MU03260 Teorie kategorií

Matematický ústav v Opavě
zima 2009
Rozsah
2/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.
Garance
doc. RNDr. Kristína Smítalová, CSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Teorie kategorií poskytuje zázemí pro mnohé oblasti moderní matematiky. Bude Vám užitečná při studiu abstraktní algebry a obecné topologie, kde Vám pomůže zatřídit jednotlivé poznatky. Neobejdete se bez ní v algebraické topologii. Bezcenná kupodivu nebude ani v geometrické teorii nelineárních parciálních rovnic. Možná jste si všimli, že některé konstrukce (např. součiny) se často opakují v různých oblastech matematiky (v algebře, topologii apod.), přičemž jejich podstata je stále stejná a vyjadřuje ji jeden a týž komutativní diagram. A proto také o nich platí v podstatě stejná tvrzení. V teorii kategorií budeme takové situace zkoumat abstraktně, jako vztahy mezi morfismy a objekty nějaké kategorie. Abstrakce se potom zopakuje ještě několikrát: Kategorie samotné jsou propojeny funktory a funktory jsou propojeny přirozenými transformacemi.
Osnova
  • Kategorie, duální kategorie, podkategorie.
    Monomorfismy a epimorfismy, ekvalizátory, součiny, pullbacky, limity a pojmy k nim duální.
    Funktory, přirozené transformace, ekvivalence kategorií.
    Reflektivní podkategorie, reprezentovatelné funktory, adjungované funktory, Freydovy věty.
    Temata k samostudiu (volitelně):
    * monády, monadické kategorie;
    * epi-mono faktorizace;
    * monoidální kategorie, kartézsky uzavřené kategorie;
    * koalgebry a automaty;
    * a další.
Literatura
    doporučená literatura
  • S. Mac Lane. Categories for the Working Mathematician. New York, 1971. info
Informace učitele
Součástí studia je písemné zpracování zvoleného tematu a prezentace před ostatními studenty, je-li jich více než jeden. Zkouška je pouze ústní.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 1999, zima 2000, zima 2001, zima 2002, zima 2003, zima 2004, zima 2005, zima 2006, zima 2007, zima 2008, zima 2010, zima 2011, zima 2012, zima 2013, zima 2014, zima 2015, zima 2016, zima 2017, zima 2018, zima 2019.