Theoretical Mechanics (7TeMe)
KFY/7TEME – Teoretická mechanika: 2/1, 5 kreditů, Zk
Garance/přednášky: Stanislav Hledík
Cvičení: RNDr. Miroslav Kolos, Ph.D., <miroslav.kolos@osu.cz>
Položky obsahu označené ↗ jsou sdíleny s kursem Teoretické mechaniky přednášeným na Fyzikálním ústavu v Opavě, na jehož stránku odkazují. Tento kurs na PřF OU (“světlé stránky”) má oproti kursu vyučovanému na FÚ v Opavě (“tmavé stránky”) jinou hodinovou dotaci a sylabus, sledujte proto, na které stránce se nacházíte, aby nedošlo k záměně:
Program ● Výuka ● Hodnocení ● Literatura ↗ ● Odkazy ↗ ● ČKD
Předmět seznamuje s alternativními formulacemi newtonovské mechaniky, variačními principy a základy mechaniky kontinua. Slouží jako průprava ke studiu pokročilejších partií teoretické fyziky. Zabývá se některými důležitými aplikacemi přednášených teoretických metod. Jedná se o upravenou verzi kursu Teoretická mechanika na Fyzikálním ústavu v Opavě.
Sylabus
U každého tématu jsou ve formátu [od–do, …] uvedeny odpovídající stránky v knize [Pod24] (případně i jiných v případě křivočarých souřadnic v tématu 2). Za hvězdičkou jsou pod každým tématem (s výjimkou 13.) doporučeny příklady a úlohy v “Knize třetí” studijního textu [Pod24] a ve sbírce úloh [Cal99xs], výjimenčně v jiných zdrojích. Zkratka [p/p] znamená “podle přednášky”.
Pojmy, předpoklady a omezení klasické mechaniky. Newtonovy pohybové zákony. Užitečnost alternativních formulací, ilustrace na teoriích gravitace: Newtonova gravitační síla, Poissonova a Laplaceova rovnice pro pole potenciálu versus Einsteinova rovnice pro pole metriky v obecné teorii relativity; formulace pohybových zákonů jinými způsoby pro hmotné body, tuhé těleso i kontinuum. [27–31, 307, 308]
★ [Pod24]: příklady 1-1 na s. 309–310 a 1-3 na s. 314–315
2. Matematické prerekvizity (část A), Newtonovy rovnice s vazbami
Křivočaré souřadnice. [HoNoSt01, sekce II.2: 20–25, p/p] Systémy hmotných bodů podrobených vazbám: síly vtištěné versus reakce podložky, popis (nad)plochy, normála, vazby a jejich klasifikace (jednostranná vs. oboustranná, skleronomní vs. rheonomní, holonomní vs. anholonomní), Lagrangeovy rovnice I. druhu, d’Alembertův princip, princip virtuální práce. [32–45, 327–329, p/p]
★ [Pod24]: příklady 2-1 a 2-2 na s. 330–332, 2-5 na s. 334–335, 2-9 a 2-10 na s. 339–342 ● [Cal99xs]: 2.01, 2.03, 2.06, 2.09
3. Lagrangeův formalismus, zákony zachování (část A)
Zobecněné souřadnice, konfigurační prostor a počet stupňů volnosti, zobecněné rychlosti a zrychlení. Lagrangeova funkce (lagrangián), odvození Lagrangeových rovnic II. druhu a jejich vlastnosti; postupy řešení pohybových rovnic (volba zobecněných souřadnic, sestavení lagrangiánu, integrace analytická a numerická, přibližná řešení, linearizace, cyklické souřadnice a integrály pohybu). [46–54, 58–61, 343–344]
★ [Pod24]: příklad 3-6 na s. 357, 358
Vlastní a vynucené oscilace s jedním stupněm volnosti netlumené a tlumené, resonance. Vlastní netlumené oscilace s více stupni volnosti (charakteristická rovnice, vlastní frekvence, normální souřadnice, kmitání molekul). [p/p]
★ [Pod24]: příklady 1-4 až 1-6 na s. 315–319, 3-1 a 3-2 na s. 348–350, 3-4 a 3-5 na s. 352–357 ● [Cal99xs]: 3.01, 3.02
Pohyb v centrálním poli. Elementární nebeská mechanika, metoda efektivního potenciálu. Klasická teorie elastického rozptylu, účinný průřez a Rutherfordův vztah. [55–58, 62–72, 345–347, p/p]
★ [Pod24]: příklady 3-9 na s. 362–363, 3-12 na s. 367–368 ● [Cal99xs]: 1.02, 1.16
Zobecněný potenciál a pohyb elektricky nabité částice v elektromagnetickém poli (pokračování v Hamiltonově formalismu). [54–55, 344–345, p/p]
★ [Pod24]: příklady 3-13 a 3-14 na s. 368–370
5. Matematické prerekvizity (část B): základy variačního počtu
