krok 2: Odhad parametrů modelu - výpočet koeficientů modelu provedeme v programu
SPSS v menu:
Analyze -» Time Series -» ARIMA...,
vložíme proměnnou Dependent: HDP_Q, Independent: QUARTER_, dále zvolíme:
Autoregressive: p = 1, Seasonal sp = 1
Difference: d = 1, Seasonal sd = 1
Moving Average: q = 0, Seasonal sq = 0
Potvrdíme OK a v Output obdržíme vypočítané parametry:
Parameter Estimates
Estimates Std Error t Approx Sig
Non-Seasonal Lags AR1 0,168 0,136 1,235 0,223
Seasonal Lags Seasonal A R 1 0,947 0,044 21,726 0,000
Regression Coefficients Q U A R T E R , period 4 12614,393 6130,4 2,058 0,045
Constant 14435,108 13570,9 1,064 0,293
Melard's algorithm w a s used for estimation.
Dále zobrazíme v jednom grafu hodnoty ČR (modrá křivka) a hodnoty modelu ČR (zelená
křivka). Použijeme k tomu menu:
Analyze -» Time Series -» Sequence Charts...,
vložíme proměnné: Variables: H D P Q , Fit for HDP_Q,
Time Axis Labels: QUARTER.,
potvrdíme OK. Ve výstupu Output obdržíme graf:
1 ooo oooV
Data View se vytvořilo 5 nových proměnných: FIT, ERR, LCL, UCL, SEP.
Krok 3: Verifikace modelu - spočívá v ověření předpokladu, že reziduum tj. odchylka
modelu od dat, je bílý šum. V SPSS jsou to hodnoty proměnné ERR. Model je správný,
pokud reziduum je bílý šum. V menu:
Analýze -> Time Series -> Autocorrelations...
vložíme proměnnou ERR , potvrdíme OK a ve výstupu Output obdržíme korelogramy:
- 7 5 5 -
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
Error for HDP_Q from ARIMA, MOD_41, CON
Error for HDP_0 from ARIMA, MOD_41, CON
• Cos1Meiert
Upper Conlidenee Limit 1
Lower Conliderice Limit
0,5-
LL
n ľ! r - i nm
• Cos1Meiert
Upper Conlidenee Limit 1
Lower Conliderice Limit
0,5-
LL
- - CL
-0,5-
-1,0-
CL
-0,5-
-1,0-
J
L|u u
u U
—i—i—i—i—i—i—
Výše uvedené korelogramy potvrzují, že ACF i PACF jsou nulové, proto Reziduum ERR je
bílý šum (i když u obou korelogramů v jednom případě hodnota mírně přesahuje pás 95%
spolehlivosti).
Krok 4: Prognózu vytvoříme v prognózovaném časovém období 2007_IV až 2009_IV
pomocí verifikovaného modelu. V menu:
Analyze - » Time Series - » ARIMA...,
ponecháme proměnnou Dependent: HDP_Q, Independent: QUARTER_, a také hodnoty
řádů: p = 1, d = \, q = 0, sp = 1, sd = 1, sq = 0. Navíc klikneme na tlačítko SAVE a ve
vloženém okně klikneme Predict trough a vyplníme konec prognózovaného intervalu:
Year: 2009
Quarter: 4
Potvrdíme CONTINUE a OK.
V Data View se vytvořilo 5 nových proměnných: FIT, ERR, LCL, UCL, SEP
s hodnotami také v časovém intervalu predikce (kromě proměnné ERR). Obdržíte mimo jiné
hodnoty predikce čtvrtletního HDP ČR:
Q HDP Q
IV.07 923892
1.08 898085
11.08 975193
111.08 976058
IV.08 1000094
1.09 974413
11.09 1048887
111.09 1051130
IV.09 1075325
Nakonec zobrazíme ČŘ od roku 2005 do konce roku 2009 včetně 95% intervalu
spolehlivosti prognózy. V SPSS nejprve vybereme zobrazovaný časový interval. V menu:
Data -»Select Cases...
