UFPA229 Matematika III

Filozoficko-přírodovědecká fakulta v Opavě
zima 2020
Rozsah
2/1/0. 4 kr. Ukončení: z.
Vyučující
RNDr. Martin Kološ, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Martin Kološ, Ph.D. (cvičící)
Garance
RNDr. Martin Kološ, Ph.D.
Centrum interdisciplinárních studií – Filozoficko-přírodovědecká fakulta v Opavě
Rozvrh
Út 14:45–16:20 B2
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
UFPA229/A: Út 16:25–17:10 B1, M. Kološ
Předpoklady
UFPA128 Matematika II && UFPA127 Matematika I && TYP_STUDIA(B)
Nutné je předem absolvovat předmět Matematika I, vhodné potom absolvovat předmět Matematika II.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět umožňuje posluchačům seznámit se základy teorie polynomů, řad a řešení základních typů lineárních diferenciálních rovnic. Důraz je zde kladen na zvládnutí základních početních technik, řešení úloh a praktické aplikace. Probírané definice a věty tak slouží pouze k základní orientaci posluchačů v dané problematice bez záměru objasnění hlubších teoretických souvislostí a podrobnější detailů. Zařazení prvních tří témat by mělo sloužit posluchačům k upevnění znalostí v partiích středoškolské gymnaziální matematiky týkající se řešení rovnic vyšších stupňů. Další partie potom navazují na partie probírané v předmětu Matematika I a ukončují tak nezbytnou matematickou průpravu posluchačů pro orientaci ve fyzikálních předmětech tvořící součást jejich dalšího studia.
Osnova
  • 1) Komplexní čísla:
    definice komplexních čísel, imaginární jednotka, reálná a imaginární část komplexního čísla, rovnost, sčítání, násobení a dělení komplexních čísel, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota komplexního čísla, geometrické znázornění komplexních čísel, goniometrické vyjádření komplexních čísel, argument komplexního čísla, Moivreův vzorec, odmocňování komplexních čísel.

    2) Polynomy:
    polynom stupně n, rovnost, součet, součin a podíl polynomů, největší společný dělitel polynomů, Euklidův algoritmus, kořen polynomu, algebraická rovnice n-tého stupně, Hornerovo schéma, Bézoutova věta, Základní věta algebry, D´Alambertova věta o rozkladu na kořenové činitele v oboru komplexních čísel, k-násobný kořen polynomu, funkce reálná racionální lomená, parciální zlomky.
    3) Kubické, bikvadratické a binomické rovnice:
    rovnice třetího stupně, algebraické řešení (Cardanovy vzorce) a goniometrické řešení, rovnice čtvrtého stupně, algebraické řešení, kubická rezolventa, binomická rovnice a její řešení.
    4) Číselné řady:
    nekonečná číselná řada, částečný součet a zbytek, konvergence, divergence a oscilace, geometrická řada, nutná podmínka konvergence, kritéria konvergence řad s kladnými členy, kritéria konvergence alternujících řad, operace s číselnými řadami, absolutní konvergence.
    5) Funkční řady:
    funkční řada, obor konvergence, částečný součet a zbytek, stejnoměrná konvergence, Weierstrassovo kritérium, spojitost funkční řady, integrace a derivace funkční řady.
    6) Mocninné řady:
    mocninná řada, poloměr konvergence, stejnoměrná konvergence, spojitost, derivování a integrování mocninných řad, rozvoje funkcí v Taylorovy řady, Eulerův vzorec.
    7) Fourierovy řady:
    trigonometrická řada a polynom, funkce integrovatelná s kvadrátem, skalární součin funkcí, ortogonální funkce, norma funkce, ortogonální systém funkcí, Fourierova řada, rozvoj funkcí do Fourierových řad, bodová a stejnoměrná konvergence Fourierovy řady.
    8) Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic
    obyčejné a parciální diferenciální rovnice, řád diferenciální rovnice, lineární diferenciální rovnice, užití obyčejných diferenciální rovnic, pojem řešení obyčejných diferenciálních rovnic, integrální křivka, počáteční podmínky a počáteční problém (Cauchyova úloha), druhy řešení obyčejných diferenciálních rovnic, řešení některých typů obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu (metoda separace proměnných, variace konstant, substituce, Bernoulliova rovnice).
Literatura
    doporučená literatura
  • M. Klíč A. Matematika I ve strukturovaném studiu. info
  • E. Calda. Matematika pro gymnázia - Komplexní čísla. info
  • J. Polák. Přehled středoškolské matematiky. info
  • K. Rektorys a spol. Přehled užité matematiky I, II. info
  • J. Polák. Středoškolská matematika v úlohách I, II. info
Informace učitele
Podmínky pro udělení zápočtu:
získání aspoň 6 bodů ze zápočtové písemné práce.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2009, zima 2010, zima 2011, zima 2012, zima 2013, zima 2014, zima 2015, zima 2016, zima 2017, zima 2018, zima 2019, zima 2021, zima 2022.