MUNMGA2 Diferenciální geometrie

Matematický ústav v Opavě
zima 2015
Rozsah
0/0. 0 kr. Ukončení: -.
Garance
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Ověřit, zda student úspěšně zvládl studovaný obor a získal znalosti a dovednosti potřebné pro případné další studium nebo praxi.
Osnova
  • Diferenciální geometrie:
    - Hladké variety (souřadnicové systémy, atlasy, tečný prostor k varietě, příklady variet).
    - Vektorová pole (definice a vlastnosti, Lieova závorka vektorových polí, Frobeniova věta, tečné zobrazení).
    - Tenzorová pole (definice a vlastnosti, algebraické operace s tenzorovými poli, Lieova derivace).
    - Diferenciální formy (definice a vlastnosti, vnější součin, vnější diferenciál a Lieova derivace, pullback, orientovatelnost variet, integrál formy, Stokesova věta).
    - Afinní konexe (definice, torze a křivost, paralelní přenos vektorů, geodetiky, kovariantní derivace tenzorových polí).
    - Variety s metrickým polem (Riemannovy a pseudo-Riemannovy variety, Levi-Civitova konexe, Riemannova křivost, Ricciho tenzor, skalární křivost, izometrie a Killingova rovnice).
    - Lieovy grupy (definice, Lieova algebra Lieovy grupy, maticové Lieovy grupy).
    - Nadplochy v Eukleidovském prostoru (první a druhá fundamentální forma, Gaussovy-Weingartenovy rovnice, Gaussovy-Mainardiho-Codazziho rovnice, Bonnetův teorém).
    - Křivost (normální řezy nadplochy, hlavní křivosti, hlavní souřadnice, střední a Gaussova křivost, minimální plochy, fokální nadplochy).
    - Komplexní variety (komplexní struktura, komplexní diferenciální formy, holomorfní formy, Kählerova varieta).
Literatura
    doporučená literatura
  • J. M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, New York, 2003. info
  • C. Isham. Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore, 1999. info
  • O. Kowalski. Úvod do Riemannovy geometrie. Univerzita Karlova, Praha, 1995. info
  • R. L. Bishop, S. I. Goldberg. Tensor Analysis on Manifolds. Dover, New York, 1980. info
  • M. Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1965. info
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2013, léto 2014, zima 2014, léto 2015, léto 2016, zima 2016, léto 2017, zima 2017, léto 2018, zima 2018, léto 2019.