Opakování funkcí více reálných proměnných: parciální derivace a derivace ve směru, n-tý diferenciál, podmínky extrémů. Historické motivační úlohy variačního počtu: geodetika v rovině, brachistochrona, rotační plocha s minimálním obsahem (tvar mýdlové blány). 1. a 2. variace; Eulerova–Lagrangeova rovnice jako nutná podmínka extrému. Řešení historických úloh. [74–81, p/p]
★ [Cal99xs]: 4.04
6. Variační formulace newtonovské mechaniky
Hamiltonův princip: akční funkcionál, Lagrangeova funkce, odvození Lagrangeových rovnic II. druhu z variačního principu jako nutné podmínky pro extremální trajektorii. Vlastnosti Lagrangeovy funkce. Konstrukce newtonovské Lagrangeovy funkce a její struktura; pohyb ve vnějším poli. [81–84, p/p]
★ [Cal99xs]: 4.12
Integrály pohybu, energie, hybnost a moment hybnosti, I. a II. impulsová věta; kanonicky sdružené proměnné. Teorém Emmy Noether. [87–92, p/p]
★ [StToJe17]: Rungeho–Lenzův vektor na s. 135
Fázový prostor. Hamiltonova funkce a její struktura, Hamiltonovy kanonické rovnice a jejich vlastnosti. Cyklické souřadnice a integrály pohybu. Ilustrace Hamiltonových kanonických rovnic (harmonický oscilátor, částice v elektromagnetickém poli – návaznost na zobecněný potenciál a pohyb částice v EM poli). Poissonovy závorky. Akce jako funkce souřadnic a času. [96–102, 105–115, 371–373, p/p]
★ [Pod24]: příklady 4-1 až 4-5 na s. 377–381, 4-7 až 4-10 na s. 383–387 ● [Cal99xs]: 6.03
9. Hamiltonova–Jacobiho teorie
Kanonické transformace, generující funkce a podmínky kanoničnosti. Příklady kanonických transformací. Liouvilleův teorém. Hamiltonova–Jacobiho rovnice, její řešení a interpretace. Separace času, Hamiltonova charakteristická funkce. Harmonický oscilátor a volný pád jako příklady na H–J metodu. Meze platnosti klasické mechaniky, návaznost na další oblasti fyziky. [115–133, 374–376, p/p]
★ [Pod24]: příklady 4-12 a 4-13 na s. 388–390, 4-16 na s. 393–394 ● [Cal99xs]: 7.02, 7.09
10. Tuhé těleso a matematické prerekvizity (část C)
Vektory a tensory. Kinematika tuhého tělesa: otáčivý pohyb a úhlová rychlost, Eulerovy úhly a Eulerovy kinematické rovnice. Dynamika tuhého tělesa: tensor momentu setrvačnosti, hlavní osy a momenty setrvačnosti; Eulerovy dynamické rovnice. Centrum hmot vs. těžiště, klasifikace tuhých těles (setrvačníků). Pohyb volného symetrického setrvačníku a těžkého symetrického setrvačníku s fixním bodem, precese, nutace, stabilita. Pohyb v neinerciální soustavě. [137–152, 155–157, 159–162, 399–402, p/p]
★ [Pod24]: příklady 5-1 až 5-4 na s. 403–408, 5-7 na s. 411–412
Přechod z diskrétního systému na kontinuum v Lagrangeově formalismu: Eulerovy–Lagrangeovy rovnice pro příčné a podélné kmity struny. Řešení 1D vlnové rovnice metodou d’Alembertovou a Bernoulliovou–Fourierovou. Eulerův a Lagrangeův popis, proudnice, deformační tensory, tekoucí objem, objemové a plošné síly, tensor napětí, podmínky rovnováhy. Popis pohybu kontinua: rovnice kontinuity, pohybová rovnice, termodynamické rovnice. Elasticita pevných látek, Hookeův zákon, isotropní pružné prostředí. Vlny v isotropním pružném prostředí, ohyb nosníku, torze tyče. [165–192, p/p]
★ [HoNoSt01]: příklad 1 na s. 188 a 189 ● [StToJe17]: příklad 4.29 na s. 185
12. Hydrodynamika a hydrostatika
Newtonovská a ideální tekutina, Eulerova pohybová rovnice ideální tekutiny, termodynamické podmínky, hydrostatická rovnováha. Vlny v ideální tekutině. Nevířivé proudění a Bernoulliho rovnice. Proudění vazké tekutiny, Navierova–Stokesova pohybová rovnice. Geometricky podobná proudění a turbulence. Některá důležitá řešení rovnic dynamiky tekutin. Základy reologie. [190–197, p/p]
★ [HoNoSt01]: příklady 1 a 2 na s. 232 a 233, úloha 1 na s. 233 ● [StToJe17]: příklad 4.32 na s. 186
Newtonovská mechanika na úrovni základního kurzu fyziky.
