MUMG2 Parciální diferenciální rovnice, variační a globální analýza

Matematický ústav v Opavě
léto 2012
Rozsah
0/0. 0 kr. Ukončení: -.
Garance
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Ověřit, zda student úspěšně zvládl studovaný obor a získal znalosti a dovednosti potřebné pro případné další studium nebo praxi.
Osnova
  • Parciální diferenciální rovnice, variační a globální analýza
    Parciální diferenciální rovnice:
    - Parciální diferenciální rovnice prvního řádu (charakteristiky, Cauchyho problém, úplný integrál, kvazilineární rovnice).
    - Eliptické rovnice (Laplaceova a Poissonova rovnice, potenciál, Greenovy formule, Greenova funkce).
    - Hyperbolické rovnice (Riemannova metoda, šíření vln podél struny, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Parabolické rovnice (Cauchyův problém pro rovnici vedení tepla, princip maxima pro smíšené problémy, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Distribuce (prostory základních funkcí a prostory distribucí, konvoluce, fundamentální řešení pro diferenciální operátory, zobecněné řešení Cauchyho problému).
    Variační analýza:
    - Základní úloha variačního počtu (Lagrangeova funkce, variační funkcionál, variace, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice, příklady).
    - Symetrie variačních problémů (transformace invariance a zobecněné invariance, generátory grup invariance, kriteria invariance, první věta Emmy Noetherové).
    - Regulární variační úlohy (podmínka regularity, Legendrova transformace, Hamiltonovy rovnice).
    Globální analýza:
    - Vnoření a vložení variet, submerze, Whitneyho věty.
    - Kritické body zobrazení, Sardova věta.
    - Vektorová pole, lokální a globální tok.
    - Vektorové distribuce, Frobeniova věta.
    - Základní pojmy variační analýzy.
Literatura
    doporučená literatura
  • J. Franců. Moderní metody řešení diferenciálních rovnic. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2006. info
  • J. Franců. Parciální diferenciální rovnice. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2003. info
  • L. C. Evans. Partial diferential equations. 1998. info
  • M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. New York, 1993. info
  • D. Krupka. Úvod do analýzy na varietách. SPN, Praha, 1986. info
  • R. Narasimhan. Analysis on real and complex manifolds. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1968. info
  • I. M. Gel'fand, S. V. Fomin. Variacionnoe isčislenie. Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematičesk, 1961. info
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2007, léto 2008, zima 2008, léto 2009, zima 2009, léto 2010, zima 2010, léto 2011, zima 2011, zima 2012, léto 2013, zima 2013, léto 2014, zima 2014, léto 2015.