MU03039 Diferenciální geometrie II

Matematický ústav v Opavě
léto 2012
Rozsah
4/2/0. 8 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc. (přednášející)
RNDr. Petr Vojčák, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Artur Sergyeyev, Ph.D., DSc.
Matematický ústav v Opavě
Předpoklady
MU03038 Diferenciální geometrie I
MU/03038
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Diferenciální geometrie je část geometrie, která využívá ke studiu křivek, (hyper)ploch apod. metody diferenciálního počtu. Diferenciální geometrie se při studiu geometrických útvarů zaměřuje na tzv. invariantní vlastnosti, které nezávisí na volbě soustavy souřadnic. Diferenciální geometrie se zabývá především lokálními vlastnostmi geometrických útvarů, tedy vlastností týkajících se dostatečně malých částí těchto útvarů.
Osnova
  • Diferenciální formy -- pokračování (orientovatelnost, integrování na varietách, Stokesova věta a její důsledky)

    Tenzorová pole na varietách a jejich vlastnosti (definice, operace nad tenzory, mj. symetrizace, antisymetrizace, tenzorové násobení, Lieova derivace)

    Afinní konexe a související otázky (tenzor torze, tenzor křivosti, paralelní přenos vektorů, geodetiky, kovariantní derivace, geometrický význam tenzoru křivosti)
    Variety s metrickým polem ((pseudo)Riemannovy variety, Levi-Civitova konexe,
    tenzor křivosti, Ricciho tenzor, skalární křivost, izometrie a Killingova rovnice, integrování funkcí na varietě s metrickým polem, Levi-Civitův (pseudo)tenzor, objemový element, Hodgeova dualita).
    Základy teorie Lieovych grup (definice Lieovy grupy, pravo- a levoinvariantní vektorová pole a
    diferenciální formy a jejich vlastnosti, Lieova algebra a jeji vztah k Lieově grupě)
Literatura
    doporučená literatura
  • S. Caroll. Lecture Notes on General Relativity. URL info
  • D. Krupka. Matematické základy OTR. info
  • M. Fecko. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Bratislava, Iris, 2004. info
  • M. Wisser. Math 464: Notes on Differential Geometry. 2004. URL info
  • C. Isham. Modern Differential Geometry for Physicists. Singapore, 1999. info
  • O. Kowalski. Úvod do Riemannovy geometrie. Univerzita Karlova, Praha, 1995. info
  • J. Musilová, D. Krupka. Integrální počet na Euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. SPN, Praha, 1982. info
  • M. Spivak. Calculus on Manifolds. 1965. info
    neurčeno
  • John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. 2006. info
Informace učitele
Ústní zkouška; další požadavky budou upřesněny průběžně.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 1997, léto 1998, zima 1998, léto 1999, léto 2000, léto 2001, léto 2002, léto 2003, léto 2004, léto 2005, léto 2006, léto 2007, léto 2008, léto 2009, léto 2010, léto 2011, léto 2013, léto 2014, léto 2015, léto 2016, léto 2017, léto 2018, léto 2019, léto 2021.