MU03039 Diferenciální geometrie II

Matematický ústav v Opavě
léto 2022
Rozsah
4/2/0. 8 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Artur Sergyeyev, DSc. (přednášející)
Mgr. Jakub Vašíček (cvičící)
Garance
doc. RNDr. Artur Sergyeyev, DSc.
Matematický ústav v Opavě
Předpoklady
MU03038 Diferenciální geometrie I && TYP_STUDIA ( BN )
MU/03038
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Diferenciální geometrie je část geometrie, která využívá ke studiu křivek, (hyper)ploch a obecněji tzv. variet metody diferenciálního počtu. Diferenciální geometrie se při studiu geometrických útvarů zaměřuje na tzv. invariantní vlastnosti, které nezávisí na volbě soustavy souřadnic a zabývá se především lokálními vlastnostmi geometrických útvarů, tedy vlastnostmi týkajících se dostatečně malých částí těchto útvarů. Cílem předmětu je seznámení studentů se základy diferenciální geometrie. V tomto předmětu, který je pokračováním předmětu Diferenciální geometrie I se budeme věnovat především tensorovému počtu na varietách a Lieovym grupám.
Osnova
  • Diferenciální formy -- pokračování (orientovatelnost, integrování na varietách, Stokesova věta a jají důsledky).
    Tenzorová pole na varietách a jejich vlastnosti (definice, operace nad tenzory, mj. symetrizace, antisymetrizace, tenzorové násobení, Lieova derivace)
    Afinní konexe a související otázky (tenzor torze, tenzor křivosti, paralelní přenos vektorů, geodetiky, kovariantní derivace, geometrický význam tenzorů křivosti a torze)
    Variety s metrickým polem ((pseudo)Riemannovy variety, Levi-Civitova konexe, tenzor křivosti, Ricciho tenzor, skalární křivost, izometrie a Killingova rovnice, integrování na varietě s metrickým polem, Levi-Civitův (pseudo)tenzor, objemový element, základní představa o Hodgeově dualitě).
    Základy teorie Lieovych grup (definice Lieovy grupy, pravo- a levoinvariantní vektorová pole a diferenciální formy a jejich vlastnosti, Lieova algebra a její vztah k Lieově grupě)
Literatura
    povinná literatura
  • P. Krtouš. Geometrické metody ve fyzice. Praha. URL info
  • John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. 2006. info
  • C. Isham. Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore, 1999. info
  • O. Kowalski. Úvod do Riemannovy geometrie. Univerzita Karlova, Praha, 1995. info
    doporučená literatura
  • S. Caroll. Lecture Notes on General Relativity. URL info
  • D. Krupka. Matematické základy OTR. info
  • M. Fecko. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Bratislava, Iris, 2004. info
  • M. Wisser. Math 464: Notes on Differential Geometry. 2004. URL info
  • B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov. Modern Geometry - Methods and Applications, Parts I and II,. Springer-Verlag, 1984. info
  • F. Warner. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Springer-Verlag, N.Y.-Berlin, 1971. info
  • M. Spivak. Calculus on Manifolds. 1965. info
Informace učitele
Účast na přednáškách je žádoucí. Přednášející během první přednášky sdělí studentům své požadavky ohledně podmínek úspěšného absolvování předmětu. K udělení zápočtu je zapotřebí získat alespoň 60 procent bodů ze zápočtových písemek (zpravidla jsou to dvě písemky během semestru) nebo 70 procent bodů z opravné zápočtové písemky. Přesné podmínky a data konání písemek stanovuje cvičící. Zkouška je ústní. Na ní se prověřují odborné znalosti a dovednosti studentů získané během studia daného předmětu. Získání zápočtu je předpokladem pro připouštění ke zkoušce.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 1997, léto 1998, zima 1998, léto 1999, léto 2000, léto 2001, léto 2002, léto 2003, léto 2004, léto 2005, léto 2006, léto 2007, léto 2008, léto 2009, léto 2010, léto 2011, léto 2012, léto 2013, léto 2014, léto 2015, léto 2016, léto 2017, léto 2018, léto 2019, léto 2021.