MU16141 Souborná zkouška z matematiky bakalářská

Matematický ústav v Opavě
léto 2021
Rozsah
0/0/0. 6 kr. Ukončení: zk.
Garance
doc. RNDr. Zdeněk Kočan, Ph.D.
Matematický ústav v Opavě
Předpoklady
MU01001 Matematická analýza I && MU01002 Matematická analýza II && MU01003 Matematická analýza III && ( MU01004 Matematická analýza IV || NOW( MU01004 Matematická analýza IV )) && ( MU01005 Algebra I || MU01015 Algebra I ) && ( MU01006 Algebra II || MU01016 Algebra II ) && ( MU01007 Geometrie || MU01017 Geometrie ) && ( MU01021 Analýza v komplexním oboru || MU01022 Analýza v komplexním oboru || NOW( MU01022 Analýza v komplexním oboru )) && MU01008 Praktikum z matematiky a výpoč && MU01009 Praktikum z M a VT II && MU01133 Pravděpodobnost a statistika && ( MU01136 Numerické metody || NOW( MU01136 Numerické metody ))
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Souborná zkouška ze základů matematické analýzy a algebry, které se vyučují v prvních čtyřech semestrech bakalářského studia matematiky.
Osnova
  • POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY - Bc.
    (pro studijní obor bakalářského studijního programu Matematika - Obecná matematika)
    1. Množiny a zobrazení, binární relace (operace s množinami, vzor, obraz, surjektivní, injektivní, bijektivní zobrazení, ekvivalence, uspořádání).
    2. Matice a determinanty (operace s maticemi, vlastnosti determinantů, hodnost matice a její užití, vlastní hodnoty matice, Jordanův normální tvar čtvercové matice, příklady).
    3. Vektorové prostory, lineární zobrazení (lineární závislost, báze, podprostory, vyjádření lineárního zobrazení v bázi, matice přechodu, příklady vektorových prostorů a lineárních zobrazení).
    4. Skalární součin a norma (bilineární a kvadratické formy, vektorové prostory s normou a se skalárním součinem, příklady takových prostorů, ortonormální systémy funkcí, trigonometrické ortonormální systémy).
    5. Diagonalizace lineárního operátoru na konečněrozměrném vektorovém prostoru (vlastní hodnoty, první a druhý - Jordanův - rozklad lineárního operátoru, ortogonální a symetrické operátory na reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem a jejich diagonalizace, věta o hlavních osách, spektrální teorém, kanonický tvar kvadratické formy).
    6. Lineární algebraické rovnice (homogenní a nehomogenní systémy, metody řešení).
    7. Polynomy (hlavní věta algebry, metody hledání kořenů).
    8. Základní algebraické struktury (grupy, okruhy, pole, vektorové prostory, příklady jednotlivých struktur).
    9. Základní topologické pojmy (otevřené množiny, vnitřek, vnějšek, hranice, uzávěr, spojitost a limita zobrazení, kompaktnost, souvislost, metrické topologie, topologie euklidovského prostoru, příklady topologických prostorů, spojitých a nespojitých zobrazení).
    10. Systém reálných čísel (algebraické a topologické vlastnosti).
    11. Posloupnosti a řady (posloupnosti a řady reálných čísel, absolutně a neabsolutně konvergentní řady, posloupnosti a řady funkcí, bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, Taylorova řada, Fourierovy řady, aplikace na řešení diferenciálních rovnic).
    12. Funkce jedné a několika reálných proměnných (spojitost a limita, základní věty o spojitosti, příklady spojitých a nespojitých funkcí).
    13. Derivace funkce jedné a několika reálných proměnných, parciální a směrové derivace (základní vlastnosti derivace, základní věty o derivacích).
    14. Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom (Taylorova věta pro funkce jedné nebo několika proměnných, aplikace).
    15. Derivace zobrazení euklidovských prostorů (základní vlastnosti derivace, věta o složeném zobrazení, o inverzní funkci, o implicitní funkci).
    16. Průběh funkcí (vyšetřování průběhu funkcí jedné proměnné, extrémy funkcí jedné nebo několika proměnných, vázané extrémy).
    17. Integrál funkcí jedné nebo několika proměnných (hlavní věty o integrálu, aplikace integrálu v geometrii a ve fyzice, nevlastní integrál).
    18. Výpočet integrálu (vztah mezi integrálem a primitivní funkcí, Fubiniova věta, věta o substituci).
    19. Obyčejné diferenciální rovnice (věty o existenci a jednoznačnosti řešení, metoda postupných aproximací, elementární metody řešení).
    20. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (vlastnosti řešení, variace konstant, elementární metody řešení soustav s konstantními koeficienty, aplikace na lineární rovnici vyššího řádu).
    21. Křivky v trojrozměrném euklidovském prostoru (křivka, Frenetův repér, křivost a torze, Frenet-Serretovy formule).
    22. Diferenciální formy (algebra diferenciálních forem na varietě, věta o lokální exaktnosti uzavřené diferenciální formy).
Literatura
    doporučená literatura
  • M. Marvan. Algebra I. MÚ SU, Opava, 1999. URL info
  • M. Marvan. Algebra II. MÚ SU,, Opava, 1999. URL info
  • W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
  • D. Krupka. Úvod do analýzy na varietách. SPN, Praha, 1986. info
  • M. Greguš, M. Švec, V. Šeda. Obyčajné diferenciálne rovnice. Alfa-SNTL, Bratislava-Praha, 1985. info
  • B. Budinský. Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983. info
  • G. Birkhoff, T. O. Bartee. Aplikovaná algebra. Alfa, Bratislava, 1981. info
  • D. K. Fadejev, I. S. Sominskij. Algebra. Fizmatgiz, Moskva, 1980. info
  • J. Kurzweil. Obyčejné diferenciální rovnice. SNTL, Praha, 1978. info
  • M. Spivak. Matematičeskij analiz na mnogoobrazijach. Mir, Moskva, 1968. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • I. G. Petrovskij. Lekcii ob uravnenijach s častnymi proizvodnymi. Mir, Moskva, 1961. info
Informace učitele
Zkouška má písemnou a ústní část. Je hodnocena jednou celkovou známkou. Zkušební komise je dvoučlenná.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
původní hodnocení: souborná zkouška.
Předmět je zařazen také v obdobích léto 2008, léto 2009, léto 2010, léto 2011, léto 2012, léto 2013, léto 2014, léto 2015, léto 2016, léto 2017, léto 2018, léto 2019, léto 2020, léto 2022.