V originále
We consider the equation f(xf(x)) = phi(f(x)), x > 0, where phi is given, and f is an unknown continuous function (0,infinity)->(0,infinity). This equation was for the first time studied in 1975 by Dhombres (with phi(y) = y^2), later it was considered for other particular choices of phi, and since 2001 for arbitrary continuous function phi. The main problem, a classification of possible solutions and a description of the structure of periodic points contained in the range of the solutions (which appeared to be important way of the classification of solutions), was basically solved. This process involved not only methods from one-dimensional dynamics but also some new methods which could be useful in other problems. In this paper we provide a brief survey.
Česky
Zkoumáme funkcionální rovnici f(xf(x))=phi(f(x)), x>0, kde phi je daná a f neznámá spojitá funkce (0,infinity)->(0,infinity). Tato rovnice byla poprvé zkoumána v roce 1975 J. Dhombresem (pro phi(y)=y^2), později byla zkoumána pro další speciální případy funkce phi, a od r. 2001 pro libovolnou spojitou funkci phi. Hlavní problém, klasifikace možných řešení a popis struktury periodických bodů obsažených v oboru hodnot příslušného řešení (což se ukázalo jako důležitý způsob klasifikace řešení), byl v zásadě vyřešen. Tento proces využívá nejen metody jednorozměrných dynamických systémů, ale též další, nové metody, které by mohly být užitečné při řešení jiných problémů. V článku podáváme stručný přehled.