Theoretical mechanics
KFY/7TEME – Teoretická mechanika: 2/1/0, 5 kreditů, Zk
Garance/přednášky: doc. RNDr. Stanislav Hledík, Ph.D.
Cvičení: RNDr. Miroslav Kolos, Ph.D., <miroslav.kolos@osu.cz>
Položky obsahu označené (e) jsou sdíleny s kursem Teoretické mechaniky přednášeným na Fyzikálním ústavu v Opavě, na jehož stránku odkazují. Kurs na FÚ v Opavě má dvojnásobnou hodinovou dotaci a rozšířený sylabus, proto sledujte, na které stránce se nacházíte, aby nedošlo k záměně s ostatními položkami specifickými pro kurs na PřF OU.
Informace o kursu ● Výuka ● Zkoušky a hodnocení ● Literatura (e) ● Odkazy a zdroje (e) ● Často kladené dotazy
Anotace
Předmět seznamuje s alternativními formulacemi newtonovské mechaniky, variačními principy a základy mechaniky kontinua. Slouží jako průprava ke studiu pokročilejších partií teoretické fyziky. Zabývá se některými důležitými aplikacemi přednášených teoretických metod. Jedná se o redukovanou verzi kursu Teoretická mechanika na Fyzikálním ústavu v Opavě.
Sylabus
Za každým tématem sylabu jsou uvedeny [položky literatury včetně stran či kapitol nebo sekcí] k tématu se vztahující; tučně jsou zdůrazněny ty z nich, jež jsou použity jako hlavní inspirace pro přednášky (neztučněné položky lze tedy chápat jako doplňkovou literaturu). Na konci každého bodu sylabu najdete formou odrážky …
… odkazy na problémy doporučené k řešení nebo promyšlení.
1. Opakování, Newtonovy rovnice s vazbami
Newtonovy zákony pohybu, Galileiho princip relativity, superpozice, newtonovská gravitace a okamžité působení na dálku, zákony zachování; prostor, čas a hmotnost v Newtonově mechanice, konzervativní vektorové pole, meze platnosti klasické mechaniky; užitečnost alternativních formulací; formulace pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum [LanPod15: Kap. Newtonovská mechnika, pp. 2–5 | Pod09: Kap. 1, pp. 3–7 | StToJe17: pp. 9–15 | BrdHla87: pp. 173–178 | X-DejinyMeze].
Systémy hmotných bodů podrobených vazbám: síly vtištěné versus reakce podložky, popis (nad)plochy, normála, vazby a jejich klasifikace (jednostranná vs. oboustranná, skleronomní vs. rheonomní, holonomní vs. anholonomní), Lagrangeovy rovnice I. druhu, d’Alembertův princip, princip virtuální práce [LanPod15: Kap. Newtonovy rovnice s vazbami (pp. 6–16) | StToJe17: pp. 40–41, 48–50].
HoNoSt01: p. 49/4; p. 50/10, 13; p. 51/16; p. 73/1; p. 78/1, 2, 4 ● StToJe17: p. 93/3.1, 3.4 ● Cal99xs: 1.01, 2.01, 2.03, 2.04, 2.06 ● BrdHla87: p. 57/1.1, 1.2; p. 58/1.11; p. 223/3.3; p. 224/3.7
2. Variační formulace a Lagrangeův formalismus
Opakování funkcí více reálných proměnných: parciální derivace a derivace ve směru, n-tý diferenciál, podmínky extrémů [BrdHla87: II.1.1 (pp. 505–508)]. Zobecněné souřadnice, konfigurační prostor a počet stupňů volnosti, zobecněné rychlosti a zrychlení [LanPod15: Kap. Lagrangeův formalismus, Sekce 1.1 (pp. 2–4)].
Motivační úlohy variačního počtu: nejkratší spojnice dvou bodů v rovině, brachistochrona, řetězovka [Hle01: Kap. 1 – Motivace (pp. 1–3 v PDF)]. 1. a 2. variace; Eulerova–Lagrangeova rovnice jako nutná podmínka extrému [Hle01: Kap. 1 – Motivace (pp. 3–6 v PDF) | StToJe17: pp. 57–60]. Řešení motivačních úloh: [Hle01: Kap. 1 – Motivace (pp. 3–6 v PDF) | BrdHla87: p. 515, 540 | StToJe17: pp. 62–63].
Hamiltonův princip: akční funkcionál (akce), Lagrangeova funkce (langrangián), odvození Lagrangeových rovnic II. druhu z variačního principu [Hle01: Kap. 1 (p. 7 v PDF) | X-Hamilton | Pod09: Kap. 4, sekce 4.3–4.4]. Vlastnosti Lagrangeovy funkce, nezávislost na volbě zobecněných souřadnic [Hle01: Kap. 1 (pp. 8–9 v PDF) | BrdHla87: pp. 272–273, pp. 279–281]. Konstrukce newtonovského lagrangiánu a jeho struktura; pohyb ve vnějším poli [Hle01: Kap. 2 (pp. 10–18 v PDF) | LanLif93: pp. 4–10].
