Theoretical Mechanics (7TeMe)
KFY/7TEME – Teoretická mechanika: 2/1, 5 kreditů, Zk
Garance / přednášky: Stanislav Hledík
Cvičení: RNDr. Miroslav Kolos, Ph.D.
Položky obsahu označené ↗ jsou sdíleny s kursem Teoretické mechaniky přednášeným na Fyzikálním ústavu v Opavě, na jehož stránku odkazují. Tento kurs na PřF OU (“světlé stránky”) má oproti kursu vyučovanému na FÚ v Opavě (“tmavé stránky”) jinou hodinovou dotaci a sylabus; sledujte proto, na které stránce se nacházíte, aby nedošlo k záměně:
Program ● Výuka ● Hodnocení ● Literatura ↗ ● Odkazy ↗ ● ČKD
Předmět seznamuje s alternativními formulacemi newtonovské mechaniky, variačními principy a základy mechaniky kontinua. Slouží jako průprava ke studiu pokročilejších partií teoretické fyziky. Zabývá se některými důležitými aplikacemi přednášených teoretických metod. Jedná se o upravenou verzi kursu Teoretická mechanika na Fyzikálním ústavu v Opavě.
Sylabus
U každého tématu jsou ve formátu [od–do, …] uvedeny odpovídající stránky v knize [Pod24] (případně i jiných v případě křivočarých souřadnic v tématu 2). Za hvězdičkou jsou pod každým tématem (s výjimkou 13.) doporučeny příklady a úlohy v “Knize třetí” studijního textu [Pod24] a ve sbírce úloh [Cal99xs], výjimenčně v jiných zdrojích. Zkratka [p/p] znamená “podle přednášky”.
Pojmy, předpoklady a omezení klasické mechaniky. Newtonovy pohybové zákony. Užitečnost alternativních formulací, ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla, Poissonova a Laplaceova rovnice pro pole potenciálu versus Einsteinova rovnice pro pole metriky v obecné teorii relativity; formulace pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. [27–31, 307, 308]
★ [Pod24]: příklady 1-1 na s. 309–310 a 1-3 na s. 314–315
2. Matematické prerekvizity (část A), Newtonovy rovnice s vazbami
Křivočaré souřadnice. [HoNoSt01, sekce II.2: 20–25, p/p] Systémy hmotných bodů podrobených vazbám: síly vtištěné versus reakce podložky, popis (nad)plochy, normála, vazby a jejich klasifikace (jednostranná vs. oboustranná, skleronomní vs. rheonomní, holonomní vs. anholonomní), Lagrangeovy rovnice I. druhu, d’Alembertův princip, princip virtuální práce. [32–45, 327–329, p/p]
★ [Pod24]: příklady 2-1 a 2-2 na s. 330–332, 2-5 na s. 334–335, 2-9 a 2-10 na s. 339–342 ● [Cal99xs]: 2.01, 2.03, 2.06, 2.09
3. Lagrangeův formalismus, zákony zachování (část A)
Zobecněné souřadnice, konfigurační prostor a počet stupňů volnosti, zobecněné rychlosti a zrychlení. Lagrangeova funkce (lagrangián), odvození Lagrangeových rovnic II. druhu a jejich vlastnosti; postupy řešení pohybových rovnic (volba zobecněných souřadnic, sestavení lagrangiánu, integrace analytická a numerická, přibližná řešení, linearizace, cyklické souřadnice a integrály pohybu). [46–54, 58–61, 343–344]
★ [Pod24]: příklad 3-6 na s. 357, 358
Vlastní a vynucené oscilace s jedním stupněm volnosti netlumené a tlumené, resonance. Vlastní netlumené oscilace s více stupni volnosti (charakteristická rovnice, vlastní frekvence, normální souřadnice, kmitání molekul). [p/p]
★ [Pod24]: příklady 1-4 až 1-6 na s. 315–319, 3-1 a 3-2 na s. 348–350, 3-4 a 3-5 na s. 352–357 ● [Cal99xs]: 3.01, 3.02
Pohyb v centrálním poli. Elementární nebeská mechanika, metoda efektivního potenciálu. Klasická teorie elastického rozptylu, účinný průřez a Rutherfordův vztah. [55–58, 62–72, 345–347, p/p]
★ [Pod24]: příklady 3-9 na s. 362–363, 3-12 na s. 367–368 ● [Cal99xs]: 1.02, 1.16
Zobecněný potenciál a pohyb elektricky nabité částice v elektromagnetickém poli (pokračování v Hamiltonově formalismu). [54–55, 344–345, p/p]
★ [Pod24]: příklady 3-13 a 3-14 na s. 368–370
5. Matematické prerekvizity (část B): základy variačního počtu
