TFNSP0003 Matematické metody ve fyzice

Fyzikální ústav v Opavě
zima 2021
Rozsah
3/2/0. 7 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
RNDr. Filip Blaschke, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Martin Blaschke, Ph.D. (cvičící)
Garance
RNDr. Filip Blaschke, Ph.D.
Fyzikální ústav v Opavě
Rozvrh
Po 8:55–11:20 309
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
TFNSP0003/01: Po 13:55–15:30 309, M. Blaschke
Předpoklady
(FAKULTA(FU) && TYP_STUDIA(N))
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cílem předmětu je seznámit studenty s nejdůležitějšími matematickými metodami používanými ve fyzice. Ty spadají do tří širokých kategorií: 1) Komplexní analýza, 2) diskrétní kalkulus a 3) obyčejné diferenciální rovnice. Dúraz se klade na výpočetní stránku, zatímco formální prezentace typu definice-věta-důkaz je odsunutá do pozadí.
Výstupy z učení
Student bude po absolvování předmětu schopen:
- základní orientace v analýze fukncí komplexní proměnné;
- nalézení řešení určitých integrálů pomocí smyčkových integrálů v komplexní rovinně;
- nalezení exaktních řešení rekurentních a diferenčních rovnic;
- nalezení exatních řešení diferenciálních rovnic;
- nalezení přibližných řešení diferenciálních rovnic pomocí poruchových a asymptotických metod;
- nalezení přibližných hodnot energetických hladin a asymptotického chování vlnových funkcí obecné jednorozměrné Schroedingerovi rovnice.
Osnova
  • Hlavní témata předmětu jsou:
    • Úvod do diskrétního kalkulu. Věta o primitivní funkci, inverzní operátor k neurčité sumaci. Diskrétní součin a jeho inverzní operace. Metoda řešení jednoduchých rekurentních rovnic.
    • Binomická čísla a jejich identity. Reprezentace pomocí integrálu a výpočet sumačních identit.
    • Úvod do komplexní analýzy. Pojem analytické funkce, Cauchyho-Riemannovy podmínky. Cauchyho věta.
    • Klasifikace singularit v komplexním oboru. Laurentův rozvoj a Reziduová věta.
    • Výpočet určitých integrálů pomocí metod komplexní analýzy.
    • Řešení obecných lineárních rovnic druhého řádu. Klasifikace singulárních bodů. Řešení pomocí Taylorova rozvoje. Airyho rovnice.
    • Frobeniův rozvoj řešení diferenciální rovnice v regulárním singulárním bodě.
    • Úvod do asymptotických metod. Definice asymptotické relace. Metoda dominantní rovnováhy.
    • Poruchová řada a její konvergence. Způsoby sumace divergentních řad.
    • Úvod do WKB metody. Přibližná řešení nehomogeních diferenciálních rovnic.
    • Asymptotická analýza Strum-Liouvillova problému. Řešení Schrodingerovy rovnice s jedním bodem obratu. Globální aproximace.
    • WKB aproximace Schrodingerovy rovnice s dvěma body obratu a semi-klasická kvantovací podmínka.
    • Exaktní řešení Schrodingerovy rovnice pro speciální potenciály.
Literatura
    doporučená literatura
  • Bender, I. C. M., Orszag, S. A. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer, 1999
  • GRAHAM, R., KNUTH, D., PATASHNIK, O. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, New York, 1992. info
  • REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky 2. Praha : Prometheus, 2000. ISBN 80-7196-181-7. info
Výukové metody
Přednášky před tabulí nebo prezentace s projektorem. Ukázky přibližných řešení pomocí softwaru Mathematica.
Metody hodnocení
Písemná zkouška následováná ústní zkouškou.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 2020, zima 2022, zima 2023, zima 2024.