Postupy řešení pohybových rovnic [HoNoSt01: pp. 59–63 | LanPod15: Kap. Lagrangeův formalismus, Sekce 1.3 (pp. 11–13) | StToJe17: pp. 45–51, 54–55]. Integrály pohybu, kalibrační transformace a symetrie [Hle01: Kap. 3 (pp. 19–29 v PDF) | Pod09: Kap. 4, sekce 4.7 (pp. 91–92)]. Energie, hybnost a moment hybnosti, I. a II. impulsová věta; kanonicky sdružené proměnné [Hle01: Kap. 3, (pp. 21–29 v PDF) | Pod09: Kap. 4, sekce 4.6 (pp. 87–90)]. Teorém Emmy Noether [StToJe17: pp. 71–74 | HoNoSt01: II.9 (pp. 68–73)].
BrdHla87:pp. 91/2.6–2.8; pp. 293–300 (sekce 3.8.9)/př. 1, 2; pp. 293–308 (sekce 3.8.10); p. 562/II.1; p. 563/II.2; příklady na pp. 293–297 ● Cal99xs: 3.01 až 3.08 ● StToJe17: p. 94/3.15; p. 95/3.19; pp. 93/3.7, 3.8; pp. 94/3.12, 3.14–3.16
3. Hamiltonův formalismus a Hamiltonova–Jacobiho teorie
Fázový prostor [Pod09: 4.8.1–4.8.2 (pp. 93–96)]. Legendreova duální transformace [StToJe17: pp. 187–188]. Hamiltonova funkce (hamiltonián) a její struktura, Hamiltonovy kanonické rovnice a jejich vlastnosti [Hle01: Kap. 11 (pp. 125–131 v PDF) | StToJe17: pp. 188–189]. Cyklické souřadnice a integrály pohybu [Hle01: Kap. 11 (pp. 132–133 v PDF)]. Alternativní odvození Hamiltonových kanonických rovnic z variačního principu [Hle01: Kap. 11 (p. 134 v PDF)]. Ilustrace Hamiltonových kanonických rovnic [Pod09: sekce 4.9 (pp. 100–106)]. Poissonovy závorky, jejich základní vlastnosti a algebra [Hle01: Kap. 11 (pp. 135–139 v PDF) | LanLif93: pp. 135–138]. Akce jako funkce souřadnic a času [Hle01: Kap. 11 (pp. 140–142 v PDF) | LanLif93: pp. 138–140].
Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti [StToJe17: pp. 191–192 | LanLif93: pp. 143–146]. Příklady na kanonické transformace [BrdHla87: 3.11.2 (pp. 361–363)]. Poincarého integrální invarianty, infinitesimální kanonické transformace, Liouvilleův teorém [BrdHla87: 3.11.3–4 (pp. 363–369) | StToJe17: pp. 192–197]. Hamiltonova–Jacobiho rovnice, její interpretace a řešení [StToJe17: pp. 197–199 | LanLif93: pp. 147–149]. Separace času, Hamiltonova charakteristická funkce [BrdHla87: 3.12.3 (pp. 376–378)]. Harmonický oscilátor a volný pád jako příklady H–J metody [StToJe17: pp. 199–200 | Pod09: 4.12.2 (pp. 120–123)]. Separace proměnných [StToJe17: 5.9 (pp. 207–209) | LanLif93: pp. 149–154].
Cal99xs: 6.01, 6.03, 6.07, 7.02, 7.03, 7.05, 7.09, 8.02, 8.06 ● HoNoSt01: p. 94/1 ● LanLif93: p. 133/1; p. 137/1; p. 138/2 ● StToJe17: p. 210/5.2, 5.6, 5.12
4. Aplikace (část A)
Jednorozměrný pohyb; problém dvou těles, redukovaná hmotnost; pohyb v centrálním poli, metoda efektivního potenciálu, elementární nebeská mechanika [Hle01: Kap. 4 (pp. 30–43 v PDF) | StToJe17: pp. 102–103, 123–135, 142–143 | X-Kuzelosec]. Viriálový teorém a mechanická podobnost [LanLif93: pp. 22–24 | StToJe17: pp. 54–57].
BrdHla87: p. 141/2.18, 2.22 ● Cal99xs: 1.01, 1.02, 1.04, 1.13, 3.12 ● KvaEtal04: p. 129/2; p. 130/3; p. 131/4 ● StToJe17: p. 179/4.4; p. 180/4.6; p. 56/Odhad střední teploty uvnitř Slunce
Klasická teorie elastického rozptylu, účinný průřez a Rutherfordův vztah [Hle01: Kap. 5 (pp. 44-56 v PDF) | StToJe17: pp. 143–154 | X-RozpAlfa].
