MU24012 Diskrétní dynamické systémy

Matematický ústav v Opavě
zima 2015
Rozsah
2/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.
Garance
doc. RNDr. Michal Málek, Ph.D.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cílem předmětu je sezmámit studenta se základními pojmy diskrétních dynamických systémů, jak na prostorech jednodimenzionálních, tak na obecných kompaktních metrických prostorech. Uvedeme základní příklady na intervalu a kružnici (rotace), zobrazení posun a kvadratický systém. Dále položíme základy limitních množin, rekurenci, topologickým promícháváním, topologické entropii a symbolické dynamice.
Osnova
  • 1. Základní definice - orbita (plná, dopředná a zpětná). Bod
    periodický, pevný, koncem periodický, koncem pevný. Fázový portrét. Brouwerova věta o pevném
    bodě. (Banachova věta o pevném bodě.) Šarkovského věta a uspořádání.
    2. Hyperbolicita - bod kritický, hyperbolický, přitahující, odpudivý.
    3. Kvadratický systém - logistická funkce. Zobrazení "Tent". Zobrazení
    iracionální rotace".
    4. Symbolická dynamika - prostor "shift space". Zobrazení
    "shift map" a jeho základní vlastnosti. "Shift" konečnéko typu.
    5. Topologická dynamika I. - minimální množina, omega limitní
    množina, nebloudivá množina, centrum, konjugace.
    6. Topologická dynamika II. - transitivní a totálně transitivní zobrazení. Mixující a
    slabě mixující zobrazení. Souvis mezi transitivitou a mixingem. Vztah mezi transitivitou a existencí
    bodu s hustou orbitou.
    7. Topologická dynamika III. - bod rekurentní, uniformně
    rekurentní. Souvis rekurence a minimality.
    8. Topologická dynamika IV. - topologická entropie.
Literatura
    doporučená literatura
  • M. Brin, G. Stuck. Introduction to dynamical Systems. Cambridge University Press, 2002. info
  • L. S. Block, W. A. Coppel. Dynamics in one dimension. Lecture Notes in Mathematics, 1513. Springer-Ver, 1992. info
  • R. L. Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. Second edition, 1989. info
  • J. Smítal. On functions and functional equations. Adam Hilger, Ltd., Bristol, 1988. ISBN 0-85274-418-8. info
  • P. Walters. An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics, 79. Springer-Verl, 1982. info
Informace učitele
Zápočet: zápočtový test
Zkouška: zkoušková písemka a ústní zkouška
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2009, zima 2010, zima 2011, zima 2012, zima 2013, zima 2014, zima 2016, zima 2017, zima 2018, zima 2019.