Opakování funkcí více reálných proměnných: parciální derivace a derivace ve směru, n-tý diferenciál, podmínky extrémů. Historické motivační úlohy variačního počtu: geodetika v rovině, brachistochrona, rotační plocha s minimálním obsahem (tvar mýdlové blány). 1. a 2. variace; Eulerova–Lagrangeova rovnice jako nutná podmínka extrému. Řešení historických úloh. [74–81, p/p]
★ [Cal99xs]: 4.04
6. Variační formulace newtonovské mechaniky
Hamiltonův princip: akční funkcionál, Lagrangeova funkce, odvození Lagrangeových rovnic II. druhu z variačního principu jako nutné podmínky pro extremální trajektorii. Vlastnosti Lagrangeovy funkce. Konstrukce newtonovské Lagrangeovy funkce a její struktura; pohyb ve vnějším poli. [81–84, p/p]
★ [Cal99xs]: 4.12
Integrály pohybu, energie, hybnost a moment hybnosti, I. a II. impulsová věta; kanonicky sdružené proměnné. Teorém Emmy Noether. [87–92, p/p]
★ [StToJe17]: Rungeho–Lenzův vektor na s. 135
Fázový prostor. Hamiltonova funkce a její struktura, Hamiltonovy kanonické rovnice a jejich vlastnosti. Cyklické souřadnice a integrály pohybu. Ilustrace Hamiltonových kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli – návaznost na zobecněný potenciál a pohyb částice v EM poli). Poissonovy závorky. Akce jako funkce souřadnic a času. [96–102, 105–115, 371–373, p/p]
★ [Pod24]: příklady 4-1 až 4-5 na s. 377–381, 4-7 až 4-10 na s. 383–387 ● [Cal99xs]: 6.03
9. Hamiltonova–Jacobiho teorie
Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti. Příklady kanonických transformací. Liouvilleův teorém. Hamiltonova–Jacobiho rovnice, její řešení a interpretace. Separace času, Hamiltonova charakteristická funkce. Harmonický oscilátor a volný pád jako příklady na H–J metodu. Meze platnosti klasické mechaniky, návaznost na další oblasti fyziky. [115–133, 374–376, p/p]
★ [Pod24]: příklady 4-12 a 4-13 na s. 388–390, 4-16 na s. 393–394 ● [Cal99xs]: 7.02, 7.09
10. Tuhé těleso a matematické prerekvizity (část C)
Vektory a tensory. Kinematika tuhého tělesa: otáčivý pohyb a úhlová rychlost, Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Dynamika tuhého tělesa: tensor momentu setrvačnosti, hlavní osy a momenty setrvačnosti; Eulerovy dynamické rovnice. Centrum hmot vs. těžiště, klasifikace tuhých těles (setrvačníků). Pohyb volného symetrického setrvačníku a těžkého symetrického setrvačníku s fixním bodem, precese, nutace, stabilita. Pohyb v neinerciální soustavě. [137–152, 155–157, 159–162, 399–402, p/p]
★ [Pod24]: příklady 5-1 až 5-4 na s. 403–408, 5-7 na s. 411–412
Přechod z diskrétního systému na kontinuum v Lagrangeově formalismu: Eulerovy–Lagrangeovy rovnice pro příčné a podélné kmity struny. Řešení 1D vlnové rovnice metodou d’Alembertovou a Bernoulliovou–Fourierovou. Eulerův a Lagrangeův popis, proudnice, deformační tensory, tekoucí objem, objemové a plošné síly, tensor napětí, podmínky rovnováhy. Popis pohybu kontinua: rovnice kontinuity, pohybová rovnice, termodynamické rovnice. Elasticita pevných látek, Hookeův zákon, isotropní pružné prostředí. Vlny v isotropním pružném prostředí, ohyb nosníku, torze tyče. [165–192, p/p]
★ [HoNoSt01]: příklad 1 na s. 188 a 189 ● [StToJe17]: příklad 4.29 na s. 185
12. Hydrodynamika a hydrostatika
Newtonovská a ideální tekutina, Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny, termodynamické podmínky, hydrostatická rovnováha. Vlny v ideální tekutině. Nevířivé proudění a Bernoulliho rovnice. Proudění vazké tekutiny, Navierova–Stokesova pohybová rovnice. Geometricky podobná proudění a turbulence. Některá důležitá řešení rovnic dynamiky tekutin. Základy reologie. [190–197, p/p]
★ [HoNoSt01]: příklady 1 a 2 na s. 232 a 233, úloha 1 na s. 233 ● [StToJe17]: příklad 4.32 na s. 186
Newtonovská mechanika na úrovni základního kurzu fyziky.
