MU01003 Matematická analýza III

Matematický ústav v Opavě
zima 2015
Rozsah
4/0/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
Vladimír Averbuch, DrSc. (přednášející)
Garance
Vladimír Averbuch, DrSc.
Matematický ústav v Opavě
Předpoklady
MU01002 Matematická analýza II && ( MU01006 Algebra II || MU01016 Algebra II ) && MU01903 Matematická analýza III - cv.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cíle: Hlavní pozornost v třetí části základního kurzu matematické analýzy je věnována normovaným prostorům, Fréchetově a Gateauxově derivaci, větě o derivaci složeného zobrazení, větám o inverzním zobrazení a o implicitním zobrazení, derivacím vyšších řádů, Taylorovu vzorci a podmínkám extrémů funkcí, včetně pravidla Lagrangeových multiplikátorů.
Osnova
  • 1. Normované prostory (normované prostory, topologie normovaného prostoru, ekvivalentní normy, věta o ekvivalenci norem na konečněrozměrném prostoru, přirozená topologie, základní normy a jejich ekvivalence, součin normovaných prostorů, kompaktní množiny v konečněrozměrném prostoru, spojitost základních zobrazení).
    2. Derivace prvního řádu (Fréchetova derivace, Gateauxova derivace, derivace podle směru, diferenciál, jejich základní vlastnosti a vzájemné souvislosti, derivace základních zobrazení, věta o derivaci složeného zobrazení a její důsledky, parciální derivace, spojitá diferencovatelnost).
    3. Věty o inverzním a o implicitním zobrazeních (Banachovy prostory, věta o kontrakci (contraction lemma), věta o inverzním zobrazení, věta o implicitním zobrazení).
    4. Derivace vyšších řádů (definice a vlastnosti derivace vyššího řádu, věta o symetrii derivace vyššího řádu, parciální derivace vyššího řádu, Taylorův vzorec, extremální ulohy bez ohraničení, Fermatova věta, nutné a postačující podmínky druhého řádu pro lokální extrém, extremální ulohy s ohraničeními, tečné a normálové vektory, nutná podmínka pro vázaný extrém v termínech normálových vektorů, pravidlo Lagrangeových multiplikátorů).
Literatura
    doporučená literatura
  • V. I. Averbuch, M. Málek. Matematická analýza III, IV. MÚ SU, Opava, 2003. URL info
  • W. Rudin. Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 1987. info
  • K. Rektorys a spolupracovníci. Přehled užité matematiky. SNTL, Praha, 1968. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet I. ČSAV, Praha, 1963. info
  • V. Jarník. Diferenciální počet II. ČSAV, Praha, 1963. info
Informace učitele
K udělení zápočtu je požadována aktivní účast na cvičeních. Každý student rovněž musí během semestru výřešit alespon dva z průběžně zadávaných problémů a toto řešení následně na cvičení úspěšně prezentovat.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je zařazen také v obdobích zima 1997, zima 1998, zima 1999, zima 2000, zima 2001, zima 2002, zima 2003, zima 2004, zima 2005, zima 2006, zima 2007, zima 2008, zima 2009, zima 2010, zima 2011, zima 2012, zima 2013, zima 2014, zima 2016, zima 2017, zima 2018, zima 2019, zima 2020, zima 2021, zima 2022.