MU03262 Úvod do teorie Lieových grup

Matematický ústav v Opavě
léto 2009
Rozsah
2/2/0. 6 kr. Ukončení: zk.
Garance
doc. RNDr. Kristína Smítalová, CSc.
Matematický ústav v Opavě
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět slouží k získání základní představy o struktuře obecné Lieovy grupy a o její akci na varietě. Předmět je zakončen zkouškou a zápočtem.
Osnova
  • Přednáška:
    - Lieovy grupy. Analytické grupy, hladké grupy, spojité grupy. Kriterium Hausdorffovosti. Pátý Hilbertův problém.
    - Lokální teorie Lieových grup. Baker-Campbell-Hausdorffova formule, levoinvariantní logaritmický atlas.
    - Lieovy algebry. Tečná Lieova algebra k Lieově grupě. Klasifikace prostých Lieových algeber.
    - Obecná lineární grupa a její podgrupy. Exponenciální a logaritmické zobrazení. Lineární reprezentace. Adoův teorém.
    - Diferenciální geometrie Lieových grup. Levoinvariantní a pravoinvariantní
    vektorová pole a diferenciální formy. Jednorozměrné Lieovy podgrupy. Řešení Maurer-Cartanových rovnic. Exponenciální a logaritmické zobrazení.
    - Globální teorie Lieových grup. Cartanův teorém. Konstrukce všech Lieových grup k zadané tečné Lieově algebře. Lieovy grupy které nemají věrnou lineární reprezentaci.
    - Grupy transformací variet. Věta Montgomery-Zippinova. Fundamentální vektorová pole. Hlavní fibrované prostory.
    Cvičení:
    - Vyjádření grupových operací mocninnými řadami.
    - Klasifikace Lieových algeber a souvislých Lieových grup do dimenze tři včetně.
    - Maticová Baker-Campbell-Hausdorffova formule.
    - Grupa SO3 a její univerzální nakrytí.
Literatura
    doporučená literatura
  • M. M. Postnikov. Gruppy i algebry Li. Nauka, Moskva, 1982. info
  • N. Bourbaki. Lie groups and Lie algebras. Herman, Paris, 1975. info
  • L. S. Pontrjagin. Nepreryvnye gruppy. Nauka, Moskva, 1973. info
  • N. Jacobson. Lie algebras. J. Wiley-Interscience, London, 1962. info
Informace učitele
Zápočet: Student je povinen předložit správné řešení zápočtového příkladu zadaného na prvním cvičení.
Zkouška: Zkušební otázky budou tři a budou totožné s hesly uvedenými v přehledu probírané látky. Příprava na zkoušku bude trvat 30 min a nebude při ní dovoleno používat žádné pomůcky kromě psacích potřeb.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích léto 2000, léto 2001, léto 2002, léto 2003, léto 2004, léto 2005, léto 2006, léto 2007, léto 2008, léto 2010, léto 2011, léto 2012, léto 2013, léto 2014, léto 2015, léto 2016, léto 2017, léto 2018, léto 2019.