Cal99xs: 1.16, 1.17 ● HoNoSt01: p. 151/6; p. 152/6 ● KvaEtal04: p. 179/2 ● LanLif93: p. 50/1; p. 51/6 ● StToJe17: p. 182/4.11, 4.15
Vlastní a vynucené oscilace s jedním stupněm volnosti netlumené a tlumené, resonance [Hle01: Kap. 6 (pp. 57-70 v PDF) | StToJe17: pp. 103–105, 106–108]. Vlastní netlumené oscilace s více stupni volnosti (charakteristická rovnice, vlastní frekvence, normální souřadnice, kmitání molekul) [HoNoSt01: VI.2 (pp. 130–133), pozn. o kvadratických formách (pp. 116–118) | LanLif93: pp. 67, 70–72 | StToJe17: pp. 118–122].
BrdHla87: p. 420/4.5; p. 421/4.8, 4.9 ● Cal99xs: 3.11 ● HoNoSt01: p. 148/4 ● KvaEtal04: p. 102/1 ● StToJe17: p. 183/4.18; p. 185/4.24, 4.26
5. Aplikace (část B)
Zobecněný potenciál a pohyb elektricky nabité částice v elektromagnetickém poli [Hle01: Kap. 8 (pp. 79-85 v PDF) | X-ZobePot | StToJe17: p. 51].
Cal99xs: 3.14 ● StToJe17: p. 267/7.1, 7.2, 7.4
Tuhé těleso: kinematika, Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice [Hle01: Kap. 9 (pp. 90–96 v PDF) | LanPod15: Kap. Kinematika tuhého tělesa, Sekce 1.2–1.4 (pp. 4–8)]; dynamika, tensor momentu setrvačnosti, hlavní osy a hlavní momenty setrvačnosti [Hle01: Kap. 9 (pp. 97–105 v PDF) | HoNoSt01: V.3 (pp. 113–119)]; pohybové rovnice, Eulerovy dynamické rovnice [Hle01: Kap. 9 (pp. 106–108 v PDF) | StToJe17: pp. 157–159]. Centrum hmot vs. těžiště, klasifikace tuhých těles podle hlavních momentů setrvačnosti; analýza pohybu volného symetrického setrvačníku a těžkého symetrického setrvačníku s fixním bodem, precese, nutace, stabilita [Hle01: Kap. 10 (pp. 109–124 v PDF) | StToJe17: pp. 159–169 | LanLif93: pp. 96–116]. Pohyb v neinerciální soustavě [Hle01: Kap. 7 (pp. 71–78 v PDF) | LanPod15: Kap. Kinematika tuhého tělesa, Sekce 1.5 (p. 8) | StToJe17: p. 51–53, 99–101].
HoNoSt01: p. 124/1; p. 125/2; p. 126/1; p. 127/3 ● LanLif93: p. 112/1; p. 113/2; p. 129/1 ● StToJe17: p. 183/4.20; p. 184/4.21–4.23; p. 185/4.24–4.25
6. Kontinuum, hydrodynamika a hydrostatika
Přechod z diskrétního systému na kontinuum: Eulerovy–Lagrangeovy rovnice pro příčné kmity struny, hustota lagrangiánu [LanPod15: Kap. Rovnice struny a její řešení, Sekce 1.1, 1.2 (pp. 2–4) | StToJe17: 3.6 (pp. 74–77)]. Řešení vlnové rovnice (okrajové podmínky, metody d’Alembertova a Bernoulliova–Fourierova) [LanPod15: Kap. Rovnice struny a její řešení, Sekce 1.3, 1.4 (pp. 4–8) | X-VlnRov]. Základní pojmy mechaniky kontinua: rozklad pohybu kontinua na translaci, rotaci a deformaci, tensor deformace a rychlosti deformace [StToJe17: pp. 79–81 | KvaEtal04: pp. 256–266]; Eulerův a Lagrangeův popis, proudnice [LanPod15: Kap. Mechanika kontinua, Sekce 2.1 (pp. 9–10)]; tekutý objem, objemové a plošné síly, tensor napětí, podmínky rovnováhy [LanPod15: Kap. Mechanika kontinua, Sekce 2.2, 2.3 (pp. 11–13)]. Elastické chování pevných látek, Hookeův zákon, isotropní pružné prostředí a jeho charakteristiky – vlny v isotropním pružném prostředí, ohyb nosníku, torze tyče [StToJe17: pp. 84–88, 169–170 | KvaEtal04: pp. 281–288].
