MUNMA2 Matematická analýza a diferenciální rovnice

Matematický ústav v Opavě
léto 2016
Rozsah
0/0. 0 kr. Ukončení: -.
Garance
prof. RNDr. Jaroslav Smítal, DrSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Ověřit, zda student úspěšně zvládl studovaný obor a získal znalosti a dovednosti potřebné pro případné další studium nebo praxi.
Osnova
  • Matematická analýza a diferenciální rovnice
    Reálná a komplexní analýza:
    - Základní vlastnosti míry na okruhu, vnější míra a Carathéodoryho věta, věta o rozšíření míry na metrických prostorech. Hausdorffova míra, Lebesgueova-Stieltjesova a Lebesgueova míra.
    - Pojem měřitelné funkce, měřitelná funkce jako limita posloupnosti jednoduchých měřitelných funkcí, posloupnosti měřitelných funkcí.
    - Lebesgueův integrál a Lebesgueův-Stieltjesův integrál, souvislost s Riemannovým integrálem, věty o střední hodnotě.
    - Prostory Lp.
    - Diferencovatelnost funkcí, spojitost a diferencovatelnost, diferencovatelnost monotónních funkcí, funkce s konečnou variací, absolutně spojité funkce.
    - Stone-Weierstrassova věta o aproximaci spojitých funkcí polynomy.
    - Derivace komplexních funkcí, geometrický význam derivace, konformní zobrazení.
    - Integrály a mocninné řady v komplexním oboru, Laurentova řada a Taylorova řada.
    - Singularity a nulové body. Cauchyova věta o reziduích a její důsledky. Metody výpočtu nevlastních reálných integrálů.
    - Laplaceova transformace a její použití.
    Obyčejné a parciální diferenciální rovnice:
    - Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu (řešení, věty o existenci a jednoznačnosti řešení).
    - Lineární systémy diferenciálních rovnic(homogenní a nehomogenní systémy, vlastnosti řešení, systémy s konstantními koeficienty, metoda variace konstant, rovnice vyšších řádů).
    - Stabilita řešení autonomních systémů.
    - Eliptické rovnice (Laplaceova a Poissonova rovnice, potenciál, Greenovy formule, Greenova funkce).
    - Hyperbolické rovnice (Riemannova metoda, šíření vln podél struny, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Parabolické rovnice (Cauchyův problém pro rovnici vedení tepla, princip maxima pro smíšené problémy, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Distribuce (prostory základních funkcí a prostory distribucí, konvoluce, fundamentální řešení pro diferenciální operátory, zobecněné řešení Cauchyova problému).
Literatura
    doporučená literatura
  • J. Franců. Moderní metody řešení diferenciálních rovnic. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2006. info
  • J. Franců. Parciální diferenciální rovnice. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2003. info
  • J. Smítal, P. Šindelářová. Komplexní analýza. MÚ SU, Opava, 2002. info
  • L. C. Evans. Partial diferential equations. 1998. info
  • M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. New York, 1993. info
  • T. Neubrunn, J. Dravecký. Vybrané kapitoly z matematické analýzy. Alfa, Bratislava, 1990. info
  • W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
  • M. Švec, T. Šalát, T. Neubrunn. Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Bratislava, 1987. info
  • M. Greguš, M. Švec, V. Šeda. Obyčajné diferenciálne rovnice. Alfa-SNTL, Bratislava-Praha, 1985. info
  • J. Kurzweil. Obyčejné diferenciální rovnice. SNTL, Praha, 1978. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2007, léto 2008, zima 2008, léto 2009, zima 2009, léto 2010, zima 2010, léto 2011, zima 2011, léto 2012, zima 2012, léto 2013, zima 2013, léto 2014, zima 2014, léto 2015, zima 2015, zima 2016, léto 2017, zima 2017, léto 2018, zima 2018, léto 2019.