MU:MU16141 Comprehensive Bachelor Exam. M - Course Information

MU16141 Comprehensive Bachelor Examination in Mathematics

Extent and Intensity

0/0. 6 credit(s). Type of Completion: zk (examination).

Guaranteed by

doc. RNDr. Kristína Smítalová, CSc.
Mathematical Institute in Opava

Prerequisites (in Czech)

MU01001 Mathematical Analysis I && MU01002 Mathematical Analysis II && (MU00003 || MU01003 Mathematical Analysis III ) && (MU00004 || MU01004 Mathematical Analysis IV ) && ( MU01005 Algebra I || MU01015 Seminar on Mathematics I ) && ( MU01006 Algebra II || MU01016 Seminar on Mathematics II ) && (MU00007 || MU01007 Geometry || MU01017 Seminar on Mathematics III ) && ( MU01021 Analysis in the Complex Domain || MU01022 Analysis in the Complex Domain ) && MU01008 Laboratory in Mathematics and && MU01009 Laboratory in Mathematics and && (MU00009 || MU01133 Probability and Statistics ) && (MU00010 || MU01136 Numerical Methods )

Course Enrolment Limitations

The course is also offered to the students of the fields other than those the course is directly associated with.

fields of study / plans the course is directly associated with

• Mathematics (programme MU, B1101)

Course objectives (in Czech)

Souborná zkouška ze základů matematické analýzy a algebry, které se vyučují v prvních čtyřech semestrech bakalářského studia matematiky.

Syllabus (in Czech)

• POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY ? Bc.
  (pro studijní obor bakalářského studijního programu Matematika ? Obecná matematika)
  1. Množiny a zobrazení, binární relace (operace s množinami, vzor, obraz, subjektivní, injektivní, bijektivní zobrazení, ekvivalence, uspořádání).
  2. Matice a determinanty (operace s maticemi, vlastnosti determinantů, hodnost matice a její užití, vlastní hodnoty matice, Jordanův normální tvar čtvercové matice, příklady).
  3. Vektorové prostory, lineární zobrazení (lineární závislost, báze, podprostory, vyjádření lineárního zobrazení v bázi, matice přechodu, příklady vektorových prostorů a lineárních zobrazení).
  4. Skalární součin a norma (bilineární a kvadratické formy, vektorové prostory s normou a se skalárním součinem, příklady takových prostorů, ortonormální systémy funkcí, trigonometrické ortonormální systémy).
  5. Diagonalizace lineárního operátoru na konečněrozměrném vektorovém prostoru (vlastní hodnoty, první a druhý ? Jordanův ? rozklad lineárního operátoru, ortogonální a symetrické operátory na reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem a jejich diagonalizace, věta o hlavních osách, spektrální teorém, kanonický tvar kvadratické formy).
  6. Lineární algebraické rovnice (homogenní a nehomogenní systémy, metody řešení).
  7. Polynomy (hlavní věta algebry, metody hledání kořenů).
  8. Multilineární zobrazení a tensory (kontravariantní a kovariantní tenzory, tenzorový součin).
  9. Základní algebraické struktury (grupy, okruhy, pole, vektorové prostory, příklady jednotlivých struktur).
  10. Základní topologické pojmy (otevřené množiny, vnitřek, vnějšek, hranice, uzávěr, spojitost a limita zobrazení, kompaktnost, souvislost, metrické topologie, topologie euklidovského prostoru, příklady topologických prostorů, spojitých a nespojitých zobrazení).
  11. Systém reálných čísel (algebraické a topologické vlastnosti).
  12. Posloupnosti a řady (posloupnosti a řady reálných čísel, absolutně a neabsolutně konvergentní řady, posloupnosti a řady funkcí, bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, Taylorova řada, Fourierovy řady, aplikace na řešení diferenciálních rovnic).
  13. Funkce jedné a několika reálných proměnných (spojitost a limita, základní věty o spojitosti, příklady spojitých a nespojitých funkcí).
  14. Derivace funkce jedné a několika reálných proměnných, parciální a směrové derivace (základní vlastnosti derivace, základní věty o derivacích).
  15. Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom (Taylorova věta pro funkce jedné nebo několika proměnných, aplikace).
  16. Derivace zobrazení euklidovských prostorů (základní vlastnosti derivace, věta o složeném zobrazení, o inverzní funkci, o implicitní funkci).
  17. Průběh funkcí (vyšetřování průběhu funkcí jedné proměnné, extrémy funkcí jedné nebo několika proměnných, vázané extrémy).
  18. Integrál funkcí jedné nebo několika proměnných (hlavní věty o integrálu, aplikace integrálu v geometrii a ve fyzice, nevlastní integrál).
  19. Výpočet integrálu (vztah mezi integrálem a primitivní funkcí, Fubiniova věta, věta o substituci).
  20. Obyčejné diferenciální rovnice (věty o existenci a jednoznačnosti řešení, metoda postupných aproximací, elementární metody řešení).
  21. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (vlastnosti řešení, variace konstant, elementární metody řešení soustav s konstantními koeficienty, aplikace na lineární rovnici vyššího řádu).
  22. Hladké variety (hladká varieta, hladké zobrazení, difeomorfismus, imerze, submerze).
  23. Pole na varietách (skalární pole, vektorová pole, tenzorová pole).
  24. Tečné prostory (te

Literature

recommended literature
• M. Marvan. Algebra I. MÚ SU, Opava, 1999. URL info
• M. Marvan. Algebra II. MÚ SU,, Opava, 1999. URL info
• L. Klapka. Geometrie. MÚ SU, Opava, 1999. info
• W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
• M. Greguš, M. Švec, V. Šeda. Obyčajné diferenciálne rovnice. Alfa-SNTL, Bratislava-Praha, 1985. info
• B. Budinský. Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983. info
• G. Birkhoff, T. O. Bartee. Aplikovaná algebra. Alfa, Bratislava, 1981. info
• D. K. Fadejev, I. S. Sominskij. Algebra. Fizmatgiz, Moskva, 1980. info
• V. Jarník. Diferenciální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
• V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
• V. Jarník. Integrální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
• V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info

Language of instruction

Czech

Further comments (probably available only in Czech)

The course can also be completed outside the examination period.
General note: původní hodnocení: souborná zkouška.

• Enrolment Statistics (Summer 2008, recent)
  
• Permalink: https://is.slu.cz/course/sumu/summer2008/MU16141