MU:MU20025 Funkcionální analýza - Informace o předmětu

MU20025 Funkcionální analýza

Matematický ústav v Opavě
zima 2024

Rozsah

2/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.

Vyučující

Garance

doc. RNDr. Jana Kopfová, Ph.D.
Matematický ústav v Opavě

Rozvrh

Čt 9:45–11:20 RZ

MU20025/01: Po 11:25–13:00 RZ, P. Blaschke

Předpoklady

MU20004 Matematická analýza IV && MU20006 Algebra II && TYP_STUDIA(B)

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

Cíle předmětu

Cílem kurzu je seznámit posluchače se základy lineární funkcionální analýzy včetně teorie distribucí (zobecněných funkcí).

Osnova

1. Metrické prostory: metrika: definice, příklady, metrika odvozená od normy, prostory se skalárním součinem; topologie metrického prostoru: otevřené množiny, konvergence, spojitá zobrazení, kompaktnost, separabilita, souvislost; stejnoměrná spojitost a úplnost, Baireova věta o kategoriích.
2. Hilbertovy a Banachovy prostory: Hilbertův prostor, definice, příklady; věta o nejbližším bodě; lineární operátory na Hilbertově prostoru, Rieszova věta o reprezentaci; spektrální teorie kompaktních operátorů, Fredholmovy integrální rovnice; Banachův prostor: definice, příklady; oddělitelnost konvexních množin a Hahnova-Banachova věta; duální prostory, slabá konvergence a Banachova-Steinhausova věta; věta o otevřeném zobrazení a věta o uzavřeném grafu.
3. Teorie distribucí: topologie vektorového prostoru odvozená od systému seminorem, její základní vlastnosti; striktní induktivní limita lokálně konvexních topologických prostorů; Minkowského funkcionál a Kolmogorovovo kritérium normovatelnosti, spočetně normované vektorové prostory; příklady lokálně konvexních prostorů funkcí; duální prostory a distribuce, základní operace s distribucemi; temperované distribuce a Fourierova transformace.

Literatura

povinná literatura

B. Simon. Real Analysis: A Comprehensive Course in Analysis, Part I. 2015. info
J. Muscat. Functional Analysis. 2014. info
I. Netuka. Základy moderní analýzy. 2014. info
H. W. Alt. Linear Functional Analysis: An Application-Oriented Introduction. 2012. info
B.P. Rynne, M.A. Youngson. Linear Functional Analysis. 2000. info

doporučená literatura

neurčeno

L. Kosmák, R. Potůček. Metrické prostory. Praha, 2011. info
I. M. Gelfand, G. E. Shilov. Generalized functions: Volume II, Spaces of Fundamental and Generalized Functions. 1968. info
I.M.Gelfand, G. E. Shilov. Generalized Functions: Volume I, Properties and operations. 1964. info

Informace učitele

K získání zápočtu je nutno vyřešit tři úlohy zadané vyučujícím. Závěrečná zkouška je ústní a sestává ze dvou teoretických otázek.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.