Kalkulus jedné reálné proměnné v rozsahu základního kursu matematiky.
Lineární algebra v rozsahu základního kursu matematiky.
Předběžné znalosti typu “v případě potřeby mohou být zopakovány”
Základy kalkulu více reálných proměnných, speciálně: derivace ve směru, gradient skalárního pole, divergence a rotace vektorového pole, Gaussův a Stokesův teorém, comoving (substancionální, totální, souputující) derivace.
Elementární znalosti obyčejných diferenciálních rovnic [Nag78].
Základy funkcionální analýzy [BrdHla87]: Dodatek II.
Klasická elektrodynamika na úrovni základního kurzu fyziky.
Přednášky
Standardní čas přednášky: podle aktuálního rozvrhu.
Přednášky nemusejí nutně sledovat strukturu témat uvedenou v sylabu.
V rámci přednášky využívané online materiály naleznete v mém Dropbox cloudu přes zkrácený odkaz
v adresáři TeMe (případně můžete použít přímý link do TeMe). Pokud jsou tyto materiály sdíleny s kursem Teoretické mechaniky přednášeným na Fyzikálním ústavu v Opavě, naleznete místo nich soubory s redirekcemi, které vás již přesměrují na správné místo.
V případě, si budete chtít něco ujasnit, jsou k dispozici konzultace.
Některé počítačové demonstrace na přednáškách budu dělat pomocí technologií Wolfram Research. Budete je mít zpřístupněné na cloudu (odkaz viz výše) ve složce TeMe/Demonstrations. Pro jejich přehrání potřebujete program Wolfram Player.
Pro případ mimořádných okolností uvádím odkaz na organizaci případné online výuky.
Cvičení
Podrobné informace o cvičení a podmínkách získání zápočtu vám poskytne cvičící Dr. Kolos (kontakty najdete v záhlaví stránky).
Přihlášení se ke zkoušce je vázáno na předchozí získání zápočtu ze cvičení (viz předchozí sekci Výuka). Zkouška má písemnou a ústní část.
Písemná část
Písemná část sestává ze čtveřice úloh, jejichž bodová hodnocení jsou podle obtížnosti stanovena tak, aby dávala součet 20. Úlohy budou vybírány z úloh v doporučené literatuře nebo z úloh analogických, a dále z typů úloh, které byly řešeny na cvičeních. Typicky bude písemná část obsahovat následující typy úloh: (1) problém na mechaniku systémů s vazbami, Lagrangeovy rovnice I. druhu, d’Alembertův princip, princip virtuálních prací; (2) obecný problém na Lagrangeův formalismus (Lagrangeovy rovnice II. druhu); (3) aplikační úloha – oscilace, rozptyl, nebeská mechanika, apod.; (4) tato úloha je alternativní – buď jednodušší problém na hamiltonovský formalismus – řešení 1D H–J rovnice, ověření kanoničnosti transfromace apod., nebo časově méně náročná úloha na tuhé těleso.
Ukázku písemné části (předtermín z 19. prosince 2025) najdete v adresáři TeMe/Exams. Z alternativních úloh 4 a 5 stačí vyřešit jednu podle vlastního výběru, vyřešením obou můžete získat bonus až +5 bodů do ústní části.
Ústní část
Ústní část má formu rozpravy o teoretických metodách použitých při vypracovávání vašich řešení. Z ústní část můžete získat až 10 bodů.
Hodnocení
Výsledek zkoušky je klasifikován na základě bodového zisku podle 30bodové klasifikační stupnice. Pro kompatibilitu se standardní stobodovou stupnicí užívanou na Ostravské univerzitě bude bodový zisk proporcionálně přepočten tak, aby ECTS známka zůstala zachována.
—