Rovnice kontinuity [LanPod15: Kap. Mechanika kontinua, Sekce 2.4 (p. 13)]. Newtonovská a ideální tekutina, Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny, termodynamické podmínky, Bernoulliho rovnice; hydrostatická rovnováha [LanPod15: Kap. Mechanika kontinua, Sekce 2.5, 2.6 (pp. 14–15)]. Vlny v ideální tekutině [LanPod15: Kap. Mechanika kontinua, Sekce 2.7 (p. 15) | StToJe17: pp. 173–174]. Proudění vazké tekutiny: Navierova–Stokesova pohybová rovnice, laminární a turbulentní proudění [LanPod15: Kap. Mechanika kontinua, Sekce 2.8 (p. 16) | StToJe17: pp. 175–177]. Některá řešení rovnic dynamiky ideální a vazké tekutiny, turbulentní proudění [Brd59: pp. 425–440, 450–460, 571–584, 590–595]. Základy reologie [KvaEtal04: pp. 289–301].
HoNoSt01: p. 188/1; p. 189/2; p. 232/1; p. 233/2, 1–3 ● KvaEtal04: p. 301/1, 2; p. 302/3
Předpoklady
Newtonovská mechanika na úrovni základního kurzu fyziky v 1. semestru.
Kalkulus jedné reálné proměnné v rozsahu základního kursu matematiky.
Lineární algebra v rozsahu základního kursu matematiky.
Předpoklady typu “hodí se, ale bude zopakováno”
Základy kalkulu více reálných proměnných, speciálně: derivace ve směru, gradient skalárního pole, divergence a rotace vektorového pole, Gaussův a Stokesův teorém, comoving (substancionální, totální, souputující) derivace.
Elementární znalosti obyčejných diferenciálních rovnic [Nag78].
Základy funkcionální analýzy [BrdHla87]: Dodatek II.
Přednášky
Standardní čas přednášky: podle aktuálního rozvrhu.
Přednášky nemusejí nutně sledovat strukturu témat uvedenou v sylabu.
V rámci přednášky využívané online materiály naleznete v mém Dropbox cloudu přes zkrácený odkaz
v adresáři TeMe (případně můžete použít přímý link do TeMe).
V případě, že něčemu neporozumíte nebo si budete chtít něco ujasnit, jsou k dispozici konzultace.
Některé počítačové demonstrace na přednáškách budu dělat pomocí technologií Wolfram Research. Budete je mít zpřístupněné na cloudu (odkaz viz výše) ve složce TeMe/Demonstrations. Pro jejich přehrání potřebujete program Wolfram Player. Pokud by někdo měl seriózní zájem o oficiální studentskou licenci programu Wolfram Mathematica, která mj. umožňuje tyto demonstrace vytvářet, nechť se na mě obrátí.
Pro případ mimořádných okolností uvádím odkaz na organizaci případné online výuky.
Cvičení
Podrobné informace o cvičení a podmínkách získání zápočtu vám poskytne cvičící Dr. Kolos (kontakty najdete v záhlaví stránky).
Přihlášení se ke zkoušce je vázáno na předchozí získání zápočtu ze cvičení (viz předchozí sekci Výuka). Zkouška má písemnou a ústní část.
Písemná část
Písemná část sestává ze čtveřice úloh, jejichž bodová hodnocení jsou podle obtížnosti stanovena tak, aby dávala součet 20. Úlohy budou vybírány z úloh v doporučené literatuře nebo z úloh analogických, a dále z typů úloh, které byly řešeny na cvičeních. Typicky bude písemná část obsahovat následující typy úloh: (1) problém na mechaniku systémů s vazbami, Lagrangeovy rovnice I. druhu, d’Alembertův princip, princip virtuálních prací; (2) obecný problém na Lagrangeův formalismus (Lagrangeovy rovnice II. druhu); (3) aplikační úloha – oscilace, rozptyl, nebeská mechanika; (4) jednodušší problém na hamiltonovský formalismus – řešení 1D H–J rovnice, ověření kanoničnosti transfromace apod. nebo časově méně náročná úloha na tuhé těleso. Ukázku písemné části (variantu 9 z akademického roku 2021/22 najdete v adresáři TeMe/Exams (bodová hodnocení ignorujte, správná najdete zde).
Ústní část
Ústní část má formu rozpravy nad Vašimi řešeními úloh písemné části, která předtím prohlédnu a předběžně opravím. Téma rozpravy se bude odvíjet od postupu Vašich řešení. Budete mít možnost využít v rozpravě získaná “nasměrování” a svá řešení případně na jejich základě dodatečně “dotáhnout” a obhájit.
Hodnocení
Výsledek zkoušky je klasifikován na základě bodového zisku podle 20-bodové klasifikační stupnice.
—