MU03050 Dynamické systémy I

Matematický ústav v Opavě
zima 2015
Rozsah
2/2/0. 6 kr. Ukončení: z.
Garance
doc. RNDr. Michal Málek, Ph.D.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cílem předmětu je sezmámit studenta se základními pojmy diskrétních dynamických systémů, jak na prostorech jednodimenzionálních, tak na obecných kompaktních metrických prostorech. Uvedeme základní příklady na intervalu a kružnici (rotace), zobrazení posun a kvadratický systém. Dále položíme základy limitních množin, rekurenci, topologickým promícháváním, topologické entropii a symbolické dynamice.
Osnova
  • 1. Základní definice - orbita (plná, dopředná a zpětná). Bod
    periodický, pevný, koncem periodický, koncem pevný. Fázový portrét. Brouwerova věta o pevném
    bodě. (Banachova věta o pevném bodě.) Šarkovského věta a uspořádání.
    2. Hyperbolicita - bod kritický, hyperbolický, přitahující, odpudivý.
    3. Kvadratický systém - logistická funkce. Zobrazení "Tent". Zobrazení
    iracionální rotace".
    4. Symbolická dynamika - prostor "shift space". Zobrazení
    "shift map" a jeho základní vlastnosti. "Shift" konečnéko typu.
    5. Topologická dynamika I. - minimální množina, omega limitní
    množina, nebloudivá množina, centrum, konjugace.
    6. Topologická dynamika II. - transitivní a totálně transitivní zobrazení. Mixující a
    slabě mixující zobrazení. Souvis mezi transitivitou a mixingem. Vztah mezi transitivitou a existencí
    bodu s hustou orbitou.
    7. Topologická dynamika III. - bod rekurentní, uniformně
    rekurentní. Souvis rekurence a minimality.
    8. Topologická dynamika IV. - topologická entropie.
Literatura
    doporučená literatura
  • L. S. Block, W. A. Coppel. Dynamics in one dimension. Lecture Notes in Mathematics, 1513. Springer-Ver, 1992. info
  • R. L. Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition, 1989. info
  • J. Smítal. On functions and functional equations. Adam Hilger, Ltd., Bristol, 1988. ISBN 0-85274-418-8. info
  • P. Walters. An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verl, 1982. info
  • H.Furstenberg. Recurrence in Ergodic Theory and Combinational Number Theory. Princeton University Press, Princeton, New Jersy, 1981. info
Informace učitele
Zápočet: zápočtový test
Zkouška: zkoušková písemka a ústní zkouška
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 1998, zima 1999, zima 2000, zima 2001, zima 2002, zima 2003, zima 2004, zima 2005, zima 2006, zima 2007, zima 2008, zima 2009, zima 2010, zima 2011, zima 2012, zima 2013, zima 2014, zima 2016, zima 2017, zima 2018, zima 2019.