klikneme tlačítka Based on time or case range a Range, pak vybereme zobrazovaný
interval (od - rok, čtvrtletí do - rok čtvrtletí):
Year: 2005 Year: 2009
Quarter: 1 Quarter: 4
Poté v menu:
Analyze - » Time Series - » Sequence Charts...,
vložíme proměnné
- 756-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
Variables: H D P Q , Fit for H D P Q ,
Time Axis Labels: QUARTER.,
potvrdíme OK. Ve výstupu Output obdržíme po mírné editaci graf:
H D P Q
Fit f o r H D P Q f r o m
A R I M A , M O D _ 4 8 , C O N
9 5 % L C L f o r H D P Q
f r o m A R I M A , M O D _ 4 8 ,
C O N
9 5 % U C L f o r H D P Q
f r o m A R I M A , M O D _ 4 8 ,
C O N
Q1 2DD5 Q3 2DD5 Q1 2 Q3 2DD6 Q1 2DD7 Q3 2DD7 Q1 2008 Q3 2008 Q1 2009 Q3 2
Date
Všechny zadané úkoly jsou tímto vyřešeny.
Můžeme tedy shrnout: Tato závěrečná kapitola 12 bezprostředně navázala na
předchozí kapitolu 11. Nejprve jste se seznámili s časovými řadami (procesy) typu ARIMA.
Box-Jenkinsova metodologie, která se touto problematikou zabývá, klade důraz nikoliv na
konstrukci jednorovnicového nebo vícerovnicového modelu, jak tomu bylo např. v regresní
analýze, nýbrž na analýzu vlastních stochastických vlastností ekonomických ČR. Postupně
jste se seznámili s vlastnostmi autoregresivních procesů AR, procesů pohyblivých průměrů
MA, integračních procesů I, jakož i procesů vzniklých jejich kombinací ARIMA. Dále byly
tyto procesy rozšířeny též na sezónní procesy. Úkolem pak bylo pro konkrétní proces časovou
řadu nalézt vhodný konkrétní proces (model) typu ARIMA a nalezený model použít
pro účely prognózy (predikce, extrapolace) hodnot dané časové řady. Celý postup tvorby
prognózy ČR autoři metody ARIMA formulovali ve 4 krocích, které nazýváme BoxJenkinsova
metodologie prognózovaní ČR. Jednotlivé kroky jsou (1) Identifikace modelu,
(2) Odhad modelu, (3) Verifikace modelu a (4) Prognóza pomocí modelu. Jednotlivé kroky
Box-Jenkinsovy metodologie byly ilustrovány na příkladu konkrétní časové řady čtvrtletního
HDP České republiky s pomocí statistického programu SPSS.
12.11 SAMOSTATNÉ ÚKOLY
12.1 Uvažujte časovou řadu „Čtvrtletní HDP USA" vletech 1970 - 1991. Hodnoty
časové řady jsou uvedeny v následující tabulce. Najděte vhodný ARIMA model této časové
řady a pomocí něj prognózujte čtvrtletní hodnoty HDP až do konce roku 1994 (chybějící
hodnoty v tabulce). Použijte přitom 4 kroky Box-Jenkinsovy metodologie.
- 7 5 7 -
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
Q. Rok HDP Q Q.Rok HDP Q Q. Rok HDP Q Q. Rok HDP Q Q. Rok HDP Q
1.70 2872,8 I.75 3154 I.80 3830,8 I.85 4221,8 I.90 4880,8
11.70 2860,3 II.75 3190,4 II.80 3732,6 II.85 4254,8 II.90 4900,3
111.70 2896,6 III.75 3249,9 111.80 3733,5 III.85 4309 III.90 4903,3
IV.70 2873,7 IV.75 3292,5 IV.80 3808,5 IV .85 4333,5 IV.90 4855,1
1.71 2942,9 I.76 3356,7 1.81 3860,5 I.86 4390,5 1.91 4824
11.71 2947,4 II.76 3369,2 11.81 3844,4 II.86 4387,7 11.91 4840,7
111.71 2966 III.76 3381 111.81 3864,5 III.86 4412,6 111.91 4862,7
IV.71 2980,8 IV.76 3416,3 IV.81 3803,1 IV .86 4427,1 IV.91 4868
I.72 3037,3 I.77 3466,4 I.82 3756,1 I.87 4460 I.92
II.72 3089,7 II.77 3525 II.82 3771,1 II.87 4515,3 II.92
III.72 3125,8 III.77 3574,4 111.82 3754,4 III.87 4559,3 III. 92