Kalkulus jedné reálné proměnné v rozsahu základního kursu matematiky.
Lineární algebra v rozsahu základního kursu matematiky.
Předběžné znalosti typu “v případě potřeby mohou být zopakovány”
Základy kalkulu více reálných proměnných, speciálně: derivace ve směru, gradient skalárního pole, divergence a rotace vektorového pole, Gaussův a Stokesův teorém, comoving (substancionální, totální, souputující) derivace.
Elementární znalosti obyčejných diferenciálních rovnic [Nag78].
Základy funkcionální analýzy [BrdHla87]: Dodatek II.
Klasická elektrodynamika na úrovni základního kurzu fyziky.
Přednášky
Standardní čas přednášky: podle aktuálního rozvrhu.
Přednášky nemusejí nutně sledovat strukturu témat uvedenou v sylabu.
V rámci přednášky využívané online materiály naleznete v mém Dropbox cloudu přes zkrácený odkaz
v adresáři TeMe (případně můžete použít přímý link do TeMe). Pokud jsou tyto materiály sdíleny s kursem Teoretické mechaniky přednášeným na Fyzikálním ústavu v Opavě, naleznete místo nich soubory s redirekcemi, které vás již přesměrují na správné místo.
V případě, si budete chtít něco ujasnit, jsou k dispozici konzultace.
Některé počítačové demonstrace na přednáškách budu dělat pomocí technologií Wolfram Research. Budete je mít zpřístupněné na cloudu (odkaz viz výše) ve složce TeMe/Demonstrations. Pro jejich přehrání potřebujete program Wolfram Player.
Pro případ mimořádných okolností uvádím odkaz na organizaci případné online výuky.
Cvičení
Podrobné informace o cvičení a podmínkách získání zápočtu vám poskytne cvičící Dr. Kolos (kontakty najdete v záhlaví stránky).
Přihlášení se ke zkoušce je vázáno na předchozí získání zápočtu ze cvičení (viz předchozí sekci Výuka). Zkouška má písemnou a ústní část.
Písemná část
Písemná část sestává ze čtveřice úloh, jejichž bodová hodnocení jsou podle obtížnosti stanovena tak, aby dávala součet 20. Úlohy budou vybírány z úloh v doporučené literatuře nebo z úloh analogických, a dále z typů úloh, které byly řešeny na cvičeních. Typicky bude písemná část obsahovat následující typy úloh: (1) problém na mechaniku systémů s vazbami, Lagrangeovy rovnice I. druhu, d’Alembertův princip, princip virtuálních prací; (2) obecný problém na Lagrangeův formalismus (Lagrangeovy rovnice II. druhu); (3) aplikační úloha – oscilace, rozptyl, nebeská mechanika, apod.; (4) tato úloha je alternativní – buď jednodušší problém na hamiltonovský formalismus – řešení 1D H–J rovnice, ověření kanoničnosti transfromace apod., nebo časově méně náročná úloha na tuhé těleso.
Ukázku písemné části (předtermín z 19. prosince 2025) najdete v adresáři TeMe/Exams. Z alternativních úloh 4 a 5 stačí vyřešit jednu podle vlastního výběru, vyřešením obou můžete získat bonus až +5 bodů do ústní části.
Ústní část
Ústní část má formu rozpravy o teoretických metodách použitých při vypracovávání vašich řešení. Z ústní část můžete získat až 10 bodů.
Hodnocení
Výsledek zkoušky je klasifikován na základě bodového zisku podle 30-bodové klasifikační stupnice.
—