MU:MUDGGA Státní doktorská zk. z GGA - Informace o předmětu

MUDGGA Geometrie a globální analýza

Rozsah

0/0. 0 kr. Ukončení: -.

Garance

doc. RNDr. Michal Marvan, CSc.
Matematický ústav v Opavě

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Geometrie a globální analýza (program MU, P1102) (2)
• Geometry and Global Analysis (program MU, P1102) (2)

Cíle předmětu

Ověřit, zda student získal znalosti a dovednosti potřebné pro samostatnou vědeckou práci.

Osnova

• 1. Základy analýzy na varietách:
  Algebra hladkých funkcí. Vektorová a tenzorová pole, Lieova závorka, integrabilní distribuce. Vnější formy, integrování na varietách, Stokesova věta. Tok vektorového pole, Lieova derivace. Základy teorie Lieových grup a Lieových algeber. De Rhamovy kohomologie. Základy Riemannovy geometrie. Prostory jetů. Základy variačního počtu.
  2. Teorie Lieových grup a algeber:
  Lieovy grupy a podgrupy, Lieovy algebry, jejich ideály. Reprezentace Lieových grup a algeber, G-moduly a g-moduly, jejich souvislosti. Nilpotentní, řešitelné a polojednoduché algebry. Základy strukturní teorie jednoduchých algeber a jejich reprezentací, váhy a kořeny. Příklady v komplexním i reálném oboru, klasické série.
  3. Homologická algebra:
  Moduly, řetězcové komplexy, exaktnost, rezolventy a derivované funktory, Tor a Ext. Bikomplexy, spektrální posloupnosti. Homologie a kohomologie některých algebraických struktur.
  4. Algebraická topologie:
  Metoda algebraické topologie. Singulární homologie a kohomologie, buněčné komplexy a jejich (ko)homologie. Homotopie a homotopické grupy, nakrytí a univerzální nakrytí. Zobecněné homologické a kohomologické teorie, spektrální posloupnosti. Svazky, abstraktní de Rhamova věta.
  5. Riemannova geometrie:
  Diferenciální geometrie vnořené podvariety v euklidovském prostoru, základní formy a rovnice. Variety s afinní konexí, geodetiky, tenzor křivosti a torze. Riemannova metrika, metrická konexe, základní identity. Prosty konstantní křivosti. Gaussova-Bonnetova formule.
  6. Aplikace diferenciální geometrie v matematické fyzice:
  Geometrické základy obecné teorie relativity. Symplektické variety, Poissonovy variety, Hamiltonův formalismus, Liouvilleova věta, proměnné akce - úhel. Variační počet, Eulerovy--Lagrangeovy rovnice, invariance a pohybové integrály, věta Noetherové.
  7. Geometrická teorie diferenciálních rovnic:
  Prostory jetů, Cartanova distribuce, formální integrabilita. Bodové, kontaktní a vyšší symetrie, Lieova algebra symetrií. Zákony zachování, horizontální kohomologie. Nakrytí, nelokální symetrie a zákony zachování, Bäcklundovy transformace, reprezentace nulové křivosti. Operátory rekurze, Hamiltonovy struktury, úplná integrabilita.
  Student zvolí tři z těchto sedmi okruhů podle svého zaměření. Oborová komise může na návrh školitele uvedenou nabídku rozšířit.
  Součástí státní doktorské zkoušky je také obhajoba disertační práce.

Další komentáře

Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.

• Statistika zápisu (nejnovější)
  
• Permalink: https://is.slu.cz/predmet/sumu/leto2019/MUDGGA