IV.72 3175,5 IV.77 3567,2 IV.82 3759,6 IV .87 4625,5 IV.92
I.73 3253,3 I.78 3591,8 I.83 3783,5 I.88 4655,3 I.93
11.73 3267,6 II.78 3707 II.83 3886,5 II.88 4704,8 II.93
111.73 3264,3 III.78 3735,6 III.83 3944,4 III.88 4734,5 III.93
IV.73 3289,1 IV.78 3779,6 IV.83 4012,1 IV .88 4779,7 IV.93
1.74 3259,4 I.79 3780,8 I.84 4089,5 I.89 4809,8 I.94
11.74 3267,6 II.79 3784,3 II.84 4144 II.89 4832,4 II.94
111.74 3239,1 III.79 3807,5 111.84 4166,4 III.89 4845,6 III. 94
IV.74 3226,4 IV.79 3814,6 IV.84 4194,2 IV .89 4859,7 IV.94
-158-
Jaroslav Rámů, a Radmila Stoklasová; STATISTICKÉ ZPRACOVANÍ DAT
12.12 ŘEŠENÍ ÚKOLŮ, VÝSLEDKY
12.1 a) Identifikace modelu
HDP
8 -1,0
lni
Confidence Limits
1 3 5 7 9 11 13 15
2 4 6 8 10 12 14 16
Lag Number
Transforms: difference (1)
Vybíráme model ARIMA (1; 1; 0).
b) Odhad parametrů modelu
FINAL PARAMETERS:
Number of residuals 87
Standard error 34,260641
Log likelihood -429,95729
AIC 863,91457
SBC 868,84639
HDP
9 -5
L. l i
Confidence Limits
1 3 5 7 9 11 13 15
2 4 6 8 10 12 14 16
Lag Number
T r a n s f o r m s : difference (1)
Variables in the Model:
B SEB T-RATIO APPROX. PROB.
AR1 ,317328 ,1028097 3,0865560 ,00273359
CONSTANT 22,652801 5,3519931 4,2325916 ,00005813
Koeficient AR1 = 0,32 je statisticky významný na hladině významnosti 0,05 (protože hodnota
0,0027 je menší než 0,05).
- 7 5 9 -
Modely typu ARIMA a prognózovaní časových řad
c) Verifikace modelu
Error for HDP from ARIMA, MOD_! Error for HDP from ARIMA, MOD_
Confidence Limits
1 3 5 7 9 11 1 3 1 5
2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
Confidence Limits
1 3 5 7 9 11 1 3 1 5
2 4 6 8 10 12 1 4 16
Lag Number Lag Number
Korelogramy potvrzují, že ACF i PACF jsou nulové, proto Reziduum ERR je bílý šum
(i když u obou korelogramů ve dvou případech hodnota mírně přesahuje pás 95% spolehlivosti).
d) Prognóza do 4.čtvrtletí 1994
Bodový odhad Intervalový odhad (95%)
Ql 1992 4885,1 4816,6 4953,6
Q2 1992 4906 4792,1 5019,9
Q3 1992 4928,2 4777,3 5079
Q4 1992 4950,6 4768,4 5132,8
Ql 1993 4973,2 4763,4 5182,9
Q2 1993 4995,8 4761,2 5230,5
Q3 1993 5018,5 4760,8 5276,2
Q4 1993 5041,1 4761,9 5320,3
Ql 1994 5063,8 4764,3 5363,3
Q2 1994 5086,5 4767,5 5405,4
Q3 1994 5109,1 4771,5 5446,7
Q4 1994 5131,8 4776,2 5487,3
6 0 0 0
-160-
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
ZÁVĚR
Tento text představuje studijní oporu pro studium všech akreditovaných studijních
programů v navazujícím magisterském studiu na Slezské univerzitě, Obchodně podnikatelské
fakultě v Karviné. Předmět Statistické zpracování dat navazuje na předmět Statistika (dříve
Kvantitativní metody B) obsahující základní bakalářský kurz statistiky na SU OPF, nebo na
obdobný ekvivalentní předmět základů statistiky v bakalářském stupni studia na jiné VŠ
ekonomického zaměření v ČR. Tento text je inovací předchozí studijní opory s názvem
Statistika pro navazující magisterské studium, specializované pro studenty distanční
a kombinované formy studia. Inovací studijních oborů na SU OPF v rámci projektu OPVK
vznikl také předmět Statistické zpracování dat. V tomto předmětu je kladen důraz především
na uplatnění statistických metod při zpracování ekonomických dat v aplikovaných
ekonomických disciplínách, jako jsou zejména marketing a management.
