MUNMF2 Funkcionální analýza a diferenciální rovnice

Matematický ústav v Opavě
zima 2014
Rozsah
0/0. 0 kr. Ukončení: -.
Garance
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Ověřit, zda student úspěšně zvládl studovaný obor a získal znalosti a dovednosti potřebné pro případné další studium nebo praxi.
Osnova
  • Funkcionální analýza a diferenciální rovnice:
    - Systémy diferenciálních rovnic prvního řádu (řešení, věty o existenci a jednoznačnosti řešení).
    - Lineární systémy diferenciálních rovnic (homogenní a nehomogenní systémy, vlastnosti řešení, systémy s konstantními koeficienty, metoda variace konstant, rovnice vyšších řádů).
    - Parciální diferenciální rovnice prvního řádu (charakteristiky, Cauchyho problém, úplný integrál, kvazilineární rovnice).
    - Eliptické rovnice (Laplaceova a Poissonova rovnice, potenciál, Greenovy formule, Greenova funkce).
    - Hyperbolické rovnice (Riemannova metoda, šíření vln podél struny, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Parabolické rovnice (Cauchyho problém pro rovnici vedení tepla, princip maxima pro smíšené problémy, Fourierova metoda pro smíšené problémy).
    - Distribuce (prostory základních funkcí a prostory distribucí, konvoluce, fundamentální řešení pro diferenciální operátory, zobecněné řešení Cauchyho problému).
    - Míra a měřitelné funkce (základní vlastnosti míry na okruhu, vnější míra a Carathéodoryho věta, věta o rozšíření míry na metrických prostorech. Hausdorffova míra, Lebesgue-Stieltjesova a Lebesguesova míra, měřitelná funkce jako limita posloupnosti
    jednoduchých měřitelných funkcí, posloupnosti měřitelných funkcí).
    - Lebesgueův integrál a Lebesgue-Stieltjesův integrál (souvislost s Riemannovým integrálem, věty o střední hodnotě, prostory Lp).
    - Diferencovatelnost a spojitost funkcí (diferencovatelnost monotónních funkcí, funkce s konečnou variací, absolutně spojité funkce, Stoneova-Weierstrassova věta o aproximaci spojitých funkcí polynomy).
    - Derivace komplexních funkcí, geometrický význam derivace, konformní zobrazení.
    - Integrály a mocninné řady v komplexním oboru (Laurentova řada a Taylorova řada).
    - Singularity a nulové body (Cauchyova věta o reziduích a její důsledky. Metody výpočtu nevlastních reálných integrálů).
    - Laplaceova transformace a její použití.
    - Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
    - Konvexní analýza v lokálně konvexních topologických vektorových prostorech (základní operátory konvexní analýzy, věta o dualitě).
    - Normované prostory (norma operátoru, duální prostor, Banachova věta o nulovém úhlu, reflexivní prostory, spektrum, kompaktní operátory).
    - Hilbertovy prostory (ortogonální projekce, Hilbertova báze, samoadjungované operátory, příklady: operátory tenzorové mechaniky, Hilbertova-Schmidtova věta).
Literatura
    doporučená literatura
  • J. Franců. Parciální diferenciální rovnice. Akademické nakladatelství CERM, Brno, 2003. info
  • J. Franců. Moderní metody řešení diferenciálních rovnic. Brno, 2002. info
  • V. I. Averbuch. Functional Analysis, pomocné učební texty MÚ SU. MÚ SU, Opava, 1999. info
  • L. C. Evans. Partial diferential equations. 1998. info
  • M. Renardy, R. C. Rogers. An introduction to partial differential equations. New York, 1993. info
  • T. Neubrunn, J. Dravecký. Vybrané kapitoly z matematické analýzy. Alfa, Bratislava, 1990. info
  • W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
  • A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Praha, SNTL, 1975. info
  • L. Schwartz. Analyse mathématique II. Herman, Paris, 1967. info
  • L. S. Pontrjagin. Obyknovennyje differenciaľnyje uravnenija. Nauka, Moskva, 1965. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2007, léto 2008, zima 2008, léto 2009, zima 2009, léto 2010, zima 2010, léto 2011, zima 2011, léto 2012, zima 2012, léto 2013, zima 2013, léto 2014, léto 2015.