MUNMF1 Analýza na varietách

Matematický ústav v Opavě
zima 2012
Rozsah
0/0. 0 kr. Ukončení: -.
Garance
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Ověřit, zda student úspěšně zvládl studovaný obor a získal znalosti a dovednosti potřebné pro případné další studium nebo praxi.
Osnova
  • 1. Analýza na varietách
    - Topologická struktura na množině (otevřené a uzavřené množiny, vnitřek, vnějšek, hranice, báze topologie), spojitá zobrazení, homeomorfismy, konstrukce topologických prostorů (podprostory, součiny, faktorové prostory).
    - Metrické prostory (metrika, metrická topologie, úplné metrické prostory, stejnoměrně spojitá zobrazení, kontrakce, věta o pevném bodě, izometrie, Hausdorffova věta o zúplnění metrického prostoru), konvergence v topologických prostorech (konvergence v prostorech 1. typu spočetnosti, konvergence v metrických prostorech).
    - Kompaktní a lokálně kompaktní topologické prostory, Parakompaktní prostory, topologické variety.
    - Grupy, akce grup, okruhy a moduly.
    - Lineární konexe (tenzor, torze, tenzor křivosti, paralelní přenos vektorů, geodetiky, kovariantní derivace, geometrický význam tenzoru křivosti).
    - Variety s metrickým polem (Riemannovy a hyperbolické variety, Levi-Civitova konexe, tenzor křivosti, Ricciho tenzor, skalární křivost, Riemannova křivost, izometrie a Killingova rovnice, integrování funkcí na varietě s metrickým polem).
    - Lieovy grupy, hlavní a asociované prostory (homomorfismy, Lieova algebra, Lieovy grupy, akce grup, fibrovaný prostor bází).
    - Vnoření a vložení variet, submerze, Whitneyho věty.
    - Kritické body zobrazení, Sardova věta.
    - Vektorová pole, lokální a globální tok.
    - Vektorové distribuce, Frobeniova věta.
    - Základní úloha variačního počtu (Lagrangeova funkce, variační funkcionál, variace, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice, příklady).
    - Symetrie variačních problémů (transformace invariance a zobecněné invariance, generátory grup invariance, kriteria invariance, první věta Emmy Noetherové).
    - Regulární variační úlohy (podmínka regularity, Legendrova transformace, Hamiltonovy rovnice).
Literatura
    doporučená literatura
  • S. Sternberg. Lectures on Differential Geometry. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1995. info
  • O. Kowalski. Úvod do Riemannovy geometrie. Univerzita Karlova, Praha, 1995. info
  • D. Krupka, O. Krupková. Topologie a geometrie, 1. Obecná topologie. SPN, Praha, 1989. info
  • N. J. Bloch. Abstract Algebra with Applications. Englewood Clifs, 1987. ISBN 0130009857. info
  • D. Krupka. Úvod do analýzy na varietách. SPN, Praha, 1986. info
  • J. R. Munkres. Topology, A First Course. Prentice Hall, New Jersey, 1975. info
  • R. Narasimhan. Analysis on real and complex manifolds. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1968. info
  • A. G. Kuroš. Kapitoly z obecné algebry. Academia Praha, 1968. info
  • I. M. Gel'fand, S. V. Fomin. Variacionnoe isčislenie. Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematičesk, 1961. info
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2007, léto 2008, zima 2008, léto 2009, zima 2009, léto 2010, zima 2010, léto 2011, zima 2011, léto 2012, léto 2013, zima 2013, léto 2014, zima 2014, léto 2015.