Samotný učební text, nebo jak se říká v moderní terminologii: studijní opora umožňující
studentovi plnohodnotné a zároveň samostatné studium - je rozčleněn do
12 tematických kapitol. Jednotlivé kapitoly odpovídají obvyklým výukovým týdnům jednoho
semestru a jsou přibližně stejně obsahově rozsáhlé a obtížné. Takový rozsah učiva odpovídá
klasické dvouhodinové přednášce v prezenčním studiu na vysoké škole ekonomického
zaměření. V prezenčním studiu je ovšem na rozdíl od kombinované formy studia přednáška
doplněna seminářem, kde se probraná látka aplikuje na konkrétní číselné příklady, které se
řeší až k požadovanému výsledku pomocí počítače.
Vysokoškolské studium v případě předmětu Statistické zpracování dat vyžaduje
enormní úsilí studenta zaměřené na pravidelnost a vytrvalost ve studiu i samostudiu,
schopnost koncentrace na předmět, aktivní přístup spočívající na samostatném řešení
příkladů. V tom všem by tato studijní opora měla studentům kombinované formy studia
pomoci nahradit kvalitní prezenční výuku i úlohu učebnic a skript. Pro lepší zvládnutí látky
jsou vám v elektronické verzi kurzu Statistické zpracování dat k dispozici ještě doplňkové
materiály v elektronické podobě. Dalšími podpůrnými zdroji ke studiu mohou být klasické
učebnice a skripta a další doporučená literatura.
- 767 -
Jaroslav Ramík a Radmila Stoklasové; STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT
SEZNAM DOPORUČENÉ LITERATURY
ANDĚLJiří, 2007. Statistické metody. 4. upr. vyd. Praha: Marfyzpress, 299 s. ISBN 80-7378-
003-8.
ARLT, Josef, 1999. Moderní metody modelování ekonomických časových řad. l.vyd. Praha:
Grada Publishing, 307 s. ISBN 80-716-9539-4.
CIPRA,Tomáš, 1986. Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, l.vyd. Praha: Státní
nakladatelství technické literatury, 246 s.
GUJARATI, Damodar N, c2003. Basic econometrics. 4th ed. Boston: McGraw-Hill, xxix,
1002 s. ISBN 978-0-07-233542-2.
HÁTLE, Jaroslav a LIKEŠ, Jiří, 1974. Základy počtu pravděpodobnosti a matematické
statistiky. 2. vyd. Praha: SNTL. 463 s.
HrNDLS, Richard, SEGER, Jan a HRONOVÁ, Stanislava, 2002. Statistika pro ekonomy. 1.
vyd. Praha: Professional Publishing, 415 s. ISBN 80-864-1926-6.
KAŇKA, Miloš, 1998. Vybrané partie z matematiky pro ekonomy, l.vyd. Praha: VŠE, 231 s.
ISBN 80-707-9537-9.
MAREK, Luboš a kol., 2007. Statistika pro ekonomy: aplikace. 2. vyd. Praha: Professional
Publishing. 485 s. ISBN 978-80-86946-40-5.
RAMÍK, Jaroslav a Šárka ČEMERKOVÁ, 2000. Statistika A. Vyd. 3., rozš. a upr. V Opavě:
Slezská univerzita, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 162 s. ISBN 80-7248-097-9.
RAMÍK, Jaroslav a Šárka ČEMERKOVÁ, 2000. Statistika B. Vyd. 2., rozš. a upr. V Opavě:
Slezská univerzita, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 143 s. ISBN 80-724-8099-5.
RAMÍK, Jaroslav a Šárka ČEMERKOVÁ, 2003. Kvantitativní metody B: statistika. Vyd. 1.
Karviná: Slezská univerzita v Opavě, Obchodně podnikatelská fakulta v Karviné, 206 s. ISBN
80-724-8198-3.
SEGER, Jan, HRONOVÁ, Stanislava a HINDLS, Richard, 1998. Statistika v hospodářství.
l.vyd. Praha: ETC Publishing, 636 s. ISBN 80-860-0656-5.
- 7 6 2 -