MU01012 Comprehensive Master Examination in Mathematics

Mathematical Institute in Opava
Summer 2013
Extent and Intensity
0/0. 6 credit(s). Type of Completion: zk (examination).
Guaranteed by
doc. RNDr. Zdeněk Kočan, Ph.D.
Mathematical Institute in Opava
Prerequisites (in Czech)
(MU00004 || MU01004 Mathematical Analysis IV ) && MU01005 Algebra I && MU01006 Algebra II && MU01007 Geometry && MU01008 Laboratory in Mathematics and && MU01009 Laboratory in Mathematics and && MU01001 Mathematical Analysis I && MU01002 Mathematical Analysis II && (MU00003 || MU01003 Mathematical Analysis III )
Course Enrolment Limitations
The course is also offered to the students of the fields other than those the course is directly associated with.
fields of study / plans the course is directly associated with
Course objectives
The comprehensive master examination in mathematics contains basic parts of the calculus, linear algebra and geometry.
Syllabus (in Czech)
  • POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY - Mgr.
    (pro studijní obor magisterského studijního programu Matematika
    - Matematická analýza)
    1. Množiny a zobrazení, binární relace (operace s množinami, vzor, obraz, subjektivní, injektivní, bijektivní zobrazení, ekvivalence, uspořádání).
    2. Matice a determinanty (operace s maticemi, vlastnosti determinantů, hodnost matice a její užití, vlastní hodnoty matice, Jordanův normální tvar čtvercové matice, příklady).
    3. Vektorové prostory, lineární zobrazení (lineární závislost, báze, podprostory, vyjádření lineárního zobrazení v bázi, matice přechodu, příklady vektorových prostorů a lineárních zobrazení).
    4. Skalární součin a norma (bilineární a kvadratické formy, vektorové prostory s normou a se skalárním součinem, příklady takových prostorů, ortonormální systémy funkcí, trigonometrické ortonormální systémy).
    5. Diagonalizace lineárního operátoru na konečněrozměrném vektorovém prostoru (vlastní hodnoty, první a druhý ? Jordanův - rozklad lineárního operátoru, ortogonální a symetrické operátory na reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem a jejich diagonalizace, věta o hlavních osách, spektrální teorém, kanonický tvar kvadratické formy).
    6. Lineární algebraické rovnice (homogenní a nehomogenní systémy, metody řešení).
    7. Polynomy (hlavní věta algebry, metody hledání kořenů).
    8. Základní algebraické struktury (grupy, okruhy, pole, vektorové prostory, příklady jednotlivých struktur).
    9. Základní topologické pojmy (otevřené množiny, vnitřek, vnějšek, hranice, uzávěr, spojitost a limita zobrazení, kompaktnost, souvislost, metrická topologie, topologie eukleidovského prostoru, příklady topologických prostorů, spojitých a nespojitých zobrazení).
    10. Systém reálných čísel (algebraické a topologické vlastnosti).
    11. Posloupnosti a řady (posloupnosti a řady reálných čísel, absolutně a neabsolutně konvergentní řady, posloupnosti a řady funkcí, bodová a stejnoměrná konvergence, mocninné řady, Taylorova řada, Fourierovy řady, aplikace na řešení diferenciálních rovnic).
    12. Funkce jedné a několika reálných proměnných (spojitost a limita, základní věty o spojitosti, příklady spojitých a nespojitých funkcí).
    13. Derivace funkce jedné a několika reálných proměnných, parciální a směrové derivace (základní vlastnosti derivace, základní věty o derivacích).
    14. Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom (Taylorova věta pro funkce jedné nebo několika proměnných, aplikace).
    15. Derivace zobrazení eukleidovských prostorů (základní vlastnosti derivace, věta o složeném zobrazení, o inverzní funkci, o implicitní funkci).
    16. Průběh funkcí (vyšetřování průběhu funkcí jedné proměnné, extrémy funkcí jedné nebo několika proměnných, vázané extrémy).
    17. Integrál funkcí jedné nebo několika proměnných (hlavní věty o integrálu, aplikace integrálu v geometrii a ve fyzice, nevlastní integrál).
    18. Výpočet integrálu (vztah mezi integrálem a primitivní funkcí, Fubiniova věta, věta o substituci).
    19. Obyčejné diferenciální rovnice (věty o existenci a jednoznačnosti řešení, metoda postupných aproximací, elementární metody řešení).
    20. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (vlastnosti řešení, variace konstant, elementární metody řešení soustav s konstantními koeficienty, aplikace na lineární rovnici vyššího řádu).
    21. Základní typy parciálních diferenciálních rovnic (rovnice pro vedení tepla, vlnové rovnice, počáteční a okrajové podmínky, separace proměnných, Fourierova metoda, příklady).
    22. Integrování forem, křivkový a plošný integrál, Stokesova věta.
    23. Křivky v t
Literature
    recommended literature
  • M. Marvan. Algebra I. MÚ SU, Opava, 1999. URL info
  • M. Marvan. Algebra II. MÚ SU,, Opava, 1999. URL info
  • L. Klapka. Geometrie. MÚ SU, Opava, 1999. info
  • A. P. Mattuck. Introduction to Analysis. Prentice Hall, New Jersey, 1999. info
  • W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
  • D. Krupka. Úvod do analýzy na varietách. SPN, Praha, 1986. info
  • M. Greguš, M. Švec, V. Šeda. Obyčajné diferenciálne rovnice. Alfa-SNTL, Bratislava-Praha, 1985. info
  • B. Budinský. Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983. info
  • G. Birkhoff, T. O. Bartee. Aplikovaná algebra. Alfa, Bratislava, 1981. info
  • D. K. Fadejev, I. S. Sominskij. Algebra. Fizmatgiz, Moskva, 1980. info
  • J. Kurzweil. Obyčejné diferenciální rovnice. SNTL, Praha, 1978. info
  • M. Spivak. Matematičeskij analiz na mnogoobrazijach. Mir, Moskva, 1968. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Integrální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
  • I. G. Petrovskij. Lekcii ob uravnenijach s častnymi proizvodnymi. Mir, Moskva, 1961. info
Language of instruction
Czech
Further comments (probably available only in Czech)
The course can also be completed outside the examination period.
General note: původní hodnocení: souborná zkouška.
Teacher's information
This examination consists of two parts - writing and oral. There are two members in the examining board.
The course is also listed under the following terms Summer 1998, Summer 1999, Winter 1999, Summer 2000, Winter 2000, Summer 2001, Winter 2001, Summer 2002, Winter 2002, Summer 2003, Winter 2003, Summer 2004, Winter 2004, Summer 2005, Winter 2005, Summer 2006, Winter 2006, Summer 2007, Summer 2008, Summer 2009, Summer 2010, Summer 2011, Summer 2012, Summer 2014, Summer 2015, Summer 2016, Summer 2017, Summer 2018, Summer 2019.
  • Enrolment Statistics (Summer 2013, recent)
  • Permalink: https://is.slu.cz/course/sumu/summer2013/MU01012