MU:MUNMF2 Functional Analysis and DE - Course Information

MUNMF2 Functional Analysis and Differential Equations

Extent and Intensity

0/0. 0 credit(s). Type of Completion: -.

Guaranteed by

Mathematical Institute in Opava

Course Enrolment Limitations

The course is offered to students of any study field.

Syllabus (in Czech)

• Funkcionální analýza a diferenciální rovnice:
  - Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu (řešení, věty o existenci a jednoznačnosti řešení).
  - Lineární systémy diferenciálních rovnic (homogenní a nehomogenní systémy, vlastnosti řešení, systémy s konstantními koeficienty, metoda variace konstant, rovnice vyšších řádů).
  - Parciální diferenciální rovnice prvního řádu (charakteristiky, Cauchyho problém, úplný integrál, kvazilineární rovnice).
  - Eliptické rovnice (Laplaceova a Poissonova rovnice, potenciál, Greenovy formule, Greenova funkce).
  - Hyperbolické rovnice (Riemannova metoda, šíření vln podél struny, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
  - Parabolické rovnice (Cauchyho problém pro rovnici vedení tepla, princip maxima pro smíšené problémy, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
  - Distribuce (prostory základních funkcí a prostory distribucí, konvoluce, fundamentální řešení pro diferenciální operátory, zobecněné řešení Cauchyho problému).
  - Míra a měřitelné funkce (základní vlastnosti míry na okruhu, vnější míra a Carathéodoryho věta, věta o rozšíření míry na metrických prostorech. Hausdorffova míra, Lebesgue-Stieltjesova a Lebesguesova míra, měřitelná funkce jako limita posloupnosti
  jednoduchých měřitelných funkcí, posloupnosti měřitelných funkcí).
  - Lebesgueův integrál a Lebesgue-Stieltjesův integrál (souvislost s Riemannovým integrálem, věty o střední hodnotě, prostory Lp).
  - Diferencovatelnost a spojitost funkcí (diferencovatelnost monotónních funkcí, funkce s konečnou variací, absolutně spojité funkce, Stoneova-Weierstrassova věta o aproximaci spojitých funkcí polynomy).
  - Derivace komplexních funkcí, geometrický význam derivace, konformní zobrazení.
  - Integrály a mocninné řady v komplexním oboru (Laurentova řada a Taylorova řada).
  - Singularity a nulové body (Cauchyova věta o reziduích a její důsledky. Metody výpočtu nevlastních reálných integrálů).
  - Laplaceova transformace a její použití.
  - Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
  - Konvexní analýza v lokálně konvexních topologických vektorových prostorech (základní operátory konvexní analýzy, věta o dualitě).
  - Normované prostory (norma operátoru, duální prostor, Banachova věta o nulovém úhlu, reflexivní prostory, spektrum, kompaktní operátory).
  - Hilbertovy prostory (ortogonální projekce, Hilbertova báze, samoadjungované operátory, příklady: operátory tenzorové mechaniky, Hilbertova-Schmidtova věta).

Literature

recommended literature
• J. Franců. Parciální diferenciální rovnice. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2003. info
• J. Franců. Moderní metody řešení diferenciálních rovnic. Brno, 2002. info
• V. I. Averbuch. Functional Analysis, pomocné učební texty MÚ SU. MÚ SU, Opava, 1999. info
• L. C. Evans. Partial diferential equations. 1998. info
• M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. New York, 1993. info
• T. Neubrunn, J. Dravecký. Vybrané kapitoly z matematické analýzy. Alfa, Bratislava, 1990. info
• W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
• A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Praha, SNTL, 1975. info
• L. Schwartz. Analyse mathématique II. Herman, Paris, 1967. info
• L. S. Pontrjagin. Obyknovennyje differenciaľnyje uravnenija. Nauka, Moskva, 1965. info
• V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
• V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info

Language of instruction

Czech

Further Comments

The course can also be completed outside the examination period.

• Enrolment Statistics (Winter 2010, recent)
  
• Permalink: https://is.slu.cz/course/sumu/winter2010/MUNMF2